matlab 最優(yōu)捕魚策略（課堂PPT）

1、1 為保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)等資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。 考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略。假設這種魚分4個年齡組：稱一齡魚、二齡魚、三齡魚、四齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99(克）;各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（/年）；這種魚季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為為1.109105（個），3齡魚產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半， 2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率為（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）1.2210

2、11/(1.221011+n).漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期的前8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如魚船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱為捕撈強度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。 最優(yōu)捕魚策略最優(yōu)捕魚策略2 （1）建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕撈（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變)，并且在此前提下得到最高年收獲量（捕撈總重量）。（2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受

3、到太大破壞。 已知承包時各年齡組魚群數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29（109條）。如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司采用怎樣的策略才能使總收獲量最高。3（1）假設只考慮一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長過程中不考慮魚的遷入與遷出.模型的假設模型的假設（2）假設各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時間都會發(fā)生自然死亡，產(chǎn)卵可在后四個月內(nèi)任何時間發(fā)生.（3）假設3、4齡魚全部具有生殖能力，或者雖然雄魚不產(chǎn)卵，但平均產(chǎn)卵量掩蓋了這一差異.（4）假設各年齡組的魚經(jīng)過一年后，即進入高一級的年齡組，但4齡魚經(jīng)過一年后仍視為4齡魚.（5）假設對魚的捕撈用固定努力量捕撈方式，每年的捕撈強度系數(shù)保持不變，且捕

4、撈只在前八個月進行.4Ni(t)t 時刻i 齡魚的數(shù)量 Ni0 (k) 第k 年初i 齡魚的數(shù)量Ni1 (k)_第k年底i 齡魚的數(shù)量 (i=1，2，3，4) r魚的自然死亡率c 4齡魚的平均產(chǎn)卵量 (則c/2為3齡魚的平均產(chǎn)卵量)Qk k年度魚產(chǎn)卵總量p 魚卵的成活率Mi第i 齡魚的平均重量(i=1，2，3，4) Ei 第i 齡魚的捕撈強度系數(shù)ai 對i 齡魚的年捕撈量(i=3，4）W年總收獲量，即W=M3a3+M4a4WW 5年的總收獲量為，即符號說明符號說明.51kkWWW5模型的建立第一步第一步 得出基本模型得出基本模型 給出第k年底i 齡魚的數(shù)量Ni1(k)與第k年初i 齡魚的數(shù)量N

5、i0(k)之間的遞推關系 給出年度捕魚量 給出第k+1年初i 齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)與第k年初i 齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)的遞推關系由已知條件，可得12345.07;11.55;17.86;22.99,MMMM50.8;1.10910 ,rc12340;0.42 ;()EEEE EE待求（E為捕撈努力量）第二步第二步 得出最終模型得出最終模型 根據(jù)可持續(xù)捕撈的要求, 給出約束條件及其目標函數(shù)6 已知r為自然死亡率，其定義為單位時間內(nèi)死亡的魚的數(shù)單位時間內(nèi)死亡的魚的數(shù)量與魚的總量之比量與魚的總量之比。由于不捕撈1、2齡魚，所以在t，t+t內(nèi)，根據(jù)死亡率的定義，0( )()( )1lim,1

6、,2.( )( )iiitiiN tN ttdN tritN tN tdt 00( )( ), 01,1, 2( )iiiitdNtrNttdtiNtN 變形得0( ),1,2.rtiiN tN ei解得10( ),1,2.riiNtN ei從而(1)第一步（時間以年為單位，考慮一年內(nèi)各齡魚數(shù)量的演化）7對于3、4齡魚由于捕撈在前8個月進行，因此在前8個月內(nèi)，捕撈與死亡均影響魚的變化，因而微分方程變形為00( )2( ), 03 ,3, 4( )iiiiitdNtrENttdtiNtN 2302( ),3,4.3irEiiNN ei02( ),0,3,4.3ir E tiiN tN eti (

7、2)由(2)式解得從而對于3、4齡魚由于后四個月無捕撈，只有自然死亡，所以在后四個月其數(shù)量演化的方程為23( )2( ),13,3 , 42( )()3iiiitd Ntr Nttd tiNtN (3)2()322( )(),1,3, 4.33r tiiNtNeti解得從而2()33102(),3, 4.3iErriiiNNeNei8 由于僅在前八個月捕撈,且僅捕撈3齡魚和4領魚，而且捕撈強度系數(shù)表示的是單位時間內(nèi)捕撈量與各年齡組魚群總量成正比的比例系數(shù)，所以對i 齡魚的年捕撈量為2302300()2 / 30( )(1),3, 4iiiiirEtiirEiiaE Nt dtE NedtENe

8、irE34334422()()343330403417.86(1) 22.99(1).r Er EWa Ma MEENeNerErE從而一年內(nèi)捕魚總收獲量為9由于每年各齡魚的演化規(guī)律相同由于每年各齡魚的演化規(guī)律相同，且捕撈模式相且捕撈模式相同同，綜上可得綜上可得：l 第k年底i 齡魚的數(shù)量Ni1(k)對第k年初i 齡魚的數(shù)量Ni0(k) 的遞推關系10( ),1, 2 .kkriiNtNei2()310,3, 4.iErkkiiNNeil 第k年的年度捕魚收獲量3422()()343330403417.86(1)22.99(1).rErEkkkEEWNeNerErE(4)(5)10由各齡魚之間

9、的年齡增長關系,并假定產(chǎn)卵在年底一次完成,利用關系式(4)得34()()()()()343 14 11 1()(1 )()1 01 1()(1 )()()2 01 11 0(1 )()()3 02 12 022(1 )()()()()334 03 14 13 04 0( 0 .5)1 .2 21 01 .2 21 0.kkkkkkkkkkkkrkkkrrErEkkkkkQQQcNc NQNp QQNNNeNNNeNNNNeNe從而第k+1年初i 齡魚的數(shù)量Ni0 (k+1)與第k年初i 齡魚的數(shù)量Ni0 (k) 的遞推關系為343422()()()333 04 01 1()(1 )1 01 1

10、()(1 )()2 01 0(1 )()3 02 022(1 )()()334 03 04 0()1 . 2 21 01 . 2 21 0.rErEkkkkkkkkrkkrrErEkkkQcNeNeQNQNNeNNeNNeNe(6)(5)式是每年捕魚的總收獲量，式 (6)刻劃了魚群各年齡組每年的變化情況，它們一起構成了基本模型。11 （1）為了實現(xiàn)可持續(xù)的最大捕撈（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），即要求的前提下獲得最高年收獲量。結合基本模型，即可得到年度產(chǎn)量最優(yōu)模型：343422()()()()343330403422()()()33304011(1)(1)()101011(1)

11、(1)()()201020(1)()3020maxmax17.86(1)22.99(1)(0.5)1.22101.2210rErEkkrErEkkkkkkkkkrkkkEEWNeNerErEQcNeNeQNNQNNeNNN 34()3022(1)()()()3340304040rkrErEkkkkeNNNeNeN (7)其中約束條件第二個等號說明各組魚群條數(shù)及產(chǎn)卵量均與k無關。第二步第二步12優(yōu)化模型（7）中的約束條件與k無關，故可把k丟掉，并利用E3=0.42E4，把目標函數(shù)和約束條件同時化簡得44344422(0.42)()443330404422333030111011201030202

12、20.42334030400.42maxmax17.86(1)22.99(1)0.42(0.5)1.22 101.22 10rEr ErErErrrErEEEWNeNerErEQcN eN ecQNQNN eNN eNN eN e (7)注意到四個約束條件中含五個變量,因此從約束方程組可用符號計算軟件解出Ni0(i=1，2，3，4),它們都是E4的函數(shù),從而目標函數(shù)就是E4的一元函數(shù).問題最終歸結為一元函數(shù)的極值問題.該模型也可完全通過數(shù)值迭代求解！即： E4從0開始，逐漸增加，逐個計算W，挑出使W最大的E4。13%最優(yōu)捕魚策略ch431%文件名：ch431.mx=sym(x); E3=0.4

13、2*x;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*E3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x); N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*x);a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*x);供參考的供參考的M

14、ATLABMATLAB計算程序計算程序模型的求解14M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;M10=char(M);M11=char(M1);fplot(M10,0,100)E4=fmin(M11,0,100);E3=0.42*E4;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*E3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4); N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*E4);15

15、a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*E4);M3=17.86;M4=22.99;E3E4M=M3*a3+M4*a4;Max=MN1=N10%各年齡組魚的數(shù)量各年齡組魚的數(shù)量N2=N1*exp(-r)N3=N2*exp(-r)N4=N40執(zhí)行后輸出執(zhí)行后輸出16 E3 = 7.335 E4 =17.4664 Max =3.8886e+11 各年齡組數(shù)為 N1 =1.1958e+11

16、 N2 = 5.3730e+10 N3 =2.4142e+10 N4 =8.1544e+71702040608010000.511.522.533.54x 1011圖圖4-5 年度總捕獲量隨捕撈強度年度總捕獲量隨捕撈強度E4的變化曲線的變化曲線E4W(g)18(2) 針對漁業(yè)公司的5年固定努力量的捕撈計劃，我們在已知各年齡組魚初始條數(shù)的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得以后各年齡組魚的初始條數(shù)，以及各年的年度捕撈收獲量，這些量都是E4的函數(shù)。數(shù)值解得 WWmax=1.60571012g E4=17.58 E3=7.383 W1=1.60571012g W2=1.60571012g W3=1.

17、60571012g W4=1.60571012g W5=1.60571012g建模過程完了嗎？19模型檢驗 合同要求五年后魚群的生產(chǎn)能力不能收到太大的破壞，那么我們所得的解是否滿足要求呢？這就要做模型檢驗。 為了分析對魚群的生產(chǎn)能力的破壞程度，通常認為在天然情況下，魚的生態(tài)系數(shù)總能趨于平衡，而對魚的捕撈，使魚的數(shù)量偏離了其平衡點。因而可以用五年捕撈后魚群數(shù)量恢復所需的年數(shù)來衡量對魚的生產(chǎn)能力的破壞程度。 在刻劃了魚群各年齡組每年的變化情況的迭代式 (6)中，令Ei=0，并讓Ni0 (k+1)= Ni0 (k) 得無捕撈下的平衡點：N1=1.219811011， N2=5.480981011， N3=2.462761011， N4=2.009531011. 由 于 無 捕 撈 時 ， Ni( t ) 呈 指 數(shù) 分 布 ， 可 以 認 為 當 Ni( t ) sqrt(2)/2Ni時魚群已恢復生產(chǎn)力。而魚恢復得越快，即對魚的生產(chǎn)能力破壞越少，因此我們可以認為捕撈結束后的四年(魚的一個生長周期)內(nèi)恢復生產(chǎn)能力，那么捕撈就對魚的生產(chǎn)能力沒有破壞！20 為了驗證所得到的使得五年捕撈量最大的E4符合不對魚生產(chǎn)力造成較大破壞的要求，又通過計算來觀察打工經(jīng)過5年捕撈及停止捕撈后魚的數(shù)量的恢復過程。畫圖可知停止捕撈后兩年