微積分基礎知識

1、微積分基礎知識1第第0章章 基本知識基本知識一、什么是高等數(shù)學一、什么是高等數(shù)學 ?初等數(shù)學 研究對象為,以靜止觀點研究問題.高等數(shù)學 研究對象為變量變量, 運動運動和辯證法辯證法進入了數(shù)學.數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)變數(shù).有了變數(shù) , 運動運動進入了數(shù)學,有了變數(shù)，辯證法辯證法進入了數(shù)學 ,有了變數(shù) , 微分和積分微分和積分也就立刻成為必要的了. 恩格斯恩格斯微積分基礎知識21. 分析基礎: 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學: 一元微積分(上冊)(下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)5. 常微分方程二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容多元微積分微積分基礎知識3三、如何學習高等數(shù)

2、學三、如何學習高等數(shù)學 ?1. 認識高等數(shù)學的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣.會運用數(shù)學能力。2. 學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習聰明在于學習 , 天才在于積累天才在于積累 .學而優(yōu)則用學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng)學而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .馬克思馬克思 一門科學, 只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步 .華羅庚華羅庚微積分基礎知識43 3、極限的思維方法、極限的思維方法1 1） 計算圓的周長計算圓的周長nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形Orn )sinlim 2sinlim 22nnnSnrrrn

3、n微積分基礎知識5 T0 xxoxy)(xfy CNM2)切線的斜率.)()(limtan000 xxxfxfkxx 微積分基礎知識6abxyo3)計算曲邊梯形面積計算曲邊梯形面積)(xfy 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為iniixfA )(lim10 微積分基礎知識7111242n4)無窮級數(shù)111lim242nn11(1)22lim1112nn微積分基礎知識8具備的數(shù)學素質(zhì)： 從實際問題抽象出數(shù)學模型的能力 計算與分析的能力 了解和使用現(xiàn)代數(shù)學語言和符號的能力 使用數(shù)學軟件學習和應用數(shù)學的能力微積分基礎知識9一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的對象的具有某種特定性

4、質(zhì)的對象的全體全體.組成集合的事物稱為該集合的組成集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA )(xPxM P（x)表示元素具有性質(zhì)表示元素具有性質(zhì),Ma ,Ma 第第0 0章章 基本知識基本知識微積分基礎知識102.2.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設設a)., a(U 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 xa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. ax0 x), a(U ,)(鄰域的稱為點數(shù)集aaxx微積分基礎知識11二、函數(shù)微積分基礎知識12函數(shù)類別： 顯函數(shù) y=f(x) 隱函數(shù) F(x,y)=0 參量

5、函數(shù) 初等代數(shù)函數(shù)(只含代數(shù)運算顯函數(shù)） 分段表達函數(shù) 單值函數(shù) 多值函數(shù)基本初等函數(shù)（基本初等函數(shù)（冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)三角函數(shù)和反三角函數(shù)）和反三角函數(shù)）.微積分基礎知識13 (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當當當當當當幾個特殊的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn微積分基礎知識14(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x微積分基礎知識15 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有

6、理數(shù)時當當xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)微積分基礎知識16(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中,對應法則對應法則用不同的式子來表示的函數(shù)用不同的式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).微積分基礎知識17復合函數(shù)復合函數(shù),uy 設設,12xu 21xy 定義定義: 設函數(shù)設函數(shù)y=f(u),u U，函數(shù)，函數(shù)u= (x), x X, 其值域其值域為為 (X)=uu= (x), x X U，則稱

7、函數(shù)，則稱函數(shù)y=f (x)為為x的的復合函數(shù)復合函數(shù)。,自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y代入法代入法微積分基礎知識18復合函數(shù) 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且則Dxxgfy, )(設有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復合函數(shù) , 復合映射的特例 u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復合函數(shù) .可定義復合微積分基礎知識19注注: :0復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合復合函數(shù)可以由兩個以上

8、的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 復合函數(shù)復合函數(shù),uy 設設,12xu 21xy 代入法代入法微積分基礎知識20 初等函數(shù)初等函數(shù)定義定義: 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合運算所構(gòu)成并可用一個式子表示的顯函數(shù)，稱為初等函數(shù)。運算所構(gòu)成并可用一個式子表示的顯函數(shù)，稱為初等函數(shù)。例：例：不是初等函數(shù)不是初等函數(shù)為初等函數(shù)為初等函數(shù)1sin2xeyx1xxy00 xx不是初等函數(shù)不是初等函數(shù)nnxaxaay10為初等函數(shù)為初等函數(shù)nnxaxaay10,2xy y0,xx0,xx可表為故為初等函數(shù)

9、.微積分基礎知識21雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2eeshxxx 雙雙曲曲正正弦弦chxy shxy ),(: D奇函數(shù)奇函數(shù).2eechxxx 雙曲余弦雙曲余弦),(: D偶函數(shù)偶函數(shù).雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21微積分基礎知識22xxxxeeeexcoshxsinhthx 雙雙曲曲正正切切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),微積分基礎知識23雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;chxshyshxchy)yx(sh ;shxshychxchy)yx(ch ;1xshxch22 ;shxchx2x2sh . xshxchx2ch22 微積分基礎知識242.反雙曲函數(shù)

10、反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D.),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在 ;arshxy 反雙曲正弦反雙曲正弦).1xxln(arshxy2 arshxy 微積分基礎知識25.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲余余弦弦archx).1xxln(archxy2 archx y微積分基礎知識26.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切arthxarthxy tanharx y微積分基礎知識27三三. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性有界性,Dx,0

11、 ,A B使( )Bf xA稱 )(xfA為上界，B為下界。 (2) 單調(diào)性單調(diào)性為有界函數(shù).當,21Ixx21xx 時, )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;xy1x2x, )()(21xfxf若稱 )(xf為 I 上的單調(diào)減函數(shù) .微積分基礎知識28xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱 f (x) 為偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明說明: 若)(xf在 x = 0 有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)奇函數(shù)時,則當必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函數(shù)xyoxexexych雙曲余弦 記微積

12、分基礎知識29例例1 1 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性. .)1ln()(2xxxfy 解：解：)(1ln()(2xxxf )()1ln(2xfxx f(x) f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù). .例例2 2 設設f(x)f(x)在在R R上定義，證明上定義，證明f(x)f(x)可分解為一個奇函數(shù)與可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。一個偶函數(shù)的和。證明：設證明：設顯然顯然 g g( (x x) )是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，h h( (x x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg 2)()()(xhxgxf 故命題的證故命題的證. . 微積分基礎知識30(

13、4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf則稱)(xf為周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若稱 l 為周期 ( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)Cxf)(狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)x 為無理數(shù), 1,0微積分基礎知識31四四. 反函數(shù)反函數(shù)若函數(shù))(:DfDf為單射, 則存在逆映射DDff)(:1習慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱此映射1f為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 微積分基礎知識322) 函數(shù)

14、)(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關于直線xy 對稱 .例如 ,),(,xeyx對數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關于直線xy 對稱 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo指數(shù)函數(shù)微積分基礎知識33例例1 1 證明若函數(shù)證明若函數(shù) y = y = f f (x)(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)是奇函數(shù)且存在反函數(shù) x = x = f f 1 1(y), (y), 則反函數(shù)也是奇函數(shù)則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：證明：).()()()(1111yfxxffxffyf 反函數(shù)是奇函數(shù)。反函數(shù)是奇函數(shù)。例例2 2.0101)(2的反函數(shù)的反函數(shù)求求

15、 xxxxxf解解: : 當當x x 0 0時時,y,y 1,1,1122 yxxy當當xx0 0時時,y1,x=y-1,y N2 時, 有2banx收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當 n N1 時, 2ba2ab2ab假設22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當 n N 時, ,max21NNN 取故假設不真 !nx滿足的不等式微積分基礎知識38azynnnnlimlim)2(兩邊夾準則),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當1Nn 時,ayn當2Nn 時,azn令,max21

16、NNN 則當Nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N微積分基礎知識39兩邊夾法則.若(1),(2) lim, lim,nnnnnnnbacbAcAlimnnaA則：lim1(0)nnaa證明(P7)微積分基礎知識40例例. 證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法.假設數(shù)列nx收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當 n N 時 , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .微積

17、分基礎知識41例例(P10) (P10) 證明證明 若若X2k-1a,Xa,X2k2ka(k),a(k), 則則數(shù)列數(shù)列Xn收斂于收斂于a。證：對任0,K1,當kK1 時X2k 落在a-,a+即滿足|2k-a|(1) K2當kK2時X2k-1 落在a-,a+即滿足|2k-1-a| (2) 取N=max2K1,2K2-1, 當nN,必有Xn落在a-,a+即滿足|n-a| 微積分基礎知識42例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn微積分基礎知識4312,12, 1)2(