代數(shù)綜合解析版一類參考

1、全國聯(lián)賽代數(shù)問題選1. 已知實數(shù)滿足，則_【答】 0.由題意知，所以整理得，所以0.2使得不等式對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為 【答】144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當(dāng)時，由可得，可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整數(shù)的最大值為144.3已知為整數(shù)，且滿足，則的可能的值有_個【答】 由已知等式得，顯然均不為0，所以0或.若，則.又為整數(shù)，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個.4已知非負(fù)實數(shù)滿足，則的最大值為_ 【答】 ，易知：當(dāng)，時，取得最大值.5. 張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率是 【

2、】 【答】 若取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同，有2228種取法；若取出的3張卡片上的數(shù)字有相同的，有3412種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有81220種取法.要使得三個數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所寫數(shù)字有重復(fù)，所以，取出的3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的情況共有428種.因此，所求概率為.6設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令.已知實數(shù)滿足，則_【答】 1設(shè)，則，所以，因式分解得，所以.由解得，顯然，所以1.7小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元開始時他有鉛

3、筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元則他至少賣出了 支圓珠筆【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)又，所以，故y的最小值為207，此時8. 實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為 【答案】，（為任意實數(shù)）【解答】由韋達(dá)定理得由上式，可知若，則，進而若，則，有（為任意實數(shù)）經(jīng)檢驗，數(shù)組與（為任意實數(shù)）滿足條件9. 已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為 【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及66，可得1a3若，則，無正整數(shù)解；若

4、，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，（i）若，則，從而可得；（ii）若，則，從而可得綜上知的最大值為10. 對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：，且，則的值為（ ）【答案】【解答】設(shè)，則，于是11. 設(shè)非零實數(shù)，滿足則的值為（ ）【答案】【解答】由已知得，故于是，所以12. 如果關(guān)于的方程有兩個有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)是_個答案：2解：由于方程的兩根均為有理數(shù)，所以根的判別式0，且為完全平方數(shù)0，又2，所以，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得13. 設(shè)an=（n為正整數(shù)），則a1+a2+a2012的值1.（填“”，“”或“”）【答案】解：由an=，得a1+a2+a2012=1.14.

5、 紅、黑、白三種顏色的球各10個把它們?nèi)糠湃爰住⒁覂蓚€袋子中，要求每個袋子里三種顏色的球都有，且甲、乙兩個袋子中三種顏色的球數(shù)之積相等，那么共有種放法【答案】25解：設(shè)甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數(shù)分別為，則有19，且 ，（1）即，（2）于是因此中必有一個取5不妨設(shè)，代入（1）式，得到此時，y可取1，2，8，9（相應(yīng)地z取9，8，2，1），共9種放法同理可得y=5，或者z=5時，也各有9種放法但時，兩種放法重復(fù)因此共有932 = 25種放法15. 設(shè)，則代數(shù)式的值為( ).【答】1解：由已知得 于是 16. 已知為實數(shù)，且滿足，則的最小值為_【答】解：由 可得 于是 因此，當(dāng)時，的最小值為1

6、7. 若，且滿足，則的值為( ).【答】解：由題設(shè)可知，于是 ，所以故，從而于是18. 設(shè)，則的整數(shù)部分等于( ).【答】4解：當(dāng)，因為，所以于是有，故的整數(shù)部分等于419. 一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8. 同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是 .【答】解： 在36對可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有6對：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和為7，所以朝上的面兩數(shù)字之和為7的概率是.20. 若的最大值為a，最小值為b，則的值為 .【答】解：

7、由0，且0，得由于，所以當(dāng)時，取到最大值1，故當(dāng)或1時，取到最小值，故所以， 21. 若方程的兩根也是方程的根，則的值為 _答案：1122. 對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，則 _【答案】28068.23. 將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_個球.【答案】1524. 已知是實數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個非負(fù)實根，則的最小值是_.【答案】325. 如果實數(shù)滿足條件，則_.【答案】126. 已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有_對.【答案】7對27. 設(shè)是大于19

8、09的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是_個【答案】4個28. 設(shè)，則_ 【答案】2429. 用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解為_ 【答案】3,1，或根號530. 已知實數(shù)滿足 ，則的值為_【答】 7解：因為，0，由已知條件得， ，所以 7另解：由已知得：，顯然，以為根的一元二次方程為，所以故31. 將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有_種【答】5種解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列首先，對于，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，否則，這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果（1i3）是偶

9、數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，132. 對于實數(shù)u，v，定義一種運算“*”為：若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或33. 關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因為208是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設(shè)，則，同上可知，a，b都

10、是偶數(shù)設(shè)，則，所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則，于是 ，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7于是 因此 34設(shè)實數(shù)滿足，求的值解 由已知條件可得，.設(shè)，則有， 5分聯(lián)立解得或. 10分若，即，則是一元二次方程的兩根，但這個方程的判別式，沒有實數(shù)根； 15分若，即，則是一元二次方程的兩根，這個方程的判別式，它有實數(shù)根.所以. 20分35. 已知cba，且，求的最小值解：已知，又，且，所以b，c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根.故0，0，即 0，所以20于是-10，10，從而10，故30，當(dāng)時，等號成立36. 求關(guān)于a，b

11、，c，d的方程組的所有正整數(shù)解.解：將abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因為abc0，所以，.不妨設(shè)abc，則0.于是，即，a.從而，a=2，或3.若a=2，則.因為，所以，b5.從而，b=3，4，5.相應(yīng)地，可得c=15，(舍去)，5.當(dāng)a=2，b=3，c=15時，d=90；當(dāng)a=2，b=5，c=5時，d=50.若a=3，則.因為，所以，b.從而，b=2（舍去），3.當(dāng)b=3時，c=(舍去).因此，所有正整數(shù)解為(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2

12、，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).37. 已知關(guān)于的一元二次方程的兩個整數(shù)根恰好比方程的兩個根都大1，求的值. 解：設(shè)方程的兩個根為，其中為整數(shù)，且，則方程的兩根為，由題意得， 5分兩式相加，得，即 ， 所以， 或 10分 解得 或又因為 所以；或者，故，或29. 20分38. 設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解 由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和（1）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.（2）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5611.39. 已知為正數(shù)，滿足如下兩個條件： 是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90.解法