空間幾何體復(fù)習(xí)

1、空間幾何體要點(diǎn)梳理1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都，上、下底面是的多邊形 .多面體(2)棱錐的底面是，側(cè)面是的三角形 .(3)棱臺(tái)可由截棱錐得到，其上、下底面是多邊形 .(1)圓柱可以由繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到 .(2)圓錐可以由直角三角形繞一條所在直線旋轉(zhuǎn)得到 .旋轉(zhuǎn)體(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截得到 .(4)球可以由繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到 .注： 1棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)中進(jìn)行解決2旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清、及、形狀2空間幾何體的直觀圖：直觀圖畫法：斜二測(cè)畫法：平行性、長(zhǎng)度兩個(gè)要素(1) 建系：在已知圖形

2、中建立直角坐標(biāo)系xOy. 畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和 y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使 xOy，它們確定的平面表示水平平面；(2) 平行性不變：圖形中平行于x 軸或 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于和的線段；(3) 長(zhǎng)度：已知圖形中平行于x 軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度；平行于y 軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的.3空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是的，三視圖包括、；三視圖畫法：（ 1）左視圖畫在正視圖的邊，俯視圖畫在正視圖的邊；（ 2）理解“長(zhǎng)對(duì)、寬平、高相”（ 3）實(shí)虛線的畫法：可見(jiàn)的輪廓線和棱用線，看不見(jiàn)的輪廓線和棱用

3、線；注意空間幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響4柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體 ( 棱柱和圓柱 )錐體 ( 棱錐和圓錐 )臺(tái)體 ( 棱臺(tái)和圓臺(tái) )球注：（ 1）求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解如正四面體補(bǔ)為正方體，正八面體補(bǔ)為正方體，三條棱兩兩垂直想成長(zhǎng)方體，三條棱1兩兩成 60 想成正四面體（ 2）與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體

4、的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；球與正方體各條棱相切，正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，2R 2l 2a 2b 2c 2 ； S表2R 2l 2 （ 3）幾何體展開(kāi)、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系題型分類講解題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例 1(1) 下列說(shuō)法正確的是()A有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)(2) 給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)

5、的連線是圓柱的母線；有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A 0B 1C 2D 3跟蹤訓(xùn)練 1 如圖是一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖，A， B，C是展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中， ABC 的值為()A30B45C60D90題型二空間幾何體的三視圖和直觀圖例 2(1)1 的正方形，且體積為1如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為2，則該幾何體的俯視圖可以是 ()(2) 正三角形AOB的邊長(zhǎng)為 a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積

6、是_2跟蹤訓(xùn)練 2(1) 已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1 的正方形， 則該正方體的主視圖的面積不可能等于2121()A1B.2C.D.22(2) 如圖，矩形 OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中 OA 6 cm，OC 2 cm，則原圖形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四邊形題型三空間幾何體的表面積與體積例 3(1) 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A 48B 32 817C 48817D 80(2) 已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖均由直角三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得幾何體的體積為()2

7、 14 12 12 1A.32B. 36C.66D.32跟蹤訓(xùn)練 3、（ 1）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上， ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形， SC為球 O的直徑，且 SC 2，則此棱錐的體積為 ()2322A. 6B. 6C.3D. 2（ 2）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上, 若球的表面積為 9, 則正方體的棱長(zhǎng)為.3轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用典例：如圖，在直棱柱ABCABC中，底面是邊長(zhǎng)為3 的等邊三角形， AA 4， M為 AA的中點(diǎn)， P 是 BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC到 M的最短路線長(zhǎng)為29，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N，求： (1) 該

8、三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；(2)PC 與 NC的長(zhǎng)；(3)三棱錐 C MNP的體積基礎(chǔ)訓(xùn)練1判斷下面結(jié)論是否正確 ( 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的A時(shí)，若A 的兩邊分別平行于x 軸和 y 軸，且 A90，則在直觀圖中， A45.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()(5)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形()(6)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差來(lái)計(jì)算()2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()3有一個(gè)水平放置的透明

9、無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A. 500 cm3B. 866 cm 3C.1 372 cm 3D.2 048 cm333334一個(gè)三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為1 的正三角形，原三角形的面積為_(kāi)5若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2 的半圓面，則該圓錐的體積為_(kāi)4訓(xùn)練題A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題（5525 分）1五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有()A 20B 15C 12D 102一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、

10、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A球B三棱錐C正方體D圓柱3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()560580A. 3B. 3C 200D 2404如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()5某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為()335A. 2B 3C.2 3D. 2 35二、填空題（ 3 5 15 分）6如圖所示， E、 F 分別為正方體ABCD A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，則四邊形BFD1E 在該正方體的面 DCC1D1 上的投影是 _ ( 填序號(hào) )7已知三棱錐ABCD的所有棱長(zhǎng)都為2，則

11、該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)8如圖，在三棱柱 A1B1C1 ABC中， D， E， F 分別是 AB，AC， AA1 的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐 F ADE的體積為V1，三棱柱 A1B1C1 ABC的體積為 V2，則 V1V2 _.三、解答題9（ 10 分）一個(gè)幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，求這個(gè)幾何體的表面積10（10 分）已知一個(gè)上、 下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為 30 cm 和 20cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高6B 組專項(xiàng)能力提升四、選擇題（2510 分）11在四棱錐EABCD中，底面ABCD為梯形， ABCD,2AB 3CD， M為

12、 AE 的中點(diǎn)，設(shè)E ABCD的體積為 V，那么三棱錐M EBC的體積為()2123A. 5VB. 3VC.3VD. 10V12已知四棱錐P ABCD的三視圖如下圖所示，則四棱錐P ABCD的四個(gè)側(cè)面中的最大的面積是（）A3B25C6D 8五、填空題（ 1 55 分）13表面積為3 的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)六、解答題14（ 12 分）如圖，在四棱錐P ABCD中，底面為正方形，PC與底面 ABCD垂直，圖為該四棱錐的主視圖和左視圖，它們是腰長(zhǎng)為6 cm 的全等的等腰直角三角形(1) 根據(jù)圖所給的主視圖、左視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2) 求

13、PA.15（ 13 分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為 H，在其內(nèi)部有一個(gè)高為x 的內(nèi)接圓柱(1) 求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？7空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積要點(diǎn)梳理1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等的多邊形.多面體(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.(1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.旋轉(zhuǎn)體(3) 圓臺(tái)可以由直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的

14、平面截圓錐得到.(4) 球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.注： 1棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決2旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開(kāi)圖形狀2空間幾何體的直觀圖：直觀圖畫法：平行性、長(zhǎng)度兩個(gè)要素(1) 建系：在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy. 畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和 y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使 xOy 45，它們確定的平面表示水平平面；(2)平行：已知圖形中平行于x 軸或 y 軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸和 y軸的線段；(3)長(zhǎng)度：已知圖形中平行于x 軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y 軸的線段，長(zhǎng)度為原1來(lái)的

15、2.3空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖三視圖畫法：（ 1）左視圖畫在正視圖的右邊，俯視圖畫在正視圖的下邊；（ 2）理解“長(zhǎng)對(duì)正、寬平齊、高相等”（ 3）實(shí)虛線的畫法：分界線以及可見(jiàn)輪廓線和棱用實(shí)線，看不見(jiàn)的輪廓線和棱用虛線；4柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體 ( 棱柱和圓柱 )S 表面積 S 側(cè)2S 底V ShS 表面積S 側(cè)S 底1錐體 ( 棱錐和圓錐 )V 3 ShS 表面積 S 側(cè)S 上S 下1臺(tái)體 ( 棱臺(tái)和圓臺(tái) )V 3(S 上S 下S

16、 上 S下)h243球S 4RV 3 R8注：（ 1）求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解（ 2）與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑失誤與防范1臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行2注意空間幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響3幾何體展開(kāi)、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系題

17、型分類講解題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例 1(1) 下列說(shuō)法正確的是()A有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)(2) 給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A 0B 1C 2D 3思維啟迪從多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義入手，可以借助實(shí)例或幾何模型理

18、解幾何體的結(jié)構(gòu)特征答案(1)B(2)A解： (1)A 錯(cuò)，如圖 1； B 正確，如圖 2，其中底面 ABCD是矩形，可證明 PAB， PCB 都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形； C 錯(cuò)，如圖 3； D 錯(cuò)，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn)(2) 不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”，如圖1 所示；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2 所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的9幾何體；錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是

19、側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等思維升華(1) 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱(2) 既然棱臺(tái)是由棱錐定義的，所以在解決棱臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略(3) 旋轉(zhuǎn)體的形成不僅要看由何種圖形旋轉(zhuǎn)得到，還要看旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線跟蹤訓(xùn)練 1、如圖是一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖，A， B， C是展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，ABC的值為()A30B45C60D90解：還原正方體，如圖所示，連接AB， BC， AC，可得 ABC 是正三角形，則 ABC60. 答案C題型二空間幾何體的三視圖和直觀圖例 2 (1) 如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為1 的正方形，且體積

20、為12，則該幾何體的俯視圖可以是()(2) 正三角形 AOB的邊長(zhǎng)為 a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 xOy，則它的直觀圖的面積是 _1思維啟迪(1) 由主視圖和左視圖可知該幾何體的高是1，由體積是 2可求出底面積 由底面積的大小可判斷其俯視圖是哪一個(gè)(2) 按照直觀圖畫法規(guī)則確定平面圖形和其直觀圖面積的關(guān)系1解：(1) 由該幾何體的主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，且其高為 1，由其體積是 可知該幾何體的 211底面積是 2，由圖知 A 的面積是1，B 的面積是4 ，C的面積是 2，D 的面積是 4 ，故選 C.10(2) 畫出坐標(biāo)系xOy， 作出 OAB的直觀圖OAB( 如圖 ) D為 OA

21、的中點(diǎn) 易知 DB11223262 2DB，SOAB 2 2 SOAB 4 4 a 16 a .思維升華(1) 三視圖中， 主視圖和左視圖一樣高，主視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，左視圖和俯視圖一樣寬即“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”(2) 解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問(wèn)題時(shí)，一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練 2、(1) 已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1 的正方形， 則該正方體的主視圖的面積不可能等于()A1B. 2C.2 1D.2 122(2) 如圖，矩形 OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形

22、的直觀圖，其中 OA 6 cm，OC 2 cm，則原圖形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四邊形答案(1)C(2)C解： (1) 由俯視圖知正方體的底面水平放置，其主視圖為矩形，以正方體的高為一邊長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)最小為 1，最大為2，面積范圍應(yīng)為 1 ，2 ，不可能等于2 1.2(2) 如圖，在原圖形 OABC中，應(yīng)有 OD2OD 222 42 cm，CDCD 2 cm. OC22222 6 cm，OD CD 2OA OC，故四邊形OABC是菱形題型三空間幾何體的表面積與體積例 3(1) 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A 48B 32 817C 48817D 80(2

23、) 已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖均由直角三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得幾何體的體積為()112 14 12 12 1A.32B. 36C.66D.32思維啟迪：先由三視圖確定幾何體的構(gòu)成及度量，然后求表面積或體積答案 (1)C (2)C解： (1) 由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長(zhǎng)為 4 的正方形；上底面是長(zhǎng)為4、寬為 2 的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)面是矩形，2221寬為 4，長(zhǎng)為 4 117. 所以 S表 4 24 2(2 4) 424172 48 8 17.(2)

24、由三視圖確定該幾何體是一個(gè)半球體與三棱錐構(gòu)成的組合體，如圖，其中 AP， AB， AC兩兩垂直，且 AP AB AC 1，11故 AP平面 ABC，SABC ABAC，221111所以三棱錐 P ABC的體積 V13SABCAP 321 6，2又 RtABC是半球底面的內(nèi)接三角形，所以球的直徑2R BC2，解得 R 2 ，1 423212所以半球的體積 V2 2 3(2)6 ，故所求幾何體的體積V V1 V2 66.思維升華 解決此類問(wèn)題需先由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，判斷是否為組合體，由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成，并準(zhǔn)確判斷這些幾何體之間的關(guān)系，將其切割為一些簡(jiǎn)單的幾何體，再求出各個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的體

25、積，最后求出組合體的體積跟蹤訓(xùn)練 3、（ 1）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上， ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形， SC為球 O的直徑，且 SC 2，則此棱錐的體積為 ()2322A. 6B. 6C.3D. 2解：由于三棱錐S ABC與三棱錐O ABC底面都是 ABC， O是 SC的中點(diǎn)， 因此三棱錐 S ABC的高是三棱錐O ABC高的 2 倍，所以三棱錐S ABC的體積也是三棱錐O ABC體積的 2 倍在三棱錐 O ABC中，其棱長(zhǎng)都是1，如圖所示，1232323 261362SABC 4 AB 4 ，高 OD13 3，VSABC2VO ABC2 3 4 3 6.答案 A（

26、 2）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上, 若球的表面積為9 , 則正方體的棱長(zhǎng)為.3轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用典例：如圖，在直棱柱ABCABC中，底面是邊長(zhǎng)為3 的等邊三角形， AA 4， M為 AA的中點(diǎn)， P 是 BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC到 M的最短路線長(zhǎng)為29，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N，求： (1) 該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；(2)PC 與 NC的長(zhǎng)；(3)三棱錐 C MNP的體積思維啟迪： (1) 側(cè)面展開(kāi)圖從哪里剪開(kāi)展平；(2)MNNP最短在展開(kāi)圖上呈現(xiàn)怎樣的形式；(3) 三棱錐以誰(shuí)做底好解 (1) 該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為一邊長(zhǎng)分別為4 和 9 的

27、矩形，故對(duì)角線長(zhǎng)為42 92 97.(2) 將該三棱柱的側(cè)面沿棱222BB展開(kāi)，如下圖，設(shè) PCx，則 MPMA (ACx) .MP29， MA 2， AC 3， x 2，即 PC 2. 又 NCAM，故PCNC2NC4，即. NC .PAAM525(3)S1144 CPCN 2 .PCN22553331在三棱錐 M PCN中， M到面 PCN的距離，即 h 2 32. VCMNPVM PCN 3hSPCN133423 3255 .溫馨提醒(1)解決空間幾何體表面上的最值問(wèn)題的根本思路是“展開(kāi)”，即將空間幾何體的“面”展開(kāi)后鋪在一個(gè)平面上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題(2) 如果已知的空間幾何

28、體是多面體，則根據(jù)問(wèn)題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開(kāi)，把不在一個(gè)平面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開(kāi)，把曲面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的問(wèn)題(3) 本題的易錯(cuò)點(diǎn)是，不知道從哪條側(cè)棱剪開(kāi)展平，不能正確地畫出側(cè)面展開(kāi)圖缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識(shí)基礎(chǔ)訓(xùn)練1判斷下面結(jié)論是否正確( 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()13(3) 用斜二測(cè)畫法畫水平放置的A時(shí)，若A 的兩邊分別平行于x 軸和 y 軸，且 A90，則在直觀圖中， A45.()(4)

29、正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()(5)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形()(6)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差來(lái)計(jì)算()2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()解：由三視圖可知上部是一個(gè)圓臺(tái)，下部是一個(gè)圓柱，選D.3如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. 500 cm3B. 866 cm 3C.1 372 cm 3D.2 048 cm 33333解：作出該球軸截面的圖像如圖所示，依題意BE 2， AE CE 4，222AD 5，

30、設(shè) DE x，故 AD2 x，因?yàn)?AD AE DE，解得 x 3，故該球的半徑43 500所以 V3 R3.答案 A4一個(gè)三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為1 的正三角形，原三角形的面積為_(kāi)解：由斜二測(cè)畫法，知直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其原圖是一個(gè)底為1，高為6的三角形，所以6原三角形的面積為2 .5若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2 的半圓面，則該圓錐的體積為_(kāi)213解：側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑為2，圓錐底面半徑為1， h 213， V 3 13 3 .訓(xùn)練題A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)14角線的條數(shù)共有()

31、A 20B 15C12D 10解：如圖，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1 中，從頂點(diǎn)A 出發(fā)的對(duì)角線有兩條： AC1， AD1，同理從B， C， D，E 點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線均有兩條，共 25 10( 條 ) 答案D2一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A球B三棱錐C正方體D圓柱解：考慮選項(xiàng)中幾何體的三視圖的形狀、大小，分析可得球、正方體的三視圖形狀都相同、大小均相等，首先排除選項(xiàng)A和 C.對(duì)于如圖所示三棱錐O ABC，當(dāng) OA、 OB、 OC兩兩垂直且OA OB OC時(shí)，其三視圖的形狀都相同，大小均相等，故排除選項(xiàng)B.不論圓柱如何設(shè)置，其三視圖的形狀都不會(huì)完

32、全相同，故答案選D.3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()560580A. 3B.3C 200D 240解：由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為8，高為 4，故面積為 S 20. 又棱柱的高為 10，所以體積 V Sh2010 200.答案 C24如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()15解：由俯視圖可知是B 和 D 中的一個(gè)，由主視圖和左視圖可知B 錯(cuò)答案D5某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為()335A.B 3C.2 3D. 2 32112解：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，底面半徑為 1，高

33、為3，表面積 S 223 2 113 2 12 3 2 . 答案 C二、填空題6如圖所示， E、 F 分別為正方體 ABCD A1B1C1D1的面 ADDA 、面 BCCB 的中心，則四邊形BFDE 在該正11111方體的面 DCC1D1 上的投影是 _ ( 填序號(hào) )解：四邊形在面DCC1D1 上的投影為： B 在面 DCC1D1 上的投影為C，F(xiàn)、E 在面 DCC1D1 上的投影應(yīng)在邊CC1與 DD1 上，而不在四邊形的內(nèi)部，故錯(cuò)誤答案7已知三棱錐ABCD的所有棱長(zhǎng)都為2，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)解：如圖，構(gòu)造正方體ANDM FBEC.因?yàn)槿忮FA BCD的所有棱長(zhǎng)都為2，所以正方體

34、ANDM FBEC3的棱長(zhǎng)為 1. 所以該正方體的外接球的半徑為2 .易知三棱錐A BCD的外接球就是正方體ANDM FBEC的外接球，3所以三棱錐A BCD的外接球的半徑為2 .所以三棱錐A BCD的外接球的表面積為S 球 43 2 3. 答案 328如圖，在三棱柱A1B1C1 ABC中， D， E， F 分別是AB，AC， AA1 的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1 ABC的體積為V2，則 V1V2 _.1611解：設(shè)三棱錐FADE的高為 h，則V13h 2ADAEsin DAE1. 答案 124V12422三、解答題9一個(gè)幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，求這個(gè)

35、幾何體的表面積解：這個(gè)幾何體是一個(gè)圓臺(tái)被軸截面割出來(lái)的一半根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為3，母線長(zhǎng)為2，幾何體的表面積是兩個(gè)半圓的面積、圓臺(tái)側(cè)面積的一半和軸截面的面積之和，故這個(gè)幾何體的表面積為S1212 1221111 22 (1 2) 22(2 4) 3 23 3.10已知一個(gè)上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30 cm和 20cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高解：如圖所示，三棱臺(tái)ABC A1B1C1 中， O、O1 分別為兩底面中心，D、 D1 分別為 BC和 B1C1 的中點(diǎn)，則DD1為棱臺(tái)的斜高由題意知 A1B1 20， AB 30，則 OD 51033， O1D1，3由 S側(cè)S上S下，得1322132(20 30) 3DD14 (2030 ) ，解得DD1 33，在直角梯形 OODD中， OO2 OD2 43，