廣義相對(duì)論（課堂PPT）

1、1天體物理所 邱濤濤辦公室：9#樓1218室郵箱：2共31個(gè)課時(shí)，分15講+一次期末考試講課內(nèi)容：I 廣義相對(duì)論部分 共七講II 宇宙學(xué)部分 共八講期末考試方式：開(kāi)卷考試或提交論文3 俞允強(qiáng)著廣義相對(duì)論引論熱大爆炸宇宙學(xué)宇宙物理學(xué)講義 劉遼、趙崢等著廣義相對(duì)論廣義相對(duì)論基礎(chǔ) S.Weinberg著引力論與宇宙論419世紀(jì)末的兩朵烏云相對(duì)論的誕生“物理學(xué)已經(jīng)被認(rèn)為是完成了，下物理學(xué)已經(jīng)被認(rèn)為是完成了，下一代物理學(xué)家可以做的事情看來(lái)不一代物理學(xué)家可以做的事情看來(lái)不多了多了”“在物理學(xué)平靜而晴朗的天空出現(xiàn)在物理學(xué)平靜而晴朗的天空出現(xiàn)了了兩朵令人不安的小小烏云兩朵令人不安的小小烏云?！庇?guó)著名科學(xué)家開(kāi)

2、爾文勛爵于1900年4月27日在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)迎接新世紀(jì)的年會(huì)上發(fā)表的賀詞。物理發(fā)展到19世紀(jì)末，經(jīng)典物理的框架已經(jīng)形成，力熱光電等所有經(jīng)典物理規(guī)律都可以用當(dāng)時(shí)已知的理論去描述，人們認(rèn)為物理學(xué)的大廈已臻完工。威廉湯姆森（開(kāi)爾文勛爵）519世紀(jì)末的兩朵烏云相對(duì)論的誕生測(cè)量光速不變，違反牛頓力學(xué)體系中物體的速度相對(duì)性的結(jié)論傳統(tǒng)的經(jīng)典方法計(jì)算的黑體輻射譜與實(shí)驗(yàn)不相符合相對(duì)論的建立（本科要講）量子論的建立（量子力學(xué)課中會(huì)講到）相對(duì)論相對(duì)論和量子論量子論是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大基石！6牛頓絕對(duì)時(shí)空觀：牛頓絕對(duì)時(shí)空觀：存在絕對(duì)靜止的“以太”，地球以一定速度v在以太中穿行。光行差現(xiàn)象：同一星體照射向地球的光的方向隨

3、季節(jié)變化：被認(rèn)為是地球相對(duì)于以太運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。什么是“以太”？以太的概念最早由亞里士多德（公元前384年-公元前322年，約中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期）提出，他認(rèn)為天空中充滿輕而透明的以太亞里士多德伊薩克牛頓7麥克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)的目的：測(cè)出地球相對(duì)于以太的運(yùn)動(dòng)速度。平行“以太”運(yùn)動(dòng)方向：光的運(yùn)動(dòng)速度為c+v（順著以太運(yùn)動(dòng)方向）和c-v（逆著以太運(yùn)動(dòng)方向）垂直“以太”運(yùn)動(dòng)方向：光的運(yùn)動(dòng)速度為兩條路所經(jīng)歷的時(shí)間差：但實(shí)驗(yàn)上并未測(cè)到時(shí)間差！200003222lllvtlcvcvccv 22cvvc22cvA.麥克爾遜E.莫雷8相對(duì)于絕對(duì)空間運(yùn)動(dòng)的尺子在運(yùn)動(dòng)方向上會(huì)產(chǎn)生收縮！沿v方向上的光程不是 ，而是 ！垂直v方向

4、上的光程仍是 時(shí)間差公式變?yōu)椋?222llltcvcvcv 22001/tllvc 由于物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的收縮效應(yīng)：洛倫茲收縮（尺縮效應(yīng)）H.洛倫茲（1853-1928）9經(jīng)典力學(xué)體系中的慣性坐標(biāo)變換（伽利略變換伽利略變換）無(wú)法給出物體在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生收縮的性質(zhì)！伽利略變換而洛倫茲采取的一套新的慣性坐標(biāo)變換（洛倫茲變換洛倫茲變換）則能自然給出物體這一性質(zhì)！洛倫茲變換注意：當(dāng) 時(shí)，洛倫茲變換 - 伽利略變換，即伽利略變換是洛倫茲變換的低速極限！ xxvt yy zz tt221/xvtxvc yy zz222/1/tvx ctvcvc10洛倫茲變換（以一維空間為例）：221/xvtxvc222/1/

5、tvx ctvc假設(shè)其中(t,x)為靜止坐標(biāo)系，(t,x)為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。設(shè)靜止系中尺子的長(zhǎng)度是x，現(xiàn)在若要在靜止系中測(cè)量運(yùn)動(dòng)系中尺子的長(zhǎng)度x，我們需要“同時(shí)同時(shí)”測(cè)量尺子的兩端，而“同時(shí)”意味著t=0.由洛倫茲變換公式得運(yùn)動(dòng)系中尺子的長(zhǎng)度為221/xxxvc因此運(yùn)動(dòng)系中尺子長(zhǎng)度變短。該效應(yīng)又被稱為“尺縮效應(yīng)尺縮效應(yīng)”。x xv同理，我們還能有洛倫茲變換得出運(yùn)動(dòng)參考系時(shí)鐘變慢的現(xiàn)象。該效應(yīng)被稱為“鐘慢效應(yīng)”。11出發(fā)點(diǎn)：麥克斯韋電磁理論中含光速c。若光速隨參考系改變而改變的話，麥克斯韋電磁理論也將隨參考系改變而改變！愛(ài)因斯坦洛倫茲雖然得到了高速運(yùn)動(dòng)的物體正確的坐標(biāo)變換形式，但他仍然相信絕對(duì)時(shí)空，

6、即“以太”的存在，并把速度v理解成物體相對(duì)于以太的速度！愛(ài)因斯坦對(duì)時(shí)空觀的思考（獨(dú)立于洛倫茲）但物理規(guī)律不應(yīng)隨著參考系的改變而改變（伽利略相對(duì)性原伽利略相對(duì)性原理理），因此光速c只能是一個(gè)常數(shù)，但這又與速度疊加原理矛盾！12他認(rèn)為對(duì)高速運(yùn)動(dòng)的物體不應(yīng)該只遵循簡(jiǎn)單的疊加原理，而是有更復(fù)雜的關(guān)系！根據(jù)這個(gè)思路并憑借自己扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，愛(ài)因斯坦也推導(dǎo)出了和洛倫茲變換相同的變換形式。但不同的是，愛(ài)因斯坦認(rèn)為既然物理規(guī)律在任何慣性參考系下都相同，那就沒(méi)有什么參考系是“絕對(duì)”的，大家都在彼此做相對(duì)運(yùn)動(dòng)大家都在彼此做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以他把變換中的速度v解釋成所作變換的兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度。（狹義）相對(duì)論（狹

7、義）相對(duì)論麥克斯韋電磁理論麥克斯韋電磁理論伽利略相對(duì)性原理伽利略相對(duì)性原理速度疊加原理速度疊加原理相互矛盾-狹義相對(duì)論基本原理：光速不變?cè)碓谌魏螒T性參考系內(nèi)真空中的光速是不變的。相對(duì)性原理物理學(xué)的規(guī)律在任何慣性參考系內(nèi)都是一樣的?！跋鄬?duì)論”名稱的由來(lái)：洛倫茲在與愛(ài)因斯坦的爭(zhēng)論中為了與自己的理論相區(qū)別，稱其為相對(duì)論。愛(ài)因斯坦認(rèn)為十分貼切，欣然接受。13馬赫認(rèn)為不存在絕對(duì)空間和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，任何運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的。愛(ài)因斯坦對(duì)時(shí)空觀的理解得益于奧地利物理學(xué)家馬赫。恩斯特馬赫（18381916），奧地利-捷克物理學(xué)家，著有力學(xué)史評(píng)馬赫原理：馬赫原理：物體的運(yùn)動(dòng)不是絕對(duì)空間中的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，而是相對(duì)于宇宙中其他物

8、質(zhì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因而不僅速度是相對(duì)的，加速度也是相對(duì)的，在非慣性系中物體所受的慣性力不是“虛擬的”，而是一種引力的表現(xiàn)，是宇宙中其他物質(zhì)對(duì)該物體的總作用；物體的慣性不是物體自身的屬性，而是宇宙中其他物質(zhì)作用的結(jié)果。14 猶太人，1879年生于德國(guó)小鎮(zhèn)烏爾姆，出生不久舉家搬到慕尼黑； 小時(shí)候天賦一般，但喜歡鉆研東西，喜歡看課外書(shū)； 在學(xué)校不受歡迎，因?yàn)橐皇仟q太人，二是無(wú)神論者，還喜歡問(wèn)問(wèn)題。在慕尼黑中學(xué)退學(xué)后去意大利投奔父母； 在意大利考蘇黎世工業(yè)大學(xué)未中，上阿勞中學(xué)補(bǔ)習(xí)，該學(xué)校校風(fēng)自由，被其稱作孕育相對(duì)論的土壤； 后來(lái)考上蘇黎世工業(yè)大學(xué)，成績(jī)一般，找不到工作，1902年托朋友找到一家專利局工作，

9、做普通職員。頭幾年每年發(fā)表一兩篇論文，水平一般； 1905年：愛(ài)因斯坦奇跡年。發(fā)表了博士論文及4篇重量級(jí)論文：光量子說(shuō)、用分子運(yùn)動(dòng)論解釋布朗運(yùn)動(dòng)、狹義相對(duì)論、質(zhì)能關(guān)系。據(jù)認(rèn)為得益于專利局的工作，沒(méi)什么事，可以思考一些自己感興趣的問(wèn)題。 1921年，因?qū)怆娦?yīng)的解釋或諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)； 1932年，因躲避納粹赴美國(guó)并擔(dān)任普林斯頓高等研究院教授 1955年，病逝于普林斯頓。15相對(duì)論認(rèn)為，不存在絕對(duì)的空間，也不存在絕對(duì)的時(shí)間，空間是相對(duì)的， 時(shí)間也是相對(duì)的， 但它們作為一個(gè)整體則是絕對(duì)的。 也就是說(shuō)，存在絕對(duì)的“四維時(shí)空”。 能量是相對(duì)的， 動(dòng)量也是相對(duì)的， 但它們作為一個(gè)整體是絕對(duì)的。 也就是說(shuō)

10、存在絕對(duì)的“四維動(dòng)量”。 光速是絕對(duì)的，在任何慣性系中光速都相同。16困難之一：如何定義慣性參考系？牛頓的定義：凡是相對(duì)于絕對(duì)空間靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系為慣性系（絕對(duì)時(shí)空觀絕對(duì)時(shí)空觀）后牛頓時(shí)期的定義：一個(gè)不受力的質(zhì)點(diǎn)在某參考系下靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，則該參考系為慣性系（牛頓第一定律牛頓第一定律）但何為“不受力”？在慣性系中保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體不受力。愛(ài)因斯坦的解決辦法：完全拋棄慣性系的概念，而把相對(duì)論理論推廣到一般參考系（非慣性系）中去！但在非慣性系中有“慣性力”的存在。“慣性力”該如何處理？互為前提的命題！互為前提的命題！aiF17困難之二：如何包括萬(wàn)有引力？愛(ài)因斯坦猜想：萬(wàn)有引

11、力和慣性力之間可能有內(nèi)在聯(lián)系，或許這兩個(gè)困難其實(shí)是同一個(gè)困難。當(dāng)時(shí)已知的兩種力電磁力和相對(duì)論符合的很一致萬(wàn)有引力始終未包括到相對(duì)論中去2gggGMmFmriiiFm am18引力質(zhì)量定義：2ggGMmFm gr2GMgr慣性質(zhì)量定義：另一個(gè)問(wèn)題：質(zhì)量如何定義？iFmaa為加速度對(duì)于自由下落的物體，加速度可以用運(yùn)動(dòng)學(xué)辦法測(cè)出！實(shí)驗(yàn)測(cè)得在很高精度范圍內(nèi)牛頓在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書(shū)中曾闡述質(zhì)量的定義：“質(zhì)量就質(zhì)量就是物質(zhì)的量，正比于重量是物質(zhì)的量，正比于重量”。但他又說(shuō)：“質(zhì)量正比于慣性質(zhì)量正比于慣性”，因此他也許已經(jīng)意識(shí)到引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量可能不是一個(gè)東西，但在數(shù)值上相等！a g兩者相比：igma

12、m g故igmm這兩種闡述實(shí)際上分別從引力的角度和慣性的角度上定義質(zhì)量！19由力學(xué)課內(nèi)容知單擺周期為2lTg和擺的質(zhì)量無(wú)關(guān)。但若考慮到引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量的區(qū)分，擺的周期實(shí)際上應(yīng)寫(xiě)為2igmlTm g其中含質(zhì)量的比值/igmm若igmm比值為1，則擺的周期與質(zhì)量無(wú)關(guān)。在愛(ài)因斯坦時(shí)代對(duì)引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量差別的測(cè)量：厄阜：810Dicke:1110布拉金斯基：1210為了更加精確地測(cè)量引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的差別，牛頓又設(shè)計(jì)了單擺實(shí)驗(yàn)。20著名的電梯理想實(shí)驗(yàn)a.在場(chǎng)強(qiáng)為g的引力場(chǎng)中靜止（加速度0）c.在場(chǎng)強(qiáng)為g的引力場(chǎng)中自由落體(加速度g)d.在場(chǎng)強(qiáng)為0的引力場(chǎng)中慣性運(yùn)動(dòng)(加速度0)b.在場(chǎng)強(qiáng)為0的引力

13、場(chǎng)中加速（加速度g）在a，b兩種情況中實(shí)驗(yàn)者無(wú)法區(qū)分自己處于哪種情況，在c，d兩種情況中亦如是。ggaa受到引力質(zhì)量=慣性質(zhì)量的啟發(fā)，愛(ài)因斯坦進(jìn)一步思考：是否引力（場(chǎng)）和慣性力（場(chǎng)）本質(zhì)上是一個(gè)東西？21通過(guò)電梯理想實(shí)驗(yàn)，愛(ài)因斯坦認(rèn)識(shí)到一個(gè)處在慣性系當(dāng)中的受力物體和一個(gè)處在非慣性系當(dāng)中的不受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是不可區(qū)分的。ggaaF引F引F慣F慣Fm g引引Fm a 慣慣mm引慣由得FF引慣22弱等效原理所有力學(xué)規(guī)律在任何參考系下都是等價(jià)的。強(qiáng)等效原理所有物理規(guī)律在任何參考系下都是等價(jià)的。（廣義協(xié)變?cè)恚┮虼?，?ài)因斯坦總結(jié)出了奠定廣義相對(duì)論基礎(chǔ)的原理等效原理（1915年）同時(shí)由于我們可以找一個(gè)非

14、慣性系使得在該系內(nèi)引力和慣性力互相抵消，而使得物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)像是在一個(gè)“不受力”且“未加速”的參考系中運(yùn)動(dòng)，因此我們可以在某一時(shí)空點(diǎn)的鄰域內(nèi)建立一個(gè)“局域慣性系”。23結(jié)論：萬(wàn)有引力=慣性力萬(wàn)有引力和慣性力分別具有如下性質(zhì)：慣性力是一種假象力，只有受力物體，沒(méi)有施力物體，不遵循牛頓第三定律1. 在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)的物體，其運(yùn)動(dòng)方式、軌跡與自身性質(zhì)（質(zhì)量、成分等）無(wú)關(guān)萬(wàn)有引力不是真正意義上的力，而是一種幾何效應(yīng)！（思想（思想上的飛躍）上的飛躍）如何將引力幾何化？慣性系，物體不受力-勻速直線運(yùn)動(dòng)非慣性系，物體受力-有可能做曲線運(yùn)動(dòng)即力可以改變物體運(yùn)動(dòng)的軌跡力可以改變物體運(yùn)動(dòng)的軌跡同樣力也可以改變

15、時(shí)空的平直性力也可以改變時(shí)空的平直性通常（弱引力）我們認(rèn)為時(shí)空是平直的若引力場(chǎng)足夠強(qiáng)，可能導(dǎo)致時(shí)空彎曲引力引力時(shí)空彎曲時(shí)空彎曲! !24在經(jīng)典數(shù)學(xué)和物理中，人們所認(rèn)知的幾何是平直空間中的幾何歐幾里得幾何歐幾里得幾何公設(shè)（幾何原本）：從一點(diǎn)向另一點(diǎn)可以引一條直線。任意線段能無(wú)限延伸成一條直線。給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。所有直角都相等。I.若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。歐幾里得（前325年前265年），古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”C其中第五公設(shè)可以等價(jià)為如下命題：過(guò)給定直線外一點(diǎn)有且只有且只

16、有一條直線有一條直線與已知直線平行。25因?yàn)榈谖骞O(shè)很長(zhǎng)很復(fù)雜，不像是基本的公理，所以很多人想從其他公設(shè)推出第五公設(shè)，但都沒(méi)有成功，有的人耗費(fèi)了畢生精力。K. 高斯（1777-1855）J. 鮑耶（1802-1860）N. 羅巴切夫斯基（1792-1856）認(rèn)為第五公設(shè)可能不是普遍成立的，即如果從直線外一點(diǎn)可以引兩條以上的平行線，則或許可以建立一套新的幾何?。ê笕朔Q羅氏幾何羅氏幾何）26羅氏幾何由俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基于1820年代，為最早建立的完整的非歐幾何。羅氏幾何：從直線外一點(diǎn)可以引兩條以上的平行線。羅氏幾何實(shí)際上是二維負(fù)常曲率空間幾何二維負(fù)常曲率空間幾何。其他結(jié)論：1. 該幾何中無(wú)法定

17、義“直線”，直線即兩點(diǎn)間最短線；2. 三角形三角之和小于180；3. 圓周率大于等。N. 羅巴切夫斯基（1792-1856）27黎曼：過(guò)直線外一點(diǎn)一條平行線也引不出來(lái)。羅氏幾何和黎氏幾何統(tǒng)稱非歐幾何非歐幾何，描述彎曲的空間。1845年，黎曼又高度統(tǒng)一歐式幾何、羅氏幾何和黎氏幾何，并統(tǒng)稱為黎黎曼幾何曼幾何。G.F.B.黎曼（1826-1866）P其他結(jié)論：1. 該幾何中無(wú)法定義“直線”，兩點(diǎn)之間最短線為大圓周；2. 三角形三角之和大于180；3. 圓周率小于等。黎氏幾何實(shí)際上是二維正常曲率空間幾何二維正常曲率空間幾何。28在熟悉了黎曼幾何后，運(yùn)用自己的相對(duì)論知識(shí)，愛(ài)因斯坦推出了如下運(yùn)動(dòng)方程（愛(ài)因

18、斯坦場(chǎng)方程）：418-2GRgRTc其中 =0,1,2,3表示三維空間和一維時(shí)間。g度規(guī)或度規(guī)張量R里契張量張量，有 個(gè)分量4 416R里契標(biāo)量3300RR gT（物質(zhì)的）能量動(dòng)量張量, 時(shí)空（幾何）部分 物質(zhì)部分該方程為廣義相對(duì)論的核心方程，形式簡(jiǎn)潔卻很難解，并且只有少數(shù)解有物理對(duì)應(yīng)！G為萬(wàn)有引力常數(shù)為光速c29平直時(shí)空彎曲時(shí)空由于引力起源于質(zhì)量，他認(rèn)為時(shí)空彎曲起源于物質(zhì)的存在和運(yùn)動(dòng)，但彎曲的時(shí)空又是存在其中的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力，因此時(shí)空彎曲和物質(zhì)的存在和運(yùn)動(dòng)是互為因果的。Geometry tells matter how to move, matter tells geometry how t

19、o curve. 約翰惠勒30一切參考系都是相對(duì)的。相對(duì)論的核心思想：?jiǎn)栴}：1）不同參考系之間的物理量如何變換？2）哪些物理量在參考系變換下是不變的？31最簡(jiǎn)單的例子：平直時(shí)空下參考系的坐標(biāo)滿足洛倫茲變換：221/xvtxvc yy zz222/1/tvx ctvc或矩陣形式：22222222221/001/1/1001/1/00100001v cttvcvcxxv cyyvcvczz 32現(xiàn)在來(lái)看在不同坐標(biāo)系下兩個(gè)事件的間隔。因?yàn)槊枋鲆粋€(gè)事件不僅要描述事件所發(fā)生的地點(diǎn)（即空間，用3維坐標(biāo) ）來(lái)表示，還要描述事件所發(fā)生的時(shí)間（用1維坐標(biāo) 來(lái)表示），所以我們通常用一組4 4維坐標(biāo)維坐標(biāo) 來(lái)描述一

20、個(gè)事件。事件一：某光源發(fā)出光信號(hào)。事件二：某處接收器接受到該信號(hào)。設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，即在兩個(gè)坐標(biāo)系中看，光源是同時(shí)同地發(fā)出信號(hào)的，事件一的坐標(biāo)都是(0,0,0,0)。由于坐標(biāo)系的不同，事件二在第一個(gè)坐標(biāo)系中的時(shí)空坐標(biāo)為 , 在第二個(gè)坐標(biāo)系中的時(shí)空坐標(biāo)為 。( , , , )x y z t( , , )x y zt( , , , )x y z t( , )x y z t 33兩事件由光信號(hào)聯(lián)系。由于光速不變，在兩個(gè)坐標(biāo)系中光的傳播速度都是c，即222222xyzxyzctt2222 222222xyzc txyzc t若定義兩事件間隔為（注意上例中事件一的坐標(biāo)為 ），那么事件間隔是不隨參考系

21、改變而改變的！(0,0,0,0)22222221212121()()()()dsxxyyzzc tt注意：上例中兩事件是有光信號(hào)聯(lián)系的事件。但對(duì)任意兩事件（無(wú)論有無(wú)注意：上例中兩事件是有光信號(hào)聯(lián)系的事件。但對(duì)任意兩事件（無(wú)論有無(wú)聯(lián)系或以何種方式聯(lián)系），事件間隔都是不變的。詳見(jiàn)聯(lián)系或以何種方式聯(lián)系），事件間隔都是不變的。詳見(jiàn)電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)。于是我們有34由洛倫茲變換可以看到，在相對(duì)論中時(shí)間和空間是不可分割的，3維空間和1維時(shí)間共同構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的整體。在以后的講課中，我們會(huì)用一個(gè)帶指標(biāo)的字母 來(lái)表示這一組坐標(biāo)，即( , , , )xct x y z0,1,2,3 有的教材會(huì)把4維坐標(biāo)寫(xiě)作 ， ，

22、只是寫(xiě)法上的差別！ 在自然單位制中 ，故 常常略去不寫(xiě)！( , , ,)xx y z ct1,2,3,41c c事件間隔寫(xiě)作210000100(,)00100001dtdxdsdt dx dy dzdx dxdydz度規(guī)（后面會(huì)講）形如上式的度規(guī)稱為閔可夫斯基（Minkowski,閔氏）度規(guī)，所以平直時(shí)空也被稱為閔可夫斯基（Minkowski，閔氏）時(shí)空！30dx dx愛(ài)因斯坦收縮！ 稱為啞指標(biāo)x35四維時(shí)空坐標(biāo)和事件間隔在坐標(biāo)系變換下的變換可以寫(xiě)為：dxa dx 22dsds 標(biāo)量、矢量和張量的概念 把在坐標(biāo)系變換下不變的物理量稱為標(biāo)量，如 。標(biāo)量不帶洛倫茲指標(biāo)，只有一個(gè)分量。2ds 把在坐

23、標(biāo)系變換下像 一樣變換的物理量稱為矢量。如電磁矢量 、動(dòng)量矢量 。矢量帶一個(gè)洛倫茲指標(biāo)，對(duì)N維矢量，有N個(gè)分量。dx123( ,)pE ppp123( ,)AA AA 有些物理量更加復(fù)雜，帶有兩個(gè)以上洛倫茲指標(biāo)。這些量在坐標(biāo)系變換下作如下變換（以帶兩個(gè)指標(biāo)為例）：Ta a T這些物理量叫張量。張量是矢量的推廣，帶M個(gè)洛倫茲指標(biāo)的張量稱M階張量。一個(gè)M階N維張量共有MXN個(gè)分量。常見(jiàn)的張量有能量動(dòng)量張量、電磁張量等。36標(biāo)量、矢量和張量的關(guān)系表物理量帶指標(biāo)數(shù)變換方式備注標(biāo)量0不變0階張量矢量1洛倫茲變換1階張量張量N（=2）洛倫茲變換N階張量對(duì)2階張量 ：TTT對(duì)稱張量TT 反對(duì)稱張量T張量的跡

24、0T無(wú)跡張量任意一個(gè)二階張量 都可以分解成一個(gè)對(duì)稱張量 和一個(gè)反對(duì)稱張量 之和T()TT()TTT()1()2TTT1()2TTT其中37上述討論的是平直時(shí)空平直時(shí)空的坐標(biāo)變換。廣義相對(duì)論認(rèn)為時(shí)空是彎時(shí)空是彎曲的，平直時(shí)空只是某種條件下的近似。曲的，平直時(shí)空只是某種條件下的近似。在彎曲時(shí)空下坐標(biāo)及物理量如何變換？設(shè)在四維彎曲時(shí)空中，坐標(biāo)有如下變換形式：()xxx,0,1,2,3 盡管變換的具體形式可能很復(fù)雜，但是我們可以寫(xiě)出坐標(biāo)微分的變換公式：xdxdxx 對(duì)于變換方式與該變換相同的矢量，我們稱其為逆變矢量逆變矢量。逆變矢量的逆變矢量的指標(biāo)寫(xiě)在右上方。指標(biāo)寫(xiě)在右上方。另外一些矢量，如空間導(dǎo)數(shù)

25、，它們的變換規(guī)則為：dddxdxddxxdx對(duì)于變換方式與該變換相同的矢量，我們稱其為協(xié)變矢量協(xié)變矢量。協(xié)變矢量的指協(xié)變矢量的指標(biāo)寫(xiě)在右下方。標(biāo)寫(xiě)在右下方。38二階逆變張量逆變張量變換形式：二階協(xié)變張量協(xié)變張量變換形式：同理，協(xié)變矢量和逆變矢量的定義可以推廣到n階張量。xxTTxx xxTTxx但由于張量可以帶多個(gè)指標(biāo)，所以有的張量部分指標(biāo)是逆變的，部分指標(biāo)是協(xié)變的，該張量被稱為混合張量混合張量。如：1212121 21 21 21212mnmmnnmnxxxxxxTTxxxxxx 則該張量被稱為(m+n)(m+n)階混合張量階混合張量?；旌蠌埩渴前藚f(xié)變張量和逆變張量的最一般形式。39 張

26、量相等的定義：逆、協(xié)變指標(biāo)數(shù)相同的兩個(gè)同階同階張量各分量均相等。 張量的加減：兩個(gè)同階同階張量的所有分量相加減。 張量與標(biāo)量的乘積：張量的所有分量乘以此標(biāo)量。張量的代數(shù)運(yùn)算有如下一些性質(zhì)：0000nijjimmnaaaAaaa0000nijjimmnbbbBbbbijijABab00000000nnijijjijimmmnmnabababABababab0000nijjimmnaaaAaaa40 張量指標(biāo)的縮并11111111mnmmnnmnxxxxxxTTxxxxxxxx111111111111mnmnmnmnmnmnxxxxxxTxxxxxxxxxxxxTxxxxxx只有m-1個(gè)逆變指標(biāo)、

27、n-1個(gè)協(xié)變指標(biāo)參與了坐標(biāo)變換的運(yùn)算，故 實(shí)際上為m-1m-1階逆變、階逆變、n-1n-1階協(xié)變張量階協(xié)變張量，而啞指標(biāo)不再起張量指標(biāo)的作用啞指標(biāo)不再起張量指標(biāo)的作用。（克羅內(nèi)克爾（Kroneker）函數(shù)定義為 ）1,0,11mnT 41 矢（張）量的內(nèi)積xxA BA BA BA Bxx A B是一個(gè)標(biāo)量！張量?jī)?nèi)積后上下指標(biāo)也會(huì)縮并，內(nèi)積后張量降階！注意：縮并和內(nèi)積只存在于一對(duì)上下指標(biāo)之間！注意：縮并和內(nèi)積只存在于一對(duì)上下指標(biāo)之間！42張量是逐點(diǎn)定義的，同一時(shí)空點(diǎn)的張量相加減仍具有張量的性質(zhì)，而不同時(shí)空點(diǎn)張量相加減將失去張量的性質(zhì)！如何在保證張量性質(zhì)的前提下對(duì)不同點(diǎn)的張量相加減？定義張量的“平

28、移平移”。以協(xié)變矢量平移為例平移要求：1.平移后的矢量仍是矢量（滿足矢量的變換性質(zhì)）。 2.平移所引起的改變量 正比于原矢量 及平移的位移 （線性理論要求）。P點(diǎn)P點(diǎn)Q點(diǎn)( )AP( )A Q()APQ( )AP( )()APAPQ( )AP( )APdx43由平移的第二個(gè)要求：( )()( )( )( )APAPQAPP A P dx 其中比例系數(shù)稱為（仿射）聯(lián)絡(luò)（仿射）聯(lián)絡(luò)。仿射聯(lián)絡(luò)在坐標(biāo)系變換下如何變換？在平直時(shí)空下()()APQAP故( )0P由平移的第一個(gè)要求：()()QxAPQAPQx由()( )( )( )APQAPP A P dx及22QPPPPPxxxxxxdxdxxxxxx

29、xxx 得2xxxxxxxxxxx 可見(jiàn) 不滿足張量在坐標(biāo)系變換下的變換公式，因此 不是張量。44 聯(lián)絡(luò)的變換由式給出，因此聯(lián)絡(luò)不是張量，但兩個(gè)聯(lián)絡(luò)的差是張量。 聯(lián)絡(luò)一般是不對(duì)稱的，但和張量一樣，可以分解成對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分之和，對(duì)稱部分不是張量，反對(duì)稱部分是張量，稱為撓率張量。聯(lián)絡(luò)的性質(zhì)() ()1()21()2222xxxxxxxxxxx 211xxxxxxxxxxx 1212()xxxxxx 45定義了矢（張）量的平移和聯(lián)絡(luò)之后，我們就可以定義相鄰兩點(diǎn)矢（張）量的差，進(jìn)而可以定義彎曲空間矢（張）量的微分及導(dǎo)數(shù)。我們熟悉的導(dǎo)數(shù)定義：0()( )limxdff xxf xdxx （一維平直

30、時(shí)空）四維彎曲時(shí)空的導(dǎo)數(shù)：1) 標(biāo)量場(chǎng) 的導(dǎo)數(shù),()dxdx在坐標(biāo)系變換下的變換：,()()()dxdxdxxxdxdxdxxx 符合張量變換性質(zhì)。因此我們定義標(biāo)量在彎曲空間中的導(dǎo)數(shù)形式和平直空間中的相同。462) 協(xié)變矢量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù),( )( )limQPA QAPAx 由于 不具有矢量的性質(zhì)，因此只能將彎曲空間導(dǎo)數(shù)定義為平移后同一點(diǎn)矢量對(duì)時(shí)空的微商，即( )( )A QAP;( )()limQPA QAPQAx 如此定義的導(dǎo)數(shù)具有矢量的性質(zhì)，稱為協(xié)變導(dǎo)數(shù)（微商），協(xié)變導(dǎo)數(shù)（微商），用 表示。由 知協(xié)變導(dǎo)數(shù)和普通導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為()( )( )( )APQAPP A P dx;,AAA 普通導(dǎo)數(shù)：

31、;47與普通導(dǎo)數(shù)一樣，協(xié)變導(dǎo)數(shù)遵循萊布尼茲法則萊布尼茲法則：;()()()A BABAB因?yàn)閰f(xié)變導(dǎo)數(shù)與普通導(dǎo)數(shù)一樣具有線性性。協(xié)變導(dǎo)數(shù)與普通導(dǎo)數(shù)一樣具有線性性。3）逆變矢量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)由于逆變矢量和協(xié)變矢量可以構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量，而標(biāo)量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于普通導(dǎo)數(shù)，于是有;,()()A BABA BA BABA B ,;,ABA BA BABA B ;,BBB4）張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)（以混合張量為例）;,TTTT 48彎曲空間中如何定義“直線”？歐式空間中對(duì)直線的描繪：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。定義一：兩點(diǎn)間距離最短的線兩點(diǎn)間距離最短的線（又叫短程線，在已定義長(zhǎng)度的空間如黎曼空間中）定義二：曲線上任一點(diǎn)沿此曲線

32、作位移，該點(diǎn)切向量的移動(dòng)是平行移曲線上任一點(diǎn)沿此曲線作位移，該點(diǎn)切向量的移動(dòng)是平行移動(dòng)動(dòng)（在未定義長(zhǎng)度的空間如仿射空間中，稱為“測(cè)地線”）。由于我們還沒(méi)有給出長(zhǎng)度的定義，所以暫時(shí)用定義二。曲線的參數(shù)方程：( )xxpp為仿射參量切向量：dxAdpP點(diǎn)和Q點(diǎn)曲線的切向量分別為 和( )()( )( )( )( )dxdxAQAPQAPP AP dxPdxdpdp( )AP切向量的移動(dòng)是平行移動(dòng)：( )AQ總可以寫(xiě)成22( )( )dxddxdxd xAQAPdAdpdpdpdpdpdpdp由上兩式得曲線成為測(cè)地線，參數(shù)方程須滿足：220d xdx dxdpdp dp測(cè)地線方程測(cè)地線方程( )AQ

33、49我們定義了彎曲時(shí)空中矢（張）量的導(dǎo)數(shù)協(xié)變導(dǎo)數(shù)，它與普通導(dǎo)數(shù)的區(qū)別是差一個(gè)和聯(lián)絡(luò)有關(guān)的因子。正是這個(gè)因子，導(dǎo)致協(xié)變導(dǎo)數(shù)和普通導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)的不同：可交換性被破壞！普通導(dǎo)數(shù)的可交換性（以協(xié)變矢量為例）：, , ,AA 而對(duì)協(xié)變導(dǎo)數(shù)：; ; ,;, ,;AAAAAAAAAA 同理; ;, ,;AAAAAAA 兩者的差是; ; ;,;()()AAAA R2撓率張量撓率張量黎曼曲率張量黎曼曲率張量當(dāng)黎曼曲率張量和撓率張量均為0時(shí)，協(xié)變微商可交換次序。即當(dāng)二者均為0時(shí)，時(shí)空退化成平直時(shí)空！50OQQPPdxxOQdx OQx將OQ平移 至QP，將OQ平移 至QP，P與P是否重合？dxxQPdxdx

34、xQ Pxx dx P與P兩點(diǎn)之差為()()()()2OQQPOQQ Pxdxdxxdxxx dxdxxdxx 當(dāng) 時(shí)P與P點(diǎn)之差為零，即P與P點(diǎn)重合，上述平移才能構(gòu)成一個(gè)封閉的平行四邊形。在撓率不為零的空間中平移的順序不可交換，若交換順序則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加的位移，這個(gè)附加位移便是彎曲空間產(chǎn)生的幾何效應(yīng)。0撓率的幾何意義51現(xiàn)在考慮無(wú)撓的情況，即不同順序的平移可以構(gòu)成一個(gè)封閉環(huán)路。那任意矢量從環(huán)路的某一點(diǎn)出發(fā)，繞環(huán)路一周后回到原點(diǎn)，是否和原來(lái)的矢量相等？OQQPdxxA設(shè)某矢量 沿封閉平行四邊形做如下平移：OQPQOA()( )( )( )AOQAOO A Ox,()()( )()( )( )(

35、 )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )AOQPAOQQ A OQ dxQ dx dxAOO A OxdxO A O dxxOO A O dxxOO AOx dx ()( )()()AAOQPQOAOAOQPAOQP繞一周后與原矢量之差為曲率的幾何意義由矢量的平移公式可知52曲率的幾何意義大家可以看到，當(dāng)黎曼曲率張量 時(shí)，矢量繞行一周后與原矢量重合，或矢量從一點(diǎn)平移至另一點(diǎn)，增量與路徑無(wú)關(guān)矢量從一點(diǎn)平移至另一點(diǎn)，增量與路徑無(wú)關(guān)。相反，在曲率張量不為零的空間，沿不同路徑平移的張量會(huì)有一個(gè)附加的差別，該差別也是來(lái)自于空間曲率產(chǎn)生的幾何效應(yīng)。0R同理()( )( )( )AOQ

36、AOO A O dx,()( )( )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )AOQPAOO A OxdxO A Ox dxOO A Ox dxOO AO dxx 二者之差為,()()()AAOQPAOQPAx dxRAx dx 53馬里烏斯索菲斯李（18421899）挪威數(shù)學(xué)家坐標(biāo)變換：()xxx其中 和 被認(rèn)為是不同坐標(biāo)系下的同一不同坐標(biāo)系下的同一時(shí)空點(diǎn)。時(shí)空點(diǎn)。xx實(shí)際上， 和 也可以被認(rèn)為是同一坐標(biāo)同一坐標(biāo)系下的不同時(shí)空點(diǎn)。系下的不同時(shí)空點(diǎn)。對(duì)無(wú)窮小變換，()xxx可寫(xiě)為()xxx 其中 是小量， 稱為該無(wú)窮小變換的生成元。xx54為使不同點(diǎn)矢（張）量相加減仍然保持矢

37、（張）量的性質(zhì)，我們?nèi)匀恍枰x平移：( )()APAPQ李導(dǎo)數(shù)李導(dǎo)數(shù)即描述在上述無(wú)窮小變換下物理量的微小變換，其數(shù)學(xué)定義為：同樣，在定義了平移之后我們才能定義導(dǎo)數(shù)。0( )()( )limT QT PQL T x( )T x為任意標(biāo)量、矢量或張量1) 標(biāo)量 的李導(dǎo)數(shù),000( )()( )( )( )limlimlimdxQPQQPLx 552) 逆變矢量 的李導(dǎo)數(shù)A過(guò)一點(diǎn)P作曲線，使該曲線在P點(diǎn)的切向量即為 ，即APdxAdp設(shè)曲線上P點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 和 ，則 正比于曲線上的微位移PPdx xxdx坐標(biāo)變換 把P點(diǎn)和P點(diǎn)分別映射到Q點(diǎn)： 及Q點(diǎn)：( )xxx ,()( )xdxxdx

38、xdxxdxxdx則QQ 即為變換后的PP。,( )QQxdxxxdxdxPPdx即,()( )( )APQAPAP的李導(dǎo)數(shù)為,00,;( )()( )( )limlim()AQAPQAQAPL AAAAAAAAAAQPPQA( )xxx A56李導(dǎo)數(shù)同樣遵循萊布尼茲法則：()()()LA BLABA LB3）協(xié)變矢量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)與協(xié)變矢量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)相似，我們有,()()LA BA BABA B ,;L BBBBB 4）張量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)（以混合張量為例）;L TTTT由萊布尼茲法則：57相同點(diǎn)：都是描述彎曲空間的導(dǎo)數(shù)，都是張量；都遵循萊布尼茲法則；不同點(diǎn)：李導(dǎo)數(shù)不僅取決于被導(dǎo)函數(shù)，還取決于生成元

39、；李導(dǎo)數(shù)不需要引入聯(lián)絡(luò)的概念；李導(dǎo)數(shù)只適用于無(wú)窮小變換（在后面講到宇宙學(xué)擾動(dòng)的時(shí)候會(huì)用到）。李導(dǎo)數(shù)和協(xié)變導(dǎo)數(shù)的關(guān)系58,R 59到目前為止，我們只定義了矢量的概念以及在坐標(biāo)變換下的變換方式，但并未定義矢量的長(zhǎng)度長(zhǎng)度（也沒(méi)有定義在彎曲空間下兩事件的事件間隔）！ 未定義長(zhǎng)度的彎曲空間仿射空間仿射空間 定義了長(zhǎng)度的彎曲空間黎曼空間黎曼空間60在彎曲空間下，我們定義事件間隔：2dsgdx dxg為彎曲空間中長(zhǎng)度的度量，因此被稱為度規(guī)張量度規(guī)張量或度規(guī)度規(guī)。度規(guī)在坐標(biāo)系變換下的變換方式2dsg dx dx由于 是標(biāo)量2ds22dsds而 、 是矢量dxdxxdxdxx xdxdxx 故xxggxx 同理

40、，我們可以定義四維矢量的長(zhǎng)度：2|AgA A61一些空間的事件間隔及度規(guī)張量的例子1. 三維平直空間（直角坐標(biāo)）：2. 三維平空間（球坐標(biāo)）：3. 四維平直時(shí)空（直角坐標(biāo)）：2222dsdxdydz(,)idxdx dy dz100010001ijg2221000000sinijgrr(,)idxdr dd2222222sindsdrr drd 1000010000100001g(,)dxdt dx dy dz22222dsdtdxdydz 62一些空間的事件間隔及度規(guī)張量的例子5. 四維史瓦西時(shí)空（球坐標(biāo)）：4. 四維各項(xiàng)同性時(shí)空（直角坐標(biāo)）：222222( )()dsdta t dxdyd

41、z 12222(1)00020(1)00000000sinGMrGMgrrr當(dāng) 時(shí)，該時(shí)空稱德西特（de-Sitter）時(shí)空。常用于分析膨脹宇宙。球?qū)ΨQ時(shí)空，常用于分析黑洞解。(,)dxdt dx dy dz2221000000000000agaa0( )Hta ta e22122222222(1)(1)sinGMGMdsdtdrrrr drd (,)dxdt dr dd63定義逆變度規(guī)張量：|gg其中 為度規(guī)張量 的伴隨矩陣，為度規(guī)張量 的行列式。由伴隨矩陣和行列式的定義可知：|gggggg即 和 互為逆矩陣。gg伴隨矩陣：第i行第j列元素是 關(guān)于第i行第j列的代數(shù)余子式。ggg|g64定義

42、某逆變矢量 （逆變張量 ）的協(xié)變形式：AgATgg T由于 和 的互逆性，反過(guò)來(lái)我們也有：ggATAgATgg T以及AATT （上兩式也可以直接由克羅內(nèi)克爾 函數(shù)的定義得到。）由此可見(jiàn)： 升降指標(biāo)； 換指標(biāo)。gg65在定義了度規(guī)后，我們可以將聯(lián)絡(luò) 用度規(guī)來(lái)表示。之前講過(guò)，在彎曲空間中我們可以通過(guò)平移把一個(gè)矢量從P點(diǎn)移到Q點(diǎn)：( )()( )( )( )APAPQAPP A P dx由于矢量長(zhǎng)度是標(biāo)量，平移前后，矢量長(zhǎng)度不變，即22|( )|()|A PA PQ由矢量長(zhǎng)度的定義知：( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )gQ APP AP dxAPP AP dxgP AP

43、AP代入后取 的一階小量得最后我們有,0ggg 又因?yàn)?0gdx A AgAA dxgAA dx dx,( )( )gQgPgdx 66,0ggg 進(jìn)行指標(biāo)輪換：（為什么能進(jìn)行指標(biāo)輪換？因?yàn)樵匠淌?，是個(gè)不帶指標(biāo)的標(biāo)量方程標(biāo)量方程，所以推導(dǎo)過(guò)程中產(chǎn)生的一切指標(biāo)均為啞指標(biāo)啞指標(biāo)。只有啞指標(biāo)可以替換成其他指標(biāo)，非啞指標(biāo)不可輪換。）22|( )|()|A PA PQ輪換指標(biāo) ，可得：輪換指標(biāo) ，可得：(1)(3)(2)將式子 ,0ggg ,0ggg 乘以（(2)+(3)-(1)）：,1()2gggg 用度規(guī)張量來(lái)表示的聯(lián)絡(luò) 又被稱為克里斯朵夫符號(hào)克里斯朵夫符號(hào)。g67上次講到彎曲空間中的“直線”，

44、即測(cè)地線。在沒(méi)有定義長(zhǎng)度的空間中，我們暫時(shí)用曲線切向量的平移來(lái)定義“直線”?，F(xiàn)在已經(jīng)定義了長(zhǎng)度，我們可以用兩點(diǎn)之間距離最短的定義來(lái)給定“直線”（短程線）。BASds0S1/2()dsgdx dxA、B兩點(diǎn)間任意曲線長(zhǎng)度為其中線元而短程線要求引入仿射參量P，則()dsgx xdp其中dxxdp短程線方程變?yōu)?/2()0BAgx xdp0LdLxdpx1/21/210()()ggxgxdx xxdpgx xgx x1/2()Lgx x拉氏函數(shù)或拉氏方程將方程展開(kāi)得6822,2211()()022d xdxdxd xdxdxgggggggdsdsdsdsdsds 將方程乘以 ：2,21()02d x

45、dxdxggggdsdsds g與之前求的測(cè)地線方程具有相同形式！*若已知拉氏函數(shù) ，可由求解短程線方程的辦法直接求出 ，而不需使用定義式 。后面會(huì)詳細(xì)講到。1/2()Lgx x當(dāng)仿射參量選為線長(zhǎng)s時(shí)， ，方程變?yōu)?/2()1gx x1()02gdx xgxxds或,1()2gggg 69既然度規(guī)是張量，我們也可以定義度規(guī)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：;,gggg 又由克里斯朵夫符號(hào)的定義,1()21()2gggggggg 代入得;,11()()221111112222220ggggggggggggggg （注意這里用到了度規(guī)的對(duì)稱性）結(jié)論：度規(guī)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于度規(guī)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于0 0（里契（里契(Ricci)(

46、Ricci)定理）定理）。70由于度規(guī)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于0，所以張量升降指標(biāo)和協(xié)變導(dǎo)數(shù)可以交換張量升降指標(biāo)和協(xié)變導(dǎo)數(shù)可以交換順序順序。例如：;()()gAAgAgAgAgAA 先降指標(biāo)再求導(dǎo)先求導(dǎo)再降指標(biāo)由此可見(jiàn);0()gggggggg 所以;0g即逆變度規(guī)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)也為0.注意：度規(guī)的普通導(dǎo)數(shù)不一定為零，,ggg 因此張量升降指標(biāo)和普通導(dǎo)數(shù)不可交換順序！711. 逆變矢量的散度由散度的定義知;,AAAA由Ricci定理：;,0gggg 用 乘以上式：g,12gg |gg，而作為 的伴隨矩陣，()()|gg |gg只對(duì)一對(duì)指標(biāo)求和g,ln |11|1|1ln |22|2|2gggggggggxgx

47、xx 代入散度公式：,11ln| |( |)|AAgAg AgAg Agg（用拉普拉斯算子 來(lái)表示協(xié)變導(dǎo)數(shù)，則 ）AA 注意：只有對(duì)逆變矢量才能定義散度，協(xié)變矢量需要先升指標(biāo)！只有對(duì)逆變矢量才能定義散度，協(xié)變矢量需要先升指標(biāo)！722.達(dá)朗貝爾算符有時(shí)候我們會(huì)遇到對(duì)一個(gè)標(biāo)量求梯度后再求散度，如求梯度,（協(xié)變矢量）升指標(biāo),g（逆變矢量）求散度,;()g定義gg ,;()g （對(duì)標(biāo)量）,則由協(xié)變矢量的散度1( |)|Ag Ag得,1()( |)|gg gg73于是我們有 ，即 在坐標(biāo)變換下不變（為一標(biāo)量），稱不變體積元不變體積元。3.不變體積元對(duì)于n為空間的體積分，我們有12ndVdx dxdx其中

48、12ndVdx dxdx稱為體積元體積元。體積元并非坐標(biāo)變換不變量體積元并非坐標(biāo)變換不變量，因 在坐標(biāo)變換下變換為xdxdxx dx體積元在坐標(biāo)變換下變換為1212(,)|(,)nnxxxdVdVx xx 而我們知道度規(guī)在坐標(biāo)變換下變換為xxggxx 兩邊求行列式，得：12212(,)| | |(,)nnx xxggxxx |g dVg dV 為免去考慮體積元隨坐標(biāo)變換的麻煩，在彎曲時(shí)空中體積分的體積元即寫(xiě)成 的形式，如|g dV|g dV|SLg dV雅克比行列式744. 協(xié)變矢量的旋度注意：只有對(duì)協(xié)變矢量才能定義旋度，逆變矢量需要先降指標(biāo)！只有對(duì)協(xié)變矢量才能定義旋度，逆變矢量需要先降指標(biāo)！

49、由協(xié)變矢量協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義：;,AAA ;,AAA 對(duì)于無(wú)撓空間， 以上兩式相減得 ;,AAAAAAAA 即協(xié)變矢量的協(xié)變旋度和普通旋度相同！協(xié)變矢量的協(xié)變旋度和普通旋度相同！75以前講到黎曼曲率張量的表達(dá)式為：,R 為發(fā)現(xiàn)黎曼曲率張量更多的性質(zhì)，我們把前兩項(xiàng)用度規(guī)來(lái)表示：,11()()22Rgggggggg 同時(shí)乘以 以變成完全協(xié)變張量g,11()()22()Rg Rggggggggggg 利用 、 及Ricci定理 等性質(zhì)，我們最終可以把黎曼曲率張量寫(xiě)成：g g,g ggg ;0g , , , , ,1()()2Rggggg 76, , , , ,1()()2RgggggR 表面上看來(lái)， 帶

50、有四個(gè)洛倫茲指標(biāo)，每個(gè)指標(biāo)可以取0,1,2,3四個(gè)值，共有 個(gè)分量，但實(shí)際上要簡(jiǎn)單得多！44256因?yàn)檫@四個(gè)指標(biāo)之間有對(duì)稱性或反對(duì)稱性關(guān)系，因此不是每個(gè)分量都是獨(dú)立的！1. 交換 和 ：反對(duì)稱，有6個(gè)獨(dú)立分量, , , , ,1()()2RgggggR 2. 交換 和 ：反對(duì)稱，有6個(gè)獨(dú)立分量, , , , ,1()()2Rggggg RR 共有 個(gè)獨(dú)立分量6 6363. 同時(shí)交換 和 ：對(duì)稱，有21個(gè)獨(dú)立分量另外 還滿足一個(gè)式子，即R0RRR因此自由度又減少一個(gè)。故 實(shí)際上只有2020個(gè)分量是獨(dú)立的個(gè)分量是獨(dú)立的！里契恒等式里契恒等式R77關(guān)于黎曼曲率張量的另一個(gè)重要恒等式畢安基畢安基(Bi

51、anchi)(Bianchi)恒等式恒等式：;0RRR 由于該方程為張量方程，所以只要在一個(gè)坐標(biāo)系下成立，則在所有坐標(biāo)系下均成立。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們選擇一個(gè)特殊的坐標(biāo)系，即笛卡爾坐標(biāo)系（聯(lián)絡(luò)為零）來(lái)證明該恒等式。在笛卡爾系中，, , , , ,1()2Rgggg 且該系的協(xié)變導(dǎo)數(shù)與普通導(dǎo)數(shù)相等，即三式相加便可得證。同理，;, , , , , , , , ,1()2RRgggg ;, , , , , , , , ,;, , , , , , , , ,1()21()2RRggggRRgggg 78曲率張量的縮并黎曼曲率張量共有4個(gè)指標(biāo)，但由于第一、第二個(gè)指標(biāo)以及第三、第四個(gè)指標(biāo)為反對(duì)稱，他們互相縮并

52、會(huì)給出零張量，所以只能是前兩個(gè)指標(biāo)中的一個(gè)與后兩個(gè)指標(biāo)中的一個(gè)縮并！我們把第一、第三個(gè)指標(biāo)縮并后所得的二階張量RR稱為里契里契(Ricci)(Ricci)張量張量由于里契張量所帶的兩個(gè)洛倫茲指標(biāo)為原黎曼曲率張量的第二、第四個(gè)指標(biāo)，所以這兩個(gè)指標(biāo)是對(duì)稱的，也即里契張量是一個(gè)對(duì)稱張里契張量是一個(gè)對(duì)稱張量，有量，有1010個(gè)獨(dú)立分量個(gè)獨(dú)立分量。若進(jìn)一步對(duì)里契張量的兩個(gè)指標(biāo)縮并（注意要先把一個(gè)指標(biāo)升為逆變指標(biāo)?。?，則有g(shù) RRR不帶洛倫茲指標(biāo)，因此是一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量，稱為里契標(biāo)量里契標(biāo)量。R79對(duì)畢安基恒等式也可以進(jìn)行縮并。畢安基恒等式：;0RRR ;0RRR R將該式乘以 后稍加變換，便可寫(xiě)成如下形式：

53、;1()02RR或;1()02Rg RG愛(ài)因斯坦張量愛(ài)因斯坦張量;0RRR 同時(shí)收縮 和 、 和 （注：只有第一和第三個(gè)指標(biāo)收縮會(huì)變成只有第一和第三個(gè)指標(biāo)收縮會(huì)變成RicciRicci張量張量，所以要把這兩對(duì)中的一對(duì)變成第一個(gè)和第三個(gè)指標(biāo)，需要進(jìn)行指標(biāo)交換。反對(duì)稱指標(biāo)交換會(huì)給出一個(gè)負(fù)號(hào)反對(duì)稱指標(biāo)交換會(huì)給出一個(gè)負(fù)號(hào)。）得：;R 80和 的等價(jià)性0R0GR的縮并0R 0R102GRgR0G12RgR兩邊同乘以 ：g12gRggRR4xx2RR0R 12RgR0R即81由張量李導(dǎo)數(shù)的定義;L TTTT知，作為2階協(xié)變張量的度規(guī)張量李導(dǎo)數(shù)為;L gggg 因?yàn)槎纫?guī)張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零，所以;L ggg

54、等度規(guī)映射：等度規(guī)映射：0L g稱為Killing矢量，所滿足方程為;0 即xx不變g8212222(1)00020(1)00000000sinGMrGMgrrr83上一講上一講：廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本講本講：愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的建立引力場(chǎng)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的理論基礎(chǔ)：(1) 廣義協(xié)變?cè)?（場(chǎng)方程應(yīng)該是個(gè)張量方程）；(2) 等效原理（引力幾何化，即用彎曲的時(shí)空來(lái)描述引力作用）；(3) 馬赫原理（一切坐標(biāo)系都是相對(duì)的，物體所受慣性力或被加速是物質(zhì)相互作用的結(jié)果）；(4) 光速不變?cè)恚ㄈ魏螀⒖枷迪鹿馑俣际浅?shù)c）；(5) 在宏觀低速的極限下能回到牛頓力學(xué)近似；(6) 自由物體的運(yùn)動(dòng)方程為短程線方程。8

55、4通常定義的三維速度：iidxvdt因 不是洛倫茲不變量，所以該定義下的速度推廣到四維后將不再是矢量！dt定義固有時(shí)固有時(shí)：idsidgdx dxcc標(biāo)量并定義：iidxud00dxdtucdd則由他們組成的四維速度0(,)(,)iidtdxdxuu ucddd是一個(gè)逆變矢量，且滿足歸一化條件則 ，即固有時(shí)為相對(duì)于物體靜止（ ）的坐標(biāo)系中的時(shí)間。222dsc d 0idx 1u u 注意：若物體以光速運(yùn)動(dòng)，則它的 ，便不能用 （或固有時(shí)）來(lái)定義物體的四維速度。我們可以用其他非零仿射參量 來(lái)定義物體的四維速度 ，則該四維速度滿足0ds dsd/udxd0u u85宇宙中的大量宏觀物質(zhì)，甚至包括宇

56、宙本身，都可以近似看做理想流體理想流體。由相對(duì)論流體力學(xué)相對(duì)論流體力學(xué)知理想流體的能（量）動(dòng)（量）張量能（量）動(dòng)（量）張量為()Tp u upg其中 為物質(zhì)的能量密度， 為壓強(qiáng)， 為物質(zhì)的四維速度。由該能動(dòng)張量可得物質(zhì)連續(xù)性方程（能量守恒方程）的相對(duì)論形式：;0T在非相對(duì)論極限下（度規(guī)為平直時(shí)空度規(guī)，聯(lián)絡(luò)等于零），方程簡(jiǎn)化為：00000000iiiijjTTxxTTxx22()0()()011() ()022iiiijijjijvtxvpv vptxvvvptx 其中 為流體的內(nèi)能。1()pd pu或（詳見(jiàn)流體力學(xué)及相對(duì)論流體力學(xué)）86 、 、 為任意常數(shù)根據(jù)以上原理，愛(ài)因斯坦猜測(cè)猜測(cè)場(chǎng)方程應(yīng)

57、具有如下形式：2MT物質(zhì)的能量動(dòng)量張量物質(zhì)的能量動(dòng)量張量引力項(xiàng)引力項(xiàng) 是對(duì)稱張量，故 也應(yīng)是對(duì)稱張量，因此 可能是 和 的某種組合。TMMRg根據(jù)量綱分析： 量綱為2，而 量綱為0，所以可能的組合應(yīng)為12()C RC gR1C2C 、 量綱為0， 量綱為2。所以方程變?yōu)椋?12C RC gRgT2C 能量守恒方程：;0T;12()0C RC gR由畢安基恒等式：12/ 2CC 因此12MRgRg愛(ài)因斯坦張量宇宙學(xué)項(xiàng)Rg1C2C廣義相對(duì)論中單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)方程：短程線方程220d xdxdxdsdsds87對(duì)于廣義相對(duì)論的牛頓近似，我們將采取以下假設(shè)： 引力場(chǎng)弱場(chǎng)近似： 引力場(chǎng)是靜態(tài)的： 引力場(chǎng)是

58、空間緩變的： 物體做低速運(yùn)動(dòng)：gh|1h,0,00gh,| |1iigh1,2,3i |idxcd0| |idxdxdd0|1idxdx88物體的運(yùn)動(dòng)方程：短程線方程220d xdxdxdsdsds克氏符可近似為：,1()2hhh 當(dāng) 時(shí)，該方程的一個(gè)分量為i220iid xdxdxdsdsds其領(lǐng)頭項(xiàng)為2000020iid xdx dxdsds ds0000,12iih 20002()iid xdx 又 ，方程變?yōu)?dxcdt2200,2()2iid xchdt定義 ，則2002ch 22()iid xdt 89對(duì)比牛頓引力方程及牛頓第二定律（引力源為M，檢驗(yàn)物體為m）：2GMmFr22()id xFmmadt可知3iiiFGMmrmrGMr稱牛頓引力勢(shì)因此002222GMhcc r 00000022(1)GMghc r 若要求引力源M的引力場(chǎng)滿足弱場(chǎng)近似，即 ，則0022|1GMhc r22GMrcr為m到M的距離r必然大于M的物理半徑。一般來(lái)說(shuō)，M的物理半徑遠(yuǎn)大于其史瓦西半徑，則只要m在M的外部，弱場(chǎng)條件必然成立。如太陽(yáng)：物理半徑 公里，史瓦西半徑3公里。但對(duì)于有些物質(zhì)（如白矮星、中子星、黑洞），物理半徑接近或小于史瓦西半徑，它們附近的引力場(chǎng)就會(huì)非常強(qiáng)，弱場(chǎng)近似就不成立。22GMc稱M的史瓦西半徑（以后