解線性方程組的迭代法ppt課件

1、 根據給定方程組，設計出一個迭代公式，構造一數組的序列根據給定方程組，設計出一個迭代公式，構造一數組的序列 ，代入迭代，代入迭代公式，計算出公式，計算出 ，再代入迭代公式，經過，再代入迭代公式，經過k次迭代運算后得到次迭代運算后得到 ，若，若 收收斂于某一極限數組斂于某一極限數組xi，則，則xi就是方程組的近似解。就是方程組的近似解。 迭代過程本質上就是計算極限的過程，一般不能得到精確解。迭代過程本質上就是計算極限的過程，一般不能得到精確解。 迭代法的優(yōu)點是程序簡單，適合于大型方程組求解，但缺點是要判斷迭代迭代法的優(yōu)點是程序簡單，適合于大型方程組求解，但缺點是要判斷迭代是否收斂和收斂速度問題。

2、是否收斂和收斂速度問題。xik1ix雅可比雅可比(Jacobi(1804-1851)迭代法（簡單迭代法）迭代法（簡單迭代法）賽得爾賽得爾 (Seidel (1821 - 1896)迭代法迭代法迭代解法的基本思想迭代解法的基本思想0ixxik1、引言、引言設線性代數方程組為設線性代數方程組為2、簡單迭代法、簡單迭代法1 1,2,nijjijA xBin展開為展開為11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnnA xA xA xBA xA xA xBA xA xA xB若對角元素若對角元素0 1,2,kkAkn逐一變量分離得方程組逐一變量分離得方程組)()2() 1 (1122

3、112223222312221222211131113211121111nxAAxAAxAAABxxAAxAAxAAABxxAAxAAxAAABxnnnnnnnnnnnnnnnnnn即即1,nijiijjjiiiiiABxxAA此即為迭代公式此即為迭代公式簡單迭代解法的過程如下：簡單迭代解法的過程如下：1 設定一組初值設定一組初值0000120inxxxxkix第第i個變量個變量第第k次迭代次迭代2 第一次迭代：第一次迭代：101, 1,2,nijiijjjiiiiiABxxinAA得到得到111112,(),inx xxx3 第二次迭代：第二次迭代：211, 1,2,nijiijjjiiii

4、iABxxinAA得到得到222212,(),inxxxx4 同樣做法，得到第同樣做法，得到第k+1次迭代：次迭代：11, 1,2,nijkkiijjjiiiiiABxxinAA迭代次數迭代次數k k的取值與精度要求有關，按下式判斷：的取值與精度要求有關，按下式判斷：k+1kii 1, 2,xxin若滿足則停止迭代若滿足則停止迭代為了便于編程，為了便于編程，迭代公式可改寫為：迭代公式可改寫為：111 1,2,nkkkiiiijjjiixxBA xinAfunction x,iter,exitflag=Jacobi_iter(A,b,x0,eps,iter_max)% 線性方程組的Jacobi迭

5、代求解(向量形式)% 輸入參數：% -A：線性方程組的系數矩陣% -b：線性方程組的右端項% -x0：初始向量，默認值為零向量% -eps：精度要求，默認值為1e-6% -iter_max：最大迭代次數，默認值為100% 輸出參數：% -x：線性方程組的近似解% -iter：迭代次數% -exitflag：迭代成功與否的標志：exitflag=1表示迭代成功% exitflag=0表示迭代失敗n=length(b);if nargin5|isempty(iter_max);iter_max=100;endif nargin4|isempty(eps);eps=1e-6;endif nargin

6、3|isempty(x0);x0=zeros(n,1);enditer=0;exitflag=1;D=diag(diag(A);L=tril(A,-1);U=triu(A,1);J=-inv(D)*(L+U);f=inv(D)*b;while iteriter_max x=J*x0+f; if norm(x-x0,inf)eps break end x0=x;iter=iter+1;endif iter=iter_max exitflag=0;endfunction x,iter,exitflag=Jacobi_iteration(A,b,x0,eps,iter_max)% 線性方程組的Jac

7、obi迭代求解(分量形式)% 輸入參數：% -A：線性方程組的系數矩陣% -b：線性方程組的右端項% -x0：初始向量，默認值為零向量% -eps：精度要求，默認值為1e-6% -iter_max：最大迭代次數，默認值為100% 輸出參數：% -x：線性方程組的近似解% -iter：迭代次數% -exitflag：迭代成功與否的標志：exitflag=1表示迭代成功% exitflag=0表示迭代失敗n=length(b);if nargin5;iter_max=100;endif nargin4;eps=1e-6;endif nargin3;x0=zeros(n,1);endx=zeros(

8、n,1);iter=0;exitflag=1;while iteriter_max for i=1:n x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1,i+1:n)*x0(1:i-1,i+1:n)/A(i,i); end if norm(x-x0,inf)eps) x1=x; x=(I-A)*x1+b; n = n + 1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次數太多，現(xiàn)在退出！迭代次數太多，現(xiàn)在退出！); return; endend例：求解方程組例：求解方程組1231231231.01700.00920.009510.00920.99030.01360,0,0,00.00950.0

9、1360.98981xxxxxxxxxclear all;A = 1.0170 -0.0092 0.0095; -0.0092 0.9903 0.0136; 0.0095 0.0136 0.9898;b=1 0 1;x0 = 0 0 0;x,n=richason(A,b,x0)x = 0.9739 -0.0047 1.0010n = 5 賽得爾迭代法與簡單迭代法類似，只是迭代公式有所改進。賽得爾迭代法與簡單迭代法類似，只是迭代公式有所改進。3、賽得爾迭代法、賽得爾迭代法11,nijkkiijjjiiiiiABxxAA簡單迭代法簡單迭代法賽得爾迭代法賽得爾迭代法11111inijijkkkiij

10、jjjiiiiiiiAABxxxAAA MATLAB程序設計程序設計function x,n=gauseidel(A,b,x0,eps,M)if nargin=3 eps= 1.0e-6; M = 200;elseif nargin = 4 M = 200;elseif nargin=eps x0=x; x=G*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次數太多，可能不收斂！迭代次數太多，可能不收斂！); return; endend例：線性代數方程組的迭代解法例：線性代數方程組的迭代解法-賽得爾迭代法賽得爾迭代法1231231239 5338176533813

11、0174893813017253371754xxxxxxxxxclear all;A = 9 53 381; 53 381 3017; 381 3017 25317;b=76 489 3547;x0=zeros(3,1);x,n=gauseidel(A,b,x0,1e-4,10)Warning: 迭代次數太多，可能不收斂！迭代次數太多，可能不收斂！x = -0.8037 3.3330 -0.2450n = 200 迭代解法的前提條件是迭代解出的近似解序列必須具有收斂性。如果近似解序列是迭代解法的前提條件是迭代解出的近似解序列必須具有收斂性。如果近似解序列是發(fā)散的，發(fā)散的， 迭代法則不能獲得解。

12、迭代法則不能獲得解。4、 迭代解法的收斂性迭代解法的收斂性1231231231020111051453xxxxxxxxx1231xxx以下列初值進行簡單迭代以下列初值進行簡單迭代1230000 xxxkX1X2X30000111-14-32-6981663-499-374-42944851-7149-21241230001xxx迭代收斂條件：嚴格對角占優(yōu)矩陣迭代收斂條件：嚴格對角占優(yōu)矩陣1 1,2,niiijjj iaain若不滿足收斂條件，適當調整方程次序或作一定的線性組合，就可能滿足收斂條若不滿足收斂條件，適當調整方程次序或作一定的線性組合，就可能滿足收斂條件。件。格式格式solve(eq

13、n1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN)5、MATLAB的線性方程組求解函數的線性方程組求解函數2223430 xxyyxx2201auvuv格式格式X=fsolve(FUN,X0)Matlab非線性方程組求解非線性方程組求解說明：說明： 求解方程形式求解方程形式F(X)=0 X、F可以是向量或矩陣可以是向量或矩陣 X0 初值初值2020 xyxyexye 實例：基于實例：基于Matlab的透鏡中心偏測量光軸擬合的透鏡中心偏測量光軸擬合光學中心偏測量儀作為精確測定和嚴格校正光學系統(tǒng)中心偏誤差的儀器光學中心偏測量儀作為精確測定和嚴格校正光學系統(tǒng)中心偏誤差的儀器,它可以指出

14、透鏡它可以指出透鏡組中的各鏡面相對于光軸的中心偏移數值大小和方向。它的測量結果具有兩個方面的意組中的各鏡面相對于光軸的中心偏移數值大小和方向。它的測量結果具有兩個方面的意義義:其一是通過根據被測光學件各面的中心誤差是否超出其一是通過根據被測光學件各面的中心誤差是否超出,來判定光學件是否合格來判定光學件是否合格;其二是其二是根據測量的結果來指導光學系統(tǒng)的裝校。根據測量的結果來指導光學系統(tǒng)的裝校。為消除被測件在測量儀器上的安裝定位過程帶來的誤差為消除被測件在測量儀器上的安裝定位過程帶來的誤差,必須對直接測量的數據進行修正。必須對直接測量的數據進行修正。光軸擬合就是對測量數據的優(yōu)化和修正的過程。提出

15、一種光軸擬合的數學模型光軸擬合就是對測量數據的優(yōu)化和修正的過程。提出一種光軸擬合的數學模型,該數學模該數學模型結合了解析方法和數值分析方法型結合了解析方法和數值分析方法,考慮了中心偏測量的實際情況考慮了中心偏測量的實際情況,在嚴格的數學模型基礎在嚴格的數學模型基礎上做了合理的簡化上做了合理的簡化,使光軸的擬合問題最終轉化為對線性方程組的求解。使光軸的擬合問題最終轉化為對線性方程組的求解。3)應用最小二乘法得到關于四參數的線性方程組。應用最小二乘法得到關于四參數的線性方程組。得到各面球心的位置坐標后得到各面球心的位置坐標后,按照一般直線擬合的方法按照一般直線擬合的方法,應使各球心對優(yōu)化軸距離的平

16、方和最小應使各球心對優(yōu)化軸距離的平方和最小,符合數學上的最小二乘法。符合數學上的最小二乘法。N個球心到優(yōu)化軸距離的平方和個球心到優(yōu)化軸距離的平方和:擴展：基于擴展：基于MATLAB的非線性方程組遺傳解法的非線性方程組遺傳解法胡斐，趙治國胡斐，趙治國(同濟大學汽車學院，上海同濟大學汽車學院，上海201804)遺傳算法是一種基于自然選擇的用于求解有約束和無約束最優(yōu)問題的方法。遺傳算法反遺傳算法是一種基于自然選擇的用于求解有約束和無約束最優(yōu)問題的方法。遺傳算法反復修改包含若干個體的種群。遺傳算法在每一步中，隨機從當前種群中選擇若干個個體復修改包含若干個體的種群。遺傳算法在每一步中，隨機從當前種群中選擇若干個個體作為父輩，并用它們產生下一代子輩。在若干代之后，種群就朝著最優(yōu)解作為父輩，并用它們產生下一代子輩。在若干代之后，種群就朝著最優(yōu)解“進化進化”。我。我們可以利用遺傳算法去解決各種最優(yōu)化問題，包括目標