數(shù)學(xué)專題直線和圓

1、直線和圓上海交通大學(xué)第二附屬中學(xué) 李欣圓是一個封閉的曲線圖形，因此它有一些直線圖形所沒有的獨(dú)特性質(zhì)，如圓有切線，有旋轉(zhuǎn)不定性，它即是軸對稱圖形又是中心對稱 等。但是圓往往要與直線圖形相結(jié)合，沒有這種結(jié)合，圓就顯示不出它的許多奇特的性質(zhì)。圓與直線位置關(guān)系有三種情況：相離、相切、相交。我們有兩種方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系一） 交點(diǎn)法直線和圓沒有公共點(diǎn) 直線和圓相離直線和圓有一個公共點(diǎn) 直線和圓相切直線和圓有兩個公共點(diǎn) 直線和圓相交二） 距離法設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線和圓相離dr直線和圓相切dr直線和圓相交dr其中圓與直線相切，特別是切線的判斷和性質(zhì)，是圓這一部分的重要內(nèi)容。下

2、面簡單介紹一下圓的切線的判斷方法和切線的性質(zhì)的應(yīng)用。例1：如圖，已知：等腰rtabc，c=900，d、e分別為腰的中點(diǎn)求證：以de為直徑的圓和ab相切分析：通常在不知道直線和圓有無交點(diǎn)時，我們一般用距離法dr來判斷圓和直線相切。證明：連接co并延長交ab于f fd、e分別是ac、cb的中點(diǎn)deab，2deab，且cde是等腰rto為de中點(diǎn)code且2codedeabofab且co：of = cd：ad2of=2co=de即o到ab距離of等于圓半徑de為直徑的圓和ab相切例2：如圖，已知：ab為o的直徑，bc 切o于b，過a作 adoc交圓于另一點(diǎn)d求證：cd是o的切線分析：當(dāng)直線和圓有一個

3、交點(diǎn)，一般我們連接圓心和交點(diǎn)， 這時只要證圓心和交點(diǎn)的連線和直線垂直就可以了。因?yàn)閐在o上，又在cd上，所以只要證oddc證明：連接odoa=ododa=oadadcocod=oda，cob=oadcod=cobdo=oboc為公共邊ocd obcodc = cbocb是o切線且ob為半徑cbo=900cdo=900odcdcd為o的切線說明：在切線的判定中，我們可用圓心到直線距離等于半徑；也可以用計(jì)算直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)；還可以用過交點(diǎn)的半徑垂直于直線加以證明。總之，對于圓的切線問題，只有掌握各種判定方法，才能正確解題。例3：如圖，已知：rtabc，c=900 abc的內(nèi)切圓o切ab于d點(diǎn)，切bc于e，切ac于f，ad=4，bd=6 求 rtabc面積分析；求直角三角形的面積，主要計(jì)算兩條直角邊的長度，因?yàn)閛是內(nèi)切圓，所以ad=af， db=be，cf=ce，那么根據(jù)勾股定理求出cf長度即可。解：（省略）說明：在三角形中，常有內(nèi)切圓切各邊的問題，對于這類問題，有一個很有用的結(jié)論。下面介紹一下cbaxzy若abc三邊長bc=a，ac=b，ab=c，內(nèi)切圓切abc三邊于x，y，z三點(diǎn)則az = ay =（ b + ca）2bz=bx=（a+ cb）2cx=cy=（ a + bc）2這個結(jié)論可以迅速地解決一些關(guān)于切線長的問題，下面請同學(xué)思考已知：o切abc的三邊于m、n