§1.6晶體的宏觀對稱性和點群ppt課件

1、1.6 晶體的宏觀對稱性和晶體的宏觀對稱性和點群 晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性 對稱性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)對稱性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)（a）圓 b）正方形 c）等腰梯形 d）不規(guī)則四邊形 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表現(xiàn)出不原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表現(xiàn)出不 同的宏觀對稱性同的宏觀對稱性概括晶體宏觀對稱性的方法是考察晶體在正交變換的不變性概括晶體宏觀對稱性的方法是考察晶體在正交變換的不變性 三維情況下，正交變換的表示三維情況下，正交變換的表示 其中矩陣是正交矩陣其中矩陣是正交矩陣111213122223131333xxaa

2、axyyaaayzzaaaz3, 2, 1,jiaij晶體的宏觀對稱性的描述晶體的宏觀對稱性的描述 中心反演的正交矩陣中心反演的正交矩陣100010001 空間轉(zhuǎn)動，矩陣行列式等于空間轉(zhuǎn)動，矩陣行列式等于1 空間轉(zhuǎn)動加中心反演，矩陣行列式等于空間轉(zhuǎn)動加中心反演，矩陣行列式等于1 保持兩點距離不變的變換都是正交變換。如旋轉(zhuǎn)和反射對稱操作對稱操作 一個物體在某一個正交變換下保持不變一個物體在某一個正交變換下保持不變1 立方體的對稱操作立方體的對稱操作 1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動繞三個立方軸轉(zhuǎn)動 9個對稱操作個對稱操作23,2 物體的對稱操作越多，其對稱性越高物體的對稱操作越多，其對稱性越高 共有共有6

3、個對稱操作個對稱操作2) 繞繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動條面對角線軸轉(zhuǎn)動 8個對稱操作個對稱操作3) 繞繞4個立方體對角線個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動34,324) 正交變換正交變換 1個對稱操作個對稱操作100010001 立方體的對稱操作共有立方體的對稱操作共有48個個5) 以上以上24個對稱操作加中心反演仍是對稱操作個對稱操作加中心反演仍是對稱操作2 正四面體的對稱操作正四面體的對稱操作 四個原子位于正四面四個原子位于正四面體的四個頂角上，正體的四個頂角上，正四面體的對稱操作包四面體的對稱操作包含在立方體操作之中含在立方體操作之中 金剛石晶格金剛石晶格 共有共有3個對稱操作個對稱操作1) 繞三個立

4、方軸轉(zhuǎn)動繞三個立方軸轉(zhuǎn)動 8個對稱操作個對稱操作2) 繞繞4個立方體對角線軸個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動34,323) 正交變換正交變換 1個對稱操作個對稱操作100010001 正四面體正四面體 對稱操作共有對稱操作共有24個個3 正六面柱的對稱操作正六面柱的對稱操作 1) 繞中心軸線轉(zhuǎn)動繞中心軸線轉(zhuǎn)動35,34,32,3 5個個 3個個3) 繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動 3個個4) 正交變換正交變換5) 以上以上12個對稱操作加中心個對稱操作加中心 反演仍是對稱操作反演仍是對稱操作 正六面柱的對稱操作有正六面柱的對稱操作有24個個2) 繞對棱中點連線轉(zhuǎn)動繞對棱中點連線轉(zhuǎn)動 1個個“

5、對稱素對稱素”簡潔明了地概括一個物體的對稱性簡潔明了地概括一個物體的對稱性對稱素對稱素 一個物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)反演軸一個物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)反演軸一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動 加上中心反演的聯(lián)加上中心反演的聯(lián)合操作，以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時合操作，以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時 該軸為物體該軸為物體n重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為2 /nn4 對稱素對稱素一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動 ，以及其倍數(shù)不變時，以及其倍數(shù)不變時 該軸為物體該軸為物體n重旋轉(zhuǎn)軸，計為重旋轉(zhuǎn)軸，計為2 /nn面對角線面對角線 為為2重軸，計為重軸，計為2( ) 立方體立方體3(,

6、)22立方軸立方軸 為為4重軸，計為重軸，計為44同時也是同時也是4重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為2同時也是同時也是2重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為24(,)33體對角線軸體對角線軸 為為3重軸，計為重軸，計為33同時也是同時也是2重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為 正四面體正四面體體對角線軸是體對角線軸是3重軸重軸 不是不是3重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 立方軸是立方軸是4重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是不是4重軸重軸面對角線是面對角線是2重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是不是2重軸重軸 對稱素對稱素 的含義的含義2 先繞軸轉(zhuǎn)動，再作中心反演先繞軸轉(zhuǎn)動，再作中心反演A點實際上是點實際上是

7、A點在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面點在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像，的鏡像，表明對稱素表明對稱素 存在一個對稱面存在一個對稱面M2 用用 表示表示m or一個物體的全部對稱操一個物體的全部對稱操作構(gòu)成一個對稱操作群作構(gòu)成一個對稱操作群 對稱素為鏡面對稱素為鏡面5 群的概念群的概念 群代表一組群代表一組“元素元素”的集合，的集合，G E, A ,B, C, D 這些這些“元素元素”被賦予一定的被賦予一定的“乘法法則乘法法則”，滿足下列，滿足下列性質(zhì)性質(zhì)1) 集合集合G中任意兩個元素的中任意兩個元素的“乘積乘積”仍為集合內(nèi)的元素仍為集合內(nèi)的元素 若若 A, B G, 則則AB=C G. 叫作群的封

8、閉性叫作群的封閉性2) 存在單位元素存在單位元素E, 使得所有元素滿足：使得所有元素滿足：AE = A3) 對于任意元素對于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E4) 元素間的元素間的“乘法運算乘法運算”滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C正實數(shù)群正實數(shù)群 所有正實數(shù)所有正實數(shù)(0 除外除外)的集合，以普通乘法為的集合，以普通乘法為 運算法則運算法則整數(shù)群整數(shù)群 所有整數(shù)的集合，以加法為運算法則所有整數(shù)的集合，以加法為運算法則 一個物體一個物體全部對稱操作全部對稱操作的集合滿足上述群的定義的集合滿足上述群的定義運算法則運算法則 連續(xù)操作連續(xù)操作單位元素單位元

9、素 不動操作不動操作任意元素的任意元素的逆元素逆元素 繞轉(zhuǎn)軸角度繞轉(zhuǎn)軸角度 ，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；連續(xù)進行連續(xù)進行A和和B操作操作 相當(dāng)于相當(dāng)于C操作操作A 操作操作 繞繞OA軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2 S點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到T點點B 操作操作 繞繞OC軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2 T點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到S點點S上述操作中上述操作中S和和O沒動，而沒動，而T點轉(zhuǎn)動到點轉(zhuǎn)動到T點點 相當(dāng)于一個操作相當(dāng)于一個操作C：繞：繞OS軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動2 /3CABBCA)()(BAC 表示為表示為 群的封閉性群的封閉性可以證明可以證明 滿足結(jié)合律滿足結(jié)合律S

10、6 點群點群 晶體中原子的周期性排列形成晶體一定的宏觀對稱性晶體中原子的周期性排列形成晶體一定的宏觀對稱性 經(jīng)歷一個對稱操作晶體不變，相應(yīng)的布喇菲格子不變經(jīng)歷一個對稱操作晶體不變，相應(yīng)的布喇菲格子不變332211alalal描述晶體周期性的布喇菲格子描述晶體周期性的布喇菲格子 不同的形式原子排列形成的宏觀對稱性，對稱操作也不同的形式原子排列形成的宏觀對稱性，對稱操作也 具有一定的限制具有一定的限制B點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到B點點 B點必有一個格點點必有一個格點 繞通過繞通過A的轉(zhuǎn)軸的任意對稱操作，轉(zhuǎn)過角度的轉(zhuǎn)軸的任意對稱操作，轉(zhuǎn)過角度 A和和B兩點等價兩點等價以通過以通過B點點的軸順時針轉(zhuǎn)過的軸順時針轉(zhuǎn)過

11、 A點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到A點點 A點必有一個格點點必有一個格點 設(shè)想有一個對稱軸垂直于平面，平面內(nèi)晶面的格點可以設(shè)想有一個對稱軸垂直于平面，平面內(nèi)晶面的格點可以用用 來描述來描述2211alal且有且有ABnAB n為整數(shù)為整數(shù) 晶體點群的構(gòu)成晶體點群的構(gòu)成ABnAB)cos21 ( ABABncos211, 0, 1, 2, 3n 11:cos00000180,120,90,60,0 任何晶體的宏觀對稱任何晶體的宏觀對稱性只能有以下十種對稱素性只能有以下十種對稱素6, 4, 3, 2, 16, 4, 3, 2, 1 長方形、正三角形、正長方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面方形和正六方形可以在

12、平面內(nèi)周期性重復(fù)排列內(nèi)周期性重復(fù)排列 2, 3, 4, 6, 1180,120,90,60,0000002, 3, 4, 6, 1十種對稱素十種對稱素 正五邊形及其它正正五邊形及其它正n邊邊形則不能作周期性重復(fù)排列形則不能作周期性重復(fù)排列點群點群 以以10種對稱素為基礎(chǔ)組成的對稱操作群種對稱素為基礎(chǔ)組成的對稱操作群 由對稱素組合成群時，由對稱素組合成群時，對稱軸的數(shù)目對稱軸的數(shù)目 對稱軸之間的夾角對稱軸之間的夾角將受到嚴(yán)格的限制將受到嚴(yán)格的限制兩個兩個2重軸之間的夾角只能是重軸之間的夾角只能是000090,60,45,30 如果存在一個如果存在一個n重軸和與之垂直的二重軸和與之垂直的二重軸，就

13、一定存在重軸，就一定存在n個與之垂直的二重軸個與之垂直的二重軸 連續(xù)進行操作連續(xù)進行操作AB軸上一點軸上一點N回到原處，回到原處，軸軸2轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到2的位置的位置2個二重軸個二重軸2和和2繞軸繞軸2的轉(zhuǎn)動計為的轉(zhuǎn)動計為A繞軸繞軸2的轉(zhuǎn)動計為的轉(zhuǎn)動計為BA和和B均為對稱操作均為對稱操作ABC 是對稱操作是對稱操作 C的操作則是繞的操作則是繞NN軸轉(zhuǎn)過角度軸轉(zhuǎn)過角度2 0000180,120,90,602000090,60,45,30理論證明由理論證明由10種對稱素只能組成種對稱素只能組成32種不同的點群種不同的點群 晶體的宏觀對稱只有晶體的宏觀對稱只有32個不同類型個不同類型 1C 不動操作，只含一

14、個元素，表示沒有任何對稱性的晶體不動操作，只含一個元素，表示沒有任何對稱性的晶體只包含一個旋轉(zhuǎn)軸的點群只包含一個旋轉(zhuǎn)軸的點群 4個個 下標(biāo)表示是幾重旋轉(zhuǎn)軸下標(biāo)表示是幾重旋轉(zhuǎn)軸6432,CCCCnC回轉(zhuǎn)群回轉(zhuǎn)群nD雙面群雙面群包含一個包含一個n重旋轉(zhuǎn)軸和重旋轉(zhuǎn)軸和n個與之對應(yīng)的二重軸的點群個與之對應(yīng)的二重軸的點群 4個個6432,DDDD 群只包含旋轉(zhuǎn)反演軸的點群。群只包含旋轉(zhuǎn)反演軸的點群。 其中其中 nShsiCSCSCS3321,共共2個個64, SS 群群 群加上通過群加上通過n重軸及兩根二重軸角平分線重軸及兩根二重軸角平分線 的反演面，的反演面， 共共2個個ndDnDddDD32, 群群 群加上中心反演群加上中心反演 iC1C 群群 群加上反演面群加上反演面sC1C 群群 群加上與群加上與n重軸垂直的反演面，共重軸垂直的反演面，共4個個nhCnC 群群