中心極限定理演示文稿3

1、第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理實際背景實際背景 在現(xiàn)實中為什么很多數(shù)量指標都服從在現(xiàn)實中為什么很多數(shù)量指標都服從或或近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布。( ,)YN 近 似 研究發(fā)現(xiàn)這些指標通常是大量研究發(fā)現(xiàn)這些指標通常是大量相互相互獨立的獨立的隨機因素綜合而成，即隨機因素綜合而成，即12nYXXX0.niiX中心極限定理研究的內(nèi)容，當研究的內(nèi)容，當,n 時時,什么情況下什么情況下 i=1=,nniYXN 的 極 限 是=1=1=1-()()nniiiiniiXE XDX的極限的極限分布是分布是0,1 ?N中心極限定理中心極限定理 設(shè) 是相互獨立，均值和方差存在 則隨機變量 和 的標準化隨機變量

2、 。 12,nX XX2()=,()=0, =1,2,.iiiiE XD Xi=1=1=1=12=1=1- ()-=()nnnniiiiiiiinnniiiiX EXXZDX ( =1,2,)i=1niiX(Z)= 0 ,D (Z)= 1nnE則則定義定義：若若 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 對任對任意意 滿足滿足 =1=nniiYX( )nF xx=1=12=1-lim( )=limnniiiinnnniiXFxPx2-2-1=()2txed txnX則稱則稱服從服從中心極限定理中心極限定理。問：問： 服從中心極限定理的條件是什么服從中心極限定理的條件是什么? nX121,nX XX）相互獨立。2)

3、 (); ()i=1,2,)iiE XD X都存在（3? ）定理定理4.5（獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量12,nX XX相互獨立相互獨立,服從相同的分布服從相同的分布,且且2(), ()0,iiE XD X1, 2,;in則對于任何實數(shù)則對于任何實數(shù)x,有有2121lim()(4.6)2ntixinXnPxedtxn 注注：1）定理表明獨立同分布的隨機變）定理表明獨立同分布的隨機變量之和量之和 =1niiX1( 0 , 1 ) ,niiXnNn21,.niiXNnn當當n充分大時，隨機變量之和與其標準化充分大時，隨機變量之和與其標準化隨機變量分別為隨機

4、變量分別為 = 1niiX2-0,1 ;,XNXNnn= 11=niiXXn其 中2)獨立同分布中心極限定理的另一種形獨立同分布中心極限定理的另一種形式可寫為式可寫為3)雖然在一般情況雖然在一般情況,我們很難求出我們很難求出的的分布的確切形式。但當分布的確切形式。但當n 很大時，可很大時，可以求出近似分布。以求出近似分布。推論推論1： 在獨立同分布中心極限的條件在獨立同分布中心極限的條件下，當下，當 很大時，對任意實數(shù)很大時，對任意實數(shù)ab,有近有近似公式：似公式：1）2）n=1-15 =1-P15 =1- -1515P XXPX于 是-15-0-015-0= 1 -1500 1121500

5、1121500 112XP15=1- 2-1 =1- 21.342 -11500 112= 2 1 -0 .9 0 9 9= 0 .1 8 0 2 . 2）設(shè)最多有）設(shè)最多有n個數(shù)相加，使誤差總和個數(shù)相加，使誤差總和符合要求。即要確定符合要求。即要確定n，試，試=1=niiYX100.90P Yn由中心極限定理，當時有近似公式- 01 1 2YPxxn10 =-1010PYPY于是-1010=1 121 121 12YPnnn10-1010-=2-1121212nnn 102-10.9012nn因 而滿 足1 00 .9 5 =1 .6 4 51 2n1 01 .6 4 5 ,4 4 3 .4

6、 51 2nn例例3某汽車銷售點每天銷售的汽車服從參某汽車銷售點每天銷售的汽車服從參數(shù)為數(shù)為 泊松分布，若一年泊松分布，若一年365天都經(jīng)天都經(jīng)營汽車銷售，且每天銷售的汽車數(shù)是相營汽車銷售，且每天銷售的汽車數(shù)是相互獨立的，求一年中售出互獨立的，求一年中售出700輛以上汽車輛以上汽車的概率？的概率？ 2解解: 記記,iXi為第 天出售的汽車輛數(shù)則則12365YXXX為為一年的總銷量一年的總銷量,由由()()2,iiD XE X( )( )365 2730.E YD Y 利用獨立同分布中心極限定理，可得利用獨立同分布中心極限定理，可得7 0 0 - 7 3 01 -7 3 0=1-1.11 =0.

7、8995700P Y 1700P Y 這表明這表明,該銷售點一年售出該銷售點一年售出700輛以上的輛以上的概率近似為概率近似為0.8665.二、棣美佛二、棣美佛-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理定理定理4.6 設(shè)在獨立試驗序列中，事件設(shè)在獨立試驗序列中，事件A的的概率概率p(A)=p(0P1),隨機變量隨機變量 nY表示表示A在在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則對任次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則對任何實數(shù)何實數(shù) x有有l(wèi)im(1)nnYnpPxnpp221( )(4.8).2txedtx 注記注記：1）該定理是概率論歷史上第一）該定理是概率論歷史上第一個中心極限定理，由棣美佛于個中心極限定理，由棣美佛

8、于1730年年給出給出 時的證明，幾十年后經(jīng)拉普時的證明，幾十年后經(jīng)拉普拉斯推廣到拉斯推廣到 的一般的一般情況情況1=2p01p( , ),(50)nXn pn 2)若服從時， -0,1(1-)nXnpNnpp則,(1-)nXNn p n pp,nXB n p服從于-(1- )(1- )nb npa npp a Xbnppnpp推論推論2 若若當當n很大時，則很大時，則 例例4 調(diào)整某種儀表調(diào)整某種儀表200臺，調(diào)整無誤的概率臺，調(diào)整無誤的概率為為0，設(shè)調(diào)整過大或過小的概率都是，設(shè)調(diào)整過大或過小的概率都是 ，問調(diào)整過大的儀表在問調(diào)整過大的儀表在95臺到臺到105臺間的概率臺間的概率是多少？是多

9、少？12,nnYYB np解：設(shè) 為調(diào)整過大的臺數(shù)， 服從1=200, = =,=100,=50.2np qnpnpq=200n可以認為是較大的，根據(jù)拉普拉斯定理。-10095-100105-10095105 =505050nnYpYp=0.7071 -0.7071 =0.5202注：若直接用二項分布來計算105200-200=951195105 =( ) (1- )22kkknkpYC0.5633.=200n有誤差的原因為不夠大，中心極限定理當n很大時較準確例例5 某電視機廠每月生產(chǎn)某電視機廠每月生產(chǎn)10000臺電視機，臺電視機，但它的顯像管車間的正品率為但它的顯像管車間的正品率為0.8，為

10、了，為了以以0.997的概率保證出廠的電視機都裝上的概率保證出廠的電視機都裝上正品的顯像管，該車間每月生產(chǎn)多少只正品的顯像管，該車間每月生產(chǎn)多少只顯像管？顯像管？解解: 設(shè)生產(chǎn)設(shè)生產(chǎn)顯像管正品數(shù)顯像管正品數(shù)X,月月總產(chǎn)量總產(chǎn)量n,則( ,0.8),XB n()0.8 ,E Xn( )0.16 ,D Xnpqn為了試電視機都裝上正品，則每月至少為了試電視機都裝上正品，則每月至少生產(chǎn)生產(chǎn)10000臺正品，則所求為臺正品，則所求為(10000 )=0.995.pXn由由拉普拉斯定理得：(10000 )pX n10000-0.8=0.5-=0.9970.16nnn1 0 0 0 0 -0 .8 0 ,

11、0 .1 6nn由 題 意 知10000-0.8-0.8-0.8=0.160.160.16nXnnnPnn 且且n較大，即較大，即(0.5)1n0.8 -10000=0.9970.16nn所 以反查正態(tài)分布表得0.8 -10000=2.750.4nn41.25 10 (n 所以只）例例6 從次品率為從次品率為0.05的一批產(chǎn)品中隨機的一批產(chǎn)品中隨機地取地取200件產(chǎn)品，分別用二項分別，泊松件產(chǎn)品，分別用二項分別，泊松分布，拉普拉斯中心極限計算取出的產(chǎn)分布，拉普拉斯中心極限計算取出的產(chǎn)品中至少有品中至少有3個次品的概率？個次品的概率？解解:設(shè)設(shè)X為為表示取出的表示取出的200件產(chǎn)品中的次件產(chǎn)品中的次品數(shù)品數(shù),則則(200,0.05),XB1) 用二項分布近似計算用二項分布近似計算(3)P X 1(3)PX 2200200010.050.95kkkkC 0.9996. 2）用泊松分）用泊松分布布計算。計算。=10,().np查表得p X 3099923）用中心極限計算(3)=1- (03)p XpX3-100-101-+9.59.5 =1-2.27 +-3