信號與系統(tǒng)實驗教程

1、信 號 與 系 統(tǒng)實 驗 教 程目 錄實驗一：連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析-6一、實驗?zāi)康募耙?6二、實驗原理-61、信號的時域表示方法-62、用matlab仿真連續(xù)時間信號和離散時間信號-73、lti系統(tǒng)的時域描述-11三、實驗步驟及內(nèi)容-15四、實驗報告要求-26實驗二：連續(xù)時間信號的頻域分析-27一、實驗?zāi)康募耙?27二、實驗原理-271、連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)ctfs-272、連續(xù)時間信號的傅里葉變換ctft-283、離散時間信號的傅里葉變換dtft -284、連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)ctfs的matlab實現(xiàn)-295、用matlab實現(xiàn)ctft及其逆變換的計算-33三、

2、實驗步驟及內(nèi)容-34四、實驗報告要求-48實驗三：連續(xù)時間lti系統(tǒng)的頻域分析-49一、實驗?zāi)康募耙?49二、實驗原理-491、連續(xù)時間lti系統(tǒng)的頻率響應(yīng)-492、lti系統(tǒng)的群延時-503、用matlab計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)-50三、實驗步驟及內(nèi)容-51四、實驗報告要求-58實驗四：調(diào)制與解調(diào)以及抽樣與重建-59一、實驗?zāi)康募耙?59二、實驗原理-591、信號的抽樣及抽樣定理-592、信號抽樣過程中的頻譜混疊-623、信號重建- -624、調(diào)制與解調(diào)-645、通信系統(tǒng)中的調(diào)制與解調(diào)仿真-66三、實驗步驟及內(nèi)容-66四、實驗報告要求-75實驗五：連續(xù)時間lti系統(tǒng)的復(fù)頻域分析-76一、實驗

3、目的及要求-76二、實驗原理-761、連續(xù)時間lti系統(tǒng)的復(fù)頻域描述-762、系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖-773、拉普拉斯變換與傅里葉變換之間的關(guān)系-784、系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性之間的關(guān)系-795、系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布與系統(tǒng)的濾波特性-806、拉普拉斯逆變換的計算-81三、實驗步驟及內(nèi)容-82四、實驗報告要求-87附錄：授課方式和考核辦法-88實驗一 信號與系統(tǒng)的時域分析一、實驗?zāi)康?、熟悉和掌握常用的用于信號與系統(tǒng)時域仿真分析的matlab函數(shù)；2、掌握連續(xù)時間和離散時間信號的matlab產(chǎn)生，掌握用周期延拓的方法將一個非周期信號進行周期信號延拓形成一個周期信號的matlab

4、編程；3、牢固掌握系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的概念，掌握lti系統(tǒng)的卷積表達式及其物理意義，掌握卷積的計算方法、卷積的基本性質(zhì)；4、掌握利用matlab計算卷積的編程方法，并利用所編寫的matlab程序驗證卷積的常用基本性質(zhì)；掌握matlab描述lti系統(tǒng)的常用方法及有關(guān)函數(shù)，并學(xué)會利用matlab求解lti系統(tǒng)響應(yīng)，繪制相應(yīng)曲線?；疽螅赫莆沼胢atlab描述連續(xù)時間信號和離散時間信號的方法，能夠編寫matlab程序，實現(xiàn)各種信號的時域變換和運算，并且以圖形的方式再現(xiàn)各種信號的波形。掌握線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型用matlab描述的方法，掌握卷積運算、線性常系數(shù)微分方程的求解編程。二、實驗原

5、理信號（signal）一般都是隨某一個或某幾個獨立變量的變化而變化的，例如，溫度、壓力、聲音，還有股票市場的日收盤指數(shù)等，這些信號都是隨時間的變化而變化的，還有一些信號，例如在研究地球結(jié)構(gòu)時，地下某處的密度就是隨著海拔高度的變化而變化的。一幅圖片中的每一個象素點的位置取決于兩個坐標軸，即橫軸和縱軸，因此，圖像信號具有兩個或兩個以上的獨立變量。 在信號與系統(tǒng)課程中，我們只關(guān)注這種只有一個獨立變量（independent variable）的信號，并且把這個獨立變量統(tǒng)稱為時間變量（time variable），不管這個獨立變量是否是時間變量。 在自然界中，大多數(shù)信號的時間變量都是連續(xù)變化的，因此這

6、種信號被稱為連續(xù)時間信號（continuous-time signals）或模擬信號（analog signals），例如前面提到的溫度、壓力和聲音信號就是連續(xù)時間信號的例子。但是，還有一些信號的獨立時間變量是離散變化的，這種信號稱為離散時間信號。前面提到的股票市場的日收盤指數(shù)，由于相鄰兩個交易日的日收盤指數(shù)相隔24小時，這意味著日收盤指數(shù)的時間變量是不連續(xù)的，因此日收盤指數(shù)是離散時間信號。 而系統(tǒng)則用于對信號進行運算或處理，或者從信號中提取有用的信息，或者濾出信號中某些無用的成分，如濾波，從而產(chǎn)生人們所希望的新的信號。系統(tǒng)通常是由若干部件或單元組成的一個整體（entity）。系統(tǒng)可分為很多不

7、同的類型，例如，根據(jù)系統(tǒng)所處理的信號的不同，系統(tǒng)可分為連續(xù)時間系統(tǒng)（continuous-time system）和離散時間系統(tǒng)（discrete-time system），根據(jù)系統(tǒng)所具有的不同性質(zhì)，系統(tǒng)又可分為因果系統(tǒng)（causal system）和非因果系統(tǒng)（noncausal system）、穩(wěn)定系統(tǒng)（stable system）和不穩(wěn)定系統(tǒng)（unstable system）、線性系統(tǒng)（linear system）和非線性系統(tǒng)（nonlinear system）、時變系統(tǒng)（time-variant system）和時不變系統(tǒng)（time-invariant system）等等。 然而，在信

8、號與系統(tǒng)和數(shù)字信號處理中，我們所分析的系統(tǒng)只是所謂的線性時不變系統(tǒng)，這種系統(tǒng)同時滿足兩個重要的基本性質(zhì)，那就是線性性和時不變性，通常稱為線性時不變（lti）系統(tǒng)。1. 信號的時域表示方法1.1將信號表示成獨立時間變量的函數(shù)例如 x(t)=sin(t) 和 xn=n(0.5)nun分別表示一個連續(xù)時間信號和一個離散時間信號。在matlab中有許多內(nèi)部函數(shù)，可以直接完成信號的這種表達，例如：sin()：正弦信號cos()：余弦信號exp()：指數(shù)信號1.2用信號的波形圖來描述信號用函數(shù)曲線表示一個信號，圖1.1就是一個連續(xù)時間信號和一個離散時間信號的波形圖。圖1.1 連續(xù)時間信號與離散時間信號的波

9、形圖1.3將信號用一個數(shù)據(jù)序列來表示對于離散時間信號，還可以表示成一個數(shù)的序列，例如： xn=., 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, . n=0 在信號與系統(tǒng)和數(shù)字信號處理課程中，上述三種信號的描述方法是經(jīng)常要使用的。2 用matlab仿真連續(xù)時間信號和離散時間信號 在matlab中，無論是連續(xù)時間信號還是離散時間信號，matlab都是用一個數(shù)字序列來表示信號，這個數(shù)字序列在matlab中叫做向量(vector)。通常的情況下，需要與時間變量相對應(yīng)。 如前所述，matlab有很多內(nèi)部數(shù)學(xué)函數(shù)可以用來產(chǎn)生這樣的數(shù)字序列，例如sin()、cos()、exp()等函數(shù)可以直接產(chǎn)生一個按

10、照正弦、余弦或指數(shù)規(guī)律變化的數(shù)字序列。2.1連續(xù)時間信號的仿真程序program1_1是用matlab對一個正弦信號進行仿真的程序，請仔細閱讀該程序，并在計算機上運行，觀察所得圖形。% program1_1% this program is used to generate a sinusoidal signal and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all figure windowsdt = 0.01; % specify the step of time variablet = -2:dt:2; %

11、 specify the interval of timex = sin(2*pi*t); % generate the signalplot(t,x) % open a figure window and draw the plot of x(t)title('sinusoidal signal x(t)')xlabel('time t (sec)')常用的圖形控制函數(shù)axis(xmin,xmax,ymin,ymax)：圖型顯示區(qū)域控制函數(shù)，其中xmin為橫軸的顯示起點，xmax為橫軸的顯示終點，ymin為縱軸的顯示起點，ymax為縱軸的顯示終點。有時，為了使

12、圖形具有可讀性，需要在所繪制的圖形中，加上一些網(wǎng)格線來反映信號的幅度大小。matlab中的grid on/grid off可以實現(xiàn)在你的圖形中加網(wǎng)格線。grid on：在圖形中加網(wǎng)格線。grid off：取消圖形中的網(wǎng)格線。x = input(type in signal x(t) in closed form:)在信號與系統(tǒng)課程中，單位階躍信號u(t) 和單位沖激信號(t) 是二個非常有用的信號。它們的定義如下 1.1(a) 1.1(b)這里分別給出相應(yīng)的簡單的產(chǎn)生單位沖激信號和單位階躍信號的擴展函數(shù)。產(chǎn)生單位沖激信號的擴展函數(shù)為：function y = delta(t)dt = 0.01

13、;y = (u(t)-u(t-dt)/dt;產(chǎn)生單位階躍信號的擴展函數(shù)為：% unit step functionfunction y = u(t)y = (t>=0); % y = 1 for t > 0, else y = 0 請將這二個matlab函數(shù)分別以delta 和u為文件名保存在work文件夾中，以后，就可以像教材中的方法使用單位沖激信號(t) 和單位階躍信號u(t)。2.2離散時間信號的仿真程序program1_2用來產(chǎn)生離散時間信號xn=sin(0.2n)。% program1_2% this program is used to generate a discr

14、ete-time sinusoidal signal and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all figure windowsn = -10:10; % specify the interval of timex = sin(0.2*pi*n); % generate the signalstem (n,x) % open a figure window and draw the plot of xntitle ('sinusoidal signal xn')xlabel ('t

15、ime index n') 請仔細閱讀該程序，比較程序program1_1和program1_2中的不同之處，以便自己編程時能夠正確使用這種方法方針連續(xù)時間信號和離散時間信號。 程序program1_3用來仿真下面形式的離散時間信號： xn=., 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, . n=0% program1_3% this program is used to generate a discrete-time sequence% and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all fi

16、gure windowsn = -5:5; % specify the interval of time, the number of points of n is 11.x = 0, 0, 0, 0, 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, 0, 0; % generate the signalstem(n,x,'.') % open a figure window and draw the plot of xngrid on,title ('a discrete-time sequence xn')xlabel ('time index n&

17、#39;) 由于在程序的stem(n,x,'.') 語句中加有'.'選項，因此繪制的圖形中每根棒條線的頂端是一個實心點。 如果需要在序列的前后補較多的零的話，可以利用函數(shù)zeros()，其語法為： zeros(1, n)：圓括號中的1和n表示該函數(shù)將產(chǎn)生一個一行n列的矩陣，矩陣中的所有元素均為零。利用這個矩陣與序列xn進行組合，從而得到一個長度與n相等的向量。 例如，當 xn= 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3 時，為了得到程序program1_3中的序列， n=0可以用這個matlab語句x = zeros(1,4) x zeros(1, 2) 來

18、實現(xiàn)。用這種方法編寫的程序如下：% program1_4% this program is used to generate a discrete-time sinusoidal signal% and draw its plotclear, % clear all variablesclose all, % close all figure windowsn = -5:5; % specify the interval of timex = zeros(1,4), 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, zeros(1,2); % generate the sequencestem

19、(n,x,'.') % open a figure window and draw the plot of xngrid on,title ('a discrete-time sequence xn')xlabel ('time index n') 離散時間單位階躍信號un定義為 1.2離散時間單位階躍信號un除了也可以直接用前面給出的擴展函數(shù)來產(chǎn)生，還可以利用matlab內(nèi)部函數(shù)ones(1,n) 來實現(xiàn)。這個函數(shù)類似于zeros(1,n)，所不同的是它產(chǎn)生的矩陣的所有元素都為1。 值得注意的是，利用ones(1,n) 來實現(xiàn)的單位階躍序列并不

20、是真正的單位階躍序列，而是一個長度為n單位門(gate)序列，也就是un-un-n。但是在一個有限的圖形窗口中，我們看到的還是一個單位階躍序列。 在繪制信號的波形圖時，有時我們需要將若干個圖形繪制在圖一個圖形窗口中，這就需要使用matlab的圖形分割函數(shù)subplot()，其用法是在繪圖函數(shù)stem或plot之前，使用圖形分割函數(shù)subplot(n1,n2,n3)，其中的參數(shù)n1，n2和n3的含義是，該函數(shù)將把一個圖形窗口分割成n1xn2個子圖，即將繪制的圖形將繪制在第n3個子圖中。2.3信號的時域變換2.3.1 信號的時移 信號的時移可用下面的數(shù)學(xué)表達式來描述： 設(shè)一個連續(xù)時間信號為x(t)

21、，它的時移y(t) 表示為： y(t) = x(t - t0) 1.3其中，t0為位移量。若t0為正數(shù)，則y(t)等于將x(t)右移t0秒之后的結(jié)果。反之，若t0為負數(shù)，則y(t)等于將x(t)左移t0秒之后的結(jié)果。 在matlab中，時移運算與數(shù)學(xué)上習(xí)慣表達方法完全相同。 程序program1_5對給定一個連續(xù)時間信號x(t) = e-0.5tu(t)，對它分別左移2秒鐘和右移2秒鐘得到信號x1(t) = e-0.5(t+2)u(t+2)和x2(t) = e-0.5(t-2)u(t-2)。% program1_5% this program is used to implement the

22、time-shift operation% on a continuous-time signal and to obtain its time-shifted versions% and to draw their plots.clear,close all,t = -5:0.01:5;x = exp(-0.5*t).*u(t); % generate the original signal x(t)x1 = exp(-0.5*(t+2).*u(t+2); % shift x(t) to the left by 2 second to get x1(t)x2 = exp(-0.5*(t-2)

23、.*u(t-2); % shift x(t) to the right by 2 second to get x2(t)subplot(311)plot(t,x) % plot x(t)grid on,title ('original signal x(t)')subplot (312)plot (t,x1) % plot x1(t)grid on,title ('left shifted version of x(t)')subplot (313)plot (t,x2) % plot x2(t)grid on,title ('right shifted

24、 version of x(t)')xlabel ('time t (sec)')2.3.2 信號的時域反褶 對一個信號xn的反褶運算在數(shù)學(xué)上表示為 yn = x-n 1.4 這種反褶運算，用matlab實現(xiàn)起來也是非常簡單的。有多種方法可以實現(xiàn)信號的反褶運算。方法一，修改繪圖函數(shù)plot(t,x)和stem(n,x)中的時間變量t和n，即用-t和-n替代原來的t和n，這樣繪制出來的圖形，看起來就是原信號經(jīng)時域反褶后的版本。方法二，直接利用原信號與其反褶信號的數(shù)學(xué)關(guān)系式來實現(xiàn)。這種方法最符合信號反褶運算的實際意義。方法三，使用matlab內(nèi)部函數(shù)fliplr()來實現(xiàn)信

25、號的反褶運算。其用法如下： y = fliplr(x)：其中x為原信號x(t)或xn，而y則為x的時域反褶。需要說明的是，函數(shù)fliplr()對信號作時域反褶，僅僅將信號中各個元素的次序作了一個反轉(zhuǎn)，這種反轉(zhuǎn)處理是獨立于時間變量t和n的。因此，如果信號與其時間變量能夠用一個數(shù)學(xué)函數(shù)來表達的話，那么建議將時間變量t和n的范圍指定在一個正負對稱的時間區(qū)間即可。2.3.3 信號的時域尺度變換 信號x(t)的時域尺度變換在數(shù)學(xué)描述為y(t) = x(at)， 1.5其中a為任意常數(shù)。根據(jù)a的不同取值，這種時域尺度變換對信號x(t)具有非常不同的影響。 當a = 1時，y(t) = x(t)； 當a =

26、 -1時，y(t) = x(-t)，即y(t)可以通過將x(t)反褶運算而得到； 當a > 1時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的壓縮而得到； 當0 < a < 1時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的擴展而得到； 當 -1 < a < 0時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的擴展同時翻轉(zhuǎn)而得到； 當 a < -1時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的壓縮同時翻轉(zhuǎn)而得到； 由此可見，信號的時域尺度變換，除了對信號進行時域壓縮或擴展外，還可能包括對信號的時域反褶運

27、算。實際上，matlab完成式1.5的運算，并不需要特殊的處理，按照數(shù)學(xué)上的常規(guī)方法即能完成。2.3.4周期信號 在信號與系統(tǒng)課程中，周期信號是一類非常重要的信號。給定一個信號x(t)或xn，如果滿足 x(t) = x(t+kt) 1.6 xn = xn+kn 1.7則該信號叫做周期信號。其中，k為任意整數(shù)，t和n為常數(shù)，通常稱為信號的基本周期或最小周期。 周期信號可以看作是一個時限的非周期信號經(jīng)過周期延拓之后形成的。在數(shù)字信號處理中，周期延拓這一信號處理方法非常重要。下面的程序段，就是將一個非周期信號x1(t) = e-2tu(t)-u(t-2)經(jīng)過周期延拓之后而得到一個周期信號：clear

28、, close all;t = -4:0.001:4;t = 2; x = 0;for k = -2:2; x = x+exp(-2*(t-k*t).*(u(t-k*t)-u(t-(k+1)*t);end仔細閱讀該程序，可以發(fā)現(xiàn)其算法就是： 1.8 由于k無法計算到無窮，而是以有限值加以替代，反映到有限寬度圖形窗口中得到的效果完全符合要求。3 lti系統(tǒng)的時域描述3.1線性時不變系統(tǒng) 在分析lti系統(tǒng)時，有關(guān)lti系統(tǒng)的兩個重要的性質(zhì)是必須首先掌握和理解的。這就是線性性（linearity）和時不變性（time-invariance）。所謂線性性就是指系統(tǒng)同時滿足齊次性和疊加性。這可以用下面的

29、方法來描述。 假設(shè)系統(tǒng)在輸入信號x1(t)作用時的響應(yīng)信號為y1(t)，在輸入信號x2(t)作用時的響應(yīng)信號為y2(t)，給定兩個常數(shù)a和b，如果當輸入信號為x(t)時系統(tǒng)的響應(yīng)信號為y(t)，且滿足 x(t) = x1(t) + x2(t) 1.9(a) y(t) = y1(t) + y2(t) 1.9(b)則該系統(tǒng)具有疊加性（additivity）。如果滿足 x(t) = ax1(t) 1.10(a) y(t) = ay1(t) 1.10(b)則該系統(tǒng)具有齊次性（homogeneity）。一個系統(tǒng)如果是線性系統(tǒng)的話，那么這個系統(tǒng)必須同時具有疊加性和齊次性。 又假設(shè)系統(tǒng)在輸入信號x(t)作用

30、時的響應(yīng)信號為y(t)，對一個給定時間常數(shù)t0，如果當輸入信號為x(t-t0)時，系統(tǒng)的響應(yīng)信號為y(t-t0)的話，則該系統(tǒng)具有時不變性。 同時具有線性性和時不變性的系統(tǒng)，叫做線性時不變系統(tǒng)，簡稱lti系統(tǒng)。lti系統(tǒng)有連續(xù)時間lti系統(tǒng)和離散時間lti系統(tǒng)之分。連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入和輸出信號都必須是連續(xù)時間信號，而離散時間系統(tǒng)的輸入和輸出信號都必須是離散時間信號。3.2 lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和卷積模型 給定一個連續(xù)時間lti系統(tǒng)，在系統(tǒng)的初始條件為零時，用單位沖激信號(t)作用于系統(tǒng)，此時系統(tǒng)的響應(yīng)信號稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)（unit impulse response），一般用h(t)來

31、表示。需要強調(diào)的是，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是在激勵信號為(t)時的零狀態(tài)響應(yīng)（zero-state response）。 離散時間lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的定義與連續(xù)時間lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)相同，只是離散時間單位沖激函數(shù)n的定義有所不同。 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一個非常重要的概念，對于一個系統(tǒng)，如果我們知道了該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，那么，該系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)信號都可以求得。也就是說，系統(tǒng)的輸入信號x(t)、xn和輸出信號y(t)、yn之間的關(guān)系可以用一個數(shù)學(xué)表達式來描述，這個數(shù)學(xué)表達式為 1.11(a) 1.11(b)這個表達式就是lti系統(tǒng)的卷積模型，它是根據(jù)系統(tǒng)的線性性和時不變性以及信號

32、可以分解成單位沖激函數(shù)經(jīng)推理得到的。這個表達式實際上告訴了我們一個重要的結(jié)論，那就是，任意lti系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)h(t)/hn來確定。由于系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，故按照式1.11求得的系統(tǒng)響應(yīng)也是零狀態(tài)響應(yīng)。式1.11中的積分運算叫做卷積積分，求和運算叫做卷積和，是描述連續(xù)時間系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一個重要表達式。3.3卷積的計算 卷積的計算通?？砂聪旅娴奈鍌€步驟進行（以卷積積分為例）：1. 該換兩個信號波形圖中的橫坐標，由t改為，變成函數(shù)的自變量；2. 把其中一個信號反褶，如把h()變成h(-)；3. 把反褶后的信號做移位，移位量是t，這樣t是一個參變量。在坐標系中，t &

33、gt; 0時圖形右移， t < 0時圖形左移。4. 計算兩個信號重疊部分的乘積x()h(t-)；5. 完成相乘后圖形的積分。對于兩個時限信號（time-limited signal），按照上述的五個步驟，作卷積積分運算時，關(guān)鍵是正確確定不同情況下的積分限。只要正確地確定了積分限都能得到正確定積分結(jié)果。盡管如此，在時域中計算卷積積分，總體上來說是一項比較困難的工作。程序convlution_demo用來演示上述作卷積積分運算的五個步驟。本程序較為復(fù)雜，不建議讀者讀懂該程序，只需執(zhí)行這個程序，觀看程序執(zhí)行過程中有關(guān)卷積積分的運算過程，以便于理解這五個步驟。借助matlab的內(nèi)部函數(shù)conv(

34、)可以很容易地完成兩個信號的卷積積分運算。其語法為：y = conv(x,h)。其中x和h分別是兩個作卷積運算的信號，y為卷積結(jié)果。為了正確地運用這個函數(shù)計算卷積，這里有必要對conv(x,h)做一個詳細說明。conv(x,h)函數(shù)實際上是完成兩個多項式的乘法運算。例如，兩個多項式p1和p2分別為： 和 這兩個多項式在matlab中是用它們的系數(shù)構(gòu)成一個行向量來表示的，如果用x來表示多項式p1，h表示多項式p2，則x和h分別為 x = 1 2 3 4 h = 4 3 2 1在matlab命令窗口依次鍵入>> x = 1 2 3 4;>> h = 4 3 2 1;>

35、> y=conv(x,h)在屏幕上得到顯示結(jié)果：y = 4 11 20 30 20 11 4這表明，多項式p1和p2的乘積為： 正如前所述，用matlab處理連續(xù)時間信號時，獨立時間變量t的變化步長應(yīng)該是很小的，假定用符號dt表示時間變化步長，那么，用函數(shù)conv()作兩個信號的卷積積分時，應(yīng)該在這個函數(shù)之前乘以時間步長方能得到正確的結(jié)果。也就是說，正確的語句形式應(yīng)為：y = dt*conv(x,h)。對于定義在不同時間段的兩個時限信號x(t)，t0 t t1，和h(t)，t2 t t3。 如果用y(t)來表示它們的卷積結(jié)果，則y(t)的持續(xù)時間范圍要比x(t)或h(t)要長，其時間范圍

36、為t0+t2 t t1+t3。這個特點很重要，利用這個特點，在處理信號在時間上的位置時，可以很容易地將信號的函數(shù)值與時間軸的位置和長度關(guān)系保持一致性。根據(jù)給定的兩個連續(xù)時間信號x(t) = tu(t)-u(t-1)和h(t) = u(t)-u(t-1)，編寫程序，完成這兩個信號的卷積運算，并繪制它們的波形圖。范例程序如下：% program1_6% this program computes the convolution of two continuou-time signalsclear;close all;t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x

37、 = u(t)-u(t-1);h = t.*(u(t)-u(t-1);y = dt*conv(x,h); % compute the convolution of x(t) and h(t)subplot(221)plot(t,x), grid on, title('signal x(t)'), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(222)plot(t,h), grid on, title('signal h(t)'), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(212)t = 2*t0:dt:2*t1; % again spe

38、cify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.plot(t,y), grid on, title('the convolution of x(t) and h(t)'), axis(2*t0,2*t1,-0.1,0.6), xlabel('time t sec')在有些時候，做卷積和運算的兩個序列中，可能有一個序列或者兩個序列都非常長，甚至是無限長，matlab處理這樣的序列時，總是把它看作是一個有限長序列，具體長度由編程者確定。實際上，在信號與系統(tǒng)分析中所遇到的無限長序列，

39、通常都是滿足絕對可和或絕對可積條件的信號。因此，對信號采取這種截短處理盡管存在誤差，但是通過選擇合理的信號長度，這種誤差是能夠減小到可以接受的程度的。若這樣的一個無限長序列可以用一個數(shù)學(xué)表達式表示的話，那么，它的長度可以由編程者通過指定時間變量n的范圍來確定。例如，對于一個單邊實指數(shù)序列xn = 0.5nun，通過指定n的范圍為0 n 100，則對應(yīng)的xn的長度為101點，雖然指定更寬的n的范圍，xn將與實際情況更相符合，但是，注意到，當n大于某一數(shù)時，xn之值已經(jīng)非常接近于0了。對于序列xn = 0.5nun，當n = 7時，x7 = 0.0078，這已經(jīng)是非常小了。所以，對于這個單邊實指數(shù)

40、序列，指定更長的n的范圍是沒有必要的。當然，不同的無限長序列具有不同的特殊性，在指定n的范圍時，只要能夠反映序列的主要特征就可以了。3.4 用線性常系數(shù)微分方程描述lti系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程或差分方程是描述lti系統(tǒng)的另一個時域模型。一個連續(xù)時間lti系統(tǒng)，它的輸入信號x(t)輸出信號y(t)關(guān)系可以用下面的微分方程來表達 1.12式1.12中，max (n, m)定義為系統(tǒng)的階。式1.12描述了lti系統(tǒng)輸入信號和輸出信號的一種隱性關(guān)系（implicit relationship）。為了求得系統(tǒng)響應(yīng)信號的顯式表達式（explicit expression），必須對微分方程和差分方程求解。

41、在matlab中，一個lti系統(tǒng)也可以用系統(tǒng)微分方程的系數(shù)來描述，例如，一個lti連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程為 matlab則用兩個系數(shù)向量num = 1和den = 1 3 2來描述該系統(tǒng)，其中num和den分別表示系統(tǒng)微分方程右邊和左邊的系數(shù)，按照微分運算的降階排列。matlab的內(nèi)部函數(shù)impulse()，step()，initial()，lsim() 可以用來計算并繪制連續(xù)時間lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)，零輸入響應(yīng)和任意信號作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這些函數(shù)的用法描述如下：h= impulse(num, den, t) 和 impulse(num, den, t)s = step

42、(num, den, t) 和 step(num, den, t)y = lmis(num, den, x, t) 和 lmis(num, den, x, t)函數(shù)impulse()，step()用來計算由num和den表示的lti系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，響應(yīng)的時間范圍為0t，其中den和num分別為系統(tǒng)微分方程左右兩邊的系數(shù)向量，t為指定的響應(yīng)的終點時間。h和s的點數(shù)默認值為101點。由此可以計算時間步長為dt = t/(101-1)。不帶返回值的函數(shù)如impulse(num, den, t)和step(num, den, t)將直接在屏幕上繪制系統(tǒng)的單位沖激響和單位階躍響應(yīng)曲線。

43、帶返回值的函數(shù)如y = lmis(num, den, x, t)和y = lmis(num, den, x, t)，用來計算由num和den表示的lti系統(tǒng)在輸入信號x作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。其中t為指定的時間變化范圍，x為輸入信號，它們的長度應(yīng)該是相同的。如帶返回參數(shù)y，則將計算的響應(yīng)信號保存在y中，若不帶返回參數(shù)y，則直接在屏幕上繪制輸入信號x和響應(yīng)信號y的波形圖。例如，編寫程序，計算并繪制由下面的微分方程表示的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，單位階躍響應(yīng)s(t)。 matlab范例程序如下：% program1_7% this program is used to compute the impulse response h(t) and the step response s(t) of a % continuous-time lti systemclear, close all;