解線(xiàn)性方程組的迭代法ppt課件

1、 根據(jù)給定方程組，設(shè)計(jì)出一個(gè)迭代公式，構(gòu)造一數(shù)組的序列根據(jù)給定方程組，設(shè)計(jì)出一個(gè)迭代公式，構(gòu)造一數(shù)組的序列 ，代入迭代，代入迭代公式，計(jì)算出公式，計(jì)算出 ，再代入迭代公式，經(jīng)過(guò)，再代入迭代公式，經(jīng)過(guò)k次迭代運(yùn)算后得到次迭代運(yùn)算后得到 ，若，若 收收斂于某一極限數(shù)組斂于某一極限數(shù)組xi，則，則xi就是方程組的近似解。就是方程組的近似解。 迭代過(guò)程本質(zhì)上就是計(jì)算極限的過(guò)程，一般不能得到精確解。迭代過(guò)程本質(zhì)上就是計(jì)算極限的過(guò)程，一般不能得到精確解。 迭代法的優(yōu)點(diǎn)是程序簡(jiǎn)單，適合于大型方程組求解，但缺點(diǎn)是要判斷迭代迭代法的優(yōu)點(diǎn)是程序簡(jiǎn)單，適合于大型方程組求解，但缺點(diǎn)是要判斷迭代是否收斂和收斂速度問(wèn)題。

2、是否收斂和收斂速度問(wèn)題。xik1ix雅可比雅可比(Jacobi(1804-1851)迭代法（簡(jiǎn)單迭代法）迭代法（簡(jiǎn)單迭代法）賽得爾賽得爾 (Seidel (1821 - 1896)迭代法迭代法迭代解法的基本思想迭代解法的基本思想0ixxik1、引言、引言設(shè)線(xiàn)性代數(shù)方程組為設(shè)線(xiàn)性代數(shù)方程組為2、簡(jiǎn)單迭代法、簡(jiǎn)單迭代法1 1,2,nijjijA xBin展開(kāi)為展開(kāi)為11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnnA xA xA xBA xA xA xBA xA xA xB若對(duì)角元素若對(duì)角元素0 1,2,kkAkn逐一變量分離得方程組逐一變量分離得方程組)()2() 1 (1122

3、112223222312221222211131113211121111nxAAxAAxAAABxxAAxAAxAAABxxAAxAAxAAABxnnnnnnnnnnnnnnnnnn即即1,nijiijjjiiiiiABxxAA此即為迭代公式此即為迭代公式簡(jiǎn)單迭代解法的過(guò)程如下：簡(jiǎn)單迭代解法的過(guò)程如下：1 設(shè)定一組初值設(shè)定一組初值0000120inxxxxkix第第i個(gè)變量個(gè)變量第第k次迭代次迭代2 第一次迭代：第一次迭代：101, 1,2,nijiijjjiiiiiABxxinAA得到得到111112,(),inx xxx3 第二次迭代：第二次迭代：211, 1,2,nijiijjjiiii

4、iABxxinAA得到得到222212,(),inxxxx4 同樣做法，得到第同樣做法，得到第k+1次迭代：次迭代：11, 1,2,nijkkiijjjiiiiiABxxinAA迭代次數(shù)迭代次數(shù)k k的取值與精度要求有關(guān)，按下式判斷：的取值與精度要求有關(guān)，按下式判斷：k+1kii 1, 2,xxin若滿(mǎn)足則停止迭代若滿(mǎn)足則停止迭代為了便于編程，為了便于編程，迭代公式可改寫(xiě)為：迭代公式可改寫(xiě)為：111 1,2,nkkkiiiijjjiixxBA xinAfunction x,iter,exitflag=Jacobi_iter(A,b,x0,eps,iter_max)% 線(xiàn)性方程組的Jacobi迭

5、代求解(向量形式)% 輸入?yún)?shù)：% -A：線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣% -b：線(xiàn)性方程組的右端項(xiàng)% -x0：初始向量，默認(rèn)值為零向量% -eps：精度要求，默認(rèn)值為1e-6% -iter_max：最大迭代次數(shù)，默認(rèn)值為100% 輸出參數(shù)：% -x：線(xiàn)性方程組的近似解% -iter：迭代次數(shù)% -exitflag：迭代成功與否的標(biāo)志：exitflag=1表示迭代成功% exitflag=0表示迭代失敗n=length(b);if nargin5|isempty(iter_max);iter_max=100;endif nargin4|isempty(eps);eps=1e-6;endif nargin

6、3|isempty(x0);x0=zeros(n,1);enditer=0;exitflag=1;D=diag(diag(A);L=tril(A,-1);U=triu(A,1);J=-inv(D)*(L+U);f=inv(D)*b;while iteriter_max x=J*x0+f; if norm(x-x0,inf)eps break end x0=x;iter=iter+1;endif iter=iter_max exitflag=0;endfunction x,iter,exitflag=Jacobi_iteration(A,b,x0,eps,iter_max)% 線(xiàn)性方程組的Jac

7、obi迭代求解(分量形式)% 輸入?yún)?shù)：% -A：線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣% -b：線(xiàn)性方程組的右端項(xiàng)% -x0：初始向量，默認(rèn)值為零向量% -eps：精度要求，默認(rèn)值為1e-6% -iter_max：最大迭代次數(shù)，默認(rèn)值為100% 輸出參數(shù)：% -x：線(xiàn)性方程組的近似解% -iter：迭代次數(shù)% -exitflag：迭代成功與否的標(biāo)志：exitflag=1表示迭代成功% exitflag=0表示迭代失敗n=length(b);if nargin5;iter_max=100;endif nargin4;eps=1e-6;endif nargin3;x0=zeros(n,1);endx=zeros(

8、n,1);iter=0;exitflag=1;while iteriter_max for i=1:n x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1,i+1:n)*x0(1:i-1,i+1:n)/A(i,i); end if norm(x-x0,inf)eps) x1=x; x=(I-A)*x1+b; n = n + 1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次數(shù)太多，現(xiàn)在退出！迭代次數(shù)太多，現(xiàn)在退出！); return; endend例：求解方程組例：求解方程組1231231231.01700.00920.009510.00920.99030.01360,0,0,00.00950.0

9、1360.98981xxxxxxxxxclear all;A = 1.0170 -0.0092 0.0095; -0.0092 0.9903 0.0136; 0.0095 0.0136 0.9898;b=1 0 1;x0 = 0 0 0;x,n=richason(A,b,x0)x = 0.9739 -0.0047 1.0010n = 5 賽得爾迭代法與簡(jiǎn)單迭代法類(lèi)似，只是迭代公式有所改進(jìn)。賽得爾迭代法與簡(jiǎn)單迭代法類(lèi)似，只是迭代公式有所改進(jìn)。3、賽得爾迭代法、賽得爾迭代法11,nijkkiijjjiiiiiABxxAA簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法賽得爾迭代法賽得爾迭代法11111inijijkkkiij

10、jjjiiiiiiiAABxxxAAA MATLAB程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)function x,n=gauseidel(A,b,x0,eps,M)if nargin=3 eps= 1.0e-6; M = 200;elseif nargin = 4 M = 200;elseif nargin=eps x0=x; x=G*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning: 迭代次數(shù)太多，可能不收斂！迭代次數(shù)太多，可能不收斂！); return; endend例：線(xiàn)性代數(shù)方程組的迭代解法例：線(xiàn)性代數(shù)方程組的迭代解法-賽得爾迭代法賽得爾迭代法1231231239 5338176533813

11、0174893813017253371754xxxxxxxxxclear all;A = 9 53 381; 53 381 3017; 381 3017 25317;b=76 489 3547;x0=zeros(3,1);x,n=gauseidel(A,b,x0,1e-4,10)Warning: 迭代次數(shù)太多，可能不收斂！迭代次數(shù)太多，可能不收斂！x = -0.8037 3.3330 -0.2450n = 200 迭代解法的前提條件是迭代解出的近似解序列必須具有收斂性。如果近似解序列是迭代解法的前提條件是迭代解出的近似解序列必須具有收斂性。如果近似解序列是發(fā)散的，發(fā)散的， 迭代法則不能獲得解。

12、迭代法則不能獲得解。4、 迭代解法的收斂性迭代解法的收斂性1231231231020111051453xxxxxxxxx1231xxx以下列初值進(jìn)行簡(jiǎn)單迭代以下列初值進(jìn)行簡(jiǎn)單迭代1230000 xxxkX1X2X30000111-14-32-6981663-499-374-42944851-7149-21241230001xxx迭代收斂條件：嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣迭代收斂條件：嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣1 1,2,niiijjj iaain若不滿(mǎn)足收斂條件，適當(dāng)調(diào)整方程次序或作一定的線(xiàn)性組合，就可能滿(mǎn)足收斂條若不滿(mǎn)足收斂條件，適當(dāng)調(diào)整方程次序或作一定的線(xiàn)性組合，就可能滿(mǎn)足收斂條件。件。格式格式solve(eq

13、n1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN)5、MATLAB的線(xiàn)性方程組求解函數(shù)的線(xiàn)性方程組求解函數(shù)2223430 xxyyxx2201auvuv格式格式X=fsolve(FUN,X0)Matlab非線(xiàn)性方程組求解非線(xiàn)性方程組求解說(shuō)明：說(shuō)明： 求解方程形式求解方程形式F(X)=0 X、F可以是向量或矩陣可以是向量或矩陣 X0 初值初值2020 xyxyexye 實(shí)例：基于實(shí)例：基于Matlab的透鏡中心偏測(cè)量光軸擬合的透鏡中心偏測(cè)量光軸擬合光學(xué)中心偏測(cè)量?jī)x作為精確測(cè)定和嚴(yán)格校正光學(xué)系統(tǒng)中心偏誤差的儀器光學(xué)中心偏測(cè)量?jī)x作為精確測(cè)定和嚴(yán)格校正光學(xué)系統(tǒng)中心偏誤差的儀器,它可以指出

14、透鏡它可以指出透鏡組中的各鏡面相對(duì)于光軸的中心偏移數(shù)值大小和方向。它的測(cè)量結(jié)果具有兩個(gè)方面的意組中的各鏡面相對(duì)于光軸的中心偏移數(shù)值大小和方向。它的測(cè)量結(jié)果具有兩個(gè)方面的意義義:其一是通過(guò)根據(jù)被測(cè)光學(xué)件各面的中心誤差是否超出其一是通過(guò)根據(jù)被測(cè)光學(xué)件各面的中心誤差是否超出,來(lái)判定光學(xué)件是否合格來(lái)判定光學(xué)件是否合格;其二是其二是根據(jù)測(cè)量的結(jié)果來(lái)指導(dǎo)光學(xué)系統(tǒng)的裝校。根據(jù)測(cè)量的結(jié)果來(lái)指導(dǎo)光學(xué)系統(tǒng)的裝校。為消除被測(cè)件在測(cè)量?jī)x器上的安裝定位過(guò)程帶來(lái)的誤差為消除被測(cè)件在測(cè)量?jī)x器上的安裝定位過(guò)程帶來(lái)的誤差,必須對(duì)直接測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。必須對(duì)直接測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。光軸擬合就是對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的優(yōu)化和修正的過(guò)程。提出

15、一種光軸擬合的數(shù)學(xué)模型光軸擬合就是對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的優(yōu)化和修正的過(guò)程。提出一種光軸擬合的數(shù)學(xué)模型,該數(shù)學(xué)模該數(shù)學(xué)模型結(jié)合了解析方法和數(shù)值分析方法型結(jié)合了解析方法和數(shù)值分析方法,考慮了中心偏測(cè)量的實(shí)際情況考慮了中心偏測(cè)量的實(shí)際情況,在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上做了合理的簡(jiǎn)化上做了合理的簡(jiǎn)化,使光軸的擬合問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為對(duì)線(xiàn)性方程組的求解。使光軸的擬合問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為對(duì)線(xiàn)性方程組的求解。3)應(yīng)用最小二乘法得到關(guān)于四參數(shù)的線(xiàn)性方程組。應(yīng)用最小二乘法得到關(guān)于四參數(shù)的線(xiàn)性方程組。得到各面球心的位置坐標(biāo)后得到各面球心的位置坐標(biāo)后,按照一般直線(xiàn)擬合的方法按照一般直線(xiàn)擬合的方法,應(yīng)使各球心對(duì)優(yōu)化軸距離的平

16、方和最小應(yīng)使各球心對(duì)優(yōu)化軸距離的平方和最小,符合數(shù)學(xué)上的最小二乘法。符合數(shù)學(xué)上的最小二乘法。N個(gè)球心到優(yōu)化軸距離的平方和個(gè)球心到優(yōu)化軸距離的平方和:擴(kuò)展：基于擴(kuò)展：基于MATLAB的非線(xiàn)性方程組遺傳解法的非線(xiàn)性方程組遺傳解法胡斐，趙治國(guó)胡斐，趙治國(guó)(同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院，上海同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院，上海201804)遺傳算法是一種基于自然選擇的用于求解有約束和無(wú)約束最優(yōu)問(wèn)題的方法。遺傳算法反遺傳算法是一種基于自然選擇的用于求解有約束和無(wú)約束最優(yōu)問(wèn)題的方法。遺傳算法反復(fù)修改包含若干個(gè)體的種群。遺傳算法在每一步中，隨機(jī)從當(dāng)前種群中選擇若干個(gè)個(gè)體復(fù)修改包含若干個(gè)體的種群。遺傳算法在每一步中，隨機(jī)從當(dāng)前種群中選擇若干個(gè)個(gè)體作為父輩，并用它們產(chǎn)生下一代子輩。在若干代之后，種群就朝著最優(yōu)解作為父輩，并用它們產(chǎn)生下一代子輩。在若干代之后，種群就朝著最優(yōu)解“進(jìn)化進(jìn)化”。我。我們可以利用遺傳算法去解決各種最優(yōu)化問(wèn)題，包括目標(biāo)