川大版高數(shù)第三冊(cè)答案

1、第一章 行列式 1.3 證明：.因?yàn)椋簩?duì)換改變排列的奇偶性，即一次變換后，奇排列改變?yōu)榕寂帕?，偶排列改變?yōu)槠媾帕挟?dāng)n2時(shí)，將所有偶排列變?yōu)槠媾帕?，將所有奇排列變?yōu)榕寂帕?因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)列依然相等，即所有的情況不變。偶排列與奇排列各占一半。4 （1）不是行列式的項(xiàng) 是行列式的項(xiàng) 因?yàn)樗牧信排帕心嫘蛄?(4321)=3+2+0+0=5為奇數(shù)，應(yīng)帶負(fù)號(hào)（2）不是行列式的項(xiàng) = 因?yàn)樗牧信排帕心嫘蛄?34512)=2+2+2+0+0=6 為偶數(shù)應(yīng)帶正號(hào)。 5 解： 利用為正負(fù)數(shù)來(lái)做，一共六項(xiàng)，為正，則帶正號(hào)，為負(fù)則帶負(fù)號(hào)來(lái)做。6 解：（1）因?yàn)樗亲笙氯切?（2）=+=0（3）=32（4）=7.證明

2、：將行列式轉(zhuǎn)化為若 零元多于個(gè)時(shí)，行列式可變?yōu)楣士芍辛惺綖?.8.（1）5=55習(xí)題一13 （1）根據(jù)“定義法”（2）根據(jù)“降階法”（3）注：根據(jù)范達(dá)蒙行列式原式= -1=（4）=14 （1）證明：(2)證明： （3）（4）“遞推法”15.(1) =+=(ab+1)(cd+1)-a(-d)=(ab+1)(cd+1)+ad(2) =(4-6) (-1-15)=32(3) =+=-a(c-d) -a(d-b) -a(d-c) =abd= abd(c-b)(d-b)(c-d)(4) = =( =16. 范達(dá) 行列式v()=（1） 因?yàn)闉槌?shù)。所以p(x)是n-1次的多項(xiàng)式（2） 令p(x)=0.得

3、x=.x=.即p(x)的根為第二章 矩陣代數(shù)4. 計(jì)算下列矩陣乘積（1） =(2) =(3) . (1,-1，2）=（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=（9，4，1）（4） （x,y,1） =（x,y,1）=（5）=5. 設(shè)a=，b=，求=6.(1) a=n=1時(shí) a=n=2時(shí) =n=3時(shí) =a=假設(shè) （1當(dāng)n=1時(shí)，= （2假設(shè)當(dāng)n2時(shí)（n為自然數(shù)）成立，令n=k，則=成立； 當(dāng)n=k+1時(shí) =a=成立綜上當(dāng)n微自然數(shù)時(shí)當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，假設(shè)=當(dāng)n=1時(shí) =假設(shè)n=k+1時(shí)=成立綜上當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，當(dāng)a=2時(shí) n=3時(shí)

4、 n=4時(shí) n=5時(shí) 假設(shè)n時(shí)成立 當(dāng)n=3時(shí) 假設(shè)n=k時(shí)成立 當(dāng)n=k+1時(shí) =整理得成立所以綜上 =7、已知b=證明e,當(dāng)n為偶數(shù)； b,當(dāng)n為奇數(shù)證明：=e,當(dāng)n為偶數(shù)； b,當(dāng)n為奇數(shù)8、證明兩個(gè)n階上三角形矩陣的乘積仍為一個(gè)上三角形矩陣。證明：設(shè)兩個(gè)n階上三角形矩陣為a,b,且a= b=根據(jù)矩陣乘法，有ab=則可知ab為上三角形矩陣同理，可得ba也為上三角形矩陣。9、若ab=ba,ac=ca,證明：a、b、c為同階矩陣，且a(b+c)=(b+c)a,a(bc)=bca.證：設(shè)a=，b=，c=由題知ab、ba有意義，則可知必有m=s,又由于ab=ba,且ab為m×n階矩陣，

5、則可知m=n,所以a、b均為n階矩陣。同理可知a、c均為n階矩陣，故可得a、b、c為同階矩陣 10、已知n階矩陣a和b滿足等式ab=ba，證明：（1）（2）（3） 11、 12、 證明 13、 14、 15、 當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，假設(shè)=當(dāng)n=1時(shí) =假設(shè)n=k+1時(shí)=成立綜上當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，當(dāng)a=2時(shí) n=3時(shí) n=4時(shí) n=5時(shí) 假設(shè)n時(shí)成立 當(dāng)n=3時(shí) 假設(shè)n=k時(shí)成立 當(dāng)n=k+1時(shí) =整理得成立所以綜上 =16、（1）解：設(shè) 由得：得（2）設(shè)由，得：得：（3）設(shè)由方程組，得：得（4）設(shè)得得：（5）設(shè)得得19、（1）解：方程組的解為：（2）方程組的解為：（3）方程組的解為

6、：（4）有且僅有或時(shí)，無(wú)意義；則其他情況方程組的解為：（4）（5）由得(6)24.證：a為對(duì)稱矩陣 a=a aa=aa=e aa(a) =e(a) a=(a) a為可逆對(duì)稱矩陣 （a） =(a) a=(a) 可逆對(duì)稱矩陣的逆矩陣也是對(duì)稱矩陣。25.證：（1）（a）=(aa)=aa a為n階對(duì)稱矩陣 a=a （a）=a a為對(duì)稱矩陣 (b)=(bb)=b b b是n階反對(duì)稱矩陣 b=-b （b）=(bb)=bb b是n階反對(duì)稱矩陣 b=-b (b )=(-b)(-b)=b b是對(duì)稱矩陣 （ab-ba） =(ab)-(ba) =ba-ab =-ba-a (-b) =ab-ba ab-ba為對(duì)稱矩陣

7、。（2）必要性：ab為反對(duì)稱矩陣 （ab）=-ab 又（ab）=ba=-ba ab=ba 充分性: ab=ba (ab)=ba=-ba ab為反對(duì)稱矩陣 綜上所述：ab是反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是ab=ba。26.解：設(shè)矩陣x為x= 則= ax=o=0 即=0 對(duì)任意n1矩陣都成立 a=027.證： a為正交矩陣 =a a= = = 又正交矩陣為可逆矩陣 a=a ： a= = = a = = = = a28.解： = = 時(shí) 依次用v左乘和用u右乘消去得從而得證29.解：（1）判斷x可逆即： 因a、c可逆， 則即則x可逆。 （2）設(shè)則 由 = =e 30.證明： 31.解：（1） 原式= (2

8、) （3） 第3章 線性方程組1. 證：假設(shè)線性相關(guān)， 則不會(huì)為0，使得 整理得： 又由，故 由于 故由克萊默法則知： 故結(jié)論正確。2. 解： 得： 3、不一定。原式：故僅可得到線性無(wú)關(guān)將每個(gè)向量任意拆分得到的新向量顯然不一定仍然線性相關(guān)例如向量成比例或含有零向量例：或任一一個(gè)為零向量4、不正確 使兩等式成立的兩組系數(shù)一般來(lái)說(shuō)是不相等的，所以不可以做那樣的公式提取即5、提示：含有零向量就一定線性相關(guān) 極大線性相關(guān)組中每一向量都無(wú)法用其他組中向量給出，因此可用一極大線性無(wú)關(guān)組加零向量構(gòu)成向量組6.證：假設(shè)線性相關(guān)， 由題意知，必存在一組使得 7.證：設(shè) 由于 6、證明：假設(shè)線性相關(guān)，則，線性相關(guān)

9、（部分相關(guān)則全體相關(guān)）所以存在m+1個(gè)不完全為0的數(shù)滿足本來(lái)線性相關(guān)，故可為0，可不為0（1） 則無(wú)法用線性表出（2） 而線性相關(guān)，根據(jù)定義，至少有一個(gè)向量可用其他m-1個(gè)向量表出，我們不妨設(shè)則這樣得到了的另一種表出式，即表出不唯一綜上，假設(shè)成立條件下得到的結(jié)論與“可用唯一表出”矛盾故假設(shè)不成立，線性無(wú)關(guān)7、將a表示為，b表示為若線性無(wú)關(guān)，則必有同理可證ap117 t8解：（1）由此r=3解：（2）由此r=2解：（3）由此r=3解：（4）由此r=2解：（5）由此r=3解：（6）由此r=5t9 解（1）：設(shè)向量組線性相關(guān)，則由，得： -由，得： = ，= 代入式，得：線性無(wú)關(guān)由此r=410（1）

10、證：由線性相關(guān)則必有一組不全為0的數(shù)使得既有：從中每一個(gè)向量中去掉第，就相當(dāng)于在上述方程組中去掉s個(gè)方程剩下的方程仍成立既有不全為零的數(shù)使得：從而：線性相關(guān)顯然當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)由上面的證明可知肯定線性無(wú)關(guān)（2）由（1）的證明很顯然得到結(jié)論11、證明：把 作為矩陣a行向量寫(xiě)成矩陣a即：只須證a的行量組線性無(wú)關(guān)即可即證：顯然a中有一個(gè)階子式而a內(nèi)的所有階子式為0，因?yàn)閍的行數(shù)故有，從而結(jié)論成立12、證：先證當(dāng)可由線性表示出時(shí)，的秩小于等于的秩不妨設(shè)：的極大無(wú)關(guān)組為；的極大無(wú)關(guān)組為只須證：即可假設(shè)那么由條件可知：可由線性表出，即存在一矩陣，使得在上式兩端同右乘一列向量，即得：只要找到一組不全為0的數(shù)，使

11、得：成立就能說(shuō)明線性相關(guān)，與線性無(wú)關(guān)矛盾事實(shí)上：由于，所以上述方程組一定有非0解故結(jié)論成立，同理可證，從而有13證：（1）時(shí)，若，則說(shuō)明，向量組b與a可相互線性表示，又由a線性無(wú)關(guān)，其秩所以，從而b線性無(wú)關(guān)反之：若b線性無(wú)關(guān)，考察代入并整理得：令由上式可得：由線性無(wú)關(guān)，所以若，則有非0角從而由故考查：即將代入上式得：由于線性無(wú)關(guān)，也線性無(wú)關(guān)故而方程組只有0解而線性無(wú)關(guān)只有0解，故結(jié)論成立14.記住一下常用矩陣秩的性質(zhì)（1）（2）（3）若可逆，則（4）證法一：由上述性質(zhì)（4）條，而所以證法二：設(shè)，（a,b同型，所以列則顯然的列向量組可由與的極大無(wú)關(guān)組線性表出若設(shè)分別為與的極無(wú)關(guān)組那么的列向量組可

12、由線性表出，所以14、（第二種）證明：設(shè)有向量組a，的行向量組為：，其極大線性無(wú)關(guān)組為：的行向量組為：其極大線性無(wú)關(guān)組為：的行向量組記為：其中， 則， 有又即有習(xí)題三15、解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變換 則無(wú)解解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換 則無(wú)解解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換（課本第頁(yè)題目出錯(cuò)，應(yīng)該為b= 則有唯一解。即唯一解為（3,2,1,）。由方程組 解得：（4）、解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換b= 則6只方程組有無(wú)窮多解。先求它的一個(gè)特解，與階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為令上式中的，解得。于是得到特解：導(dǎo)出組的方程為：令解得：.令解得：令。解得：可求得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：， 于是方程組

13、的通解為：其中為任意常數(shù)16.（1）欲使方程有解，須使=其中a= b=對(duì)b進(jìn)行初等行變換，過(guò)程如下：b=交換行 -行+行-行+行 行+行 顯然，=時(shí)，=2此時(shí) 取（3，4）故（）同樣地，欲使該方程有解，須使=其中=對(duì)進(jìn)行初等行變換，得=交換行 -·行+行 -行+行交換行行+行時(shí)此時(shí)=，故方程有解。且解為-時(shí)由于，故方程無(wú)解。且時(shí)，=，方程有唯一解，且故（此處只考慮及-兩種特殊情形，原因在于，當(dāng)或-時(shí)會(huì)使得矩陣第二、三行的首先為零，從而引起情況的出現(xiàn)）綜上，=1時(shí)，方程有無(wú)窮多解 =-時(shí)，方程無(wú)解且-時(shí)17.證明：記系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為。另外：=假設(shè)，可設(shè)的前行線性無(wú)關(guān)且第（r+1）

14、行可用前行線性表出，那么對(duì)于第（r+1）行中的每一個(gè)值都有。但與相比多了一列，有可能使得（當(dāng)然，這種關(guān)系也有可能滿足）。但當(dāng)這種關(guān)系部滿足時(shí)，故，同理。綜上：由于=，故=,方程有解。18.解：首先明確在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程應(yīng)為x+by=c.那么用矩陣表示，即為若將.b都看做自變量，將看做系數(shù)，那么，增廣矩陣即為=由于列向量線向相關(guān)，故=故=0若為n(n3)點(diǎn)共線，則增廣矩陣b=該矩陣中第個(gè)列向量可用前兩個(gè)線向表出，故。考慮直線的特殊情形：當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（,）時(shí)，=；其余情形下，=故，點(diǎn)共線的充要條件為的秩即的秩19.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換b=初等行變換=方程組有解的充要

15、條件為= 4 ，則需=解出矩陣對(duì)應(yīng)的方程組得：令=得到方程組的特解=（，）導(dǎo)出組的方程為令=則得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為=(1,1,1,1,1)則方程組通解為=（，）+k(1,1,1,1,1)20.證明（1）方程組的系數(shù)矩陣=系數(shù)a,b,c,d,e中有兩個(gè)等于-1即a+1,b+1,c+1,d+1,e+1中有兩個(gè)等于0則=4,因此方程組必有非零解（2）=已知任何系數(shù)都不等于-1,且=1則=0得=4,因此方程組必有非零解.21.（1）方程組的系數(shù)矩陣通過(guò)初等行變換化簡(jiǎn)=矩陣的秩=2<4,基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成,矩陣對(duì)應(yīng)的方程組令 代入解得 對(duì)應(yīng)的解的向量為令 代入解得 對(duì)應(yīng)的解的向量為

16、,是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系則方程組通解為.其中. 為任意的實(shí)數(shù)（2）方程組的系數(shù)矩陣矩陣的秩=2<4,基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解構(gòu)成對(duì)應(yīng)的方程組為令 可解得 對(duì)應(yīng)的解向量為 令 可解得 對(duì)應(yīng)的解向量為是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系方程組的通解為,其中. 為任意的實(shí)數(shù)（3）方程組的系數(shù)矩陣=4, 基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成寫(xiě)出階梯形對(duì)應(yīng)的方程組令解出對(duì)應(yīng)的解向量為令解出對(duì)應(yīng)的解向量為是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系方程組的通解為,其中. 為任意的實(shí)數(shù)（4）方程組的系數(shù)矩陣=3,基礎(chǔ)解系應(yīng)由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解構(gòu)成階梯矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為令 解得對(duì)應(yīng)的解向量為令 解得對(duì)應(yīng)的解向量為構(gòu)成方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系方程

17、組的通解為,其中. 為任意的實(shí)數(shù)22.（1）假設(shè)線性相關(guān)則存在一組不全為零的一組數(shù)使成立若則則是方程的解,與題設(shè)矛盾21-24頁(yè)第三章 線性方程2.2習(xí)題三 p121 23-26題27.解：由a2a得a（ae）0，再由第26題解得raraen又rar（ea）raea ren 即raraenraraen28.證：a2e（ae）（ae）0r(ae)r（ae）nr(ae) (ea) r2enr（ae）r(ea) r（ae）r（ae） r（ae）r（ae）n29.證: (1) 當(dāng)ran時(shí)|a|0由aa*|a|e知|aa*|ae|a|a*|a|n，|a*|a|n10故a*可 ra*n當(dāng)ran1時(shí)，|a|

18、0 且存在一個(gè)（n1）階的非零子式從而ra*1aa*|a|e0rara*n ra*nra1ra*1當(dāng)ran時(shí)知a的所有（n1）階子式為零a*0（2）當(dāng)ran時(shí)（1）中已證 當(dāng)ran1時(shí)ra*1|a|0|a*|a|n10成立又當(dāng)ran1時(shí)，由（1）中知|a|0|a*|a|n1亦成立。第四章1、（1）是；（2）、否，因?yàn)轭}中的非零向量可以由不平行于該非零向量的向量通過(guò)向量的加法表示出來(lái)，所以該非零向量必須也包含在題中的全體向量中才能構(gòu)成實(shí)線性空間。（3）是（4）是（5）否，k00的解為k0或0，k與不具有任意性不滿足線性空間的定義。2、（1）能 （2）不能 （1）中由x1x2xn0x1x2xn1x

19、n得任意一個(gè)向量都可以用其余的向量線性表示 而（2）中x1x2xn1 x1x2xn11xn 不滿足（1）中的線性關(guān)系，不能構(gòu)成rn的子空間3、當(dāng)平面不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，否 當(dāng)平面過(guò)原點(diǎn)時(shí)，是 解析：當(dāng)平面過(guò)原點(diǎn)時(shí)，所有的起點(diǎn)位于原點(diǎn)，終點(diǎn)位于給定平面上的所有向量在一個(gè)平面上，構(gòu)成了一個(gè)二維的向量空間，（比如xoy平面上所有的向量），而當(dāng)給定平面不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，所有的向量構(gòu)成一個(gè)體（體分布），是次三維空間中所有向量的一部分，不是閉合的，不能構(gòu)成子空間。第四章p1394.解（1）假設(shè)存在，使得+=0 要使上式對(duì)任意的x都成立 則=0 所以，線性無(wú)關(guān) ，為極大線性無(wú)關(guān)組 所以，它們的積為2 （2）因?yàn)椋?2-1

20、 所以，1線性相關(guān) 假設(shè)存在，使得+=0則=0所以，1線性無(wú)關(guān)所以，1為，1的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所以，它們的秩為2（3）假設(shè)存在一組數(shù)使得對(duì)任意的x都成立所以，線性無(wú)關(guān)它們的秩為n5證明：因?yàn)椋?=由上式可得，約.6, 證明：假設(shè)存在使得 即 即 7、由于（3） （） 與均可由與線性表示 它們分別生產(chǎn)的子空間相同即v1v2 8、解：（1）因?yàn)槭菍?duì)稱的，.維數(shù)只取決于對(duì)角線和上半（或下半）部分的元素為維（2）由于反稱矩陣，維數(shù)只取決于上半（或下半）部分元素為維。（3）由于前兩個(gè)分量線性相關(guān) 維數(shù)為n1 9、證明，組成的一個(gè)基，只需證這幾個(gè)向量在同一個(gè)基下的坐標(biāo)作為行或列的n階行列式不為0 對(duì)于（

21、1）即證0 對(duì)于（2）即證或 求在這個(gè)基下的坐標(biāo)。 （1）設(shè)（x1 x2 x3 x4 ） （1 2 1 1）x1 （1，1,1,1）x2（1,1，-1，-1）x3(1,-1,1,1,) x4 （1，-1，-1,1） x1 x2 x3 x4 坐標(biāo)為，)(2)設(shè)（x1 x2 x3 x4 ） （1 2 1 1）x1 （1，1,0,1）x2（2,1，3，1）x3(1,1,0,0,) x4（0，1，-1, -1）。 x12 x21 x3-3 x42坐標(biāo)為（2,1，-3,2）10（1）1,x,x²,x³,x4 1，1x，1xx²，1xx²x³，11xx&#

22、178;x³x4舊基底到新基底的過(guò)渡矩陣m （2）令：12x3x²4x³5x4ab(1x) c(1xx ²)d(1xx²x³)e（1xx²x³x4）用待定系數(shù)法可得：多項(xiàng)式12x3x²4x³5x4在新基底下的坐標(biāo)為（1，1，1，1,5） （3）多項(xiàng)式在新基底下的坐標(biāo)為（1，2，3，4，5）12(1x) 3(1xx ²)4(1xx²x³)5（1xx²x³x4）1514x12x²9x³5x4 多項(xiàng)式為1514x12x²9

23、x³5x411.(1)，e令a，根據(jù)過(guò)渡矩陣的定義e·ma又e是單位矩陣過(guò)渡矩陣maa=1,2,3,4,𝜉= 設(shè)𝜉=（x1,x2,x3,x4）在𝜂1 , 𝜂2, 𝜂3, 𝜂4下的坐標(biāo)為(y1,y2,y3,y4)·(2)單位矩陣e=() 第五章 第五章1.（1）當(dāng)時(shí)不滿足線性變換條件當(dāng)時(shí) 滿足線性變換條件（2）當(dāng)時(shí)不滿足線性變換條件當(dāng)時(shí)滿足線性變換條件（3）不滿足線性變換條件（4）又 滿足線性變換條件（5）又滿足線性變換條件（6）又 滿足線性變換條件2.證明 是一個(gè)線性變

24、換3.證明：又是線性變換4.不一定例如此時(shí)是個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，而線性相關(guān)5、（1）解 （2） 解 （3） 解 （4） 解 （5） 解 6、（1） 解：由題意可知： （2） 解：由題意可知： （3） 解： 7、（1） （2） 8、（1） （2） 9、 10、求下列矩陣的特征根與特征向量（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 9.（2）解：設(shè)向量組線性相關(guān)，則則 由（1）+（3）得 ，代入（3）得，代入（4）得，線性無(wú)關(guān)由此r=4（3）：線性相關(guān)由此r=410.解：（1）當(dāng)線性相關(guān)時(shí)， +=0去掉的一列分量也線性相關(guān)；當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，也線性無(wú)關(guān)。(2)(i):向量互換i，j個(gè)分量得則

25、向量同時(shí)線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）。（ii）：向量用非零常熟乘第i個(gè)分量則向量同時(shí)線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）。（iii）：向量把第i個(gè)分量的倍加到第j個(gè)分量上則向量同時(shí)線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）。11.證明：向量組 則有=是互不相同的n個(gè)數(shù)，切，的n個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)。12.證明：記a的向量組為：， b的向量組為。a的極大線性無(wú)關(guān)組：，b的極大線性無(wú)關(guān)組：。向量組a、b是等價(jià)的，每個(gè)向量組中的向量都是另一個(gè)向量組中向量的線性組合。既有與線性相關(guān)，同理分別與線性相關(guān)。則均可由的表示式線性表出。所以與的數(shù)目相同，即，所以向量組與向量組等價(jià)時(shí)，它們的秩相等。13.證明：（1）當(dāng)r=s時(shí)，充分性證明。，則矩陣必存在可逆矩陣應(yīng)有又向量

26、組a線性無(wú)關(guān)向量組b也是線性無(wú)關(guān)的。必要性證明：有，。又向量組a、b均為線性無(wú)關(guān)組，(2)當(dāng)對(duì)一般的r和s時(shí)，充分性證明：，向量組必含一個(gè)有r個(gè)向量的子組滿足。則有。又向量組a線性無(wú)關(guān)向量組b也是線性無(wú)關(guān)的。必要性證明：b是線性無(wú)關(guān)組，存在一個(gè)向量組，。若向量組的秩為r，則可用向量組k的子組來(lái)代替使其滿足，則矩陣k的秩。11.證明：（1）設(shè)為a的特性值，假設(shè)=0 則a=，因?yàn)?，所以=0這與a為可逆矩陣相矛盾，所以假設(shè)不成立。（2）因?yàn)闉閍的特性值，所以0滿足a = ，又因a可逆，則式兩邊同時(shí)左乘得(a)=()，所以存在= 所以= 所以為的特征值。12.證明：假設(shè)+為a的屬于的特征向量，則a（

27、+）=（+），由于滿足a=,a=，從而a(+)=a+a,由得 （+）=+，（）+（）=0，線性無(wú)關(guān)， =0，=這與已知條件矛盾，假設(shè)不成立即+不是a的特征方程。13.假設(shè)向量是a的不同特征根的特征向量，-得（）=0，=0，=這與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，即一個(gè)向量不可能是n階矩陣a的不同特征根的特征向量。14. （）=，的系數(shù)均由多項(xiàng)式()() ()中的項(xiàng)所決定，因?yàn)槿绻蝗?duì)角線上的元素，的最高冪次為n2可由行列式的計(jì)算規(guī)則得出，上述多項(xiàng)式中的系數(shù)為1， 的系數(shù)為（），當(dāng)時(shí)，（）=，常數(shù)項(xiàng)為。15. 解：求其特征根：，其特征根為， 當(dāng)時(shí)，,，故其基礎(chǔ)解系為31=2個(gè)， 令，則；令， 當(dāng)時(shí)

28、，即，故可以對(duì)角化，其相似對(duì)角形矩陣為，過(guò)渡矩陣為.解：求其特征根：，當(dāng)時(shí)，故它的特征向量的極大線性無(wú)關(guān)組只有一個(gè)向量，小于特征根的重?cái)?shù)，所以a不可對(duì)角化。.解：求其特征根：，其特征根為， 當(dāng)時(shí)， 即 第七章1、(1) f(x)=x12+5x1x2-3x2x3 =(x1+ )2-( +3x2x3) =(x1+, )2- (x2+ )2+ 則 由（a）可得：(3) f(x1,x2,x3,x4)=y12+y22+(y1-y2)(y3+y4)+(y1+y2)(y3-y4) =y12-y22+y1y3+y1y4-y2y3-y2y4+y1y3-y1y4+y2y3-y2y4 =（y1+y3）2-y32-(

29、y2+y4)2+y42 = (y1+y3)2-(y2+y4)2-y32+y42· f(x1,x2,x3,x4)=z12-z22-z32+z42 坐標(biāo)變換 此題如用配方相反麻煩而且不易解出，建議用正交法解，且此大題的解不唯一第三冊(cè)(第五頁(yè))習(xí)題五15（5）=得到對(duì)于，解方程組有一個(gè)xxxxx對(duì)于解方程組得一個(gè)xxxxx 對(duì)于解方程組有一個(gè)xxxxx由上面知，存在相應(yīng)過(guò)渡矩陣得相似對(duì)角形矩陣（6）解：對(duì)應(yīng) = 得對(duì)應(yīng)雙生根解方程組得二個(gè)xxxxx 對(duì)于雙生根解方程組得二個(gè)xxxxx 由上知，存在相應(yīng)過(guò)渡矩陣得相似對(duì)角形矩陣第六章1.證明：a、b 且（1）所以 （2）所以 (3)所以(4)

30、 當(dāng)時(shí)，所以是v中的一個(gè)內(nèi)積2.證明：（1）在中定義則為一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)置之后;不變所以因?yàn)閍為n階正定矩陣所以（2）(3)(4)當(dāng)時(shí)，因?yàn)閍為n階正定矩陣，其中任意n維向量，都恒有而為n維向量所以所以 由上述，這樣定義的也是中的一個(gè)內(nèi)積3.證明：必需性：?正交，所以所以當(dāng)，不是零向量，則當(dāng)或?yàn)榱阆蛄?，所以所以充分性：?duì)于都有所以所以則即正交綜上，在歐式空間中兩個(gè)向量正交的充分必要條件是，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t恒有4.（1）所以所以所以 （2）所以p1865、 設(shè)單位向量（x1、x2、x3、x4) 則由題意知：x1+x2-x3+x4=0（x2=0，x3=x1，x4=-x1）x1-x2-x3+x4=0 2x1

31、+x2+x3+3x4=0由將代入得：解得：故所求向量為。6、 由施米特正交化方法求出等價(jià)的正交組為： 7、 可表示為下面的形式： 令利用施米特正交化方法將，正交化。有：故的一個(gè)正交組可表示為即 單位化后為：8.設(shè)五維向量 =由題意可得令 ， 得 ， ， 得 ， a=（-2,1，-3,2,0） b=（4,-9,3,0,2）a、 b線性無(wú)關(guān)則令 a， b線性無(wú)關(guān)則令故 9解：用初等行變換把方程組的系數(shù)矩陣a化為最簡(jiǎn)行矩陣 =2，該方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成階梯式矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為令對(duì)應(yīng)的解向量為對(duì)應(yīng)的解向量為 =（0,2,1,3）+（ =（再把 可構(gòu)成解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交組第六章13

32、.證明：設(shè)1，2n線性相關(guān) 則存在11+22+nn=0，則1，2n=01(1,1)+ 2 (1,2)+n(1,n)=01(2,1)+ 2 (2,2)+n(2,n)=01(n,1)+ 2 (n,2)+n(n,n)=0 (1,1), (1,2)(1,n) 1 (2,1)，(2,2)(2,n 2 (n,1)，(n,2(n,n) n (1,1) )(1,n) (2,1) (2,n) (n,1) (n,n) i=0 1, 2n線性相關(guān)（6）f=x1x2n+x2x2n-1+xnxn+1舉行合同法1200 - 0 0 0 0 - 0 . . . . . 看不清 . . . . . 0 0 1 1 0 0 0

33、 0 10 1 0 0 0 10 1 0 00 1 -1 -1 -1 1- 0 0 0 - 0 0 00 - 0 0 看不清 -0 0 -0 . . . . . n 1 1 1 1 1 1 -（2n-1） -1 -1 -1 -（n-1）f=-y12-y22-y32 + ny2n2x1 1- 1 y1x2 1- 1 y2。 = 。 。x2n - - -（2n-1） y2n 第七章1（1）配方法：令則矩陣合同法：坐標(biāo)變換（2）配方法：令坐標(biāo)變換矩陣x同法（3）配方法：令 令坐標(biāo)互換矩陣合同法坐標(biāo)變換（4）配方法坐標(biāo)變換 矩陣合同法 坐標(biāo)變換1.（5）f=配方：此二次型中無(wú)平方項(xiàng)，利用平方差公式先作

34、坐標(biāo)變換 ， ， ，有：f=令 ， ， ，則 f=用的坐標(biāo)變換為：（5）f=合同矩陣法：f=坐標(biāo)變換：=（6）配方法 f=x1x2n+x2x2n-1+xnxn+1令x1=y1+y2n x2n=y1-y2nx2=y2+y2n-1 x2n-1=y2-y2n-1 xn=yn+yn+1 xn+1=yn-yn+1f=y12-y2n2+y22-y2n-12+yn2-yn+12坐標(biāo)變換 x1=y1+y2n x2n=y1-y2n x2=y2+y2n-1 x2n-1=y2-y2n xn=yn+yn+1 xn+1=yn-yn+14.(1)必要性。證明：假設(shè)a為三階矩陣，又因?yàn)閍為反稱矩陣，設(shè)充分性。證明：設(shè)因?yàn)闉槿?/p>