雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程課件

1、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓是如何定義的、橢圓是如何定義的?2a與與2c的大小關(guān)的大小關(guān) 系系焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上軸上: 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上軸上:1byax22221bxay2222(ab0)時(shí)軌跡不存在時(shí)是線段時(shí)是橢圓caffcaca22222221222cab2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？2a ( 2a|f1f2|0)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)f1、f2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡思考思考 若把橢圓定義中的與兩定點(diǎn)的若把橢圓定義中的與兩定點(diǎn)的“距離距離的和的和”改成改成“距離的差距離的差”,那么點(diǎn)的軌跡那么點(diǎn)的軌跡會發(fā)生什么變

2、化？會發(fā)生什么變化？能否形成曲線？若能，能否形成曲線？若能，它的方程又怎樣呢它的方程又怎樣呢 ? 11取一條拉鏈；取一條拉鏈；22如圖把它固定在板如圖把它固定在板上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn)f f1 1、f f2 2；3 3 拉動拉鏈（拉動拉鏈（m m）。）。思考思考：拉鏈運(yùn)動的軌跡：拉鏈運(yùn)動的軌跡是什么？是什么？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)yanshi 新寶馬總部（墨尼黑）寶馬總部（墨尼黑）雙曲線的定義雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)f f1 1，f f2 2的距離的差的距離的差的絕對值等于常數(shù)的絕對值等于常數(shù)2a 2a 點(diǎn)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。的軌跡叫做雙曲線。)(21ff小于 f1,f2 -焦點(diǎn)焦點(diǎn)|m

3、f|mf1 1| - |mf| - |mf2 2| = 2a| = 2a|f|f1 1f f2 2| -| -焦距焦距=2c=2c.f2.f1mof1f2m2、| | | | =2a1mf2mf1、| | | | =2a2mf1mf (2a | | )21ff(2a0）,f1(-c,0),f2(c,0)常數(shù)為常數(shù)為2af1f2m即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以f1,f2所在的直線為所在的直線為x軸，軸，線段線段f1f2的中點(diǎn)的中點(diǎn)o o為原點(diǎn)建立直角為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系1. 建系建系. .2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)3.列式列式|mf1| - |mf2|= 2

4、a如何求這優(yōu)美的曲線的方程？如何求這優(yōu)美的曲線的方程？4.4.化簡化簡. .f1f2xoyaycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax222222bayaxb雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程)0b, 0a( 1byax2222對換對換x,y可得：可得：其中：其中：c2=a2+b2)0b, 0a( 1bxay2222焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上軸上yxf2f1mo焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上軸上yxf1f2mo正定軸 請判斷下列方程哪些表示雙曲線？并說出焦點(diǎn)請判斷下列方程哪些表示雙曲線

5、？并說出焦點(diǎn)位置和的位置和的a,b,c.22(1)132xy22(3)169144xy22(2)144xy 2222(5)1(0)1xymmm22(4)431xy 22191 6xy)0b, 0a( 1byax2222)0b, 0a( 1bxay2222橢圓與雙曲線比較 )0b, 0a( 1byax2222焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上軸上)0b, 0a( 1bxay2222焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上軸上c2=a2+b2 ca0 a0 b0|mf1|-|mf2|=2a定義：定義：a,b,c關(guān)系關(guān)系方程方程|mf1|+|mf2|=2a橢圓橢圓雙曲線雙曲線 a2=b2+c2ac0 ab0)0ba( 1byax2222

6、)0ba( 1bxay2222大定軸正定軸雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程例例1：已知兩定點(diǎn)：已知兩定點(diǎn)f1(-5,0),f2(5,0)求到這兩點(diǎn)的距求到這兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為離之差的絕對值為8的點(diǎn)的軌跡方程。的點(diǎn)的軌跡方程。 解：解：810，由定義，所求的軌跡是，由定義，所求的軌跡是焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸軸雙曲線，雙曲線， c=5,a=4 , b2=c2-a2=52-42=32所以所求方程為所以所求方程為：1342222yx)0, 0(12222 babyax雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程例例1：已知兩定點(diǎn)：已知兩定點(diǎn)f1(-5,0),f2(5,0)求到這兩點(diǎn)的距求到這兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為離之差的絕對值為8的點(diǎn)的軌跡方

7、程。的點(diǎn)的軌跡方程。變式一：若兩定點(diǎn)改為為變式一：若兩定點(diǎn)改為為f1(0,-5),f2(0,5) ，則軌跡如何？，則軌跡如何？變式二：若兩定點(diǎn)改為為變式二：若兩定點(diǎn)改為為|f1f2|=10，則軌跡方程如何？，則軌跡方程如何？1342222xy1342222yx1342222yx練習(xí)練習(xí)1：求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4,b=5,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上。軸上。(2)a=3,c=515x4y2222143:2222yx方程為14x3y2222或或課堂練習(xí)雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程課堂練習(xí)(3)與雙曲線與雙曲線 有相同焦距，有相同焦距，雙曲線上一點(diǎn)雙曲線上一點(diǎn)p到到f1

8、、f2的距離之差的絕的距離之差的絕對值為對值為4。(4)與雙曲線與雙曲線 的焦點(diǎn)相同，的焦點(diǎn)相同，b=3.112422xy或1342222xy131322yx112422yx302322 xy練習(xí)練習(xí)2：已知雙曲線的焦點(diǎn)在：已知雙曲線的焦點(diǎn)在 y 軸上，并且雙曲線上兩軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)點(diǎn)p1、p2的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（3 , - 4 ），（），（ ，5），求），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程249分析：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)所求的雙分析：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)p1、p2在雙曲線上，所以把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入在雙曲

9、線上，所以把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，用待定系數(shù)法求解。方程，用待定系數(shù)法求解。 )0, 0( 12222babxay例例2：k 1,則關(guān)于則關(guān)于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2=k2- 1所表示的曲線是所表示的曲線是 （ ) 解：原方程化為：解：原方程化為：a、焦點(diǎn)在、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓軸上的橢圓c、焦點(diǎn)在、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓軸上的橢圓b、焦點(diǎn)在、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線軸上的雙曲線d、焦點(diǎn)在、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線軸上的雙曲線 k k1 1 k k2 21 0 1+k 01 0 1+k 0方程的曲線為焦點(diǎn)在方程的曲線為焦點(diǎn)在y y軸上的雙曲線。軸上的雙曲線。故故 選（選（b）111222k

10、kyx方程方程 表示（表示（ ）a橢圓橢圓 b圓圓 c雙曲線雙曲線 d橢圓或圓或雙曲線橢圓或圓或雙曲線22193xykk396kk當(dāng)且時(shí)，方程表示橢圓6k當(dāng) 時(shí)，方程表示圓39kk當(dāng)或時(shí)，方程表示雙曲線d221xymn變式一：形如形如 的方程所表示的曲線形狀由的方程所表示的曲線形狀由m、n確定。確定。221xymn若若m=n0，方程表示圓；，方程表示圓；若若m0，n0且且 ，方程表示橢圓；，方程表示橢圓； mn若若mn0，方程表示雙曲線。，方程表示雙曲線。變式二：212122ffaamfmfm0012222babyax，0012222babxay，01，cf 02，cfcf，01cf，0200

11、222bcacbac，cba ,雙曲線定義雙曲線定義圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo) 關(guān)系關(guān)系21ff、a( 為定點(diǎn)， 為常數(shù))小結(jié)v練習(xí)練習(xí)1、已知雙曲線的焦點(diǎn)為已知雙曲線的焦點(diǎn)為f1(-5,0), f2(5,0)雙雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于6，則，則 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(3)雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)， |pf1|=10, 則則|pf2|=_354116922yx4或或16| |pf1| - |pf2| | =6課堂練習(xí) 2已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)f1(-5，0)、f2(5，0)，動點(diǎn)，動點(diǎn)p到到f1和和p到到f2的距離的差等于的距離的差等于8，則點(diǎn)，則點(diǎn)p的軌跡是什么？的軌跡是什么？已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)f1(-5，0)、f2(5，0)，動點(diǎn)，動點(diǎn)p到到f1、f2距距離的差的絕對值等于離的差的絕對值等于10，求點(diǎn)，求點(diǎn)p的軌跡的軌跡如果動點(diǎn)如果動點(diǎn)p到到f1、f2距離的差的絕對值等于距離的差的絕對值等于12，點(diǎn)，點(diǎn)p的