231等差數(shù)列前n項的和

1、1.等差數(shù)列的定義：等差數(shù)列的定義： 1(2)nnnaaad n 是是等等差差數(shù)數(shù)列列2.通項公式：通項公式：1(1) .naand3.重要性質(zhì)重要性質(zhì):() .nmaanm d.mnpqmnpqaaaa 一、復(fù)習(xí)：一、復(fù)習(xí)： 一個堆放鉛筆一個堆放鉛筆的的v形架形架,最下面第最下面第一層放一支鉛筆一層放一支鉛筆,往往上每一層都比它下上每一層都比它下面多放一支，就這面多放一支，就這樣一層一層地往上樣一層一層地往上放放.最上面一層放最上面一層放100支支.求這個求這個v形形架上共放著多少支架上共放著多少支鉛筆？鉛筆？即求即求s=1+2+3+100=？ 情景情景1 高斯出生于一個工匠家庭高斯出生于一

2、個工匠家庭幼時家境貧困幼時家境貧困,但聰敏異常但聰敏異常.上小學(xué)四年級時上小學(xué)四年級時,一次老師一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：“把從把從1到到100的自然數(shù)加的自然數(shù)加起來，和是多少？起來，和是多少？”年僅年僅10歲的小高斯略一思索就歲的小高斯略一思索就得到答案得到答案5050,這使老師非這使老師非常吃驚。那么高斯是采用常吃驚。那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算了什么方法來巧妙地計算出來的呢？出來的呢？ 高斯高斯(1777-1855), 德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家家和天文學(xué)家.他和牛他和牛頓、阿基米德頓、阿基米德,被譽(yù)為被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)有史以來

3、的三大數(shù)學(xué)家家.有有“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”之之稱稱. 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事:首項與末項的和：首項與末項的和： 1100101，第第2項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第2項的和：項的和： 299 =101， 第第3項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第3項的和：項的和： 398 101， 第第50項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第50項的和：項的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求 s=1+2+3+100=？你知道高斯是你知道高斯是怎么計算的嗎怎么計算的嗎?高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？.mnpqmnpqaaaa 如圖，是

4、一堆鋼管如圖，是一堆鋼管,自上而下每層鋼管數(shù)自上而下每層鋼管數(shù)為為4、5、6、7、8、9、10,求鋼管總數(shù)。求鋼管總數(shù)。即求：即求：s=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：高斯算法：s=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.還有其它算還有其它算法嗎？法嗎？ 情景情景2s=10+9+8+7+6+5+4.s=4+5+6+7+8+9+10.相加得相加得：(4 10) 749.2s倒序相加法倒序相加法2(4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)s (4 10) 7.兩種求和法兩種求和法 ： 高斯算法高斯算法 倒序相加法倒序相加

5、法怎樣求一般等差數(shù)列的前怎樣求一般等差數(shù)列的前n項和呢？項和呢？ 12,.nnnnanssaaa 設(shè)設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前 項項和和為為即即12.nnsaaa11.nnnsaaa12112()()()nnnnsaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aas 二、探究：二、探究：思路思路2121111(1) .()2 )nnaandaadsaaad 11() (1)2.)nnnnnnnadsaaanddaaa 1112()()()nnnnnsaaaaaa 個個相相加加得得：1().nn aa1().2nnn aas 121111(1) .()2 )nnaan

6、daadsaaad 111111(1)2) .(3) nnnaandasananadda 122(1) .nsandn相加得 11).2nn nsnad（思路思路3等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式項和公式:1(1)naand1等差數(shù)列中五個基本量：、 、 、 、之中有幾個等量關(guān)系？nnaadns2)1nnaans （dnnnasn2)11 （公式公式1公式公式21nnaadns、 、 、 、五五個個量量中中“知知三三求求二二”. （. （方方程程的的思思想想）1anan公式記憶公式記憶1)2nnn aas（11)2nn nsnad（ 類比梯形面積公式記憶類比梯形面積公式記憶例例1、計算：、計

7、算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462(4)1 23456(21)2 .nnnnn ；(4)1 3 5(21) (2 4 62 ).nn 解：原式(1 2) (3 4) (5 6)(21) 2 .nn又解：原式(1)2n n 2n(1)n n11)21)2nnnn aasn nsnad（ 三、舉例：三、舉例：= -n例例2、10, 6, 2,2,54 等差數(shù)列前多少項的和是 ？ 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnansadsn nnnnnn 設(shè)設(shè)該該等等差差數(shù)數(shù)列列為為其其前前 項項和和是是則則根根據(jù)據(jù)等

8、等差差數(shù)數(shù)列列前前項項和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去）因因此此，等等差差數(shù)數(shù)列列， ， ， ， 前前 項項的的和和是是注：本題體現(xiàn)了方程的思想注：本題體現(xiàn)了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aasn nsnad（ 123891012,75,.naaaaaaas10數(shù)列為等差數(shù)列，若求 例3、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2sad又解：1101011010()5()2aasaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即

9、5 29145. 1102938aaaaaa，整體代整體代換的思換的思想想! !11)21)2nnnn aasn nsnad（例例4、 2512151636,.naaaaas 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aasaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 11)21)2nnnn aasn nsnad（1、一個等差數(shù)列前、一個等差數(shù)列前4項的和是項的和是24,前前5項的和與前項的和與前2項的和的差是項的和的差是27,求這個等差數(shù)列的通項公式求這個等差數(shù)列的通項公式.415211124462427(510 )(2)27

10、332(1)21.2nsadssadadaannd ，解解： 四、四、 練習(xí)：練習(xí)： 61120,.naas 2 2、 已已 知知 等等 差差 數(shù)數(shù) 列列中中 ，求求解解:61116202aaaa11111611()11220.2aasa 11)21)2nnnn aasn nsnad（1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式項和公式;11( ) ()2(1)2)2、求和公式 nnnn aasn nsnad 五、小結(jié)：五、小結(jié)：3、應(yīng)用公式求和、應(yīng)用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首項、末項用公式已知首項、末項用公式;已知首項、公差用已知首項、公差用公式公式.應(yīng)用求和公式時一定弄清項數(shù)應(yīng)用求和公式時一定弄清項數(shù)n.當(dāng)已知條件不足以求出當(dāng)已知條件不足以求出a1和和d時時,要認(rèn)真觀察要認(rèn)真觀察,靈靈活應(yīng)