(完整版)高數(shù)中需要掌握證明過(guò)程的定理(一)

1、1高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(一)考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類 繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過(guò)程都是應(yīng) 該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試， 很多時(shí)候要求沒(méi)有那么高。而有 些定理的證明又過(guò)于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi) 力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應(yīng)深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復(fù)習(xí)，不才憑借自己 對(duì)考研數(shù)學(xué)的一點(diǎn)了解，總結(jié)了高數(shù)上冊(cè)中需要掌握證明過(guò)程的公式定理。 這些 證明過(guò)程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看都是

2、應(yīng)當(dāng)熟練掌握的。由于水平有限，總結(jié)不是很全面，但大家在復(fù)習(xí)之初，先掌握這些公式定理證明 過(guò)程是必要的。1)常用的極限【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過(guò)程中都再熟悉不過(guò)了，但有沒(méi)有人想1過(guò)它們的由來(lái)呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限lim(1 X)，e與lim沁1的推論，它們的推導(dǎo)過(guò)程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本的方法技x 0 x巧。證明：e兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得limln(1 x)1。x 0lim -11:在等式lim匹1_x)1中，令ln(1 x) t，則x e 1。由于極限x 0 xx 0 x過(guò)程是x 0,此時(shí)也有t 0，因此有l(wèi)im亠1。極限的值與取極限的符號(hào)t0d 1是無(wú)關(guān)的，因

3、此我們可以吧式中的x彳t換成x，再取倒數(shù)即得lim-一1X0 xxln a丄e1ln a limln a。因此有x 0 x l n axa 1 limx0 xxln a:利用對(duì)數(shù)恒等式得lim -X0 xxl nae limx0 x1-，再利用第二個(gè)極限可lim31，x 0 xxe 1limx 0 xxa 11，limx 0 x1 cosxa , lim2x 0 x211:由極限lim(1x)xxln a得lim -x0 xlimlna。x0 x2lim(1 x)a 1x 0 xa:利用對(duì)數(shù)恒等式得lim(1 x)a 1x 0eal n(1 x)ie*l n(1 x)lim - a lim-x

4、 0 xx 0a ln(1 x)aln(1 x)ealn(1lim也衛(wèi)ax)x0上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。1 cosx lim2x 0 x21:利用倍角公式得xim0F2si n2彳00十-lim2x0.xsin2x2)導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則III(u v) u v,d(u v) du dvIII(uv) u v uv ,d( uv) vdu udvIIu vu uvlzuvdu udv,小、() 2，d() 2(v 0)vvvv【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。 而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過(guò)這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概 念，避免到復(fù)

5、習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過(guò)程教材上有，這里就不贅述了。3)鏈?zhǔn)椒▌t(x)，如果(x)在x處可導(dǎo)，且f (u)在對(duì)應(yīng)的u(X)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y f( (x)在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有:【點(diǎn)評(píng)】：同上。4)反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)xo處可導(dǎo)且f(x)0，并令其反函數(shù)為x g(y)，且Xo所對(duì)應(yīng)的y的值為yo，則有:1 dx 1;或f (g(yo)dy dydx設(shè)y f (u), uf( (x)f(u)(X)或篇dy dudu dxg (yo)1f(xo)【點(diǎn)評(píng)】：同上In a【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過(guò)它們的由來(lái)。實(shí)際上， 掌握這

6、幾個(gè)公式的證明過(guò)程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì) 極限的計(jì)算也是很好的練習(xí)。現(xiàn)選取其中典型予以證明 證明：x 0的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。sinx cosx:利用導(dǎo)數(shù)定義sin xlimsin(xx 0 x)xsinX，由和差化積公式得sin (xlimx) sinx2cos(xlimx)si n2x2cosx。cosxsinx的證明類x 0 xx0 x似。1ln x :利用導(dǎo)數(shù)定義ln x1lim ln(xx)lnxln(1X)1linxx 0 xx 0XXlogax1的證明類似（利用換底公式logax ）xln aIna證明類似（利用對(duì)數(shù)恒等式axexl

7、na）5）常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)sinxcosx,cosxsin x,In x-，lOgax xx1:導(dǎo)數(shù)的定義是f (x) limx If f（x x x x） f f（x x），代入該公式得lim(x x) xx 0(1勺1limJx 0 x1。最后一步用到了極限l,mo（1 x）aa。注意，這里的推導(dǎo)過(guò)程僅適用于0的情形。:利用導(dǎo)數(shù)定義e：e(x x)exlimx0 xlimx 0 xxe 1e -xln a的6)定積分比較定理b如果在區(qū)間a,b上恒有f(x) 0,則有f(x)dx 0a推論：i如果在區(qū)間a,b上恒有f(x) g(x)，則有bf(x)dxbg(x)dx;aaii設(shè)M和m是函數(shù)f(

8、x)在區(qū)間a, b上的最大值與最小值，則有：bm(b a) f(x)dx M (b a)a【點(diǎn)評(píng)】：定積分比較定理在解題時(shí)應(yīng)用比較廣， 定積分中值定理也是它的推論。 掌握其證明過(guò)程，對(duì)理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過(guò)程教材上有。7)定積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：baf (x)dx f ( )(b a)a【點(diǎn)評(píng)】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的 推論，在證明題中有重要的作用。 考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的 題目，重要性不嚴(yán)而喻。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。8)變上限積分求導(dǎo)定理X如果函數(shù)f(x

9、)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)(x) f(x)dx在a,b上a可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是dx(x)f (x)dx f (x), a x bdxa設(shè)函數(shù)F(x)U(X)f(t)dt，則有F(x)【點(diǎn)評(píng)】：不說(shuō)了，考試直接就考過(guò)該定理的證明。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。9)牛頓-萊布尼茲公式b如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則有f(x)dx F(b) F(a)，其中F(x)是af(x)的原函數(shù)?！军c(diǎn)評(píng)】：微積分中最核心的定理，計(jì)算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定理的 推論。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。u(x)v(x)f (v(x)v(x)。10）費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域U（x0）內(nèi)有定義，并

10、且在x0處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的x U（X0），有f（X0） f （x）或f（X0） f （x），那么f（X。）0【點(diǎn)評(píng)】：費(fèi)馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過(guò)程中用到了極限的保號(hào)性，是 很重要的思想方法。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。11）羅爾定理：如果函數(shù)f （x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)（3） 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a） f（b）那么在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)（a b），使得f（ ）0?！军c(diǎn)評(píng)】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理； 它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實(shí)際上卻是相 互蘊(yùn)含，可以相互推導(dǎo)的。這

11、幾個(gè)定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主 要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點(diǎn)，一定要多加注意。具體證明過(guò) 程見(jiàn)教材。12）拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f （x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)那么在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)（a【點(diǎn)評(píng)】：同上。13）柯西中值定理：如果函數(shù)f （x）和g（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)那么在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)（a【點(diǎn)評(píng)】：同上b)，使得f( )f(b) f(a)b ab），使得語(yǔ)朋14)單調(diào)性定理：設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)。如果在(a,b)上有f (x)0,那

12、么函數(shù)f (x)在a,b上單調(diào)遞增。如果在(a,b)上有f(x)0,那么函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減?！军c(diǎn)評(píng)】 ： 這個(gè)定理利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解， 但實(shí)際證明中卻不 能用圖形來(lái)解釋，需要更嚴(yán)密的證明過(guò)程。證明：僅證明f(x)0的情形，f(x)0的情形類似。x1, x2( a, b)，假定x1x2則利用拉個(gè)朗日中值定理可得，x2,x2使得f(x1) f(x2) f(x1x2)。由于f0，因此f(x1) f(x2)0。由x1,x2的任意性，可知函數(shù)f (x)在a,b上單調(diào)遞增。14)(極值第一充分條件)o設(shè)函數(shù)f(x)在X。處連續(xù)，并在X。的某去心鄰域U(xo,)內(nèi)可導(dǎo)。i)若x(

13、X。，x。)時(shí)，f(x)0,而x(Xo,X。)時(shí)，f(x)0,則f (x)在X。處取得極大值ii)若x(X0,x)時(shí)，f (x)0,而x(X0,X0)時(shí)，f (x)0,則f (x)在x處取得極小值；oiii)若x U(X0,)時(shí)，f(x)符號(hào)保持不變，則f(x)在X0處沒(méi)有極值；【點(diǎn)評(píng)】：?jiǎn)握{(diào)性定理的推論，具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。15) (極值第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在X。處存在二階導(dǎo)數(shù)且f(xo)0,那么i)若f(x。)0,則f (x)在Xo處取得極小值；ii)若f(x。)0,則f (x)在Xo處取得極大值?！军c(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理是判斷極值點(diǎn)最常用的方法，證明過(guò)程需要用到泰勒公式。 證明：僅證明f(Xo)0,的情形，f(Xo) 0,的情形類似。由于f(x)在X0處存在二階導(dǎo)數(shù)，由帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式得。在X0的某領(lǐng)域由極值點(diǎn)的定義可知f(x)在X0處取得極小值內(nèi)成立f (x)X0X0XX02X X0X0o22X X0由于f(X0)因此f(X) f X0X02X02X0f X0XX0X0X02X0由高階無(wú)窮小的定義可知,oX0時(shí)，有一因此在X。的某領(lǐng)域內(nèi)成立X。X2o X X02X X02x X02X00。X00,又由于于0，進(jìn)一步，我們有