談試題的改編-浙江嘉興第一中學

1、談試題的改編桐鄉(xiāng)高級中學張曉東一把玩手中的“筆”、“紙”，研究空間線面的位置關系1一次難忘的經(jīng)歷（ 2008 年浙江高考理科 10）如圖，AB是平面的斜線段 ，A為斜足，若點 P 在平面內運動，使得 ABP 的面積為定值，則動點P 的軌跡是（）A 圓B橢圓BC 一條直線D 兩條平行直線AP（第 10 題）2學習“空手”編題參加了幾次命題之后，我也想象有些老師一樣，不參考任何資料，就憑一支筆、一張紙，徒手編題，當然這樣也不能算真正的編題，因為大量的精彩的題目已經(jīng)鉆進腦子里，是擦不掉、題目抹不去的，所以盡管大家都在努力地編題，但所編制的新題往往有很深的“成題”的影子，所以我的想法是盡量不參考眼睛能

2、看到的資料。立體幾何考查的兩個基本題型，空間線面位置關系的判定與求空間角與距離，以往的題目對翻折圖形的考查主要停留在后者，所以我就想能否在翻折圖形中考查空間線面位置關系呢？DFCDFCAAEBEB1 E , F 是矩形 ABCD 邊 AB ,CD 上兩點，將矩形沿EF折起（點 D 不在平面 BCFE 上），下列結論 AD / BC ； DFBE 中，有可能成立的是（）A BC D 都不成立DFCDFCAAEBEB顯然 DA 在平面 BCFE 外，且 DA 與平面 BCFE 相交，所以DA 與 BC 不平行；DFCDFCAEBA EBDA只要考慮 DF 與 FC 所成角，不妨先考慮DFC ，顯然

3、剛開始時DFC180 ，結束時，DFC90 ，根據(jù)介值定理，在旋轉的過程中 DFC 一定會等于 90 ；再一想，不對，如果E , F 分別靠近點A, C 時，剛開始時 DFC180 ，結束時， DFC90 了，看來要規(guī)定EF 與 AB 所成角。進而又想到，考慮線線位置關系，其實第二個圖形與第三個圖形是一樣的，DDFCFCAAEBEB所以只要考慮第二個圖形，2矩形 ABCD 沿 AC 折起（點D 不在平面 ABC 上），下列結論AD / BC ； DCAB 中，有可能成立的是（）A BC D 都不成立DCDCABAB在本題中平行關系顯然是不成立的，所以索性只考查垂直關系。3矩形 ABCD 沿 A

4、C 折起（點 D 不在平面 ABC 上），下列結論 ADBC ； DC AB中，有可能成立的是（）A BC D 都不成立DCDCABABAD , BC 與 DC , AB 是空間四邊形的兩組對角線，圖中還有兩條對角線關系沒有考慮，于是問題變?yōu)椋?矩形 ABCD 中，將ABD 繞 BD 旋轉與面 BCD 重合，在旋轉過程中， ADBC ， ABCD ， ACBD ，有可能正確的是（）（ A ）（ B）（ C）（D ）DCDABCAB矩形的翻折太常見，但又要保證意思不變，于是改成平行四邊形。5 平行四邊形ABCD 中，將ABD 繞 BD 旋轉與面BCD 重合，在旋轉過程中，ADBC ， ABCD

5、， ACBD ，有可能正確的是（）（ A ）（ B）（ C）（D ）AABDBDCC先考慮，只要AB AD， ACBD 就不可能成立，作AE BD于E，若BDAC ，則 BD平面 AEC ，得 CEBD ，矛盾。AABDBDEECC再考慮AABDBD 2CO作AO 平面 BCD 于 O ，連結 BO ，在旋轉過程中若BOCD ，則 ABCD ，設ABD，則 BDC， OBD90，當A BDOBD 即90，即45時， ABCD 有可能成立，同理，當ADB45 時， ADBC ，所以設計ABD45 , ADB456平行四邊形 ABCD 中， ABD 40 , BAD 60，將 ABD 繞 BD 旋

6、轉與面 BCD 重合，在旋轉過程中，AD BC ， ABCD ， ACBD ，有可能正確的是（）（A）（ B）（ C）（D ）AABDBDCC此題是為2011 年嘉興模擬編的，在我提供的試卷中放在第6 題，但沒有被采用。后來又放到 2012 桐鄉(xiāng) 2 月模擬中，但因重點考查三垂線定理而舍去，最后我又把它放到 2012 杭州求是高復模擬中，但被審稿的刪去了。（ 2012 浙江理科高考第10 題）已知矩形ABCD ，AB 1，BC2 將 ABD 沿矩形的對角線 BD 所在的直線進行翻著，在翻著過程中，A 存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C 存在某個

7、位置，使得直線AD與直線BC垂直D 對任意位置，三直線“AC 與 BD”，“ AB 與 CD ”，“AD 與 BC”均不垂直ADADBCBC二意猶未盡對成題的“小動作”1. 一個熟悉的問題如圖，有一張mn 的方格，每次只能向右或向上走1 格，從 A 到 B 有多少走法？BnAm2. 某班同學在今年春節(jié)寫了一幅共勉的對聯(lián)，他們將對聯(lián)寫成如下形狀：龍你騰騰追追虎虎躍今虎躍趕我我趕齊齊趕我齊趕勝勝爭爭昔從上而下連讀成“龍騰虎躍今勝昔雄, 你追我趕齊爭雄” （上下兩字應緊連，如第二行的第一個“騰”字可與第三行的第一或第二個“虎”字連讀，但不能與第三行的第三個“虎”字相連），共有種的連讀方式雄你昔今龍3

8、. (2013 嘉興二模 14 題 ) 從點 A 到點 B 的路徑如圖所示，則不同的最短路徑共有條BA（第 14 題）A B 的最短路徑 C 73 35減去C1C2AC 1C 2B 的最短路徑 11 C414B 的最短路徑 C 311 C31AAD 1D 294. (2004 浙江理科第15 題 ) 設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿BD2D1x 軸跳動，每次向正方向或負方向跳1 個單位，經(jīng)過5 次跳動質點落在點（3， 0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有_種（用數(shù)字作答）.10123x往回走 1 步， C1555.（ 2013 桐高高二期中理科第16 題）在平面直角坐標系中，

9、點P 從原點出發(fā)，每步向右或向上或向下走一格，則走10 步剛好第一次到達點(5,3) 的情況有種yBA3CO5x向下 1 步、向上4 步，其余向右C101 C 941260減去8步從 O到A，再 ABA或ACAC 832112所以C101C94C 8321148三抓住定義，圓錐曲線小題1. 點 A 是圓內異于 O 的一點， 點 B 是圓 O 上的動點， 線段 AB 的中垂線交直線 OB 于點 P ，問點 P 的軌跡是什么？BPOA|PO |PA|R2. 點 A 是圓 O 外一點，點 B 是圓 O 上的動點，線段 AB 的中垂線交直線 OB 于點 P ，問點 P 的軌跡是什么？PBOA|PO |

10、PA|R3. A 是直線 y 1 上一動點， B(0,1) ，過 A 作直線 y 1 的垂線與線段 AB 中垂線交于一點 P 。yPB(0,1)OxAy1yx 24 yPB(0,1)OxAy 1yx 24 yQ(0,3)POx4.A 是直線交于一點 Py，求1 上一動點，P 到點 Q( 0,3)B(0,1) ，過 A 作直線距離的最小值為y1 的垂線與線段AB 中垂線yx24 yQ( 0,3)PB( 0,1)OxAy 15. A 是直線 y 1 上一動點， B(0,1) ， P 是線段 AB 中垂線上任意一點， P 到點 Q(0,3) 距離的最小值為yx24 yQ (0,3)B( 0,1)PO

11、xAy 1yx 24 yQ (0,3)B(0,1)POx6.A 是直線y1 上一動點，B(0,1) ， P是線段AB 中垂線上任意一點，P到點Q(0,3)距離的最小值為（A）2（B）2 2（C） 3（D）2 3yQ(0,3)B(0,1)POxAy 1設 A( t, 1) ，則直線 AB 的中垂線 l 方程 2tx4 yt 20t 212t 2442 2 。Q( 0,3) 到 l 距離為 d2222 t4t4四一道失敗的題目，代數(shù)問題幾何化1.f ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 上單調遞增，x 0 是 f ( x ) 的不動點，且在( a , x 0 ) 上有 f ( x)x ，在 ( x 0

12、 , b) 上有 f ( x )x ，若取 x(a, x0 ) ， lim f ( n) ( x )x 0 ；n若取 x( x0 , b) ， lim f ( n) ( x ) x 0 。nf (3 ) ( x )f ( f ( x )f ( x )axf ( x) f ( f ( x )x0bf ( x )f ( f ( x )( 3)f( x )x0af ( f ( x) f ( x )x b2.f ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 上單調遞減，x 0 是 f ( x ) 的不動點，且在(a , x 0 ) 上有 f f ( x )x ，在( x 0 , b) 上有 f f ( x )x

13、，若取 x( a, x 0 ) ， lim f (n ) ( x )x0 ；n若取x(x 0, )( n)( x )x 0。b ， lim fnf ( x )f (3 ) ( x )f ( 4 ) ( x )f ( f ( x )xx0yABDCOx3如圖 A, C 是 f ( x)2( x1) 2 圖象上兩點，B, D 是直線 yx 上兩點，若四邊形 ABCD 恰為正方形，則四邊形ABCD 的面積為（）（A）1（B） 54（C） 3（D） 724命題意圖：f f ( x)xf f ( x )f ( x)f ( x)x0 ，2 f ( x)1 22( x1)2f ( x)x0 ,2 f ( x

14、) x f ( x ) x 2f ( x)x 0 ， f ( x) x 2 f ( x) 2 x 3 0 ，顯然 f ( x )x ，所以2 f ( x)2 x30 ，所以 4x 26x 10 ，設 A, C 的橫坐標分別為x1 , x 2 ，S | x1x 2 |2 ( x1x 2 )24x 1 x 2915 。44另解：設直線 AC 方程為 yxb ，與 y2( x1) 2 聯(lián)立，得 2x 23 x2 b0 ，所以 AC 中點為（ 3, b3 ）代入 yx 得 b3 ，442把 b3 代入式，得4 x 26 x10 ，2設 A, C 的橫坐標分別為x1 , x 2 ，S | x1x 2 |

15、2 ( x1x 2 )24x 1 x 2915 。44五把握內在聯(lián)系，逆向編題。1. 過點 M ( m,0)( 0x 2y 21( a b 0) 交于 A, B ，求m a ) 作直線與橢圓2b2a AOB 面積的最大值yAMOxByANMOxB作AB邊上的高 ON ，設 ON dSda 2d 2d 2 (a 2d 2 ) ，f (d 2 ) ，（ 0 d 2m 2 )當 m 2a 2時，2a 2a 2Smaxf ()22相應橢圓面積最大值為ab ，22當 m 2a 時，2Smaxf (m 2 ) ma2m2相應橢圓面積最大值為bma 2m 2 ayP2.A( 2,0)T (3,0)OB( 2

16、,0) x2Qy1PA( 2,0)3OB( 2,0) xT (,0)2Q 1橢圓直線過 T ( 32,0) 于橢圓 xy 21 交于 P , Q ，則 POQ 面積的最大值為 1.243. 怎樣給出過 T ( 3 ,0) ? 2yPA( 2,0)3 ,0)OB(2,0) xT (2QS PBQ7S PAQS4.怎樣把SPBQ隱藏？7PAQyPA( 2,0)T( 3,0) OB(2,0) x2QSSPBQPAQ1PBQ| PB | QB | sin| PB |QB |PB |QB |21| PA |QA |PA|tan PAB tan QABPAQ|QA | PA | QA | sin2k AP

17、 ( k AQ )7橢圓直線與橢圓x 2y 21 交于 x 軸兩側于 P , Q ，若 k AP k AQ7 ，求 POQ 面積的最4大值。y1PA( 2,0)OB(2,0) xQ 15. 過一點斜率之積為定值，似曾相識，再改？yPA( 2,0)3OB(2,0) xT (,0)2Q利 用 k AQk BQ1 ， 于 是 k AP k AQ7 改 為yk AP7k BQP為了讓圖形簡潔，改為求 S BPQS APQ 的最大值。AOB x顯然 S BPQS APQ = 2S OPQQ所以最大值為2.6. 如圖，橢圓x 221 A, B 是其左右頂點，P , Q 是橢圓上位于x 軸兩側的點4y（點

18、P 在 x 軸上方），設直線 AP , BQ 的斜率分別為k 1 , k2 ，若 k 17k 2 ，設 BPQ與 APQ 的面積分別為S1 , S 2 ，求 S1 S2 的最大值7. 如圖，橢圓x 2y 21( ab 0) 的離心率為3，ya 2b22PA, B 是其左右頂點， P , Q 是橢圓上位于 x 軸兩側的點（點 P 在 x 軸上方），且四邊形APBQ 面積的最大值為 4AOB x（ 1）求橢圓方程；（ 2 ） 設 直 線 AP , BQ 的 斜 率 分 別 為 k 1 , k 2 ， 若Qk 17k 2 ，設 BPQ 與 APQ 的面積分別為 S1 , S 2 ，求 S1S2 的最大值解：（ 1）由c3a2x 221；4 分a2得，所以橢圓方程為yb142ab4（ 2）設 P x, y, Q x2, y，設直線 PQ 的方程為xmyt，代入x 221得112y4( m 24) y22mty t 240，y1y22mtm 240 ，7 分t 24y1 y2m 24k 1y1k 2y2k 17y1( x22)x 12x 2k 2y2 (