第6章 連續(xù)交通流模型

1、Ch6 連續(xù)交通流模型1第六章第六章連續(xù)交通流模型連續(xù)交通流模型Ch6 連續(xù)交通流模型2本章主要內(nèi)容n1 1 簡單連續(xù)流模型 n2 2 交通波理論n3 3 動(dòng)態(tài)模型Ch6 連續(xù)交通流模型3n教學(xué)目的：掌握連續(xù)交通流模型守恒方程和動(dòng)態(tài)連續(xù)交通流模型守恒方程和動(dòng)態(tài)模型的建立模型的建立方法及其數(shù)值解法及其數(shù)值解法，了解交通波理論交通波理論的特點(diǎn)及其適用條件。 n重點(diǎn)：交通流模型守恒方程及其數(shù)值解法交通流模型守恒方程及其數(shù)值解法n難點(diǎn)：交通流模型的數(shù)值解法交通流模型的數(shù)值解法Ch6 連續(xù)交通流模型4n從高空俯看高速公路：來往的車流想象成河流或某從高空俯看高速公路：來往的車流想象成河流或某種連續(xù)的流體。

2、（車如流水馬如龍，種連續(xù)的流體。（車如流水馬如龍，）n相似性：使用流量、密度、速度、運(yùn)動(dòng)方程等流體相似性：使用流量、密度、速度、運(yùn)動(dòng)方程等流體力學(xué)術(shù)語來描述交通流特性。力學(xué)術(shù)語來描述交通流特性。n流體（氣體、液體）滿足兩個(gè)基本假設(shè)：即流體（氣體、液體）滿足兩個(gè)基本假設(shè)：即流量守流量守恒恒和和速度與密度速度與密度(或流量與密度或流量與密度)對應(yīng)對應(yīng)。n對于交通流，流量守恒容易證明，而第二個(gè)假設(shè)的對于交通流，流量守恒容易證明，而第二個(gè)假設(shè)的成立需要有一定的條件。成立需要有一定的條件。n本章使用本章使用解析解法解析解法和和數(shù)值解法數(shù)值解法，討論交通波理論。，討論交通波理論。Ch6 連續(xù)交通流模型51

3、 簡單連續(xù)流模型 一、守恒方程的建立一、守恒方程的建立n考察一個(gè)單向連續(xù)路段，選擇兩個(gè)交通記數(shù)站。n設(shè)Ni為t時(shí)間內(nèi)通過i站的車輛數(shù)，qi是通過i站的流量，t為1,2站同時(shí)開始記數(shù)所持續(xù)的時(shí)間。另N=N2-N1，則有： N1/t=q1 N2/t=q2 N/t=q 即：N=qtCh6 連續(xù)交通流模型6n如果如果x足夠短，路段內(nèi)密度足夠短，路段內(nèi)密度k保持一致，則密度保持一致，則密度增量增量k可表示為：可表示為：n假設(shè)兩站間車流連續(xù)，且允許有限的增量為無窮假設(shè)兩站間車流連續(xù)，且允許有限的增量為無窮小，取極限得交通流的守恒規(guī)律（守恒方程）小，取極限得交通流的守恒規(guī)律（守恒方程）21()NNkkxNx

4、q tNqtkx 0tkxq0tkxq取極限取極限Ch6 連續(xù)交通流模型7n如果路段上有交通的產(chǎn)生或離去，如果路段上有交通的產(chǎn)生或離去，n守恒方程的一般形式：守恒方程的一般形式： n首先由首先由Lighthill、Whitham和和Richards獨(dú)立提出，獨(dú)立提出，故也稱為故也稱為LWR模型模型( , )qkrsg x txtCh6 連續(xù)交通流模型8二、守恒方程的解析解法n考慮沒有交通產(chǎn)生和離去的影響，n即r(x,t)=s(x,t)=0的情況，將守恒方程變化n如f(k)采用格林希爾治速度密度線性模型，則0)()()(tkxkdkdfkxkkftkkkfxtkkux0)(tkxkdkdfkkf

5、02tkxkkkuujff(1)fjkuukCh6 連續(xù)交通流模型9作業(yè)作業(yè)6-1：n如公式（7-4）中的 f(k)分別采用格林伯模型和安德伍德模型安德伍德模型，試推導(dǎo)出守恒方程的具體形式。n答案：ln10jmkkkukxt110mkkfmkku ekxtCh6 連續(xù)交通流模型10三、守恒方程的數(shù)值解法（數(shù)值計(jì)算）n思路：把所要考慮的道路離散成若干微小的路段x，并按連續(xù)時(shí)間增量t來更新（迭代）離散化的網(wǎng)絡(luò)中每一節(jié)點(diǎn)的交通流參數(shù)值。Ch6 連續(xù)交通流模型111.道路離散：x： 710m， 時(shí)間離散：t：0.11. 0s，成二維網(wǎng)格2. 更新（迭代）網(wǎng)絡(luò)中每一節(jié)點(diǎn)的交通流參數(shù)值。Ch6 連續(xù)交通流

6、模型12n將守恒方程的離散化將守恒方程的離散化nT為觀測周期，T=nt，且滿足下面的方程：( , )qkg x txt11111111()()()222nnnnnnnjjjjjjjttkkkqqggx1111111()/2()/21()2nnnnnjjjjjnnjjqqkkkxtgg離散化：離散化：Ch6 連續(xù)交通流模型13nT為觀測周期，為觀測周期，T=nt，且滿足下面的方程：，且滿足下面的方程：式中：式中：knj、qnj在在j路段，路段，t=t0+nt時(shí)刻的密度、流量；時(shí)刻的密度、流量； t0初始時(shí)刻，通常設(shè)初始時(shí)刻，通常設(shè) t0 =0 t、x時(shí)間和空間的增量，時(shí)間和空間的增量， gnj路

7、段路段j在在t=t0+nt的凈流率的凈流率(產(chǎn)生率減去離去率產(chǎn)生率減去離去率)n穩(wěn)定要求：穩(wěn)定要求：x/t大于自由流速度大于自由流速度11111111()()()222nnnnnnnjjjjjjjttkkkqqggxCh6 連續(xù)交通流模型14n如果密度確定，在如果密度確定，在t=t0+nt時(shí)刻的速度由平衡態(tài)時(shí)刻的速度由平衡態(tài)速度速度密度關(guān)系獲得，即密度關(guān)系獲得，即n對于格林希爾治線性模型有：對于格林希爾治線性模型有：n如果無法獲得如果無法獲得u的解析表達(dá)式，可以從的解析表達(dá)式，可以從u-k曲線通過數(shù)值方曲線通過數(shù)值方法獲得其數(shù)值解。法獲得其數(shù)值解。t0+t(n+1)時(shí)的流率為：時(shí)的流率為：)(

8、11njenjkuu)1 (11jamnjfnjkkuunnnjjjqk uCh6 連續(xù)交通流模型15算例假設(shè)某單車道公路，沒有交通產(chǎn)生和離去的影響，速度速度密度關(guān)系按照密度關(guān)系按照Greenshields線性模型，線性模型，求守恒方程的數(shù)值解。求守恒方程的數(shù)值解。設(shè)：設(shè)：nuf =100km/h=27.8m/s, kjam=35veh/km/ln=0.035veh/m/ln, n觀測周期2min；T=120s；t=0.3sn路段長度為2km；L=2000m；x=10m x/t=33.3m/s uf ，大于自由流速度n初始條件：k(x,0)=x(L-x)/40000000；(設(shè)定) kmax(

9、x,0)=0.025veh/m/ln0 ，前進(jìn)波，前進(jìn)波 當(dāng)當(dāng)uw 0，后退波，后退波 212121210():00():0qqABkkqqBAkk集結(jié)波消散波212121210():00():0qqBCkkqqCBkk集結(jié)波消散波Ch6 連續(xù)交通流模型42三、停車波和啟動(dòng)波三、停車波和啟動(dòng)波1. 模型的變化模型的變化n格林希爾治線性模型的表達(dá)式：格林希爾治線性模型的表達(dá)式：n將密度標(biāo)準(zhǔn)化將密度標(biāo)準(zhǔn)化式中：式中：i i車流的標(biāo)準(zhǔn)化密度。車流的標(biāo)準(zhǔn)化密度。(1)iifjamkuuk/iijamkkCh6 連續(xù)交通流模型43式中：式中：uf 自由流速度自由流速度 1、2分界線分界線S兩側(cè)的標(biāo)準(zhǔn)化密

10、度兩側(cè)的標(biāo)準(zhǔn)化密度n波速為：波速為：n將公式簡化：將公式簡化：1122(1)(1)ffuuuu112212(1)(1)ffwk uk uukk)(1 21fwuuCh6 連續(xù)交通流模型442. 停車波停車波n假定車隊(duì)以區(qū)間平均速度假定車隊(duì)以區(qū)間平均速度u1行駛，在交叉口停車行駛，在交叉口停車線處遇到紅燈停車。此時(shí)，線處遇到紅燈停車。此時(shí)，k2=kj，即，即2=112111()1(1)wfwffuuuuu 表明，由于停車而產(chǎn)生的波，以表明，由于停車而產(chǎn)生的波，以uf1的速度向后方的速度向后方傳播，經(jīng)過傳播，經(jīng)過t秒以后，將形成一列長度為秒以后，將形成一列長度為uf1t的排隊(duì)的排隊(duì)車隊(duì)。車隊(duì)。Ch

11、6 連續(xù)交通流模型453. 起動(dòng)波起動(dòng)波n當(dāng)車輛起動(dòng)的時(shí)候，當(dāng)車輛起動(dòng)的時(shí)候，k1=kj，即，即1=12222(1)1ffuuuu 即：2221(1)()wffffuuuuuu 由于由于u2是剛剛起動(dòng)時(shí)的車速很小，與是剛剛起動(dòng)時(shí)的車速很小，與uf相比可忽略。相比可忽略。因此這列排隊(duì)等待車輛從一開始起動(dòng)，就產(chǎn)生了因此這列排隊(duì)等待車輛從一開始起動(dòng)，就產(chǎn)生了起動(dòng)波，該波以接近起動(dòng)波，該波以接近uf的速度向后傳播。的速度向后傳播。Ch6 連續(xù)交通流模型46四、交通波理論的應(yīng)用四、交通波理論的應(yīng)用沖擊波分析沖擊波分析n公路中的應(yīng)用公路中的應(yīng)用上游車速為上游車速為68km/h中間插入一輛慢車，車速為中間插

12、入一輛慢車，車速為20km/h，行駛，行駛2km后離開，后離開，慢車對車隊(duì)的影響？慢車對車隊(duì)的影響？Ch6 連續(xù)交通流模型473 3 高階模型高階模型n由于加速度和慣性的影響，交通流的平均速度由于加速度和慣性的影響，交通流的平均速度u(k)不可能在瞬間隨不可能在瞬間隨k變化。變化。n可以證明：車流的加速和減速行為與車流前方可以證明：車流的加速和減速行為與車流前方密度的有關(guān)。密度的有關(guān)。Ch6 連續(xù)交通流模型48一、交通流觀測中的加速度一、交通流觀測中的加速度n其中，其中， 是觀測車隨交通流行駛的加速度，是觀測車隨交通流行駛的加速度， 是是觀測者在路邊固定點(diǎn)所觀測到的交通流的加速度。觀測者在路邊

13、固定點(diǎn)所觀測到的交通流的加速度。如果假設(shè)如果假設(shè)u是是k的函數(shù)，即：的函數(shù)，即：u=u(k) uududtdxtxduuuudttxdtdutuudu ktdktudu kxdkxxkdkduutkdkdudtduCh6 連續(xù)交通流模型49( )( )wqdq kkqkuku kq kuxdkxx()wwkqkdqdduuukuuktxxdkdkdk )(uuxkdkduxkdkduuxkudkdudtduww2()dudukkdtdkx 0000kduxdtkduxdtCh6 連續(xù)交通流模型502()dudukkdtdkx 0()00()0kduxdtkduxdt前方密度增大，車流減速前方密

14、度減小，車流加速從理論上證明了車流的加速和減速行為與車流前從理論上證明了車流的加速和減速行為與車流前方密度的關(guān)系。方密度的關(guān)系。Ch6 連續(xù)交通流模型51二、速度動(dòng)態(tài)模型二、速度動(dòng)態(tài)模型n車速的變化總比前方車速的變化總比前方x處密度的變化滯后一個(gè)時(shí)間處密度的變化滯后一個(gè)時(shí)間n左側(cè)對左側(cè)對、右側(cè)對、右側(cè)對x進(jìn)行進(jìn)行泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開并略去高階項(xiàng)并略去高階項(xiàng)nx為平均車頭間距，為平均車頭間距，x=s=1/k， 近似看做常數(shù)并且近似看做常數(shù)并且小于零，引入一個(gè)大于零的常數(shù)小于零，引入一個(gè)大于零的常數(shù) c02，令，令( ,) (, )eu x tU k xx t ( , )( )( , )( )

15、eedu x tdUkku x tUkxdtdkxedUdk20edUcdk 20( , )1( )( , )edu x tckU ku x tdtkxCh6 連續(xù)交通流模型52n因?yàn)椋阂驗(yàn)椋簄進(jìn)行空間離散化處理，即把道路劃分為若干路段，并假設(shè)第進(jìn)行空間離散化處理，即把道路劃分為若干路段，并假設(shè)第i路段內(nèi)交通情況保持一致，其交通流參數(shù)為路段內(nèi)交通情況保持一致，其交通流參數(shù)為ui(t)、ki(t)tuuxudtdu201( )euuckuU kutxkx 20111( )(),1,2,.iiieiiiiiuc kkuU kuuuiiki20111( )(),1,2,.iiieiiiiiuc kk

16、uU kuuuiii ki為第為第i路段的長度，路段的長度，200m1000m，為調(diào)整系數(shù)為調(diào)整系數(shù)Ch6 連續(xù)交通流模型53n對采樣周期對采樣周期T進(jìn)行時(shí)間離散化處理進(jìn)行時(shí)間離散化處理20111( )(),1,2,.iiieiiiiiuc kkuU kuuuiii k1201(1)( )( ( )( )( )( )( )( )( ) , 1,2,.;0,1,2,.( )iieiiiiiiiTTujujU kjujuj ujujic T kjk jijikj(1)( )1,2,.u ju jujT詳見：M.Papageorgiou “Multiplayer control system des

17、ign applied to freeway traffic. IEEE Trans. Autom. Control, 29(6): 1984, pp.482-490 Ch6 連續(xù)交通流模型54n在動(dòng)態(tài)過程中，平均速度由四個(gè)方面決定：在動(dòng)態(tài)過程中，平均速度由四個(gè)方面決定：(1)前一時(shí)刻的速度前一時(shí)刻的速度(2)平均速度要朝著穩(wěn)態(tài)方向變化，即朝著與平均速度要朝著穩(wěn)態(tài)方向變化，即朝著與Ueki(j)相一致的數(shù)值趨近，并且駕駛員反應(yīng)越快，這一相一致的數(shù)值趨近，并且駕駛員反應(yīng)越快，這一作用越大；作用越大；(3)平均速度值與上游相鄰路段中的速度有關(guān)平均速度值與上游相鄰路段中的速度有關(guān)(4)平均速度值與下

18、游相鄰路段內(nèi)的交通密度有關(guān)平均速度值與下游相鄰路段內(nèi)的交通密度有關(guān)n在車道數(shù)目有所改變或匝道流量較大的情況下，在車道數(shù)目有所改變或匝道流量較大的情況下，需要對模型加以修正。需要對模型加以修正。Ch6 連續(xù)交通流模型55n設(shè)設(shè)t時(shí)刻在時(shí)刻在x點(diǎn)存在側(cè)向駛?cè)?、駛出?xiàng)點(diǎn)存在側(cè)向駛?cè)?、駛出?xiàng)r、s(其中其中r=ri/i，ri為匝道流入率，為匝道流入率，s=si/i，si為匝道流出為匝道流出率率)，設(shè)這些車輛速度為，設(shè)這些車輛速度為ur，低于干線車流速度，低于干線車流速度u。因此連續(xù)型速度模型引入修正項(xiàng)。因此連續(xù)型速度模型引入修正項(xiàng)。n離散模型的修正項(xiàng)為：離散模型的修正項(xiàng)為：()errsrsuuuuukku 其中，201( )euuckrsuUkuutxk