高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

1、我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 鮑建生鮑建生歡迎投稿編輯部電子信箱：編輯部電子信箱： 在線視頻介紹（忻重義）：在線視頻介紹（忻重義）：http:/ (性質(zhì)、需求、銜接性質(zhì)、需求、銜接) )目標(biāo)目標(biāo)( (知識(shí)、素養(yǎng)、能力知識(shí)、素養(yǎng)、能力) )結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)( (多樣性、選擇性多樣性、選擇性) )難度難度( (深度、廣度、容量深度、廣度、容量) )體系體系( (核心、順序、關(guān)聯(lián)核心、順序、關(guān)聯(lián)) )教學(xué)教學(xué)( (課時(shí)、教法、負(fù)擔(dān)課時(shí)、教法、負(fù)擔(dān)) )教材教材( (編排、例習(xí)題編排、例習(xí)題) )師資師資(

2、 (環(huán)境、培訓(xùn)環(huán)境、培訓(xùn)) )區(qū)分區(qū)分( (定性、定量、定位定性、定量、定位) )考試考試( (高考、會(huì)考高考、會(huì)考) )科學(xué)性科學(xué)性可行性可行性一致性一致性存在存在問題問題修訂修訂建議建議需要初中老師關(guān)注的幾個(gè)調(diào)查結(jié)果需要初中老師關(guān)注的幾個(gè)調(diào)查結(jié)果高中生和大學(xué)新生的高中生和大學(xué)新生的“運(yùn)算能力運(yùn)算能力”“空間想象能力空間想象能力”和和“推理論證能力推理論證能力”有明顯的下降有明顯的下降。初高中銜接初高中銜接存在存在問題：學(xué)生的知識(shí)技能儲(chǔ)備不足，缺少問題：學(xué)生的知識(shí)技能儲(chǔ)備不足，缺少良好的學(xué)習(xí)和思考習(xí)慣良好的學(xué)習(xí)和思考習(xí)慣。具體表現(xiàn)在乘法公式、二次函具體表現(xiàn)在乘法公式、二次函數(shù)、幾何、十字相乘

3、、韋達(dá)定理、因式分解、不等式、數(shù)、幾何、十字相乘、韋達(dá)定理、因式分解、不等式、函數(shù)、符號(hào)運(yùn)算等內(nèi)容上存在不銜接函數(shù)、符號(hào)運(yùn)算等內(nèi)容上存在不銜接螺旋上升的總體設(shè)想很好，但螺旋上升的總體設(shè)想很好，但目前模塊的劃分使得目前模塊的劃分使得有些有些聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)內(nèi)容分散在不同系列或模塊中，造成割聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)內(nèi)容分散在不同系列或模塊中，造成割裂和遺忘，也增加了教學(xué)所需時(shí)間裂和遺忘，也增加了教學(xué)所需時(shí)間存在重技能輕素養(yǎng)現(xiàn)象：教師普遍肯定建模、探究、研存在重技能輕素養(yǎng)現(xiàn)象：教師普遍肯定建模、探究、研究性學(xué)習(xí)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)過程中所起的作用，了解究性學(xué)習(xí)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)過程中所起的作用，了解數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要

4、性，但是目前的評(píng)價(jià)方式還是停留在知數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，但是目前的評(píng)價(jià)方式還是停留在知識(shí)與技能上。識(shí)與技能上。部分?jǐn)?shù)學(xué)家的觀點(diǎn)（1）我覺得基礎(chǔ)教育要少而精，學(xué)到真正好的東西要少而精，少我覺得基礎(chǔ)教育要少而精，學(xué)到真正好的東西要少而精，少而精的東西真正學(xué)好了，打好基礎(chǔ)，真正學(xué)高深的東西到大而精的東西真正學(xué)好了，打好基礎(chǔ)，真正學(xué)高深的東西到大學(xué)里學(xué)。學(xué)里學(xué)。數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)該是提高人的素質(zhì)、能力的。數(shù)學(xué)給你知識(shí)，但數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)該是提高人的素質(zhì)、能力的。數(shù)學(xué)給你知識(shí)，但是沒有學(xué)到數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)素質(zhì)，就是沒有開竅的話，你這是沒有學(xué)到數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)素質(zhì)，就是沒有開竅的話，你這個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)了也沒有作用的。個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)了也沒有

5、作用的。比如說數(shù)學(xué)的邏輯思維，證明，反演啊，但是實(shí)際上邏輯思比如說數(shù)學(xué)的邏輯思維，證明，反演啊，但是實(shí)際上邏輯思維好的人，將來(lái)做事情、講話比較有條理。維好的人，將來(lái)做事情、講話比較有條理?；緮?shù)學(xué)思想，一個(gè)是抽象，一個(gè)是模型，一個(gè)是推理基本數(shù)學(xué)思想，一個(gè)是抽象，一個(gè)是模型，一個(gè)是推理，是是吧。大體和那個(gè)數(shù)學(xué)的內(nèi)容意義和方法就俄國(guó)出的那套吧。大體和那個(gè)數(shù)學(xué)的內(nèi)容意義和方法就俄國(guó)出的那套書，他那個(gè)說的數(shù)學(xué)的基本三條性質(zhì)，第一個(gè)是運(yùn)用的廣泛書，他那個(gè)說的數(shù)學(xué)的基本三條性質(zhì)，第一個(gè)是運(yùn)用的廣泛性，第二個(gè)是抽象性，第三個(gè)是嚴(yán)格性。性，第二個(gè)是抽象性，第三個(gè)是嚴(yán)格性。數(shù)學(xué)是系統(tǒng)完整的科學(xué)，把系統(tǒng)完整的科學(xué)

6、數(shù)學(xué)是系統(tǒng)完整的科學(xué)，把系統(tǒng)完整的科學(xué)/知識(shí)體系分成若知識(shí)體系分成若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)，比如干個(gè)知識(shí)點(diǎn)，比如100個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)50個(gè)知識(shí)點(diǎn)比較重要，個(gè)知識(shí)點(diǎn)比較重要，講課就講這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這個(gè)是非常錯(cuò)誤的做法講課就講這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這個(gè)是非常錯(cuò)誤的做法，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)沒沒有整體的把握，數(shù)學(xué)是個(gè)整體有整體的把握，數(shù)學(xué)是個(gè)整體部分?jǐn)?shù)學(xué)家的觀點(diǎn)（2）程序化的東西最后的結(jié)果是適得其反，真的。你讓程序化的東西最后的結(jié)果是適得其反，真的。你讓學(xué)生厭惡這個(gè)東西，他只有通過證明了一個(gè)題目他學(xué)生厭惡這個(gè)東西，他只有通過證明了一個(gè)題目他才能獲得快樂，我們自己想想嘛，我們學(xué)過來(lái)的時(shí)才能獲得快樂，我們自己想想嘛，

7、我們學(xué)過來(lái)的時(shí)候，對(duì)吧，你證明了一個(gè)幾何難題你很高興，你沒候，對(duì)吧，你證明了一個(gè)幾何難題你很高興，你沒有說是通過我怎么教你怎么證明的來(lái)說有說是通過我怎么教你怎么證明的來(lái)說。我認(rèn)為還是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部有機(jī)的聯(lián)系。數(shù)學(xué)無(wú)我認(rèn)為還是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部有機(jī)的聯(lián)系。數(shù)學(xué)無(wú)非數(shù)與形，數(shù)與形，數(shù)用形來(lái)表示，你這個(gè)中學(xué)里非數(shù)與形，數(shù)與形，數(shù)用形來(lái)表示，你這個(gè)中學(xué)里強(qiáng)調(diào)這個(gè)矛盾，數(shù)與形的矛盾，他們之間的相互關(guān)強(qiáng)調(diào)這個(gè)矛盾，數(shù)與形的矛盾，他們之間的相互關(guān)系，這樣大家學(xué)得才有興趣么！系，這樣大家學(xué)得才有興趣么！代數(shù)和幾何的交融，不要把讓代數(shù)控制和取代幾何代數(shù)和幾何的交融，不要把讓代數(shù)控制和取代幾何。幾何思想、直觀不是

8、代數(shù)能取代的。幾何思想、直觀不是代數(shù)能取代的。我們要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是嚴(yán)格地循序漸進(jìn)的科學(xué)，我們是我們要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是嚴(yán)格地循序漸進(jìn)的科學(xué)，我們是很注重這個(gè)學(xué)者的思維的這樣的學(xué)科很注重這個(gè)學(xué)者的思維的這樣的學(xué)科。部分?jǐn)?shù)學(xué)家的觀點(diǎn)（3） 學(xué)算術(shù)的時(shí)候覺得很難，雞兔同籠問題難，而代學(xué)算術(shù)的時(shí)候覺得很難，雞兔同籠問題難，而代數(shù)出來(lái)了以后，覺得容易，豁然開朗，所以每學(xué)數(shù)出來(lái)了以后，覺得容易，豁然開朗，所以每學(xué)高一層次以后，數(shù)學(xué)進(jìn)步以后，人類認(rèn)識(shí)事物的高一層次以后，數(shù)學(xué)進(jìn)步以后，人類認(rèn)識(shí)事物的能力又提高一步。自己也有這種感悟，有這種想能力又提高一步。自己也有這種感悟，有這種想學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望。學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望。 現(xiàn)在就

9、是大學(xué)內(nèi)容的下放高中。其實(shí)有一定底線現(xiàn)在就是大學(xué)內(nèi)容的下放高中。其實(shí)有一定底線，不要搶跑道，在你規(guī)定的范圍內(nèi)發(fā)揮最大的主，不要搶跑道，在你規(guī)定的范圍內(nèi)發(fā)揮最大的主觀能動(dòng)性，上一層次有上一層的任務(wù)，搶跑道以觀能動(dòng)性，上一層次有上一層的任務(wù)，搶跑道以后可能會(huì)造成很大的誤解。后可能會(huì)造成很大的誤解。大學(xué)里有新的大學(xué)里有新的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念出現(xiàn)，但高等數(shù)學(xué)里每一概念出現(xiàn)，但高等數(shù)學(xué)里每一步運(yùn)行的拐杖每一步都是初等數(shù)學(xué)，概念看起來(lái)步運(yùn)行的拐杖每一步都是初等數(shù)學(xué)，概念看起來(lái)是高等數(shù)學(xué)，初等數(shù)學(xué)弄好，沒什么問題?，F(xiàn)在是高等數(shù)學(xué)，初等數(shù)學(xué)弄好，沒什么問題?，F(xiàn)在知識(shí)弄得有很多漏洞，很多重要的東西沒學(xué)知識(shí)弄得有很多漏

10、洞，很多重要的東西沒學(xué)。二、聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)二、聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 本次高中課程修訂的一條主線是學(xué)科核心本次高中課程修訂的一條主線是學(xué)科核心素養(yǎng)素養(yǎng) 未來(lái)高中階段的課程、教學(xué)與評(píng)價(jià)都將聚未來(lái)高中階段的課程、教學(xué)與評(píng)價(jià)都將聚焦學(xué)科的核心素養(yǎng)焦學(xué)科的核心素養(yǎng) 強(qiáng)調(diào)學(xué)科素養(yǎng)是國(guó)際教育發(fā)展的共同趨勢(shì)強(qiáng)調(diào)學(xué)科素養(yǎng)是國(guó)際教育發(fā)展的共同趨勢(shì) 理清數(shù)學(xué)素養(yǎng)與知識(shí)、技能和能力之間的理清數(shù)學(xué)素養(yǎng)與知識(shí)、技能和能力之間的關(guān)系關(guān)系 如何評(píng)價(jià)素養(yǎng)是未來(lái)教育評(píng)價(jià)的一個(gè)關(guān)鍵如何評(píng)價(jià)素養(yǎng)是未來(lái)教育評(píng)價(jià)的一個(gè)關(guān)鍵問題問題 1. 數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象要點(diǎn)要點(diǎn)具體描述具體描述內(nèi)涵內(nèi)涵數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象并

11、數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象并進(jìn)行研究的思維過程。數(shù)學(xué)抽象主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、進(jìn)行研究的思維過程。數(shù)學(xué)抽象主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征及研究學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征及研究學(xué)科學(xué)科價(jià)值價(jià)值數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程

12、映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)有序多級(jí)的系統(tǒng)教育教育價(jià)值價(jià)值通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)的概通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習(xí)慣；能夠在念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習(xí)慣；能夠在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn)，理解該學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn)，理解該學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征。征。行為行為表現(xiàn)表現(xiàn)形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；形成數(shù)學(xué)命題與模型；形成數(shù)

13、學(xué)方法與形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；形成數(shù)學(xué)命題與模型；形成數(shù)學(xué)方法與思想；形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系思想；形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系2. 邏輯推理邏輯推理要點(diǎn)要點(diǎn)具體描述具體描述內(nèi)涵內(nèi)涵 邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從小范出一個(gè)命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的推理，推理形式主要有演繹推理。斷

14、小范圍內(nèi)也成立的推理，推理形式主要有演繹推理。學(xué)科學(xué)科價(jià)值價(jià)值邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。邏輯推理是數(shù)學(xué)交流的基本是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。邏輯推理是數(shù)學(xué)交流的基本品質(zhì)，使數(shù)學(xué)交流具有邏輯性品質(zhì)，使數(shù)學(xué)交流具有邏輯性教育教育價(jià)值價(jià)值通過邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和提出命通過邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和提出命題，掌握推理的基本形式，表述論證的過程，理解數(shù)學(xué)題，掌握推理的基本形式，表述論證的過程，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系；能夠理解一般結(jié)論的來(lái)龍去脈、形成知識(shí)之間的聯(lián)系；能夠理解一般結(jié)論的來(lái)龍

15、去脈、形成舉一反三的能力；能夠形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯舉一反三的能力；能夠形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和交流能力。的思維習(xí)慣和交流能力。行為行為表現(xiàn)表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)和提出命題發(fā)現(xiàn)和提出命題；掌握推理的基本形式掌握推理的基本形式；探索和表述論探索和表述論證的過程證的過程；構(gòu)建命題體系構(gòu)建命題體系；交流探索交流探索3. 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模要點(diǎn)要點(diǎn)具體描述具體描述內(nèi)涵內(nèi)涵 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行（抽象）簡(jiǎn)化和量化，建立數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行（抽象）簡(jiǎn)化和量化，建立模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和解決問題的過程。數(shù)學(xué)建模具模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和解決問題的過程。數(shù)學(xué)建模具體表現(xiàn)為：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視

16、角提出問題、分體表現(xiàn)為：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果、析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終得到符合實(shí)際的結(jié)果改進(jìn)模型，最終得到符合實(shí)際的結(jié)果。學(xué)科學(xué)科價(jià)值價(jià)值數(shù)學(xué)模型（構(gòu)）搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型（構(gòu)）搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的外部驅(qū)動(dòng)力基本手段，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的外部驅(qū)動(dòng)力。教育教育價(jià)值價(jià)值通過數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)建模通過數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)

17、生能夠掌握數(shù)學(xué)建模的過程，積累用數(shù)學(xué)（的）語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，的過程，積累用數(shù)學(xué)（的）語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，提升應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)提升應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)行為行為表現(xiàn)表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)和提出問題發(fā)現(xiàn)和提出問題；建立模型建立模型；求解模型求解模型；檢驗(yàn)結(jié)果和完檢驗(yàn)結(jié)果和完善模型善模型4. 數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算要點(diǎn)要點(diǎn)具體描述具體描述內(nèi)涵內(nèi)涵 數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題（加上解決數(shù)學(xué)問題（加上“的過程的過程”）。數(shù)學(xué)運(yùn)算主要包括：）。數(shù)學(xué)運(yùn)算主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，

18、探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果學(xué)科學(xué)科價(jià)值價(jià)值運(yùn)算是構(gòu)成數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)的基本要素，是演繹推理的重運(yùn)算是構(gòu)成數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)的基本要素，是演繹推理的重要形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。數(shù)學(xué)運(yùn)算是計(jì)算要形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。數(shù)學(xué)運(yùn)算是計(jì)算機(jī)解決問題的基礎(chǔ)機(jī)解決問題的基礎(chǔ)教育教育價(jià)值價(jià)值通過數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠提高解決實(shí)際通過數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠提高解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的能力，提升邏輯推理的能力，形成程問題和數(shù)學(xué)問題的能力，提升邏輯推理的能力，形成程序化思考問題的習(xí)慣，養(yǎng)成實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)序化思考問題的習(xí)

19、慣，養(yǎng)成實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神精神行為行為表現(xiàn)表現(xiàn)理解運(yùn)算對(duì)象理解運(yùn)算對(duì)象；掌握運(yùn)算法則掌握運(yùn)算法則；探索運(yùn)算思路探索運(yùn)算思路；設(shè)計(jì)運(yùn)設(shè)計(jì)運(yùn)算程式算程式5. 直觀想象直觀想象要點(diǎn)要點(diǎn)具體描述具體描述內(nèi)涵內(nèi)涵 直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題。主要包括：利用圖形用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題。主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路觀模型，探索解決問題的思路學(xué)科學(xué)科價(jià)值價(jià)值直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、

20、分析和理解數(shù)學(xué)命題、直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、分析和理解數(shù)學(xué)命題、探索和形成論證思路的重要手段，是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)探索和形成論證思路的重要手段，是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素教育教育價(jià)值價(jià)值通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成運(yùn)用圖形通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律行為行為表現(xiàn)表現(xiàn)利用圖形描述數(shù)學(xué)問題利用圖形描述數(shù)學(xué)問

21、題；利用圖形理解數(shù)學(xué)問題利用圖形理解數(shù)學(xué)問題；利用利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型6. 數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析要點(diǎn)要點(diǎn)具體描述具體描述內(nèi)涵內(nèi)涵 數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識(shí)的過程。數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識(shí)的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的結(jié)論建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的結(jié)論學(xué)科學(xué)科價(jià)值價(jià)值數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會(huì)生活和科學(xué)研究

22、的各個(gè)方面。數(shù)據(jù)分析是現(xiàn)到現(xiàn)代社會(huì)生活和科學(xué)研究的各個(gè)方面。數(shù)據(jù)分析是現(xiàn)代公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素質(zhì)代公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素質(zhì)教育教育價(jià)值價(jià)值通過數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，提升基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的能力，思考問題的習(xí)慣，提升基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的能力，積累在錯(cuò)綜復(fù)雜的情境中探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的積累在錯(cuò)綜復(fù)雜的情境中探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)行為行為表現(xiàn)表現(xiàn)數(shù)據(jù)獲取數(shù)據(jù)獲??；數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析；知識(shí)構(gòu)建知識(shí)構(gòu)建從三大能力到四基四能再到核心素養(yǎng)從三大能力到四基四能再到核心素養(yǎng)三大三大能力能力四基四基四能四能六個(gè)

23、核六個(gè)核心素養(yǎng)心素養(yǎng)基本假設(shè)：基本假設(shè)： 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)； 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上在數(shù)學(xué)活動(dòng)中數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步形成；逐步形成； 數(shù)學(xué)素養(yǎng)貫穿在所有（小學(xué)到大學(xué)）數(shù)學(xué)活動(dòng)中；數(shù)學(xué)素養(yǎng)貫穿在所有（小學(xué)到大學(xué)）數(shù)學(xué)活動(dòng)中； 數(shù)學(xué)素養(yǎng)之間有較高的相關(guān)性，設(shè)計(jì)綜合性、開放數(shù)學(xué)素養(yǎng)之間有較高的相關(guān)性，設(shè)計(jì)綜合性、開放性的數(shù)學(xué)任務(wù)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑；性的數(shù)學(xué)任務(wù)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑； 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是按照水平逐步提高的，不同的人在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)是按照水平逐步提高的，不同的人在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上也有不同的特點(diǎn)；素養(yǎng)上也有不同的特點(diǎn)；1.

24、對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評(píng)價(jià)需要改進(jìn)評(píng)價(jià)工具和方式。對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評(píng)價(jià)需要改進(jìn)評(píng)價(jià)工具和方式。其它的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架 l概念理解：理解數(shù)學(xué)概念、概念理解：理解數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算及關(guān)系運(yùn)算及關(guān)系l流暢的運(yùn)算能力：靈活地、流暢的運(yùn)算能力：靈活地、準(zhǔn)確地、有效地及適當(dāng)?shù)貙?shí)準(zhǔn)確地、有效地及適當(dāng)?shù)貙?shí)施數(shù)學(xué)程序施數(shù)學(xué)程序l選擇策略的能力：能形成、選擇策略的能力：能形成、表征及解決數(shù)學(xué)問題表征及解決數(shù)學(xué)問題l適當(dāng)?shù)耐评砟芰Γ哼壿嬎季S適當(dāng)?shù)耐评砟芰Γ哼壿嬎季S、反思、解釋及辯證的能力、反思、解釋及辯證的能力l數(shù)學(xué)的鑒賞力：相信數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的鑒賞力：相信數(shù)學(xué)是合理的、有用的和有價(jià)值的合理的、有用的和有價(jià)值的美國(guó)2061計(jì)劃：五種核心

25、數(shù)學(xué)能力PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)量（2012）20情境脈絡(luò)個(gè)人：購(gòu)物、飲食職業(yè)：試算表使用社會(huì)：選舉、經(jīng)濟(jì)科學(xué)：醫(yī)學(xué)、天氣內(nèi)容領(lǐng)域改變與關(guān)係：函數(shù)、代數(shù)、方程式空間與形狀：座標(biāo)系統(tǒng)、幾何測(cè)量數(shù)量：數(shù)與單位、四則計(jì)算、百分比不確定性：抽樣、機(jī)率、資料變異性溝通建模表徵推論策略發(fā)展符號(hào)的使用與運(yùn)算工具使用中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu) 1. 獲得數(shù)學(xué)信息。獲得數(shù)學(xué)信息。 對(duì)于數(shù)學(xué)材料形式化感知的能力；對(duì)問題形對(duì)于數(shù)學(xué)材料形式化感知的能力；對(duì)問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能力。式結(jié)構(gòu)的掌握能力。2. 數(shù)學(xué)信息加工數(shù)學(xué)信息加工在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號(hào)方面的邏輯思維能在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號(hào)方面的邏輯思維能力；對(duì)數(shù)

26、學(xué)符號(hào)進(jìn)行思維的能力。力；對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思維的能力。B. 迅速而廣泛地概括數(shù)學(xué)對(duì)象、關(guān)系和運(yùn)算的能力。迅速而廣泛地概括數(shù)學(xué)對(duì)象、關(guān)系和運(yùn)算的能力。C. 縮短數(shù)學(xué)推理過程和相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)的能力；以簡(jiǎn)短的縮短數(shù)學(xué)推理過程和相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)的能力；以簡(jiǎn)短的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維的能力。結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維的能力。D. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中心理過程的靈活性。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中心理過程的靈活性。E. 力求解答的清晰、簡(jiǎn)明、經(jīng)濟(jì)與合理。力求解答的清晰、簡(jiǎn)明、經(jīng)濟(jì)與合理。F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個(gè)思路轉(zhuǎn)向另迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個(gè)思路轉(zhuǎn)向另一個(gè)相反思路的能力（數(shù)學(xué)推理中心理過程的可逆性）一個(gè)相反思路的能力（數(shù)

27、學(xué)推理中心理過程的可逆性）3. 數(shù)學(xué)信息保持。數(shù)學(xué)信息保持。數(shù)學(xué)的記憶（關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)系，類型特征，論數(shù)學(xué)的記憶（關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)系，類型特征，論據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4. 一般綜合性組成成分。一般綜合性組成成分。數(shù)學(xué)氣質(zhì)。數(shù)學(xué)氣質(zhì)。青浦實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)分類22110F2F1分析分析運(yùn)用運(yùn)用領(lǐng)會(huì)領(lǐng)會(huì)概念概念計(jì)算計(jì)算數(shù)學(xué)核心能力的七個(gè)成分從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度提出問題提出問題數(shù)學(xué)表數(shù)學(xué)表征征數(shù)學(xué)符數(shù)學(xué)符號(hào)變換號(hào)變換數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)推理與論證與論證數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)地解決數(shù)學(xué)地解決問題問題數(shù)學(xué)交流數(shù)學(xué)交流經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織數(shù)學(xué)材料的邏輯組織

28、數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用三、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教與學(xué)三、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教與學(xué)以邏輯推理為例（一）什么是數(shù)學(xué)推理？首先你要自己琢磨某件事，看出其中的規(guī)律，并首先你要自己琢磨某件事，看出其中的規(guī)律，并且確認(rèn)這種規(guī)律是不變的；然后你要找到證據(jù)，且確認(rèn)這種規(guī)律是不變的；然后你要找到證據(jù)，讓那些支持你的想法的人也確信有這個(gè)規(guī)律；當(dāng)讓那些支持你的想法的人也確信有這個(gè)規(guī)律；當(dāng)還有人向你提出質(zhì)疑時(shí)，你要能夠說服他們，抵還有人向你提出質(zhì)疑時(shí)，你要能夠說服他們，抵制各種可能的反例。制各種可能的反例。從中小學(xué)的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)證明的教與學(xué)從中小學(xué)的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)證明的教與學(xué)相關(guān)文獻(xiàn)從中小學(xué)的觀點(diǎn)看數(shù)從中小學(xué)的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)證明的教與學(xué)學(xué)證明的教與學(xué)數(shù)

29、學(xué)教育數(shù)學(xué)教育中中的論證的論證與與證明證明思維與推理的劍橋思維與推理的劍橋手冊(cè)手冊(cè)初中階段數(shù)學(xué)推理的基本活動(dòng)尋找尋找規(guī)律規(guī)律空間空間形式形式數(shù)量數(shù)量關(guān)系關(guān)系形狀相同形狀相同/相似相似度量：長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)與面積度量：長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)與面積守恒與等價(jià)（方程的同解）守恒與等價(jià)（方程的同解）包含與大小關(guān)系包含與大小關(guān)系運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算律運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算律圖形的分類：依據(jù)，類別關(guān)系圖形的分類：依據(jù)，類別關(guān)系圖形的變換：變與不變圖形的變換：變與不變函數(shù)關(guān)系，遞歸關(guān)系函數(shù)關(guān)系，遞歸關(guān)系相關(guān)文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)推理價(jià)值相關(guān)文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)推理價(jià)值l推理是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征；推理是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征；l推理是一種思維習(xí)慣（推理是一種

30、思維習(xí)慣（你為什么認(rèn)為它是正你為什么認(rèn)為它是正確的？你為什么這樣說？確的？你為什么這樣說？）；）；l推理是產(chǎn)生猜想和判斷真?zhèn)蔚墓ぞ?；推理是產(chǎn)生猜想和判斷真?zhèn)蔚墓ぞ?；l推理是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)（推理是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)（美國(guó)高中數(shù)學(xué)課程美國(guó)高中數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)焦點(diǎn)）l推理是一種學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)的方式。推理是一種學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)的方式。推理是理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)推理是理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 現(xiàn)在我們已經(jīng)逐漸認(rèn)識(shí)到：推理是理解和應(yīng)用現(xiàn)在我們已經(jīng)逐漸認(rèn)識(shí)到：推理是理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我們應(yīng)該通過讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我們應(yīng)該通過讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究、表征、猜想、解釋和判斷等各種數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)加強(qiáng)數(shù)表征、猜想、解釋

31、和判斷等各種數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)加強(qiáng)數(shù)學(xué)推理與證明的教學(xué)。學(xué)推理與證明的教學(xué)。 (Baroody, 1998; Clements, Sarama, & DiBiase, 2003; NCTM, 2000; Russell, 1999; Stiff, 1999).（二）關(guān)于數(shù)學(xué)推理的教學(xué)活動(dòng)（二）關(guān)于數(shù)學(xué)推理的教學(xué)活動(dòng)u推理與證明的教學(xué)目標(biāo)推理與證明的教學(xué)目標(biāo):認(rèn)識(shí)到推理與證明是數(shù)學(xué)的基本特征認(rèn)識(shí)到推理與證明是數(shù)學(xué)的基本特征;學(xué)會(huì)提出和探討數(shù)學(xué)猜想學(xué)會(huì)提出和探討數(shù)學(xué)猜想;能夠考察和評(píng)估數(shù)學(xué)論證與證明過程能夠考察和評(píng)估數(shù)學(xué)論證與證明過程;能夠選擇和運(yùn)用各種推理和證明的方法能夠選擇和運(yùn)用各種推理和證明的方法.

32、u推理和證明應(yīng)該成為推理和證明應(yīng)該成為K-12學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)歷學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)歷 的一個(gè)重要組成部的一個(gè)重要組成部分。數(shù)學(xué)推理是一種思維方式，就像其它的思維方式一樣，分。數(shù)學(xué)推理是一種思維方式，就像其它的思維方式一樣，必必 須在各種背景下、持之以恒的發(fā)展。須在各種背景下、持之以恒的發(fā)展。u推理與證明必須成為一種自然的、持續(xù)不斷的課堂討論形式，推理與證明必須成為一種自然的、持續(xù)不斷的課堂討論形式，不管涉及的是什么內(nèi)容。在一個(gè)富有成效的數(shù)學(xué)課堂環(huán)境中，不管涉及的是什么內(nèi)容。在一個(gè)富有成效的數(shù)學(xué)課堂環(huán)境中，應(yīng)該要求學(xué)生去解應(yīng)該要求學(xué)生去解 釋和論證他們得到的結(jié)論。釋和論證他們得到的結(jié)論。美國(guó)美國(guó)NCTM標(biāo)準(zhǔn)（

33、標(biāo)準(zhǔn)（2000）對(duì)數(shù)學(xué)思維的界定（英國(guó)）能夠運(yùn)用一系列的數(shù)學(xué)問題解決策略能夠運(yùn)用一系列的數(shù)學(xué)問題解決策略;能夠靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)能夠靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué);理解數(shù)學(xué)工具在什么時(shí)候運(yùn)用是合適的，完成某個(gè)任務(wù)的最理解數(shù)學(xué)工具在什么時(shí)候運(yùn)用是合適的，完成某個(gè)任務(wù)的最好的數(shù)學(xué)工具是什么？好的數(shù)學(xué)工具是什么？能夠探究事物的模式和一般化結(jié)果能夠探究事物的模式和一般化結(jié)果;在數(shù)學(xué)問題解決過程中能夠進(jìn)行系統(tǒng)的、邏輯地推理在數(shù)學(xué)問題解決過程中能夠進(jìn)行系統(tǒng)的、邏輯地推理;有能力用口頭（用自己的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和書面（圖片、有能力用口頭（用自己的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和書面（圖片、表格或符號(hào)）為別人作出解釋或評(píng)價(jià)

34、表格或符號(hào)）為別人作出解釋或評(píng)價(jià);以團(tuán)隊(duì)的形式合作解決數(shù)學(xué)問題，其中，每個(gè)人不只是發(fā)表以團(tuán)隊(duì)的形式合作解決數(shù)學(xué)問題，其中，每個(gè)人不只是發(fā)表觀點(diǎn)，還要學(xué)會(huì)傾聽、提問以及學(xué)習(xí)別人的長(zhǎng)處觀點(diǎn)，還要學(xué)會(huì)傾聽、提問以及學(xué)習(xí)別人的長(zhǎng)處;在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有較高的自信心和堅(jiān)持不懈的精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有較高的自信心和堅(jiān)持不懈的精神;構(gòu)建廣泛的數(shù)學(xué)聯(lián)系，不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，也包括數(shù)學(xué)構(gòu)建廣泛的數(shù)學(xué)聯(lián)系，不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，也包括數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系；不僅是學(xué)校數(shù)學(xué)的聯(lián)系，也包括學(xué)校內(nèi)與其它學(xué)科的聯(lián)系；不僅是學(xué)校數(shù)學(xué)的聯(lián)系，也包括學(xué)校內(nèi)外的聯(lián)系外的聯(lián)系;通過評(píng)價(jià)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不斷提高自己的數(shù)學(xué)成就。通過評(píng)價(jià)自

35、己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不斷提高自己的數(shù)學(xué)成就。Doreen Drews and Alice Hansen，2007關(guān)于推理的教學(xué)活動(dòng)Hsieh,F. et al.(2002). From Exploration to Proof Production. G. Hanna and M. de Villiers (eds.), Proof and Proving in Mathematics Education, New ICMI Study Series 15, DOI 10.1007/978-94-007-2129-6_12, Springer Science+Business Media B.V.

36、 活動(dòng)活動(dòng)探究猜想非正式解釋判斷論據(jù)證明與論證進(jìn)行推理進(jìn)行推理表示論據(jù)表示論據(jù)尋找論據(jù)尋找論據(jù)表征利用具體的數(shù)字利用例子畫圖、文字、符號(hào)澄清想法澄清想法提煉結(jié)論提煉結(jié)論確定論據(jù)確定論據(jù)教師教師建構(gòu)活動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)描述發(fā)現(xiàn)描述發(fā)現(xiàn)提出猜想提出猜想解釋想法解釋想法形成論據(jù)形成論據(jù)學(xué)生學(xué)生基于數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)空間（初中）基于數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)空間（初中）不等式不等式幾何與變換幾何與變換屬性屬性1 1：內(nèi)容：內(nèi)容數(shù)與運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算代數(shù)式代數(shù)式方程與函數(shù)方程與函數(shù)數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析屬性屬性4 4：情境：情境數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)情境故事情境故事情境游戲情境游戲情境現(xiàn)實(shí)情境現(xiàn)實(shí)情境科學(xué)情境科學(xué)情境理解概念和法則理解概念和法則屬性

37、屬性3 3：產(chǎn)品：產(chǎn)品形成概念和法則形成概念和法則提出問題和猜想提出問題和猜想養(yǎng)成說理習(xí)慣養(yǎng)成說理習(xí)慣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式尋找問題解決的策略尋找問題解決的策略屬性屬性2 2：過程：過程關(guān)關(guān)系系推推理理歸歸納納推推理理類類比比推推理理反反例例規(guī)規(guī)則則推推理理演演繹繹推推理理（三）邏輯推理教學(xué)的案例分析（三）邏輯推理教學(xué)的案例分析以無(wú)理數(shù)的教學(xué)為例無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)空間無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)空間關(guān)鍵屬性關(guān)鍵屬性2：背景：背景幾幾何何方方程程函函數(shù)數(shù)小小數(shù)數(shù)極極限限關(guān)鍵屬性關(guān)鍵屬性4：應(yīng)用：應(yīng)用方程問題方程問題不等式問題不等式問題函數(shù)問題函數(shù)問題關(guān)鍵屬性關(guān)鍵屬性3：算與證：算與證結(jié)構(gòu)：代數(shù)，序，拓?fù)?/p>

38、結(jié)構(gòu)：代數(shù)，序，拓?fù)渥C明：不能寫成整數(shù)之比證明：不能寫成整數(shù)之比性質(zhì)：封閉性，稠密性性質(zhì)：封閉性，稠密性算法：加減乘除算法：加減乘除關(guān)鍵屬性關(guān)鍵屬性1：形式：形式特例：特例：2，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)數(shù)軸上的點(diǎn)變式：變式：2+教學(xué)路徑（1）1. 背景：正方形背景：正方形22a 2. 形式：數(shù)軸上的點(diǎn)形式：數(shù)軸上的點(diǎn)0 1 a 2 3. 形式：小數(shù)估計(jì)形式：小數(shù)估計(jì)12a1.41.5a1.411.42a1.4141.415a1.41431.4144a教學(xué)路徑（2）4. 算與證：可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比嗎？算與證：可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比嗎？5. 形式：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)形式：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)2

39、2222222, ,222,2,qqap qappqpqpkpp不可約，則， 是偶數(shù)，設(shè)q=2k，則4k是偶數(shù)，矛盾.對(duì)比：有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)對(duì)比：有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)6. 形式：根號(hào)形式：根號(hào)教學(xué)路徑（3）7. 形式：還有其它這樣的數(shù)碼？形式：還有其它這樣的數(shù)碼？2121, 21qqqpppp 2xx ， 是有理數(shù)?2-xx， 是有理數(shù)?22,xxx ，是有理數(shù)?xx， 是整數(shù)？0.1234567891011121314是無(wú)理數(shù)嗎？x.1234567891011121314是無(wú)理數(shù)嗎？0.4143135623730是無(wú)理數(shù)嗎？教學(xué)路徑（4）8. 算與證：兩個(gè)

40、無(wú)理數(shù)的運(yùn)算結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)碼？算與證：兩個(gè)無(wú)理數(shù)的運(yùn)算結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)碼？2xx ， 是無(wú)理數(shù)?（反例？）22,xxx ，是無(wú)理數(shù)?（反例？）0.1234567891011121314x.1234567891011121314= 無(wú)理數(shù)？四、如何處理高考文理不分科四、如何處理高考文理不分科帶來(lái)的問題帶來(lái)的問題 1. 高高中中數(shù)學(xué)課數(shù)學(xué)課程程的的基基本結(jié)構(gòu)本結(jié)構(gòu)2. 選修選修II介紹（介紹（A課程）課程）微積分（微積分（2.5）關(guān)于課程的難度，要充分考慮到中學(xué)生接受能力，課程的難度可略關(guān)于課程的難度，要充分考慮到中學(xué)生接受能力，課程的難度可略高于必修部分與選修一的課程難度，但要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于現(xiàn)在的（

41、高于必修部分與選修一的課程難度，但要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于現(xiàn)在的（AP）課）課程的難度。程的難度。此課程是中學(xué)課程到大學(xué)課程的過渡，教學(xué)中注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能此課程是中學(xué)課程到大學(xué)課程的過渡，教學(xué)中注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，因此要強(qiáng)調(diào)概念與推理的教學(xué)。力的培養(yǎng)，因此要強(qiáng)調(diào)概念與推理的教學(xué)。為了使學(xué)生易于接受，要重視實(shí)際背景與幾何直觀的教學(xué)。為了使學(xué)生易于接受，要重視實(shí)際背景與幾何直觀的教學(xué)。該課程的目標(biāo)是：使學(xué)生具有初步的抽象能力，簡(jiǎn)單的推理能力，該課程的目標(biāo)是：使學(xué)生具有初步的抽象能力，簡(jiǎn)單的推理能力，一定的運(yùn)算能力。一定的運(yùn)算能力。三維空間幾何與代數(shù)（三維空間幾何與代數(shù)（2）利用立體幾何建立空間向量的代

42、數(shù)理論，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的融合；利用立體幾何建立空間向量的代數(shù)理論，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的融合；利用矩陣?yán)碚摻馊€性方程組，并用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系進(jìn)利用矩陣?yán)碚摻馊€性方程組，并用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系進(jìn)行幾何解釋；行幾何解釋；利用直觀想象建立平面和空間等距變換理論；利用直觀想象建立平面和空間等距變換理論；為大學(xué)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)鋪路為大學(xué)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)鋪路。統(tǒng)計(jì)與概率（統(tǒng)計(jì)與概率（1.5）3.英國(guó)的A-Level課程 A-level即中學(xué)高級(jí)水平考試課程即中學(xué)高級(jí)水平考試課程，全稱，全稱 GCE A Level（General Certificate of Education Advan

43、ced Level ）。學(xué)習(xí)此課程。學(xué)習(xí)此課程的英國(guó)學(xué)生的年齡通常在的英國(guó)學(xué)生的年齡通常在16至至18歲之間。歲之間。 A-level課程一般為兩年。第一年的課程課程一般為兩年。第一年的課程叫叫AS課程，第二年的課程叫做課程，第二年的課程叫做A2課程。課程?？荚嚳荚嚭细竦膶W(xué)生獲得合格的學(xué)生獲得普通教育高級(jí)水平證書普通教育高級(jí)水平證書。A-level課程的考試 AS和和A2結(jié)束前都有一次考試。一門結(jié)束前都有一次考試。一門AS成績(jī)加成績(jī)加上一門上一門A2成績(jī)等于一門完整的成績(jī)等于一門完整的A-level科目成績(jī)。大科目成績(jī)。大多數(shù)學(xué)生在第一年的多數(shù)學(xué)生在第一年的AS階段選修階段選修4門課程，在門課

44、程，在A-level的第二年時(shí)，在所學(xué)的第二年時(shí)，在所學(xué)AS的的4門課程中選擇門課程中選擇3門課門課程繼續(xù)程繼續(xù)A2階段的學(xué)習(xí)。階段的學(xué)習(xí)。 AS和和A2的考試時(shí)間均在每年五月中至六月底，的考試時(shí)間均在每年五月中至六月底，每門科目考試時(shí)間約兩個(gè)半小時(shí)?？荚嚦煽?jī)分為每門科目考試時(shí)間約兩個(gè)半小時(shí)?？荚嚦煽?jī)分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)。五個(gè)等級(jí)。 一般來(lái)說，如果三門一般來(lái)說，如果三門A-level課程的成績(jī)都在課程的成績(jī)都在C或者以上，就能夠考上大學(xué)。如果或者以上，就能夠考上大學(xué)。如果3門課程的成績(jī)?cè)陂T課程的成績(jī)?cè)贐左右，就能夠被很好的大學(xué)錄取。如果左右，就能夠被很好的大學(xué)錄取。如果3門課程都門課

45、程都獲得獲得A，就能夠進(jìn)入除牛津、劍橋以外的所有名校，就能夠進(jìn)入除牛津、劍橋以外的所有名校，并有資格競(jìng)爭(zhēng)牛津和劍橋。并有資格競(jìng)爭(zhēng)牛津和劍橋。A水平考試的結(jié)構(gòu)必必考考卷卷1：Pure Mathematics 1 (P1)各各105分分鐘鐘,10 道題，道題，各占總成績(jī)各占總成績(jī)30%卷卷3:Pure Mathematics 3 (P3)選考(1)卷4：Mechanics 1 (M1)每卷75分鐘,7道題，各占總成績(jī)20%卷6: Probability and Statistics 1 (S1)(2)卷4：Mechanics 1 (M1)卷5：Mechanics 2 (M2)(3)卷6: Prob

46、ability and Statistics 1 (S1)卷7: Probability and Statistics 2 (S2)4. 美國(guó)的AP課程美國(guó)的美國(guó)的AP課程是由美國(guó)大學(xué)理事會(huì)（課程是由美國(guó)大學(xué)理事會(huì)（The College Board）組織的。該理事會(huì)成立于）組織的。該理事會(huì)成立于1900年，到目前年，到目前為止，其會(huì)員單位已經(jīng)包含全世界為止，其會(huì)員單位已經(jīng)包含全世界5900多所頂尖的多所頂尖的大學(xué)。每年有大約大學(xué)。每年有大約7百萬(wàn)的學(xué)生通過參加其組織的百萬(wàn)的學(xué)生通過參加其組織的SAT和和AP課程考試進(jìn)入大學(xué)階段的學(xué)習(xí)。課程考試進(jìn)入大學(xué)階段的學(xué)習(xí)。AP微積分AP微積分包括微積分微積分包括微積分AB和微積分和微積分BC兩門課兩門課程。微積分程。微積分AB大約需要一個(gè)學(xué)年的時(shí)間，其大約需要一個(gè)學(xué)年的