函數(shù)值域方法匯總PPT課件

1、 求函數(shù)值域方法很多，常用配方法、換元法、判別式法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法（數(shù)形結(jié)合法）、函數(shù)的單調(diào)性法以及均值不等式法等。這些方法分別具有極強(qiáng)的針對(duì)性，每一種方法又不是萬能的。要順利解答求函數(shù)值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點(diǎn)選擇求值域的方法，下面就常見問題進(jìn)行總結(jié)。第1頁/共21頁例1 求函數(shù)如圖，如圖，y-3/4,3/2.y-3/4,3/2.21( 11)2yxxx 的值域。分析：本題是求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，值域問題，可用配方法或圖像法求解?？捎门浞椒ɑ驁D像法求解。2minmax13(),1,1 ,2433,1,42yxxyxy 解：1x= ，2oxy-113/2

2、-3/41/2第2頁/共21頁例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)分析：函數(shù)是分式函數(shù)且都含有二次項(xiàng)，可用判別式和單調(diào)性法求解。21223xxx2xy=的值域。解法1：由函數(shù)知定義域?yàn)镽,則變形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.當(dāng)2y-1=0即y=1/2時(shí)，代入方程左邊1/23-10,故1/2.當(dāng)2y-10,即y 1/2時(shí)，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,綜上所得，原函數(shù)的值域?yàn)閥3/10,1/2.第3頁/共21頁解法解法2 2：（：（函數(shù)的單調(diào)性法函數(shù)的單調(diào)性法）是增函數(shù)，u取最小值時(shí)，y也取最小值。2221,10,2(1)1xxy

3、uxxxx令111,01121222uyyyuuuu在上22min131131 (),.124210234uxxxxy 而故原函數(shù)的值域?yàn)閥y3/10,13/10,12 2）第4頁/共21頁例3 3 求函數(shù) 的反函數(shù)的定義域. .分析：函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的 值域，可用不等式法求解。11xxeye解：變形可得1(1)1,1,01xxyyeyyey 0(1)(1)0,1yyy1即故 y1.y-1反函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1)。第5頁/共21頁例例4 4 求下列函數(shù)的值域：求下列函數(shù)的值域： (1) y=6x(1) y=6x2 2-2x-2x3 3, (0 x3); , (0 x3

4、); (2) (2) 若正數(shù)若正數(shù)a a、b b滿足滿足ab=a+b+3,ab=a+b+3,求求abab的的取值范圍（取值范圍（9999年高考題）。年高考題）。分析：均值不等式可以解決諸多特殊條件的函數(shù)值域問題，變形恰當(dāng)，柳暗花明。(1)解：原函數(shù)可變形為：3(3)22(3)88.2 23xxxx xx 2y=2x(3-x)=2 4當(dāng)且僅當(dāng)x/2=3-x時(shí)，即x=2時(shí)取等號(hào)。故在0 x0,故y=log1/2u的定義域?yàn)椋?，2上的減函數(shù)，即原函數(shù)值域的為y -1,+)。分析：本題求值域看似簡單，其實(shí)有其技巧性，變形適當(dāng)事半功倍。(1)可用配方法或判別式法求解;（2）可用單調(diào)有界性解之。解法1：

5、不難看出y0,且可得定義域?yàn)?x5,原函數(shù)變形為：22(35)22815yxxxx例7 求下列函數(shù)的值域第12頁/共21頁222(4)1,(35)xx由x3,5知，-x2+8x-15 0,1,即當(dāng)x=4時(shí)，ymax=2，當(dāng)x=3或5時(shí)，ymin=2,故原函數(shù)的值域?yàn)?，2。解法2：(判別式法).兩邊平方移項(xiàng)得:y2-2=2(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-20,y看成常數(shù),方程有實(shí)根的條件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) 0,注意到y(tǒng)0得y2-40即0y4而y2-20即有2y2, y2,2.第13頁/共21頁(2)解：由

6、y=x-3-5-x得域?yàn)閤3,5.y=x-3在3，5上是單調(diào)增函數(shù)，y=-5-x在3,5上也是單調(diào)增函數(shù)。 y=x-3-5-x在3，5上是增函數(shù)，當(dāng)x=3時(shí)，ymin=-2,當(dāng)x=5時(shí)，ymax=2,故原函數(shù)的值域?yàn)閥-2, 2.第14頁/共21頁例8 已知圓C：x2-4x+y2+1=0上任意一點(diǎn)P（x,y),求 的最大值與最小值。yx分析： 即求圓上的點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的斜率的最值，可利用數(shù)形結(jié)合法求解。00yyxxxyoPC解：圓C方程為 (x-2)2+y2=3 ， 的最值即求圓上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的斜率的最值。設(shè)y=kx,如圖，顯然，當(dāng)直線y=kx與圓C相切時(shí)k有最值，容易得出其最

7、大與最小值分別為3，-3. yx第15頁/共21頁例9 已知圓C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。分析：本題可轉(zhuǎn)化采用圓的參數(shù)方程表達(dá)，利用三角函數(shù)的有界性解決或在二元二次方程的約束條件下，求x+y+4的線性規(guī)劃。 解法1：條件可化為(x-2)2+(y+3)2=2把此圓化為參數(shù)方程22cos ,32sin .xy 42(cossin ) 3xy 222(cossin ) 3 2cos() 3.224 (x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1第16頁/共21頁解法2（線性規(guī)劃）x,y是圓C:(x-2)2+(y+3)2=2上的點(diǎn)，設(shè)x+y+4=z,則y=-x+(z-

8、4),z-4可看作為直線L:x+y+4-z=0在y軸上的截距，作直線y=-x并平移，當(dāng)直線L:x+y+4-z=0和圓C相切時(shí)，z-4有最大值和最小值。222 ( 3) 423251.11zzzz 故或(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x第17頁/共21頁例10 求函數(shù) 的值域。sin2cosxyx分析：利用三角函數(shù)的有界性較數(shù)形結(jié)合為點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(cosx,-sinx)連線的斜率的過程要簡單。0 ( sin )2 cosxkx 解：將原函數(shù)化為sinx+ycosx=2y22211(sincos )211yyxxyyy22212cos,sin,sin(),111yyxyyy令22233131.331yyyy 由平方得第18頁/共21頁例11 求函數(shù)y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。分析：本題求函數(shù)的值域可用解析幾何與數(shù)形結(jié)合法解之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP將上式可看成為x軸上點(diǎn)P(x,0)與A(1,3),B(-3,2)的距離之和。即在x軸上求作一點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B的距離之和的最值，利用解析幾何的方法可求其最小值。如圖，可求A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A1(1,-3)連結(jié)A