空間立體幾何點線面判斷與證明

1、常州知典教育一對一教案學(xué)生：年級：學(xué)科：數(shù)學(xué)授課時間：月日授課老師：趙鵬飛課題空間立體幾何點線面判斷與證明教學(xué)目標(biāo)（通掌握空間立體幾何中的點線面之間的關(guān)系，平行，相交，垂直，異面，重合等等，以過本節(jié)課學(xué)及證明面面垂直， 面面平行等方法和步驟， 了解關(guān)于幾何體中一些基本的計算和比值。生需掌握的知識點及達(dá)到程度）本節(jié)課考點及單元測試15%中所占分值比例學(xué)生薄弱點，證明時對判斷的方法出現(xiàn)錯誤思維，導(dǎo)致證明失分， 使用性質(zhì)時沒有給出應(yīng)有的條件需重點講解導(dǎo)致扣分，計算的失誤使得自己失分。內(nèi)容課前檢查上次作業(yè)完成情況：優(yōu)良中差建 議 :考向 1空間中點、線、面位置關(guān)系的判斷1平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用教(1)公

2、理 1：證明“點在面內(nèi)”或“線在面內(nèi)”學(xué)(2)公理 2 及三個推論：證明兩個平面重合，用來確定一個平面或證明“點線共過面”(3)公理 3：確定兩個面的交線，尤其是畫截面圖或補體時用到，證明“三點共程線”“三線共點”講義部要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平分面的公共點，根據(jù)公理3 可知這些點在交線上，因此共線2 空間中點、線、面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系相交關(guān)系獨有關(guān)系(1)已知 m，n 表示兩條不同直線， 表示平面，下列說法正確的是()A 若 m， n，則 mnB若 m， n? ，則 mnC若 m， mn，則 nD若 m， mn，則

3、n(2)下列命題正確的是 ()A 若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【解析】 (1)對于選項 A ， m 與 n 還可以相交或異面；對于選項 C，還可以是 n? ；對于選項 D，還可以是 n或 n? 或 n 與 相交(2)對于命題 A ，這兩條直線可以相交或為異面直線，A 錯誤；對于命題 B，這兩個平面可以相交， B 錯誤；對于命題 D，這兩個平面還可能相交， D 錯誤；而由線面平行的性質(zhì)定理可證 C 正

4、確故選 C.【答案】(1)B(2)C【點撥】解題 (1)根據(jù)空間線面、面面、線線平行的判定與性質(zhì)、垂直的判定與性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷， 注意空間位置關(guān)系的各種可能情況解題 (2)時要注意充分利用正方體 (或長方體 )模型輔助空間想象解決空間位置關(guān)系問題的方法(1)解決空間中點、線、面位置關(guān)系的問題，首先要明確空間位置關(guān)系的定義，然后通過轉(zhuǎn)化的方法，把空間中位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決(2)解決位置關(guān)系問題時，要注意幾何模型的選取，如利用正(長 )方體模型來解決問題考向 2異面直線所成的角1兩條異面直線所成的角過空間任意一點分別引兩條異面直線的平行直線，那么這兩條相交直線所成的銳角或直角叫作這兩條

5、異面直線所成的角若記這個角為，則 0， 2.2 判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A 與平面內(nèi)一點B 的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B 的直線是異面直線(2)反證法：證明兩直線平行、相交不可能或證明兩直線共面不可能，從而可得兩直線異面(1)(2014 大綱全國， 4)已知正四面體 ABCD 中， E 是 AB 的中點，則異面直線 CE 與 BD 所成角的余弦值為 ()13A. 6 B.61 3 C.3 D. 3(2)如圖，已知二面角-MN-的大小為 60，菱形 ABCD 在面 內(nèi)， A， B 兩點在棱 MN 上， BAD60， E 是 AB 的中點， DO面 ，垂足為 O.證明

6、： AB平面 ODE；求異面直線 BC 與 OD 所成角的余弦值【解析】(1)如圖，取 AD 的中點 F，連接 CF， EF，則 EFBD， CEF 即為異面直線 CE 與 BD 所成的角設(shè)正四面體的棱長為 2，則 CECF3，EF12BD1.CE2EF2CF23由余弦定理得 cosCEF2CEEF6 .CE 與 BD 所成角的余弦值為3 故選B.6 .(2)證明：如圖， DO ，AB? ， DOAB.連接 BD，由題設(shè)知， ABD 是正三角形又 E 是 AB 的中點， DE AB.而 DODED，故 AB平面 ODE.因為 BCAD，所以 BC 與 OD 所成的角等于 AD 與 OD 所成的

7、角，即 ADO是異面直線 BC 與 OD 所成的角由 知， AB平面ODE，所以 ABOE.又 DEAB，于是 DEO 是二面角-MN-的平面角，從而 DEO60 .不妨設(shè) AB 2，則 AD 2.易知 DE3.3在 Rt DOE 中， DO DEsin 60 2.3DO23連接 AO，在 Rt AOD 中， cos ADO AD24.故異面直線 BC 與 OD 所成角的余弦值為34.【點撥】 解題 (1)的關(guān)鍵是選取合適的點作出異面直線的平行線 解題 (2)時應(yīng)注意異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形里特別為直角三角形求異面直線所成角的方法(1)作：利用定義轉(zhuǎn)化為平面角，對于異面直線所成的角，可

8、固定一條、平移一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上(2)證：證明作出的角為所求角(3)求：把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形求空間角兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角考向 3線面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判不在平面內(nèi)的一條直線與定此平面內(nèi)的一條直線平行，l?a? ? l定則該直線與此平面平行 (簡la理記為線線平行 ? 線面平行 )一條直線與一個平面平行，性則過這條直線的任一平面質(zhì)與此平面的交線與該直線定平行 (簡記為線面平行 ? 線aa?

9、 ? ab b理線平行 )直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理中的三個條件缺一不可； 線面平行的性質(zhì)定理可以作為線線平行的判定方法(2014 北京， 17，14 分)如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，側(cè)棱垂直于底面， ABBC，AA1 AC 2，BC1，E， F 分別是 A1C1， BC 的中點(1)求證：平面 ABE平面 B1 BCC1 ；(2)求證： C1F平面 ABE；(3)求三棱錐 E-ABC 的體積【思路導(dǎo)引 】(1)利用已知條件轉(zhuǎn)化為證明AB平面 B1BCC1；(2)取 AB 的中點 G，構(gòu)造四邊形 FGEC1 ，證明其為平行四邊形，從而得證； (3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入公式計算

10、即可【解析】 (1)證明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1底面 ABC.所以 BB1AB.又因為 AB BC，所以 AB平面 B1BCC1 .所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)證明：如圖，取AB 中點 G，連接 EG，F(xiàn)G.因為 G，F(xiàn) 分別是 AB，BC 的中點，1所以 FG AC，且 FG2AC.因為 ACA1C1，且 ACA1C1，E 為 A1C1 的中點，所以 FG EC1，且 FG EC1.所以四邊形 FGEC1 為平行四邊形所以 C1FEG.又因為 EG? 平面 ABE，C1F?平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.(3)因為 AA1AC2，BC1，ABBC，

11、所以 ABAC2BC23.所以三棱錐 E-ABC 的體積V1 AA 11 31233SABC13 23 .1.證明線面平行問題的思路(一 )(1)作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線；(2)證明線線平行；(3)根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行2 證明線面平行問題的思路(二 )(1)在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面；(2)利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面平行；(3)證明所作平面與所證平面平行；(4)轉(zhuǎn)化為線面平行(2013 江蘇， 18，13 分)如圖，在邊長為 1 的等邊三角形 ABC 中，D，E 分別是 AB，AC 上的點，ADAE，F(xiàn) 是

12、BC 的中點，AF 與 DE 交于點 G.將 ABF沿 AF 折起，得到如圖所示的三棱錐A-BCF，其中 BC22 .(1)證明： DE平面 BCF；(2)證明： CF平面 ABF；2(3)當(dāng) AD3時，求三棱錐 F-DEG 的體積解： (1)證明：在等邊三角形ABC 中， ADAE，ADAEDBEC，在折疊后的三棱錐A-BCF 中也成立，DEBC.DE?平面 BCF，BC? 平面 BCF，DE平面 BCF.(2)證明：由圖 ，在等邊三角形ABC 中， F 是 BC 的中點，AF BC，在三棱錐中仍有AFCF，1BFCF2.2在三棱錐 A-BCF 中， BC 2 ，BC2BF2CF2，CFBF

13、.又BFAFF，CF平面 ABF.(3)由(1)可知 GECF，結(jié)合 (2)可得 GE平面 DFG .VF- DEG VE- DFG1132DGFGEG1111313233233324.考向 4面面平行的判定與性質(zhì)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判一個平面內(nèi)的兩條相交直a? 定線與另一個平面平行， 則這b? a b P ? 定兩個平面平行 (簡記為線面a平行 ? 面面平行 )理b性如果兩個平行平面同時和質(zhì)第三個平面相交，那么它們 a ? ab定的交線平行b理平面與平面平行的性質(zhì)定理實際上給出了判定兩條直線平行的一種方法， 注意一定是第三個平面與兩平行平面相交，其交線平

14、行如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 是底面中心， A1O底面 ABCD，ABAA12.(1)證明：平面 A1BD平面 CD1 B1；(2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的體積【解析】(1)證明：由題設(shè)知， BB1 綊 DD 1，四邊形 BB1D1D 是平行四邊形，BDB1D1.又 BD?平面 CD1B1，BD平面 CD1B1.A1D1 綊 B1C1 綊 BC，四邊形 A1BCD1 是平行四邊形，A1BD1C.又 A1B?平面 CD1B1，A1B平面 CD1B1.又BDA1BB，平面 A1BD平面 CD1B1.(2)A1O平面 ABCD，A1O 是三棱柱

15、 ABD-A1B1 D1 的高1又AO2AC1，AA12，A1221AO 1.OAA1又SABD2221，VABD-A1B1D1 S ABDA1O 1.【點撥】 解題 (1)需將面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行，通過取特殊四邊形來完成證明； 解題 (2)的關(guān)鍵是選易求高的底面， 利用線面垂直的判定找高1.判定面面平行的四個方法(1)利用定義：即判斷兩個平面沒有公共點(2)利用面面平行的判定定理(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(4)利用平面平行的傳遞性， 即兩個平面同時平行于第三個平面， 則這兩個平面平行2 平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2014 十校聯(lián)考， 18，12 分)如圖，在三棱

16、柱111中，D 是ABC-A B C111是 B11 的中點，求證：平面 A11平面 AC1D.BC 上一點，且 A B平面 AC D，DCBD證明：如圖，連接 A1C 交 AC1 于點 E，連接 ED.四邊形 A1ACC1 是平行四邊形，E 是 A1C 的中點A1B平面 AC1D，平面 A1 BC平面 AC1DED，A1BED.E 是 A1C 的中點， D 是 BC 的中點又 D1 是 B1C1 的中點， D1C1 綊 BD，四邊形 BDC1D1 為平行四邊形，BD1C1D.又 A1BBD1B，DEDC1D，平面 A1BD1平面 AC1 D.考向 5線面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定定

17、理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判一條直線與平面內(nèi)的兩a，b? 定abO條相交直線都垂直， 則該? l定直線與此平面垂直l a理l b性質(zhì)垂直于同一個平面的兩a定條直線平行? abb理如圖，四棱錐P-ABCD 中，底面是以 O 為中心的菱形， PO底面1ABCD， AB 2， BAD 3 ，M 為 BC 上一點，且 BM2.(1)證明： BC平面 POM；(2)若 MPAP，求四棱錐 P-ABMO 的體積【思路導(dǎo)引 】(1)由余弦定理、勾股定理等知識先證OMBM，再由線面垂直的判定定理證明；(2)將底面四邊形ABMO 分為 ABO 與 MBO 來求面積，根據(jù) (1)中結(jié)果，利用勾股定理、余

18、弦定理求出PO，代入棱錐的體積公式求解【解析】(1)證明：如圖，連接OB，因為四邊形 ABCD 為菱形， O 為菱形中心，所以AO OB.因為BAD 3 ，故 OBABsinOAB2sin 6 1.又因為1BM2，且OBM 3 ，在OBM 中， OM2OB2BM22OBBMcosOBM21 21 312212cos 3 4.所以 OB2OM2BM2，故 OMBM.又 PO底面 ABCD，所以 POBC.又 OM? 平面 POM，PO? 平面 POM，OMPOO，所以 BC 平面 POM.(2)由(1)可得， OAABcosOAB2cos 6 3.設(shè) POa，由 PO底面 ABCD 知， POA

19、 為直角三角形，故 PA2PO2OA2a23.由POM 也是直角三角形，22223故 PMPO OMa 4.22221 2如圖，連接 AM.在 ABM 中，AMAB BM2ABBMcosABM2 21 2 21 222cos 3 4 .由已知 MPAP，故 APM 為直角三角形，則 PA2PM2AM2，即 a2 3 a234214，得 a3，a3322 (舍去 )，即 PO 2 .此時 S 四邊形 ABMOS AOB S OMB1AOOB1BMOM221113532 31222 8 .所以四棱錐P-ABMO 的體積115335VP- ABMO 3S 四邊形 ABMO PO38216.1.證明直

20、線與平面垂直的一般步驟(1)找與作：在已知平面內(nèi)找或作兩條相交直線與已知直線垂直(2)證：證明所找到的或所作的直線與已知直線垂直(3)用：利用線面垂直的判定定理，得出結(jié)論2 判定線面垂直的四種方法(1)利用線面垂直的判定定理(2)利用“兩平行線中的一條與已知平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個平面也垂直”(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理考向 6面面垂直的判定與性質(zhì)平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言判一個平面過另一個平面定的一條垂線，則這兩個平定面互相垂直理性兩個平面互相垂直，則一質(zhì)個平面內(nèi)垂直于交線的定直線垂直于另一個平面理符

21、號語言l? ? l l? ? l al a(2014 江蘇， 16，14 分 )如圖，在三棱錐 P-ABC 中， D，E，F(xiàn) 分別為棱 PC，AC，AB 的中點已知 PAAC，PA6，BC8，DF5.求證： (1)直線 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.【思路導(dǎo)引 】 (1)利用三角形中位線的性質(zhì)找到線線平行， 再運用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行求證； (2)要證面面垂直可考慮尋找線面垂直， 要證線面垂直可考慮尋找線線垂直，利用勾股定理可證線線垂直【證明】(1)因為 D，E 分別為棱 PC， AC 的中點，所以 DE PA.又因為 PA?平面 DEF， DE? 平面 DEF ，

22、所以直線 PA平面 DEF.(2)因為 D，E，F(xiàn) 分別為棱 PC，AC，AB 的中點，PA 6，BC8，所以 DEPA，11DE2PA3，EF2BC4.又因為 DF5，故 DF2DE2EF2，所以 DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DE AC.因為 AC EFE， AC? 平面 ABC，EF? 平面 ABC，所以 DE 平面 ABC.又 DE? 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.1.面面垂直證明的兩種思路(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義， 即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題

23、轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題2 垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系考向 7線面角、二面角的求法1線面角(1)當(dāng) l時，線面角為 90.(2)當(dāng) l或 l? 時，線面角為 0.(3)線面角 的范圍： 0 90.2 二面角(1)如圖，二面角 -l-，若 Ol ， OA? ， OB? ， OAl ，OBl，則 AOB 就叫作二面角 -l-的平面角(2)二面角 的范圍： 0180.如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四邊形， BABD2，AD2，PAPD5，E，F(xiàn) 分別是棱 AD，PC 的中點(1)證明： EF平面 PAB.(2)若二面角 P-AD-B 為 60，證明：平面 PBC平面 ABCD；求直

24、線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值【思路導(dǎo)引 】(1)因為 E，F(xiàn) 分別是所在棱的中點，可取PB 的中點 M，證明四邊形 AMFE 是平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理證明(2) 連接 PE， BE，由題意知 PEB 60，在 PEB 中利用余弦定理證出BEPB.又 BEAD，然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明； 由知 BE 平面 PBC，則 EFB 即為直線 EF 與平面 PBC 所成的角【解析】(1)證明：如圖，取 PB 中點 M，連接 MF ，AM.因為 F為 PC中點1故 MFBC 且 MF2BC.由已知有 BCAD，BCAD.又由于 E 為 AD 的中點，因而 MFA

25、E 且 MFAE，故四邊形 AMFE 為平行四邊形，所以 EFAM.又 AM? 平面 PAB，而 EF?平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)證明：如圖，連接PE，BE.因為 PAPD，BABD ，而 E 為 AD 的中點，故 PEAD，BEAD，所以 PEB 為二面角 P-AD-B 的平面角在PAD 中，由 PAPD5，AD2，可解得 PE2.在ABD 中，由 BABD2，AD2，可解得 BE1.在PEB 中， PE 2，BE1， PEB60，由余弦定理，可解得PB3，從而 PBE90，即 BE PB.又 BCAD，BEAD，從而 BEBC，因此 BE平面 PBC.又 BE? 平面 A

26、BCD，所以平面 PBC平面 ABCD.如圖，連接 BF.由知， BE平面 PBC，所以 EFB 為直線 EF 與平面 PBC 所成的角由 PB3及已知，得 ABP 為直角131111而 MB2PB2，可得 AM2 ，故 EF2 .BE211又 BE1，故在 Rt EBF 中， sinEFB EF 11 .所以直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值為21111 .1.求空間角的三個步驟(1)找：即找出相關(guān)的角；(2)證：即證明找出的角即為所求的角；(3)計算：即通過解三角形的方法求出所求角2 空間角的找法(1)線面角找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作出垂線，確定垂足(2)二面角二面角的大小用

27、它的平面角來度量，平面角的常見作法有：定義法；垂面法其中定義法是最常用的方法鞏固練習(xí)：1. 如圖，在四棱錐P- ABCD 中底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，PAAD2，AB1，BMPD 于點 M.(1)求證： AMPD；(2)求直線 CD 與平面 ACM 所成的角的余弦值2.如圖所示，在四棱錐S-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， SA平面 ABCD，M，課 N 分別為 SA，CD 的中點堂練(1)證明：直線 MN平面 SBC；習(xí)(2)證明：平面 SBD平面 SAC.3.如圖，在直角梯形ABCD 中， ADBC，ADC90，ABBC.把 BAC沿 AC 折起到 PAC 的位置

28、，使得 P 點在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在線段 AC 上，如圖所示，點 E，F(xiàn) 分別為棱 PC，CD 的中點(1)求證：平面 OEF平面 APD；(2)求證： CD平面 POF；(3)若 AD3，CD4，AB5，求四棱錐 E-CFO 的體積1. 解： (1)證明： PA平面 ABCD， AB? 平面 ABCD，PA AB.AB AD， ADPA A， AD? 平面 PAD，PA? 平面 PAD，AB平面 PAD.PD? 平面 PAD，AB PD.BMPD，ABBMB，AB? 平面 ABM，BM? 平面 ABM， PD平面 ABM.AM? 平面 ABM， AMPD.(2)由(1)知， AM PD，又 PAAD，則M是PD的中點錯在 Rt PAD 中， AM2，題在