(word完整版)2017中考復習 特殊四邊形綜合題

1、特殊四邊形綜合題1如圖，bd是正方形abcd的對角線，bc=2，邊bc在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為pq，連接pa、qd，并過點q作qobd，垂足為o，連接oa、op（1）請直接寫出線段bc在平移過程中，四邊形apqd是什么四邊形？（2）請判斷oa、op之間的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設y=sopb，bp=x（0x2），求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出y的最大值2已知在矩形abcd中，adc的平分線de與bc邊所在的直線交于點e，點p是線段de上一定點（其中eppd）（1）如圖1，若點f在cd邊上（不與d重合），將dpf繞點p逆時針旋轉90后，角的

2、兩邊pd、pf分別交射線da于點h、g求證：pg=pf； 探究：df、dg、dp之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論（2） 拓展：如圖2，若點f在cd的延長線上（不與d重合），過點p作pgpf，交射線da于點g，你認為（1）中df、dg、dp之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關系式，并說明理由3已知正方形abcd的邊長為4，一個以點a為頂點的45角繞點a旋轉，角的兩邊分別與邊bc、dc的延長線交于點e、f，連接ef設ce=a，cf=b（1）如圖1，當eaf被對角線ac平分時，求a、b的值；（2）當aef是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索

3、eaf繞點a旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由4如圖，正方形abcd的對角線相交于點o，點m，n分別是邊bc，cd上的動點（不與點b，c，d重合），am，an分別交bd于點e，f，且man始終保持45不變（1）求證：=；（2）求證：affm；（3）請?zhí)剿鳎涸趍an的旋轉過程中，當bam等于多少度時，fmn=bam？寫出你的探索結論，并加以證明 5如圖，矩形abcd中，點e為bc上一點，f為de的中點，且bfc=90（1）當e為bc中點時，求證：bcfdec；（2）當be=2ec時，求的值；（3）設ce=1，be=n，作點c關于de的對稱點c，連結fc，af，若點c到af的距離是，求n的

4、值6如圖1，在菱形abcd中，ab=6，tanabc=2，點e從點d出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線da的方向勻速運動，設運動時間為t（秒），將線段ce繞點c順時針旋轉一個角（=bcd），得到對應線段cf（1）求證：be=df；（2）當t= 秒時，df的長度有最小值，最小值等于 ；（3）如圖2，連接bd、ef、bd交ec、ef于點p、q，當t為何值時，epq是直角三角形？（4）如圖3，將線段cd繞點c順時針旋轉一個角（=bcd），得到對應線段cg在點e的運動過程中，當它的對應點f位于直線ad上方時，直接寫出點f到直線ad的距離y關于時間t的函數(shù)表達式 7已知四邊形abcd是菱形，ab=4

5、，abc=60，eaf的兩邊分別與射線cb，dc相交于點e，f，且eaf=60（1）如圖1，當點e是線段cb的中點時，直接寫出線段ae，ef，af之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，當點e是線段cb上任意一點時（點e不與b、c重合），求證：be=cf；（3）如圖3，當點e在線段cb的延長線上，且eab=15時，求點f到bc的距離8如圖，ad為等腰直角abc的高，點a和點c分別在正方形defg的邊dg和de上，連接bg，ae（1）求證：bg=ae；（2）將正方形defg繞點d旋轉，當線段eg經過點a時，（如圖所示）求證：bgge；設dg與ab交于點m，若ag：ae=3：4，求的值9如圖，在abc中，b

6、ac=90，ab=ac，點e在ac上（且不與點a，c重合），在abc的外部作ced，使ced=90，de=ce，連接ad，分別以ab，ad為鄰邊作平行四邊形abfd，連接af（1）請直接寫出線段af，ae的數(shù)量關系 ；（2）將ced繞點c逆時針旋轉，當點e在線段bc上時，如圖，連接ae，請判斷線段af，ae的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）在圖的基礎上，將ced繞點c繼續(xù)逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否發(fā)生變化？若不變，結合圖寫出證明過程；若變化，請說明理由10如圖（1）矩形abcd中，ab=2，bc=5，bp=1，mpn=90將mpn繞點p從pb處開始按順時針方向旋轉，pm交ab（或a

7、d）于點e，pn交邊ad（或cd）于點f，當pn旋轉至pc處時，mpn的旋轉隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當pm過點a時，pn也恰好過點d，此時，abppcd（填：“”或“”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設ae=t，epf面積為s，試確定s關于t的函數(shù)關系式；當s=4.2時，求所對應的t的值11已知：點p是平行四邊形abcd對角線ac所在直線上的一個動點（點p不與點a、c重合），分別過點a、c向直線bp作垂線，垂足分別為點e、f，點o為ac的中點（1）當點p與點o重合時如圖1，易證oe=of（不需證明）

8、（2）直線bp繞點b逆時針方向旋轉，當ofe=30時，如圖2、圖3的位置，猜想線段cf、ae、oe之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明12如圖，在正方形abcd中，點e為對角線ac上的一點，連接be，de（1）如圖1，求證：bcedce；（2）如圖2，延長be交直線cd于點f，g在直線ab上，且fg=fb求證：defg；已知正方形abcd的邊長為2，若點e在對角線ac上移動，當bfg為等邊三角形時，求線段de的長（直接寫出結果，不必寫出解答過程）13如圖1，在正方形abcd內作eaf=45，ae交bc于點e，af交cd于點f，連接ef，過點a作ahef，垂足

9、為h（1）如圖2，將adf繞點a順時針旋轉90得到abg求證：ageafe；若be=2，df=3，求ah的長（2）如圖3，連接bd交ae于點m，交af于點n請?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段bm，mn，nd之間有什么數(shù)量關系？并說明理由14如圖，將矩形abcd沿af折疊，使點d落在bc邊的點e處，過點e作egcd交af于點g，連接dg（1）求證：四邊形efdg是菱形；（2）探究線段eg、gf、af之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若ag=6，eg=2，求be的長15如圖1，abc是等腰直角三角形，bac=90，ab=ac，四邊形adef是正方形，點b、c分別在邊ad、af上，此時bd=cf，bdcf成立（1）

10、當abc繞點a逆時針旋轉（090）時，如圖2，bd=cf成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（2）當abc繞點a逆時針旋轉45時，如圖3，延長bd交cf于點h求證：bdcf；當ab=2，ad=3時，求線段dh的長16如圖1，在矩形abcd中，bcab，bad的平分線af與bd、bc分別交于點e、f，點o是bd的中點，直線okaf，交ad于點k，交bc于點g（1）求證：dokbog；ab+ak=bg；（2）若kd=kg，bc=4求kd的長度；如圖2，點p是線段kd上的動點（不與點d、k重合），pmdg交kg于點m，pnkg交dg于點n，設pd=m，當spmn=時，求m的值17已知正方形

11、abcd，p為射線ab上的一點，以bp為邊作正方形bpef，使點f在線段cb的延長線上，連接ea、ec（1）如圖1，若點p在線段ab的延長線上，求證：ea=ec；（2）若點p在線段ab上如圖2，連接ac，當p為ab的中點時，判斷ace的形狀，并說明理由；如圖3，設ab=a，bp=b，當ep平分aec時，求a：b及aec的度數(shù)18在四邊形abcd中，對角線ac、bd相交于點o，設銳角aob=，將doc按逆時針方向旋轉得到doc（0旋轉角90）連接ac、bd，ac與bd相交于點m（1）當四邊形abcd為矩形時，如圖1求證：aocbod（2）當四邊形abcd為平行四邊形時，設ac=kbd，如圖2猜想

12、此時aoc與bod有何關系，證明你的猜想；探究ac與bd的數(shù)量關系以及amb與的大小關系，并給予證明19已知菱形abcd的邊長為1，adc=60，等邊aef兩邊分別交dc、cb于點e、f（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點e、f分別是邊dc、cb的中點，求證：菱形abcd對角線ac、bd的交點o即為等邊aef的外心；（2）若點e、f始終分別在邊dc、cb上移動，記等邊aef的外心為p 猜想驗證：如圖2，猜想aef的外心p落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當e、f分別是邊dc、cb的中點時，過點p任作一直線，分別交da邊于點m，bc邊于點g，dc邊的延長線于點n，請你直接寫出的值20在正方形

13、abcd中，bd是一條對角線，點e在直線cd上（與點c，d不重合），連接ae，平移ade，使點d移動到點c，得到bcf，過點f作fgbd于點g，連接ag，eg（1）問題猜想：如圖1，若點e在線段cd上，試猜想ag與eg的數(shù)量關系是 ，位置關系是 ；（2）類比探究：如圖2，若點e在線段cd的延長線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結論仍然成立，請你給出證明；（3）解決問題：若點e在線段dc的延長線上，且agf=120，正方形abcd的邊長為2，請在備用圖中畫出圖形，并直接寫出de的長度21如圖，正方形abcd邊長為6，菱形efgh的三個頂點e、g、h分別在正方形abcd的邊ab、cd、da上，

14、連接cf（1）求證：hea=cgf；（2）當ah=dg=2時， 求證：菱形efgh為正方形；（3）設ah=x，dg=2x，fcg的面積為y，試求y的最大值22如圖1，四邊形abcd中，adbc，abbc，點e在邊ab上，dec=90，且de=ec（1）求證：adebec；（2）若ad=a，ae=b，de=c，請用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段ab上另有一點f（不與點e重合），且dfcf（如圖2），若ad=2，bc=4，求ef的長23如圖1，正方形abcd中，ac是對角線，等腰rtcmn中，cmn=90，cm=mn，點m在cd邊上，連接an，點e是an的中點，連接be（1）若cm

15、=2，ab=6，求ae的值；（2）求證：2be=ac+cn；（3）當?shù)妊黵tcmn的點m落在正方形abcd的bc邊上，如圖2，連接an，點e是an的中點，連接be，延長nm交ac于點f請?zhí)骄烤€段be、ac、cn的數(shù)量關系，并證明你的結論24正方形abcd的邊長為3，點e，f分別在射線dc，da上運動，且de=df連接bf，作ehbf所在直線于點h，連接ch（1）如圖1，若點e是dc的中點，ch與ab之間的數(shù)量關系是 ；（2）如圖2，當點e在dc邊上且不是dc的中點時，（1）中的結論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當點e，f分別在射線dc，da上運動時，連接dh，過點

16、d作直線dh的垂線，交直線bf于點k，連接ck，請直接寫出線段ck長的最大值25問題：如圖（1），點e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，eaf=45，試判斷be、ef、fd之間的數(shù)量關系【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把abe繞點a逆時針旋轉90至adg，從而發(fā)現(xiàn)ef=be+fd，請你利用圖（1）證明上述結論【類比引申】如圖（2），四邊形abcd中，bad90，ab=ad，b+d=180，點e、f分別在邊bc、cd上，則當eaf與bad滿足 關系時，仍有ef=be+fd【探究應用】如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形abcd已知ab=ad=80米，b=60，adc=120，bad=1

17、50，道路bc、cd上分別有景點e、f，且aead，df=40（1）米，現(xiàn)要在e、f之間修一條筆直道路，求這條道路ef的長（結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）26如圖1，正方形oabc與正方形odef放置在直線l上，連結ad、cf，此時ad=cfadcf成立（1）正方形odef繞o點逆時針旋轉一定的角度，如圖2，試判斷ad與cf還相等嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（2）正方形odef繞o點逆時針旋轉，使點e旋轉至直線l上，如圖3，求證：adcf（3）在（2）小題的條件下，ad與oc的交點為g，當ao=3，od=時，求線段cg的長27如圖，在正方形abcd與等腰直角三角形b

18、ef中，bef=90，be=ef，連接pf，點p是fd的中點，連接pe、pc（1）如圖1，當點e在cb邊上時， 求證：pe=ce；（2）如圖2，當點e在cb的延長線上時，線段pc、ce有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并給與證明28已知：l1l2l3l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2我們把四個頂點分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”（1）如圖1，正方形abcd為“格線四邊形”，則正方形abcd的邊長為 （2）矩形abcd為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，求矩形abcd的寬（3）如圖1，eg過

19、正方形abcd的頂點d且垂直l1于點e，分別交l2，l4于點f，g將aeg繞點a順時針旋轉30得到aed（如圖2），點d在直線l3上，以ad為邊在ed左側作菱形abcd，使b，c分別在直線l2，l4上，求菱形abcd的邊長29正方形abcd邊長為4cm，點e，m分別是線段ac，cd上的動點，連接de并延長，交正方形abcd的邊于點f，過點m作mndf于h，交ad于n（1）如圖1，若點m與點c重合， 求證：df=mn；（2）如圖2，若點m從點c出發(fā)，以1cm/s的速度沿cd向點d運動，點e同時從點a出發(fā)，以cm/s速度沿ac向點c運動，運動時間為t（t0）；當點f是邊ab的中點時，求t的值；連結

20、fm，fn，當t為何值時mnf是等腰三角形（直接寫出t值）30已知，正方形abcd中，man=45，man繞點a順時針旋轉，它的兩邊長分別交cb、dc（或它們的延長線）于點m、n，ahmn于點h（1）如圖，當man點a旋轉到bm=dn時，請你直接寫出ah與ab的數(shù)量關系： ；（2）如圖，當man繞點a旋轉到bmdn時，（1）中發(fā)現(xiàn)的ah與ab的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖，已知man=45，ahmn于點h，且mh=2，nh=3，求ah的長特殊四邊形綜合題答案1如圖，bd是正方形abcd的對角線，bc=2，邊bc在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為

21、pq，連接pa、qd，并過點q作qobd，垂足為o，連接oa、op（1）請直接寫出線段bc在平移過程中，四邊形apqd是什么四邊形？（2）請判斷oa、op之間的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設y=sopb，bp=x（0x2），求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出y的最大值解：（1）四邊形apqd為平行四邊形；（2）oa=op，oaop，理由如下：四邊形abcd是正方形，ab=bc=pq，abo=obq=45，oqbd， pqo=45，abo=obq=pqo=45，ob=oq，在aob和opq中，aobpoq（sas），oa=op，aob=poq，aop=boq=90，oa

22、op；（3）如圖，過o作oebc于e如圖1，當p點在b點右側時，則bq=x+2，oe=，y=x，即y=（x+1）2，又0x2，當x=2時，y有最大值為2；如圖2，當p點在b點左側時，則bq=2x，oe=，y=x，即y=（x1）2+，又0x2，當x=1時，y有最大值為；綜上所述，當x=2時，y有最大值為2；2已知在矩形abcd中，adc的平分線de與bc邊所在的直線交于點e，點p是線段de上一定點（其中eppd）（1）如圖1，若點f在cd邊上（不與d重合），將dpf繞點p逆時針旋轉90后，角的兩邊pd、pf分別交射線da于點h、g求證：pg=pf； 探究：df、dg、dp之間有怎樣的數(shù)量關系，并

23、證明你的結論（2）拓展：如圖2，若點f在cd的延長線上（不與d重合），過點p作pgpf，交射線da于點g，你認為（1）中df、dg、dp之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關系式，并說明理由【分析】（1）若證pg=pf，可證hpgdpf，已知dph=hpg，由旋轉可知gpf=hpd=90及de平分adc得hpd為等腰直角三角形，即dhp=pdf=45、pd=ph，即可得證；由hpd為等腰直角三角形，hpgdpf知hd=dp，hg=df，根據(jù)dg+df=dg+gh=dh即可得；（2）過點p作phpd交射線da于點h，先證hpd為等腰直角三角形可得ph=p

24、d，hd=dp，再證hpgdpf可得hg=df，根據(jù)dh=dghg=dgdf可得dgdf=dp解：（1）gpf=hpd=90，adc=90，gph=fpd，de平分adc，pdf=adp=45，hpd為等腰直角三角形，dhp=pdf=45，在hpg和dpf中，hpgdpf（asa），pg=pf；結論：dg+df=dp，由知，hpd為等腰直角三角形，hpgdpf，hd=dp，hg=df，hd=hg+dg=df+dg，dg+df=dp；（2）不成立，數(shù)量關系式應為：dgdf=dp，如圖，過點p作phpd交射線da于點h，pfpg，gpf=hpd=90，gph=fpd，de平分adc，且在矩形abc

25、d中，adc=90，hdp=edc=45，得到hpd為等腰直角三角形，dhp=edc=45，且ph=pd，hd=dp，ghp=fdp=18045=135，在hpg和dpf中，hpgdpf，hg=df，dh=dghg=dgdf，dgdf=dp3已知正方形abcd的邊長為4，一個以點a為頂點的45角繞點a旋轉，角的兩邊分別與邊bc、dc的延長線交于點e、f，連接ef設ce=a，cf=b（1）如圖1，當eaf被對角線ac平分時，求a、b的值；（2）當aef是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索eaf繞點a旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由【分析】（1）當eaf被對角線ac平分時，易

26、證acface，因此cf=ce，即a=b（2）分兩種情況進行計算，先用勾股定理得出cf2=8（ce+4），再用相似三角形得出4cf=ce（ce+4），兩式聯(lián)立解方程組即可；（3）先判斷出afd=cef，再判斷出af=ef，從而得到adffce即可解：（1）四邊形abcd是正方形，bcf=dce=90ac是正方形abcd的對角線，acb=acd=45，acf=ace，eaf被對角線ac平分，caf=cae，在acf和ace中，acface，ce=ce，ce=a，cf=b，a=b，acface，aef=afe，eaf=45，aef=afe=67.5，ce=cf，ecf=90，aec=afc=22.

27、5，caf=cae=22.5，cae=cea，ce=ac=4，即：a=b=4；（2）當aef是直角三角形時，當afe=90時，afd+cfe=90，cef+cfe=90，afd=cefafe=90，eaf=45，aef=45=eafaf=ef，在adf和fce中adffce，fc=ad=4，ce=df=cd+fc=8，a=8，b=4當aef=90時，同的方法得，cf=4，ce=8，a=4，b=8（3）ab=32，理由：如圖，abcdbag=afc，bac=45，bag+caf=45，afc+caf=45，afc+aec=180（cfe+cef）eaf=1809045=45，caf=aec，ac

28、f=ace=135，acfeca，eccf=ac2=2ab2=32ab=324（2016淄博）如圖，正方形abcd的對角線相交于點o，點m，n分別是邊bc，cd上的動點（不與點b，c，d重合），am，an分別交bd于點e，f，且man始終保持45不變（1）求證：=；（2）求證：affm；（3）請?zhí)剿鳎涸趍an的旋轉過程中，當bam等于多少度時，fmn=bam？寫出你的探索結論，并加以證明【分析】（1）先證明a、b、m、f四點共圓，根據(jù)圓內接四邊形對角互補即可證明afm=90，根據(jù)等腰直角三角形性質即可解決問題（2）由（1）的結論即可證明（3）由：a、b、m、f四點共圓，推出bam=efm，因為

29、bam=fmn，所以efm=fmn，推出mnbd，得到=，推出bm=dn，再證明abmadn即可解決問題（1）證明：四邊形abcd是正方形，abd=cbd=45，abc=90，man=45，maf=mbe，a、b、m、f四點共圓，abm+afm=180，afm=90，fam=fma=45，am=af，=（2）由（1）可知afm=90，affm（3）結論：bam=22.5時，fmn=bam理由：a、b、m、f四點共圓，bam=efm，bam=fmn，efm=fmn，mnbd，=，cb=dc，cm=cn，mb=dn，在abm和adn中，abmadn，bam=dan，man=45，bam+dan=4

30、5，bam=22.55（2016麗水）如圖，矩形abcd中，點e為bc上一點，f為de的中點，且bfc=90（1）當e為bc中點時，求證：bcfdec；（2）當be=2ec時，求的值；（3）設ce=1，be=n，作點c關于de的對稱點c，連結fc，af，若點c到af的距離是，求n的值【分析】（1）由矩形和直角三角形斜邊上的中線性質得出cf=de=ef，由等腰三角形的性質得出fec=fce，證出cf=ce，由asa證明bcfdec即可；（2）設ce=a，則be=2a，bc=3a，證明bcfdec，得出對應邊成比例=，得出ed2=6a2，由勾股定理得出dc=a，即可得出結果；（3）過c作chaf于

31、點h，連接cc交ef于m，由直角三角形斜邊上的中線性質得出fec=fce，證出adf=bcf，由sas證明adfbcf，得出afd=bfc=90，證出四邊形cmfh是矩形，得出fm=ch=，設em=x，則fc=fe=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出em=，fc=fe=+；由（2）得：，把ce=1，be=n代入計算即可得出n的值（1）證明；在矩形abcd中，dce=90，f是斜邊de的中點，cf=de=ef，fec=fce，bfc=90，e為bc中點，ef=ec，cf=ce，在bcf和dec中，bcfdec（asa）；（2）解：設ce=a，由be=2ce，得：be=2a，bc=3a，cf是r

32、tdce斜邊上的中線，cf=de，fec=fce，bfc=dce=90，bcfdec，=，即：=，解得：ed2=6a2由勾股定理得：，=；（3）解：過c作chaf于點h，連接cc交ef于m，如圖所示：cf是rtdce斜邊上的中線，fc=fe=fd，fec=fce，四邊形abcd是矩形，adbc，ad=bc，adf=cef，adf=bcf，在adf和bcf中，adfbcf（sas），afd=bfc=90，chaf，ccef，hfe=chf=cmf=90，四邊形cmfh是矩形，fm=ch=，設em=x，則fc=fe=x+，在rtemc和rtfmc中，由勾股定理得：ce2em2=cf2fm2，12x

33、2=（x+）2（）2，解得：x=，或x=（舍去），em=，fc=fe=+；由（2）得：，把ce=1，be=n代入上式計算得：cf=，解得：n=46如圖1，在菱形abcd中，ab=6，tanabc=2，點e從點d出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線da的方向勻速運動，設運動時間為t（秒），將線段ce繞點c順時針旋轉一個角（=bcd），得到對應線段cf（1）求證：be=df；（2）當t=6+6秒時，df的長度有最小值，最小值等于12；（3）如圖2，連接bd、ef、bd交ec、ef于點p、q，當t為何值時，epq是直角三角形？（4）如圖3，將線段cd繞點c順時針旋轉一個角（=bcd），得到對應線段

34、cg在點e的運動過程中，當它的對應點f位于直線ad上方時，直接寫出點f到直線ad的距離y關于時間t的函數(shù)表達式【分析】（1）由ecf=bcd得dcf=bce，結合dc=bc、ce=cf證dcfbce即可得；（2）當點e運動至點e時，由df=be知此時df最小，求得be、ae即可得答案；（3）eqp=90時，由ecf=bcd、bc=dc、ec=fc得bcp=eqp=90，根據(jù)ab=cd=6，tanabc=tanadc=2即可求得de；epq=90時，由菱形abcd的對角線acbd知ec與ac重合，可得de=6；（4）連接gf分別角直線ad、bc于點m、n，過點f作fhad于點h，證dcegcf可

35、得3=4=1=2，即gfcd，從而知四邊形cdmn是平行四邊形，由平行四邊形得mn=cd=6；再由cgn=dcn=cng知cn=cg=cd=6，根據(jù)tanabc=tancgn=2可得gm=6+12，由gf=de=t得fm=t612，利用tanfmh=tanabc=2即可得fh解：（1）ecf=bcd，即bce+dce=dcf+dce，dcf=bce，四邊形abcd是菱形，dc=bc，在dcf和bce中，dcfbce（sas），df=be；（2）如圖1，當點e運動至點e時，df=be，此時df最小，在rtabe中，ab=6，tanabc=tanbae=2，設ae=x，則be=2x，ab=x=6，

36、則ae=6de=6+6，df=be=12，故答案為：6+6，12；（3）ce=cf，ceq90，當eqp=90時，如圖2，ecf=bcd，bc=dc，ec=fc，cbd=cef，bpc=epq，bcp=eqp=90，ab=cd=6，tanabc=tanadc=2，de=6，t=6秒；當epq=90時，如圖2，菱形abcd的對角線acbd，ec與ac重合，de=6，t=6秒；（4）y=t12，如圖3，連接gf分別角直線ad、bc于點m、n，過點f作fhad于點h，由（1）知1=2，又1+dce=2+gcf，dce=gcf，在dce和gcf中，dcegcf（sas），3=4，1=3，1=2，2=4

37、，gfcd，又ahbn，四邊形cdmn是平行四邊形，mn=cd=6，bcd=dcg，cgn=dcn=cng，cn=cg=cd=6，tanabc=tancgn=2，gn=12，gm=6+12，gf=de=t，fm=t612，tanfmh=tanabc=2，fh=（t612），即y=t127已知四邊形abcd是菱形，ab=4，abc=60，eaf的兩邊分別與射線cb，dc相交于點e，f，且eaf=60（1）如圖1，當點e是線段cb的中點時，直接寫出線段ae，ef，af之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，當點e是線段cb上任意一點時（點e不與b、c重合），求證：be=cf；（3）如圖3，當點e在線段cb的

38、延長線上，且eab=15時，求點f到bc的距離【分析】（1）結論ae=ef=af只要證明ae=af即可證明aef是等邊三角形（2）欲證明be=cf，只要證明baecaf即可（3）過點a作agbc于點g，過點f作fhec于點h，根據(jù)fh=cfcos30，因為cf=be，只要求出be即可解決問題（1）解：結論ae=ef=af理由：如圖1中，連接ac，四邊形abcd是菱形，b=60，ab=bc=cd=ad，b=d=60，abc，adc是等邊三角形，bac=dac=60be=ec，bae=cae=30，aebc，eaf=60，caf=daf=30，afcd，ae=af（菱形的高相等），aef是等邊三角

39、形，ae=ef=af（2） 證明：如圖2中，bac=eaf=60，bae=cae，在bae和caf中，baecaf，be=cf（3）解：過點a作agbc于點g，過點f作fhec于點h，eab=15，abc=60，aeb=45，在rtagb中，abc=60ab=4，bg=2，ag=2，在rtaeg中，aeg=eag=45，ag=ge=2，eb=egbg=22，aebafc，ae=af，eb=cf=22，在rtchf中，hcf=180bcd=60，cf=22，fh=cfsin60=（22）=3點f到bc的距離為38如圖，ad為等腰直角abc的高，點a和點c分別在正方形defg的邊dg和de上，連接

40、bg，ae（1）求證：bg=ae；（2）將正方形defg繞點d旋轉，當線段eg經過點a時，（如圖所示）求證：bgge；設dg與ab交于點m，若ag：ae=3：4，求的值【分析】（1）如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質得ad=bd，再根據(jù)正方形的性質得gde=90，dg=de，則可根據(jù)“sas“判斷bdgade，于是得到bg=ae；（2）如圖，先判斷deg為等腰直角三角形得到1=2=45，再由bdgade得到3=2=45，則可得bge=90，所以bgge；設ag=3x，則ae=4x，即ge=7x，利用等腰直角三角形的性質得dg=ge=x，由（1）的結論得bg=ae=4x，則根據(jù)勾股定理得ab=5x，

41、接著由abd為等腰直角三角形得到4=45，bd=ab=x，然后證明dbmdgb，則利用相似比可計算出dm=x，所以gm=x，于是可計算出的值（1）證明：如圖，ad為等腰直角abc的高，ad=bd，四邊形defg為正方形，gde=90，dg=de，在bdg和ade中，bdgade，bg=ae；（2）證明：如圖，四邊形defg為正方形，deg為等腰直角三角形，1=2=45，由（1）得bdgade，3=2=45，1+3=45+45=90，即bge=90，bgge；解：設ag=3x，則ae=4x，即ge=7x，dg=ge=x，bdgade，bg=ae=4x，在rtbga中，abd為等腰直角三角形，4=

42、45，bd=ab=x，3=4，而bdm=gdb，dbmdgb，bd：dg=dm：bd，即x：x=dm：x，解得dm=x，gm=dgdm=xx=x，=9如圖，在abc中，bac=90，ab=ac，點e在ac上（且不與點a，c重合），在abc的外部作ced，使ced=90，de=ce，連接ad，分別以ab，ad為鄰邊作平行四邊形abfd，連接af（1）請直接寫出線段af，ae的數(shù)量關系af=ae；（2）將ced繞點c逆時針旋轉，當點e在線段bc上時，如圖，連接ae，請判斷線段af，ae的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）在圖的基礎上，將ced繞點c繼續(xù)逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否發(fā)生變化？

43、若不變，結合圖寫出證明過程；若變化，請說明理由【分析】（1）如圖中，結論：af=ae，只要證明aef是等腰直角三角形即可（2）如圖中，結論：af=ae，連接ef，df交bc于k，先證明ekfeda再證明aef是等腰直角三角形即可（3）如圖中，結論不變，af=ae，連接ef，延長fd交ac于k，先證明edfeca，再證明aef是等腰直角三角形即可解：（1）如圖中，結論：af=ae理由：四邊形abfd是平行四邊形，ab=df，ab=ac，ac=df，de=ec，ae=ef，dec=aef=90，aef是等腰直角三角形，af=ae故答案為af=ae（2）如圖中，結論：af=ae理由：連接ef，df交

44、bc于k四邊形abfd是平行四邊形，abdf，dke=abc=45，ekf=180dke=135，ek=ed，ade=180edc=18045=135，ekf=ade，dkc=c，dk=dc，df=ab=ac，kf=ad，在ekf和eda中，ekfeda，ef=ea，kef=aed，fea=bed=90，aef是等腰直角三角形，af=ae（3）如圖中，結論不變，af=ae理由：連接ef，延長fd交ac于kedf=180kdcedc=135kdc，ace=（90kdc）+dce=135kdc，edf=ace，df=ab，ab=ac，df=ac在edf和eca中，edfeca，ef=ea，fed=

45、aec，fea=dec=90，aef是等腰直角三角形，af=ae10如圖（1）矩形abcd中，ab=2，bc=5，bp=1，mpn=90將mpn繞點p從pb處開始按順時針方向旋轉，pm交ab（或ad）于點e，pn交邊ad（或cd）于點f，當pn旋轉至pc處時，mpn的旋轉隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當pm過點a時，pn也恰好過點d，此時，abppcd（填：“”或“”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設ae=t，epf面積為s，試確定s關于t的函數(shù)關系式；當s=4.2時，求所對應的t的值【分析】（1）根據(jù)矩

46、形的性質找出b=c=90，再通過角的計算得出bap=cpd，由此即可得出abppcd；（2）過點f作fhpc于點h，根據(jù)矩形的性質以及角的計算找出b=fhp=90、bep=hpe，由此即可得出bephpe，根據(jù)相似三角形的性質，找出邊與邊之間的關系即可得出結論；（3）分點e在ab和ad上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出s與t之間的函數(shù)關系式，令s=4.2求出t值，此題得解解：（1）四邊形abcd為矩形，b=c=90，bap+bpa=90mpn=90，bpa+cpd=90，bap=cpd，abppcd故答案為：（2）是定值如圖3，過點f作fhpc于點h

47、，矩形abcd中，ab=2，b=fhp=90，hf=ab=2，bpe+bep=90mpn=90，bpe+hpe=90，bep=hpe，bephpe，bp=1，（3）分兩種情況：如圖3，當點e在ab上時，0t2ae=t，ab=2，be=2t由（2）可知：bephpe，即，hp=42taf=bh=pb+bh=52t，s=s矩形abhfsaefsbepsphf=abafaeafbepbphfh=t24t+5（0t2）當s=4.2時，t24t+5=4.2，解得：t=20t2，t=2；如圖4，當點e在ad上時，0t1，過點e作ekbp于點k，ae=t，bp=1，pk=1t同理可證：pkefcp，即，fc

48、=22tdf=cdfc=2t，de=adae=5t，s=s矩形ekcdsekpsedfspcf=cddeekkpdedfpcfc=t22t+5（0t1）當s=4.2時，t22t+5=4.2，解得：t=10t1，t=1綜上所述：當點e在ab上時，s=t24t+5（0t2），當s=4.2時，t=2；當點e在ad上時，s=t22t+5（0t1），當s=4.2時，t=111（2016龍東地區(qū)）已知：點p是平行四邊形abcd對角線ac所在直線上的一個動點（點p不與點a、c重合），分別過點a、c向直線bp作垂線，垂足分別為點e、f，點o為ac的中點（1）當點p與點o重合時如圖1，易證oe=of（不需證明）（2）直線bp繞點b逆時針方向旋轉，當ofe=30時，如圖2、圖3的位置，猜想線段cf、ae、oe之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明【分析】（1）由aoecof即可得出結論（2）圖