高等半導(dǎo)體物理講義

1、 國科大精品數(shù)字課程高等半導(dǎo)體物理課程內(nèi)容 （前置課程： 量子力學(xué)，固體物理）第一章 能帶理論，半導(dǎo)體中的電子態(tài) 第二章 半導(dǎo)體中的電輸運(yùn) 第三章 半導(dǎo)體中的光學(xué)性質(zhì) 第四章 超晶格，量子阱 前言：半導(dǎo)體理論和器件發(fā)展史1926 Bloch 定理1931 Wilson 固體能帶論（里程碑）1948 Bardeen, Brattain and Shokley 發(fā)明晶體管，帶來了現(xiàn)代電子技術(shù)的革命，同時(shí)也促進(jìn)了半導(dǎo)體物理研究的蓬勃發(fā)展。從那以后的幾十年間，無論在半導(dǎo)體物理研究方面，還是半導(dǎo)體器件應(yīng)用方面都有了飛速的發(fā)展。1954 半導(dǎo)體有效質(zhì)量理論的提出，這是半導(dǎo)體理論的一個(gè)重大發(fā)展，它定量地描述

2、了半導(dǎo)體導(dǎo)帶和價(jià)帶邊附近細(xì)致的能帶結(jié)構(gòu)，給出了研究淺能級(jí)、激子、磁能級(jí)等的理論方法，促進(jìn)了當(dāng)時(shí)的回旋共振、磁光吸收、自由載流子吸收、激子吸收等實(shí)驗(yàn)研究。 1958 集成電路問世1959 贗勢概念的提出，使得固體能帶的計(jì)算大為簡化。利用價(jià)電子態(tài)與原子核心態(tài)正交的性質(zhì)，用一個(gè)贗勢代替真實(shí)的原子勢，得到了一個(gè)固體中價(jià)電子態(tài)滿足的方程。用贗勢方法得到了幾乎所有半導(dǎo)體的比較精確的能帶結(jié)構(gòu)。1962 半導(dǎo)體激光器發(fā)明1968 硅MOS器件發(fā)明及大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)化大生產(chǎn)1970 * 超晶格概念提出，Esaki (江歧), Tsu （朱兆祥） * 超高真空表面能譜分析技術(shù)相繼出現(xiàn)，開始了對(duì)半導(dǎo)體表面、界

3、面物理的研究1971 第一個(gè)超晶格AlxGa1-xAs/GaAs 制備，標(biāo)志著半導(dǎo)體材料的發(fā)展開始進(jìn)入人工設(shè)計(jì)的新時(shí)代。 1980 德國的Von Klitzing發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子Hall 效應(yīng) 標(biāo)準(zhǔn)電阻1982 崔崎等人在電子遷移率極高的AlxGa1-xAs/GaAs異質(zhì)結(jié)中發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)量子Hall 效應(yīng) 1984 Miller等人觀察到量子阱中激子吸收峰能量隨電場強(qiáng)度變化發(fā)生紅移的量子限制斯塔克效應(yīng)，以及由激子吸收系數(shù)或折射率變化引起的激子光學(xué)非線性效應(yīng)，為設(shè)計(jì)新一代光雙穩(wěn)器件提供了重要的依據(jù)。1990 英國的Canham首次在室溫下觀測到多孔硅的可見光光致發(fā)光，使人們看到了全硅光電子集成技術(shù)的

4、新曙光。近年來，各國科學(xué)家將選擇生成超薄層外延技術(shù)和精細(xì)束加工技術(shù)密切結(jié)合起來，研制量子線與量子點(diǎn)及其光電器件，預(yù)期能發(fā)現(xiàn)一些新的物理現(xiàn)象和得到更好的器件性能。在器件長度小于電子平均自由程的所謂介觀系統(tǒng)中，電子輸運(yùn)不再遵循通常的歐姆定律，電子運(yùn)動(dòng)完全由它的波動(dòng)性質(zhì)決定。人們發(fā)現(xiàn)電子輸運(yùn)的Aharonov-Bohm振蕩，電子波的相干振蕩以及量子點(diǎn)的庫侖阻塞現(xiàn)象等。以上這些新材料、新物理現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生新的器件設(shè)計(jì)思想，促進(jìn)新一代半導(dǎo)體器件的發(fā)展。半導(dǎo)體材料分類： 元素半導(dǎo)體， Si, Ge IV 族 金剛石結(jié)構(gòu)Purity 10N9, Impurity concentration 10-12/cm

5、3 , Dislocation densities 3 eV4. IV-IV族化合物 紅外線探測器 PbS 0.37 eV, PbTe 0.29 eV 氧化物， CuO, CuO2 , ZnO高溫超導(dǎo)體，La2CuO4 , Mller, Bednorz 有機(jī)半導(dǎo)體 (CH2)n, 聚乙稀咔唑，P.P.P. P.V.K 無擴(kuò)展態(tài)，分子能級(jí)間的輸運(yùn)，易修飾，電致發(fā)光LCD，響應(yīng)時(shí)間短，無顯示角 問題，全色，能耗低，工藝簡單 磁性半導(dǎo)體 非晶態(tài)半導(dǎo)體第一章 能帶理論，半導(dǎo)體中的電子態(tài)（主要參考：李名復(fù) 半導(dǎo)體物理學(xué)） 1 基本知識(shí)回顧 2 正交平面波方法，贗勢 3 緊束縛近似或原子軌道線性組合近似

6、4 微擾 5 缺陷態(tài)，有效質(zhì)量方程 1 基本知識(shí)回顧 1-1正格子與倒格子 Ge, Si, GaAs 的晶體結(jié)構(gòu)，結(jié)晶學(xué)原胞：面心立方，物理學(xué)原胞：正四面體 Ge, Si , 金剛石結(jié)構(gòu) GaAS系列，閃鋅礦結(jié)構(gòu)倒格子，能量空間布里淵區(qū)：面心立方 體心立方1-2 能帶理論的基本假定1）絕熱近似 （Born-Oppenheiner近似）考慮到電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于原子核的質(zhì)量，也即電子的速度遠(yuǎn)大于原子核的速度。因此，在考慮電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為原子核是不動(dòng)的，而電子在固定不動(dòng)的原子核產(chǎn)生的勢場中運(yùn)動(dòng)。這種把電子系統(tǒng)和原子核分開考慮的方法叫絕熱近似。2）平均場近似（單電子近似、Hartree-ok自洽場方法

7、）如果一個(gè)電子所受到的庫侖力不僅與自己的位置有關(guān)，而且還和其他電子的位置有關(guān)，并且該電子本身也影響其他電子的運(yùn)動(dòng)，即所有電子的運(yùn)動(dòng)是關(guān)聯(lián)的。這意味著需要聯(lián)合求解多個(gè)薛定諤過程，問題變得異常復(fù)雜。為簡化問題，當(dāng)研究某一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)時(shí)，近似地把其他電子對(duì)這個(gè)電子的作用當(dāng)作背景，即用一個(gè)平均場（自洽場）來代替價(jià)電子之間的相互作用，使每個(gè)電子的電子間相互作用勢僅與該電子的位置有關(guān)，而其他電子的位置無關(guān)。同理，可用一種平均場代替所有原子核對(duì)電子的作用。這樣，一個(gè)多電子體系的問題就被簡化成單電子問題。3）周期勢場假定V(r) = Ve(r) + Ui(r), Ve(r)代表電子間相互作用勢的平均場，是一個(gè)常

8、數(shù)。Ui(r)代表所有原子核對(duì)電子的作用的平均場，具有與晶格相同的周期性。因此：V(r) = V(r+Rn), Rn是晶格平移矢量。1-3 Bloch定理：兩種等價(jià)的描述Bloch定理描述之一：對(duì)于周期勢場，即 其中Rn取布喇菲格子的所有格矢，單電子薛定諤方程： 的本征函數(shù)是按布喇菲格子周期性調(diào)幅的平面波，即 且 對(duì)Rn取布喇菲格子的所有格矢成立。Bloch定理描述之二：對(duì)上述的薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢k， 使得對(duì)屬于布喇菲格子的所有格矢Rn成立。 1-4 波函數(shù)與狄拉克表示狄拉克表示： | ， 刃矢，ket。|Y 表示波函數(shù)Y描述的狀態(tài)。|x 表示x坐標(biāo)的本征態(tài)（本征值x），|p

9、表示動(dòng)量的本征態(tài)（本征值p），|En 或 |n 表示能量的本征態(tài)與| 相應(yīng)，刁矢 |表示共軛空間的一個(gè)抽象矢量，如的共軛矢量。平面波：狄拉克符號(hào) 正交歸一Bloch波： 晶體中單電子薛定諤方程 的解電子波函數(shù)滿足Bloch定理，其中 unk(r)與晶格周期相同的周期函數(shù)。量子數(shù)：好量子數(shù)，反映電子的平面波運(yùn)動(dòng)共有化部分。 n 晶格周期相關(guān)的量子數(shù)，不同能帶電子在原子上的運(yùn)動(dòng)。1-5 薛定諤方程一般解 晶體中電子波函數(shù) yk (r)可以一組正交完備的基函數(shù) ji(r)展開 yk(r)= Si ai ji(r) i = 1, 2, 3簡單舉例： yk (r) = a1 j1(r) + a2 j2(

10、r) + a3 j3(r) H yk (r) = E yk (r), H a1 j1(r) + H a2 j2(r) + Ha3 j3(r) = Ea1j1(r) +a2j2(r)+ a3j3(r)左乘j1*(r), 實(shí)空間積分： j1*(r) H a1 j1(r) dr + j1*(r)H a2 j2(r) dr + j1*(r) H a3j3(r) dr= Ej1*(r)a1j1(r)+ j1*(r)a2 j2(r)+ j1*(r)a3 j3(r) dr = Ea1 (1)令 j1*(r) Hj1(r) dr = 方程(1)可寫成a1+a2+a3 = Ea1 (2)a1+a2+a3 = E

11、a2 (3)a1+a2+a3 = Ea3 (4)一組線性聯(lián)立齊次方程-Ea1+a2+a3= 0 a1+-Ea2+a3=0 a1+a2+-Ea3=0 一般表示式： i,j - Ed i,j aj = 0 i, j =1, 2, 3 通過aj系數(shù)行列式等于零求出能量本征值E，再求出系數(shù)aj。晶體中電子波函數(shù) yk(r)= Si ai ji(r)如何選擇基函數(shù)、勢場是計(jì)算中的關(guān)鍵。計(jì)算方法： 近自由電子近似：基函數(shù) 贗勢：勢場緊束縛近似： 基函數(shù) 微擾 有效質(zhì)量方程： 勢場1-6近自由電子近似（弱周期勢近似）近自由電子近似是當(dāng)晶格周期勢場起伏很小電子的行為很接近自由電子時(shí)采用的近似處理。對(duì)相當(dāng)多的價(jià)

12、電子為s電子、p電子的金屬，是很好的近似。電子感受到的弱周期勢，不僅源自于滿殼層電子對(duì)原子核的屏蔽，而且其他價(jià)電子對(duì)原子核周期勢的再次屏蔽也使周期勢場更弱。在具體的計(jì)算上， 弱周期勢可看作微擾，采用量子力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的微擾論方法來處理。下面以一維情況為例。研究對(duì)象：一維晶體，N個(gè)原胞，基矢為a，晶體長度為Na單電子哈密頓量，為勢場的平均值，可看作微擾。具有周期性。相應(yīng)的零級(jí)本征函數(shù)和本征能量為：（可取為能量零點(diǎn)）。正是由于零級(jí)近似的解為自由電子，故稱近自由電子近似。按照一般微擾理論的結(jié)果，本征值和本征函數(shù)為：其中：計(jì)算矩陣元引入積分常數(shù)，令，有于是：分兩種情況：（1） 當(dāng)時(shí)，正是周期場V(x)的第n

13、個(gè)傅立葉系數(shù)。（2） 當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋途鶠檎麛?shù)。，同時(shí)分母由于而不為零。于是，近自由電子的本征波函數(shù)：這說明在近自由電子近似下，晶體電子波函數(shù)ynk (r)可由自由電子平面波作為基函數(shù)展開自由電子平面波：即在具有周期性的晶體中，對(duì)的求和不必要在全空間，只需由平面波 及與 差一個(gè)倒格矢 的平面波組合而成。近自由電子的本征能量：當(dāng)時(shí)，分母為零，其原因?yàn)椋焊鶕?jù)一般微擾理論，即在原來零級(jí)波函數(shù)中，將摻入與它有微擾矩陣元的其它零級(jí)波函數(shù)。的權(quán)重因子，也就是說，它們的能量差愈小，摻入的部分就愈大。對(duì)于很接近的k狀態(tài)，在周期場的微擾作用下，最主要的影響將是摻入了和它能量很接近的狀態(tài)（）。針對(duì)這種情況，適當(dāng)?shù)?/p>

14、近似處理方法是，可以忽略所有其它摻入的狀態(tài)，將波函數(shù)寫成，這就是一般簡并微擾方法。*能隙出現(xiàn)將 其中代入波動(dòng)方程，（1）式左乘，并對(duì)x積分，得：同理，（1）式左乘，并對(duì)x積分，得：a, b有解的條件為：小結(jié)：（1） 在近自由電子近似下，晶體電子波函數(shù)ynk (r)可由自由電子平面波作為基函數(shù)展開。（2） 在零級(jí)近似中，電子被看作自由電子，能量具有拋物線的形式。（3） 若k不在附近時(shí)，其能量依然保持拋物線形式。（4） 若k在附近時(shí)，與之有相互作用的作用的狀態(tài)中存在一個(gè)態(tài)，兩者能量相等。有，使得原來能量高的更高，原來能量低的下降，能量發(fā)生突變。突變點(diǎn)在處，即布里淵區(qū)的邊界上，能量突變?yōu)椤?-7 緊

15、束縛近似緊束縛近似是1928年布洛赫提出的第一個(gè)能帶計(jì)算方法。設(shè)想周期場隨空間的起伏顯著。電子在某一個(gè)原子附近時(shí)，將主要受到該原子的作用，其他原子的作用可看作微擾，即電子緊束縛在原子上的情形。也就是，束縛電子的波函數(shù)局域在某個(gè)原子周圍，不同原子之間的波函數(shù)交疊很小。其物理圖象及結(jié)果較適用于過渡族金屬中的3d電子及固體中的其它內(nèi)層電子。緊束縛近似是實(shí)際上是用微擾方法求解束縛電子的波函數(shù)和能帶。其零級(jí)的波函數(shù)是孤立原子的單電子波函數(shù)，對(duì)應(yīng)的能級(jí)是1s, 2s, 2p。一級(jí)哈密頓量代表孤立原子組成晶體以后的等效周期晶格勢修正。孤立原子的定態(tài)薛定諤方程：為位于格點(diǎn)原子的勢場，為孤立原子中電子的能級(jí)。是

16、孤立原子的電子本征態(tài)。n = 1, 2, 3對(duì)應(yīng)1s, 2s, 2p且有以氫原子為例，氫原子的束縛態(tài)波函數(shù)可以表示成：。屬于較低的幾個(gè)能級(jí)的徑向波函數(shù)是：（基態(tài)），；，； ， 。而本征能量為：，為主量子數(shù)。在晶體中（相當(dāng)于許多孤立原子有規(guī)律地排列），其單電子的薛定諤方程為：為晶格周期勢場，為各原子勢場之和，即方程（1）是方程（3）的零級(jí)近似，是的零級(jí)近似。若晶體共有N個(gè)原子，則共有N個(gè)這樣的方程，即共有N個(gè)波函數(shù)具有相同的能量。因此，這N個(gè)波函數(shù)是簡并的。按照簡并微擾方法，令為系數(shù)。當(dāng)時(shí)，具有Bloch函數(shù)的形式，即：。晶體中電子的波函數(shù)用孤立原子的波函數(shù)線性展開的方法，又稱為原子軌道線性組合

17、法(Linear Combination of Atomic Orbital,簡稱LCAO)。將代入薛定諤方程，其中時(shí)孤立原子中電子的能量。同時(shí)令。（4）式左乘并積分，利用的正交歸一性，得：令，稱為晶體場積分，0且數(shù)值不大。這是因?yàn)橐话銥樨?fù)。 在= 0處，較大，但接近0。令，稱為交疊積分或重疊積分，僅當(dāng)相距為的兩格點(diǎn)上原子波函數(shù)有所交疊時(shí)才不為零。緊束縛近似下，只考慮最近鄰的交疊，得：*孤立原子能級(jí)與能帶的形成（1）當(dāng)原子相互接近組成晶體時(shí)，由于原子間的相互作用，原來孤立原子的每一能級(jí)分裂成一能帶。一個(gè)原子能級(jí)對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶。原子的各個(gè)不同能級(jí)，在晶體中將產(chǎn)生一系列相應(yīng)的能帶。（2）愈低的能帶愈

18、窄，愈高的能帶愈寬。這是由于能量較低的帶對(duì)應(yīng)于較內(nèi)層的電子，它們的電子軌道很小，在不同原子間很少相互重疊，因此能帶較窄。能量較高的較外層電子軌道，在不同的原子間將有較多的重疊，從而形成較寬的帶。（3）不同原子態(tài)之間有可能相互混合，即幾個(gè)能級(jí)相近的原子態(tài)相互組合而形成能帶，如s帶和p帶之間等。對(duì)緊束縛方法的評(píng)論：（1） 用緊束縛方法計(jì)算的局域電子態(tài)波函數(shù)是各原子軌道的線性組合，因此直接反映了這些態(tài)的電子空間分布情況，在物理上很直觀。（2） 在實(shí)際應(yīng)用中，很少用緊束縛方法去計(jì)算半導(dǎo)體能帶，而常用它計(jì)算由于平移對(duì)稱性破壞而形成的局域電子態(tài)，如表面電子態(tài)、深雜質(zhì)、缺陷電子態(tài)以及半導(dǎo)體量子阱、量子線、量

19、子點(diǎn)的電子態(tài)等。（3） 緊束縛方法的主要缺點(diǎn)是，可以求得很好的價(jià)帶結(jié)構(gòu)，但不能求得很好的導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)。其根源是在于“緊束縛”近似上，而導(dǎo)帶態(tài)更接近于自由電子近似，因此用緊束縛基函數(shù)很難得到正確的導(dǎo)帶態(tài)。（4） 緊束縛參數(shù)通常由擬合能帶經(jīng)驗(yàn)決定，即使對(duì)同一種材料，不同作者采用不同近似擬合出來的參數(shù)可以相差很大。2正交化平面波，贗勢方法（1）一般平面波方法一般平面波方法是一種嚴(yán)格求解周期勢場中單電子波函數(shù)的方法，物理圖象也很清楚。但是平面波法有一個(gè)致命的弱點(diǎn)，就是收斂性差，要求解的本征值行列式階數(shù)很高，原因是固體中價(jià)電子的波函數(shù)在離子實(shí)區(qū)以外是平滑函數(shù)，而在離子實(shí)區(qū)內(nèi)有較大的振蕩，以保證與內(nèi)層電子波函

20、數(shù)正交。要描述這種振蕩波函數(shù)，需要大量的平面波。對(duì)于薛定諤方程，其哈密頓量為，晶體電子波函數(shù)ynk (r)可由自由電子平面波作為基函數(shù)展開。自由電子平面波：，方程將代入，上式可寫成這是一個(gè)線性齊次方程組，要方程組有解，必須系數(shù)行列式為0，從而可求出。將求得代入方程，可以求出。例：金剛石結(jié)構(gòu)哈密頓矩陣的近似計(jì)算。計(jì)算點(diǎn)的E值點(diǎn)： 哈密頓矩陣元： , 矩陣可分為兩個(gè)小矩陣，矩陣和矩陣在平面波表象中矩陣是對(duì)角的。矩陣對(duì)角元完全由決定。n =1, 2, 代表不同的G。行列式的普遍方程：要計(jì)算上面的行列式，先得解決的計(jì)算?；?，即，對(duì)應(yīng)于倒易空間的任何一個(gè)格矢。為了簡化問題，按的大小，我們得到，。例如，對(duì)

21、于硅晶體材料，其布里淵區(qū)是體心立方，選任何一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)。1）最近鄰，（111）方向，有8個(gè)最近鄰。令為，為為因此令，有，同理，當(dāng)，2）次近鄰（6個(gè)）：（100）方向 3）第三近鄰（12個(gè)）：斜對(duì)角的體心 討論到第三近鄰， 共26個(gè)倒格矢，26個(gè)平面波，其矩陣, H0對(duì)角矩陣,勢能矩陣元：，是V(r) 傅立葉系數(shù)。勢能矩陣分別求出1414，1212矩陣，進(jìn)一步對(duì)角化這矩陣元，最后勢能與動(dòng)能矩陣用H算符的厄米性在方陣轉(zhuǎn)置取復(fù)共軛得到整個(gè)矩陣。對(duì)角化可利用晶體的對(duì)稱性來解決。 這里提出一個(gè)普遍問題：通常取多少個(gè)才足夠解出接近實(shí)際的本征波函數(shù)和本征能量？Heine估算在Al中取M = 1016個(gè)才足

22、夠。這是因?yàn)樵趦稍又虚g，由于原子核被電子有效地屏蔽，勢能很淺，變化很平坦，很接近動(dòng)量為的平面波。然而，組成晶體的原子除了外層價(jià)電子外，還有許多內(nèi)殼層電子態(tài)。這些態(tài)稱為核心態(tài)(core states)，具有空間很局域的電子軌道，相鄰原子的核心態(tài)重疊很小。由于核心態(tài)的波函數(shù)在空間是很局域的，需要非常多的平面波才能正確地給出核心態(tài)的波函數(shù)。因此，M要取很大值，才能既反映接近于的波（G很?。帜芊从炒髣?dòng)量的波成分（G很大）。這就造成一般平面波方法收斂得非常慢。實(shí)際上，直接用一般平面波展開方法計(jì)算晶體能帶是不可能的。為了解決這個(gè)問題，有兩種有效的方法：一種是Herring提出的正交平面波方法（Ort

23、hogonalized Plane Wave，OPW)。一般用幾百個(gè)正交平面波就可以收斂。用正交平面波方法已經(jīng)計(jì)算了很多晶體的能帶。另一種是綴加平面波方法(augmented plane wave, APW)。這兩種方法的基本思想可歸納為：展開基函數(shù)不用單純的K+G的平面波，而是在此之上加進(jìn)一點(diǎn)反映核心態(tài)的波函數(shù)成分。這樣，對(duì)于一個(gè)基函數(shù)，就同時(shí)反映了原子核附近以及兩原子之間的波函數(shù)成分，收斂將大大加快。這兩種方法都可歸納到用贗勢的觀點(diǎn)去分析。下面，我們僅介紹OPW方法。（2）正交平面波方法（Orthogonalized Plane Wave，OPW)晶體電子的基態(tài)和較低態(tài)相當(dāng)于諸孤立原子的內(nèi)

24、層電子態(tài)，展寬了的能帶相當(dāng)于在此之上的能量狀態(tài)。從變分原理看，對(duì)于體系的高態(tài)，變分函數(shù)必須附加上以下條件：與所有比它低的本征函數(shù)正交。由于晶體中核心態(tài)之間的相互作用可以忽略，因此認(rèn)為在晶體中的核心態(tài)與孤立原子中的核心態(tài)是一樣的。因?yàn)榫w中較高能量的電子態(tài)（包括導(dǎo)帶和價(jià)帶）必須與低能量的核心態(tài)正交，因此用一個(gè)與核心態(tài)正交的平面波來代替原來的波函數(shù)，這就是正交平面波方法。這個(gè)與核心態(tài)正交的平面波定義為：，（表征半導(dǎo)體材料中的電子波函數(shù)，核心態(tài)與自由電子平面波的結(jié)合。）其中k：自由電子平面波函數(shù) jk(r)；C：內(nèi)層電子波函數(shù) jc(r)，即核心態(tài)的波函數(shù)。 （注：離子實(shí)區(qū)域內(nèi)外是兩種性質(zhì)不同的區(qū)域

25、。在離子實(shí)區(qū)域外，電子感受到弱的勢場作用，波函數(shù)是光滑的，很象平面波；而在離子實(shí)區(qū)域內(nèi)，由于強(qiáng)烈的局域勢作用，波函數(shù)急劇振蕩，因此最好用平面波與殼層能帶波函數(shù)的線性組合來描述電子的波函數(shù)。）因?yàn)榕c核心態(tài)正交, 有正交化平面波，可寫成：正交化平面波即是平面波扣去其在內(nèi)層電子態(tài)的投影，它與諸正交。其第一項(xiàng)反映了兩原子之間的波函數(shù)，第二項(xiàng)反映緊靠原子核附近內(nèi)層電子的波函數(shù)。（ 將中平行于內(nèi)層電子波函數(shù)的分量去掉。分量是正交的。其中是投影算符。）因此，系統(tǒng)的電子波函數(shù)可用正交平面波展開：*贗勢概念的提出正交化平面波作為基函數(shù)，將代入薛定諤方程 。稱為贗勢。能量可由下式求得：。在求得之后，原則上也可得到

26、，因此波函數(shù)可以得到。小結(jié)：1）上面分析說明，求晶體能帶和波函數(shù)的問題，可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)贗系統(tǒng)的能量和波函數(shù)問題。該贗系統(tǒng)具有贗勢式，其能量與真實(shí)系統(tǒng)相同，都為。其贗波函數(shù)的平面波展開系數(shù)等于真實(shí)系統(tǒng)的波展開系數(shù)。用贗勢代替真實(shí)勢，這樣做表面上看好像僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)變換，但實(shí)質(zhì)上將使能帶計(jì)算大為簡化。（注：用較少的展開項(xiàng)就收斂。贗勢下的贗波函數(shù)與真實(shí)勢下的布洛赫波函數(shù)具有完全相同的能量本征值。固體能帶論主要關(guān)心的是導(dǎo)帶或價(jià)帶電子的能帶結(jié)構(gòu)，而不是波函數(shù)本身。如果我們可以選擇適當(dāng)?shù)内I勢，則可以比較容易地求解出基本真實(shí)的能譜。另外， 利用贗勢方法算出的贗波函數(shù)，除了緊靠原子核處與真實(shí)波函數(shù)不符之外，其

27、他大部分區(qū)域，與真實(shí)波函數(shù)還是符合得很好的。） 真實(shí)系統(tǒng)贗系統(tǒng)勢場V(r)哈密頓量基函數(shù)正交化平面波平面波展開系數(shù)本征波函數(shù)原子之間的空間中兩者一樣本征波函數(shù)原子內(nèi)部振動(dòng)化原子內(nèi)部平滑化能量2）為什么引進(jìn)贗勢以后用較少的展開項(xiàng)就收斂？ 這是因?yàn)槟軒Рê瘮?shù)要求正交于內(nèi)層電子波函數(shù)，這相當(dāng)于一種排斥作用。這種排斥作用部分抵消了靠近原子核處的強(qiáng)吸引（稱為抵消現(xiàn)象），而使等效的贗勢在靠近原子核處變得更為平坦。與此對(duì)應(yīng)， 贗波函數(shù)在原子核附近沒有快振蕩的大動(dòng)量部分，因此也較為平坦，可用少數(shù)幾項(xiàng)平面波展開即可。（注：贗勢中的第一項(xiàng)來源于真實(shí)勢V，它是負(fù)值；第二項(xiàng)來源于正交化手續(xù)，它是一個(gè)正量。由于正交化手

28、續(xù)要求波函數(shù)必須與內(nèi)層電子波函數(shù)正交，它在離子實(shí)區(qū)強(qiáng)烈振蕩，動(dòng)能很大，實(shí)際上起一種排斥勢能的作用，它在很大程度上抵消了離子實(shí)區(qū)V的吸引作用，從而使得矩陣元比平面波中矩陣元小得多，故收斂性比平面波好得多。）（Philips抵消原理：贗勢在核心區(qū)域?qū)r(jià)電子有排斥作用，將價(jià)電子排斥在核心區(qū)域之外，這個(gè)排斥勢幾乎抵消了在核心區(qū)內(nèi)很強(qiáng)的離子吸引勢，最后形成一個(gè)弱的吸引贗勢，這稱為Philips抵消原理。）V(離子勢)r-40-8-123）贗勢的引入具有任意性。我們的目的在于選取一個(gè)最好的贗勢，它在靠近原子核處盡可能平坦而淺，在兩原子之間趨近真實(shí)勢。這樣用較少的展開項(xiàng)就可以求得好的結(jié)果。普遍意義的贗勢概念

29、即：在原子內(nèi)部用一個(gè)假想的勢代替真正的原子勢能，對(duì)求解原子間空間的薛定諤方程來講，若不改變其本征值與本征函數(shù)，則這個(gè)勢為贗勢。正交化平面波所對(duì)應(yīng)的贗勢只是贗勢的一種。又論“贗勢”就是把離子實(shí)的內(nèi)部勢能用假想的勢能取代真實(shí)的勢能，但在求解波動(dòng)方程時(shí)，不改變能量本征值和離子實(shí)之間區(qū)域的波函數(shù)。由贗勢求出的波函數(shù)叫贗波函數(shù)，在離子實(shí)之間的區(qū)域真實(shí)的勢和贗勢給出同樣的波函數(shù)。元素的價(jià)電子決定著在材料的特性，在原子結(jié)合成固體的過程中，價(jià)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了很大變化，內(nèi)層電子則不然。價(jià)電子參與了電荷轉(zhuǎn)移與成鍵，因此希望解波函數(shù)的部分，只處理價(jià)電子就好，而將內(nèi)層電子簡單地視為與孤立原子的內(nèi)層電子相同。固體價(jià)

30、電子波函數(shù)在離子實(shí)之間的區(qū)域變化平緩，與自由電子的平面波相近；離子實(shí)內(nèi)部的區(qū)域，波函數(shù)變化劇烈，存在很多節(jié)點(diǎn)，這是因?yàn)樾枰箖r(jià)電子與內(nèi)層電子波函數(shù)正交，徑向函數(shù)乘積積分為零，因而離子實(shí)內(nèi)部出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)使一部分區(qū)域?yàn)檎?，一部分為?fù)?！摆I勢”顧名思義，是一種假的位勢，但概括了離子實(shí)的吸引作用和波函數(shù)的正交要求，這二者相互抵消，贗勢總是使離子實(shí)內(nèi)部的電子波函數(shù)盡可能的平坦。最簡單的模型可以是取距原子中心r處為劃分點(diǎn)，大于r的區(qū)域波函數(shù)完全一樣保留，而r以內(nèi)則對(duì)波函數(shù)加以改造。主要是要把振蕩劇烈的波函數(shù)改造以變化緩慢的波函數(shù)，而且沒有節(jié)點(diǎn)，少了劇烈振蕩。這樣選擇參量r，就可以使模型與真實(shí)結(jié)果相符合。 *討

31、論能帶計(jì)算的具體問題。對(duì)于具體一個(gè)晶體，位于一個(gè)格點(diǎn)的原胞中包含幾個(gè)原子，它們相對(duì)于原胞零點(diǎn)的坐標(biāo)為。每個(gè)原子對(duì)應(yīng)的局域贗勢為，則晶體的贗勢可寫為。計(jì)算矩陣元定義：結(jié)構(gòu)因子，形式因子 是的傅立葉變換。對(duì)于選取得好的贗勢，由于贗勢很平坦，只有動(dòng)量很小的傅立葉分量才不為零。只需選擇合適的贗勢，就可用較少的平面波展開來計(jì)算矩陣元。例：金剛石結(jié)構(gòu)，面心立方，一個(gè)原胞兩個(gè)原子，取兩原子連線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示。 a 為面心立方邊長。對(duì)于硅，。對(duì)稱勢：，反對(duì)稱勢：結(jié)構(gòu)因子金剛石結(jié)構(gòu)，采用贗勢后，空間變化緩慢， 只包含較少的G。由于球?qū)ΨQ關(guān)系，僅與倒格矢的絕對(duì)值有關(guān)。對(duì)于硅，有：化合物半導(dǎo)體 ，則：

32、兩種計(jì)算贗勢形式因子的途徑：l 經(jīng)驗(yàn)贗勢Empirical Pesudo-potential Method(EPM), 可通過經(jīng)驗(yàn)贗勢的計(jì)算與實(shí)驗(yàn), 如光反射譜的極值點(diǎn)或光電子特征峰比較得到，要求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入，某個(gè)元素的u(G)一旦確定, 可以在別的化合物中用?？赊D(zhuǎn)移性（transferability）問題：原子贗勢都是根據(jù)各種元素晶體的能帶和光學(xué)性質(zhì)確定的。對(duì)于Si，Ge這些元素半導(dǎo)體當(dāng)然直接可用。但對(duì)于化合物半導(dǎo)體，能否直接用組合化合物的兩種元素的原子贗勢來計(jì)算它的能帶？經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在零級(jí)近似下，這樣做是可行的，但為了與化合物能帶結(jié)構(gòu)符合得更好，還需對(duì)每一種化合物所取得的原子贗勢做適當(dāng)?shù)男拚?/p>

33、。l 自洽贗勢Self-consistent or ab-initio PS method假定在晶體中各個(gè)原子位置上由相應(yīng)的裸離子贗勢周期排列，疊加構(gòu)成了正離子贗勢背景。第一步選經(jīng)驗(yàn)贗勢作為初始勢。在處截?cái)嗟内I勢形狀因子就足以用來計(jì)算能帶的，即利用上述表格提供的信息就足夠了。作業(yè)：請(qǐng)證明對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)的元素半導(dǎo)體材料和閃鋅礦結(jié)構(gòu)的化合物半導(dǎo)體材料，當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，并進(jìn)一步說明對(duì)于表2.21，為什么沒有和？ 3 緊束縛近似或原子軌道線性組合近似（LCAO）LCAO方法是討論固體能帶和波函數(shù)的最早方法之一。近年來該方法有了很大的發(fā)展，并廣泛用于定量計(jì)算具體的晶體能帶結(jié)構(gòu)。該方法簡單明了，與孤立原子狀態(tài)

34、的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確。它形象地闡明了孤立原子對(duì)應(yīng)的能級(jí)，在原子相互靠近形成晶體時(shí)展寬成能帶。下面給出該方法的要點(diǎn)。 3-1 簡單格子晶體電子波函數(shù) 為歸一化常數(shù)。因?yàn)?，因此對(duì)應(yīng)不同格點(diǎn)的交疊情況。 ， Ha原子哈密頓量，為晶體勢場與位于某格點(diǎn)的孤立原子勢場的差，可視為微擾。左乘后積分得：兩邊除以，得： 3-2 復(fù)式格子，LCAO的普遍形式考慮兩方面：（1）對(duì)于同一個(gè)格點(diǎn)原子的好幾個(gè)狀態(tài)，不同電子態(tài)m, 如 3S, 3PX,3PY,3PZ等。 （2）一個(gè)布喇菲原胞有幾個(gè)原子。我們用標(biāo)明同一原胞但不同格點(diǎn)位，而第j個(gè)原胞中第個(gè)格點(diǎn)位矢為.表示格點(diǎn)在處位上的原子的m狀態(tài)的原子波函數(shù)。，其中，j對(duì)全體布喇

35、菲點(diǎn)求和，m對(duì)同一格點(diǎn)不同原子軌道求和，對(duì)原胞中不同格點(diǎn)求和。 j: 原胞，：原子坐標(biāo) m：電子態(tài)（其中在對(duì)j求和時(shí)的表示）其中對(duì)應(yīng)不同格點(diǎn)的交疊情況。當(dāng)不同格點(diǎn)相互正交時(shí)，。將代入薛定諤方程，左乘積分可得：， ，考慮到格點(diǎn)的周期性 內(nèi)與j無關(guān), 同理，可得 由此可求得能量。3-3 例：金剛石結(jié)構(gòu)（閃鋅礦結(jié)構(gòu)）1） 四面體結(jié)構(gòu)，一個(gè)原胞含兩個(gè)原子，閃鋅礦結(jié)構(gòu)含兩不同的原子，中心原子為A，近鄰為B。 僅計(jì)最近鄰原子。2） 忽略自旋軌道相互作用，每個(gè)原子考慮S、P軌道，它們是如Si：3S，3Px，3Py，3Pz。結(jié)構(gòu)如圖所示：最近鄰原子繞Z軸旋轉(zhuǎn)p（180度）：繞X軸旋轉(zhuǎn)p（180度）：繞Y軸旋轉(zhuǎn)

36、p（180度）：繞111軸轉(zhuǎn)2p/3或3p/4： 反演平移： 原子波函數(shù)：Si：3S，3Px，3Py，3Pz。普通原子軌道波函數(shù)用直角坐標(biāo)表示，P(l=1)軌道徑向波函數(shù)考慮對(duì)稱性方便，上述函數(shù)的線性組合P波函數(shù)，對(duì)稱性與x, y, z 同。對(duì)于硅，可以選擇八個(gè)緊束縛的基函數(shù)：。附：進(jìn)一步的解釋對(duì)于內(nèi)層電子，能帶寬度較小，能級(jí)與能帶之間有簡單的一一對(duì)應(yīng)；外層電子，能帶較寬，能級(jí)與能帶之間的對(duì)應(yīng)變得比較復(fù)雜。這時(shí)可以認(rèn)為主要由幾個(gè)能級(jí)相近的原子態(tài)相互組合而形成能帶，而略去了其他較多原子態(tài)的影響。例如：只計(jì)入同一主量子數(shù)中的s態(tài)與p態(tài)之間的相互作用，先把各原子態(tài)組成布洛赫和。對(duì)于硅，每個(gè)原胞有2個(gè)

37、原子，3s和3p軌道相互雜化，所以至少需要8個(gè)布洛赫和：晶體中的電子波函數(shù)八個(gè)緊束縛的基函數(shù)：。對(duì)同一格點(diǎn)上不同原子軌道是正交的。不同格點(diǎn)上原子軌道由于有交疊一般不正交，但可采取所謂的變換方法把它們重新組合成8個(gè)新的軌道，仍具有s和p對(duì)稱性且相互正交。有：取為坐標(biāo)原點(diǎn)，*積分分類l 自身原子 Es, Ep l 同態(tài) Hssl P-S , , Hxsl S-P , , Hxsl 同態(tài) , , Hxxl P-P , , Hxyl P-P , Hxy（1）同格子自身原子，即只考慮同一原子上不同軌道間的積分： 考慮在原子范圍內(nèi)，晶體哈密頓量近似地與孤立原子的哈密頓量H0相等， 用H0代替H在同一原子范

38、圍內(nèi)是可行的。表明同一原子的兩個(gè)緊束縛基函數(shù)間的H矩陣元，只當(dāng)屬于同一軌道時(shí)才不為零。且矩陣元的本征值就是對(duì)應(yīng)軌道能量本征值。（2）同一個(gè)原胞內(nèi)不同原子之間的相互作用，僅考慮與最近鄰的四個(gè)原子的相互作用。有多種不同的積分，可分成幾類情況，A為原點(diǎn)，B為近鄰, 如前面所述。（a） m相同，不同。由于具有球?qū)ΨQ性，四個(gè)積分相等。即其中（b）m不同，不同。令，按(x，y，z)變換。繞Z軸旋轉(zhuǎn)p（180度）：因?yàn)榈膶?duì)稱性和一樣，因此繞Z軸旋轉(zhuǎn)p之后，所以有：繞X軸旋轉(zhuǎn)p（180度）：繞Y軸旋轉(zhuǎn)p（180度）：其中。同樣的方法分析 繞111轉(zhuǎn)2p/3，3p/4 所需參數(shù)：。這些參數(shù)通常用兩個(gè)方法來確定。

39、第一種方法先確定晶體勢場V和原子軌道函數(shù)，然后用計(jì)算機(jī)計(jì)算矩陣元。第二種方法是將這些參數(shù)作為待定參數(shù)，在布里淵區(qū)某些特殊k點(diǎn)處寫出以待定參數(shù)為自變量的的函數(shù)形式。由實(shí)驗(yàn)中得到，通過解方程求出待定函數(shù)，再用計(jì)算機(jī)求出全部布里淵區(qū)的值。對(duì)于As Bs Ax Bx Ay By Az BzAs Esa-Ek Hss Bs Hss Esb-Ek Ax Epa-Ek Hxx Bx Hxx Epb-Ek Ay Epa-Ek Hxx By Hxx Epb-Ek Az Epa-Ek Hxx Bz Hxx Epb-Ek 在處，s態(tài)和諸p態(tài)可以分開考慮。AB例：金剛石結(jié)構(gòu)，求在G點(diǎn)本征值及本征函數(shù)。（1）S態(tài)其中E

40、s為原子軌道s態(tài)的能級(jí)。是H與A, B原子S軌道(球?qū)ΨQ)的重疊積分。這是因?yàn)槭乔驅(qū)ΨQ的，交疊部分符號(hào)一致，因此交疊部分為正，而勢能部分是負(fù)的，積分。本征函數(shù)：以上求和只涉及到兩項(xiàng)，因此，有兩個(gè)狀態(tài)：（反鍵態(tài)）： 兩個(gè)格點(diǎn)中波函數(shù)相互抵消，電子在該處出現(xiàn)的幾率較少。能量較高（所對(duì)應(yīng)的能量比孤立原子態(tài)的能量高）。（成鍵態(tài)）： 在兩個(gè)格點(diǎn)中波函數(shù)相互加強(qiáng)，電子云濃度較高，能量較低（所對(duì)應(yīng)的能量比孤立原子態(tài)的能量低）。（2）P態(tài)分析：與S態(tài)分析相似，3個(gè)完全相似的22矩陣，說明能級(jí)是三度簡并 令因?yàn)闉锳原子P軌道與B原子P軌道的重疊積分，波函數(shù)交疊部分為負(fù)（P態(tài)波函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)反對(duì)稱，交疊部分符號(hào)相反

41、），勢函數(shù)0，所以ll小結(jié)： 緊束縛近似能夠清楚表明LCAO 能帶與原子能級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系 計(jì)算價(jià)帶結(jié)果較好 需要改進(jìn)的地方： 包含更多的原子和原子軌道 晶體對(duì)稱性與本征態(tài)分類：介紹有關(guān)群論知識(shí)（不作證明）（可參考Peter Y.Yu，F(xiàn)undamentals Manual Cardona of Semiconductors）u 晶體對(duì)稱性l 晶體對(duì)稱性，指晶體在某一操作下或幾何變換下物體不變性。l 把一種幾何變換稱一種對(duì)稱操作。晶體的對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群，如所有操作中至少保持一點(diǎn)不變，這些對(duì)稱操作的集合稱為點(diǎn)群。l 晶體點(diǎn)群的對(duì)稱操作可分成若干類，晶體電子波函數(shù)的對(duì)稱性也分成這些類。u 構(gòu)成一個(gè)群的

42、條件l 每個(gè)群元的乘積AB（AA）需是群中的一個(gè)元l 群中需有一個(gè)不變的群元E，AE=EA=Al 滿足結(jié)合律，A（BC）=（AB）Cl 群中每一個(gè)元A有逆元A-1，滿足AA-1=A-1A，u 立方體對(duì)稱性a. 繞三立方軸轉(zhuǎn)動(dòng) p/2，p，3p/2， 33=9個(gè)對(duì)稱操作b. 繞面對(duì)角線轉(zhuǎn)p，6條面對(duì)角線，6個(gè)對(duì)稱操作c. 繞體對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)2p/3，4p/3，4條體對(duì)角線，24=8個(gè)對(duì)稱操作OxyzBEAGDHCFr1r2r4r3d. 不變操作 E 1個(gè)對(duì)稱操作 共計(jì)：24 O群e. 中心反演，242=48個(gè)對(duì)稱操作 48對(duì)稱操作構(gòu)成Oh群(熊夫列符號(hào))u 四面體對(duì)稱性 * 繞三立方軸轉(zhuǎn)動(dòng) p，3個(gè)

43、對(duì)稱操作* 繞體對(duì)角線，轉(zhuǎn)動(dòng) 2p/3，4p/3，24 = 8個(gè)對(duì)稱操作* 不變操作E，1個(gè)對(duì)稱操作* 繞立方軸轉(zhuǎn)動(dòng) p/2，3p/2，加中心反演，6個(gè)對(duì)稱操作* 繞垂直對(duì)角面(鏡面)線轉(zhuǎn)p，加中心反演，6個(gè)對(duì)稱操作 Td群 24個(gè)對(duì)稱操作u 金剛石結(jié)構(gòu)的對(duì)稱操作 Td群操作不能使A、B原子分別恢復(fù)，必須Td群操作加反演及再平移 u 本征態(tài)分類 群表示：任何一個(gè)群是群元的組合。群元往往是抽象的。它們用相應(yīng)的矩陣來表示。這些矩陣在通常矩陣所遵循的運(yùn)算法則下，本身構(gòu)成群。稱為群G表示或群表象。群對(duì)稱操作Ri，作用函數(shù)f (x,y,z)形成fifi = Ri f , 封閉性，Rfi = Sj fj

44、aji, ， a ji, 變換矩陣 如矩陣不能通過相似變換約化成如右圖準(zhǔn)對(duì)角矩陣，表示是不可約的。不可約表示（表象）既是矩陣，就有基函數(shù)與維數(shù)問題?！安豢杉s表示”是指維數(shù)不能再減約的表示。 *不可約表示數(shù) = 群類的個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)上可證，Oh群，10類不同表象。Td群，5類不同表象不可約表示符號(hào)Koster G1 G2 G3 G4 G5 BSW G1 G2 G12 G15 G25 Molecular A1 A2 E T2 T1每個(gè)不可約表象G1，G15，G25。有特定的對(duì)稱性，是以基函數(shù)表征的。 * 群的不可約表示的維數(shù)平方 = 群元的個(gè)數(shù)，如：Oh群 48=32+32+32+32+22+22+12

45、+12+12+12Td群 24=32+32+22+12+12本征態(tài)的簡并 R：單電子哈密頓量H不變的對(duì)稱操作 說明也是屬于H的同一本征值的本征態(tài)。晶體勢的對(duì)稱性會(huì)引起本征態(tài)的簡并。如E是n度簡并，在R作用下有n獨(dú)立的本征函數(shù)j1,j2.jn。，是對(duì)稱操作（群元）。矩陣是n維，矩陣的維數(shù)n就是本征態(tài)的簡并度。Oh 群表象 簡并度 基函數(shù) G1 1 1G1 1 xyzx4(y2-z2)+y4(z2-x2) +z4(x2-y2)G2 1 x4(y2-z2) + y4(z2-x2) + z4(x2-y2)G2 1 xyzG12 2 z2 -1/2(x2+y2), (x2-y2)G12 2 xyz z2

46、 -1/2(x2+y2), xyz (x2-y2) 有無“”的差別是基函數(shù)不同。G15 3 x, y, zG15 3 xy(x2-y2), yz(y2-z2), zx(z2-x2)G25 3 z(x2-y2), x(y2-z2), y(z2-x2)G25. 3 xy, yz, zxG1 全對(duì)稱表象,所有對(duì)稱操作下, 變換矩陣為1 G2 Td 操作下, 與 G1同, ITd 操作下, 與 G1反號(hào)G15 基函數(shù)為x,y,z一樣變換G25. Td操作下, 與 G15同, ITd 操作下, 與G15反號(hào) G點(diǎn)是按Oh群不可約表象來分類。如 G點(diǎn)是Oh群的不可約表象G15，即三重簡并。 S態(tài): 1.

47、js -= (1/2)1/2 jsa + j sb js球?qū)ΨQ，Td與ITd操作下不變, 成鍵態(tài)，G1對(duì)稱性2. js+ = (1/2)1/2 jsa - j sb Td操作下不變, ITdt操作a,b 互換,反號(hào)，反鍵態(tài)，G2對(duì)稱性 P態(tài): 1. jp += (1/2)1/2 jpa + j pb jp G15對(duì)稱性, Td G15, ITdt 操作 G1對(duì)稱性，反鍵態(tài)，G15對(duì)稱性 2. jp - = (1/2)1/2 jpa - j pb jp G15對(duì)稱性, Td，ITdt 操作 G2對(duì)稱性G15, 成鍵態(tài)，G25 對(duì)稱性 4 計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)的微擾方法半導(dǎo)體的物理性質(zhì)主要取決于導(dǎo)帶和價(jià)帶邊的能帶結(jié)構(gòu)。能帶計(jì)算的方法是求解布里淵區(qū)中高對(duì)稱點(diǎn)附近能帶結(jié)構(gòu)最簡便的方法。它可以得到帶邊附近的能帶色散關(guān)系和有