生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

1、生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性摘要：生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)是在生產(chǎn)過(guò)程中密切相關(guān)、相互對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)。本文討論短期生產(chǎn)函數(shù)與短期成本函數(shù)、長(zhǎng)期生產(chǎn)函數(shù)與長(zhǎng)期成本函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系。關(guān)鍵詞：生產(chǎn)函數(shù)成本函數(shù)對(duì)偶關(guān)系齊次函數(shù)彈性生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中兩個(gè)重要的概念，它們分別是從實(shí)物形態(tài)和貨幣形態(tài)討論廠商生產(chǎn)行為的兩個(gè)方面。在生產(chǎn)過(guò)程中假定技術(shù)水平保持不變，則生產(chǎn)取決于要素投入。即生產(chǎn)過(guò)程中所使用的各種生產(chǎn)要素的數(shù)量與所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的關(guān)系就 是生產(chǎn)函數(shù)。因而生產(chǎn)要素的投入量與要素價(jià)格完全決定了生產(chǎn)成本。在完全競(jìng)爭(zhēng)的條件下，要素價(jià)格是既定不變的，因而生產(chǎn)要素直接溝通了生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的關(guān)系。1

2、短期生產(chǎn)函數(shù)與短期成本函數(shù)的關(guān)系設(shè)生產(chǎn)函數(shù)表示為y = y ( Xj,X2.Xn),其中y是要素投入組合(Xj,X2.Xn)下的產(chǎn)量，xi是第i種要素的投入量。假設(shè)勞動(dòng)L是惟一的可變投入要素，其它要素投入量都是固定不變的，則這時(shí)的短期生產(chǎn)函數(shù)可以簡(jiǎn)化為y = y (L)。由生產(chǎn)函數(shù)在生產(chǎn)第二階段上的單調(diào)性，其反函數(shù)| =l(y)存在。所以，生產(chǎn)函數(shù)y = y (L )所對(duì)應(yīng)的成本函數(shù)為 C = b +w L1=b +w l ( y)。若已知成本函數(shù) C = b +w L = b + f ( y)，由于成本函數(shù)是關(guān)于產(chǎn)量y的單調(diào)遞增函數(shù)，所以生產(chǎn)函數(shù)為y = f J (w L )。2長(zhǎng)期生產(chǎn)函數(shù)

3、與長(zhǎng)期成本函數(shù)的關(guān)系若長(zhǎng)期生產(chǎn)過(guò)程中，所有要素投入均為可變。已知生產(chǎn)函數(shù)為y = y ( Xi ,X2.Xn)，設(shè)在n要素投入組合X = ( Xi ,X2.Xn)下的成本函數(shù)為c = 2Pini,其中pi為要素Xi ( i = 1,2, ?,i珀nn)的價(jià)格。假設(shè)Pi是固定不變的。在既定產(chǎn)量條件下求最小成本，知成本函數(shù)c = vpii=1n由如下模型確定 mi nc=W pi n i ,sty=y ( Xi ,X2.Xn)(1)i 4構(gòu)造拉格朗日函數(shù)0/小化的一階條件為：尋丄i);八從(2)nL ( xi ,入)=、 p* (y-ydx?,xn),由極值原理，得成本最i 4反之,在既定成本投入

4、條件下求最大產(chǎn)量，知生產(chǎn)函數(shù)y = y ( x1 , x2 , ?, xn )由如下模型確定：maxy = y ( x1 , x2 , ?, xn ); sty=y ( Xi ,X2.xn)n構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 丄(xi ,入)=y ( x1 , x2 , ?, xn ) +入C- '、pi xi ,i丄n= 1,2,. n); c =c(y) =、 PjXj (4)idy，入=e'( y)為邊際成本 汙是有de由極值原理，得產(chǎn)量最大化的一階條件：應(yīng)二丄(iPi 扎此處，不難驗(yàn)證入=dy為最后一單位成本增加的產(chǎn)量de1，故在確定的生產(chǎn)函數(shù)y = y ( x1 , x2 , ?,

5、xn )n與成本函數(shù)C = C ( y)= 二Pi Xi,條件iT下，(3)、(4)的兩組條件是等價(jià)的。因而不難得出生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的一般關(guān)系滿足:nc ( y) = C (y)、Xiy;pi =C'(y) -i 呂:Xi:-Xi(5)由(5)中解得x1 , x2 , ?, xn，代入n二：PiXi,，可得 y = y ( x1 , x2 ,?, xn )對(duì)應(yīng)的成本函為C ( y) = Ci 土ny) (PiXi :反之，由于成iT本函數(shù)C = C ( y)=n、Pixi,是產(chǎn)量y的單調(diào)遞增函數(shù)i 二n,由C = Pixi,求其反函數(shù)，相應(yīng)的i=1最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模下的生產(chǎn)函數(shù)為3互為對(duì)偶

6、關(guān)系的生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的主要特征生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的彈性特征：生產(chǎn)函數(shù)彈性與成本函數(shù)彈性互為倒數(shù)，生產(chǎn)函 數(shù)彈性又稱(chēng)生產(chǎn)力彈性，是指在技術(shù)水平和投入要素價(jià)格不變的條件下，所有投入要素都按 同一比例變動(dòng)時(shí)產(chǎn)出的相對(duì)變動(dòng)。即所有投入要素都變動(dòng)1%時(shí)產(chǎn)出的變動(dòng)百分比。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為y = y (X ) , X = ( x1 , x2 ,?, xn )為投入要素，則生產(chǎn)函數(shù)彈性:dydydxdx(8)不難證明，所有投入要素按同一比例變動(dòng)所引起的產(chǎn)出的相對(duì)變動(dòng)，是各個(gè)投入要素的比例變動(dòng)所引起的產(chǎn)出變動(dòng)之和即dydxXiy(9)成本函數(shù)彈性簡(jiǎn)稱(chēng)成本彈性，是指在技術(shù)水平和投入要素價(jià)格不變的條件下，總產(chǎn)量沿著

7、擴(kuò)張線的相對(duì)變動(dòng)所引起的總成本的相對(duì)變動(dòng).即總產(chǎn)量沿著擴(kuò)張線變動(dòng)1%時(shí)總成本的den變動(dòng)百分比設(shè)成本函數(shù)為C = C ( y) = PjXjKPjX則ECi=1dyde(10)由于總成本C=PxX,所以卻緩Px(dX) dXPxXX(11)dy將(11)式代入(8)式得：E ydXXdyydCCEe上式表明，成本函數(shù)彈性是生產(chǎn)力彈性的倒數(shù)即成本彈性小于、大于還是等于1,取決于生產(chǎn)力彈性大于、小于還是等于1.并依此表明規(guī)模報(bào)酬遞增、不變還是遞減。參考文獻(xiàn)：1 高鴻業(yè)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)(微觀部分)(第4版)M .北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.2 黎旨遠(yuǎn).微觀經(jīng)濟(jì)分析M .北京:清華大學(xué)出版社,1987. 160.3 湯石章.微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)M .上海:上海交通大學(xué)出版社,1995.