第12章時間序列回歸中的序列相關(guān)和異方差

1、第十二章 時間序列回歸中的序列相關(guān)和異方差性本章討論多元回歸模型中誤差項(xiàng)的序列相關(guān)問題，這主要出現(xiàn)在時間序列回歸中。上章指出，當(dāng)模型是動態(tài)完備時，其誤差項(xiàng)不存在序列相關(guān)，因此檢驗(yàn)序列相關(guān)可以用來偵查動態(tài)誤設(shè)。靜態(tài)模型和有限分布滯后模型，即使模型設(shè)定正確，也會出現(xiàn)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。本章首先討論在存在序列相關(guān)下OLS的性質(zhì)，如何檢驗(yàn)序列相關(guān)，然后介紹相應(yīng)的補(bǔ)救措施，最后分析時間序列中的異方差形式。12.1 含序列相關(guān)誤差時OLS性質(zhì)無偏性和一致性：在序列相關(guān)下，第十章OLS的無偏性仍成立，第十一章OLS的一致性也成立。效率與推斷：在出現(xiàn)序列相關(guān)時，OLS不再是BLUE，通常的OLS標(biāo)準(zhǔn)誤和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

2、量也不再生效。以簡單回歸為例說明：011;,1,1,2,ttttttyxuuuetn12.1 含序列相關(guān)誤差時OLS性質(zhì)OLS估計(jì)量為：序列相關(guān)下方差為：由此可見，在序列相關(guān)下通常的方差估計(jì)量都是 的有偏估計(jì)。通常的t-統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)-統(tǒng)計(jì)量和LM-統(tǒng)計(jì)量不再可靠。擬合優(yōu)度：總體的擬合優(yōu)度定義為：1111nxtttSSTx u1222111var/2/nntjxxttjtjSSTSSTx x 1var2221/uyR12.1 含序列相關(guān)誤差時OLS性質(zhì)在使用平穩(wěn)且弱相關(guān)的時間序列時，誤差和因變量的方差均不隨時間而變化，通常計(jì)算的擬合優(yōu)度指標(biāo)仍是總體參數(shù)的一致估計(jì)量。但如果因變量是I（1）過程，其方

3、差隨時間變化，此時的擬合優(yōu)度沒有什么意義了。出現(xiàn)滯后因變量時的序列相關(guān)：幾乎所有的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材都有如下說法：“在出現(xiàn)滯后因變量和序列相關(guān)的誤差時，OLS是不一致的”。如何理解？12.1 含序列相關(guān)誤差時OLS性質(zhì)作為一般論斷，不一定正確。如：滿足同期外生，OLS估計(jì)是一致的。而可能是序列相關(guān)的。在如下情況，OLS估計(jì)是不一致的：由于內(nèi)生性產(chǎn)生了。0111,0tttttyyuEuy1101212cov,cov( ,)cov( ,)tttttttu uu yyu y 0111,1ttttttyyu uue11111cov,cov(,)cov,0tttttttyuyueyu12.1 含序列相關(guān)誤差

4、時OLS性質(zhì)可將此模型變形為：實(shí)際上是一個二階自回歸模型AR（2）。這說明動態(tài)模型誤差項(xiàng)的自相關(guān)，標(biāo)志著沒有完備地設(shè)定動態(tài)回歸函數(shù)。0111012011121ttttttttyyyyeyye12.2 序列相關(guān)的檢驗(yàn)對時間序列的多元回歸模型如何檢驗(yàn)誤差項(xiàng)是否序列相關(guān)：回歸元為嚴(yán)外生時對AR（1）序列相關(guān)的t檢驗(yàn)：（1）作 的OLS回歸，得到OLS的殘差（2）作 的回歸，得到系數(shù)估計(jì)及其t統(tǒng)計(jì)量：（3）使用通常的方法，用 來檢驗(yàn)此檢驗(yàn)方法也可用于其它類型的序列相關(guān)011ttktktyxxu1,tttkyxx,1 , 2 ,tutn1ttuu , tt0:0H12.2 序列相關(guān)的檢驗(yàn)經(jīng)典假定條件下德

5、賓-沃森檢驗(yàn)：與上一部分檢驗(yàn)的關(guān)系：DW檢驗(yàn)依賴于全部CLM假定，且其分布取決于自變量的值（還取決于樣本容量、回歸元的個數(shù)和回歸是否包含截距）。DW值需與兩個臨界值比較： 當(dāng) ，拒絕原假設(shè)，當(dāng) ，不拒絕原假設(shè)，當(dāng) ，無明確結(jié)論。21221ntttnttuuDWu2 1DW,LUddLDWdUDWdLUdDWd12.2 序列相關(guān)的檢驗(yàn)DW檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)相比有缺陷，因?yàn)榭赡艿玫胶軐挼牟淮_定區(qū)域?；貧w元不是嚴(yán)格外生時AR（1）序列相關(guān)經(jīng)驗(yàn)：（1）將 的OLS回歸，得到OLS的殘差（2）將 的回歸，得到系數(shù)估計(jì)及其t統(tǒng)計(jì)量：（3）用 來檢驗(yàn)AR（q）序列相關(guān)檢驗(yàn)：1,tttkyxx ,1, 2,tutn

6、11,tttktuxxu , tt0:0H12.3 回歸元嚴(yán)格外生時序列相關(guān)的修正當(dāng)檢測出序列相關(guān)存在時，如果我們的目標(biāo)是估計(jì)一個完備動態(tài)模型，則需要重新設(shè)定動態(tài)模型。如果只是獲得參數(shù)的好的估計(jì)，可以找到比OLS更有效的估計(jì)方法GLS，但這需要回歸元是嚴(yán)格外生的。AR（1）模型求最佳線性無偏估計(jì)量：假定高斯-馬爾可夫假定TS.1-TS.4均成立，放寬假定TS.5為誤差項(xiàng)服從AR（1）模型1,1, 2,tttuuet12.3 回歸元嚴(yán)格外生時序列相關(guān)的修正誤差項(xiàng)的方差為對原方程進(jìn)行準(zhǔn)差分變換quasi-difference對變換后的方程采用OLS估計(jì)，由此得出的估計(jì)量為BLUE，因?yàn)樽儞Q后的方程

7、是序列無關(guān)和同方差，這是GLS的一種形式。22var/ 1teu10111,11,101 11/21/21/21/21/222222101 11111,2,3,1,2,3,1 ,11111ttttktktkttttk tktk kyyxxxxuu tyxxe ttyxxu 12.3 回歸元嚴(yán)格外生時序列相關(guān)的修正AR（1）模型的可行GLS估計(jì)：（1）作 的OLS回歸，求出OLS殘差（2）作 的回歸，求出（3）用 對方程進(jìn)行準(zhǔn)差分變換，然后OLS估計(jì)。常見的標(biāo)準(zhǔn)誤、t統(tǒng)計(jì)量和F-統(tǒng)計(jì)量均是漸近正確的。12,ttttkyxxx1, 2 ,tutn1ttuu12.3 回歸元嚴(yán)格外生時序列相關(guān)的修正根

8、據(jù)自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)和處理第一次觀測的方法的不同，AR（1）模型的FGLS估計(jì)有許多名稱，Cochrane-Orcutt(CO) estimation省略了第一次觀測，而Prais-Winsten estimation按照上面的方法使用了第一次觀測。實(shí)踐中兩種方法可以使用迭代模式。OLS與FGLS的比較：在序列相關(guān)存在下，OLS與FGLS均是一致估計(jì)，但總認(rèn)為FGLS比OLS更優(yōu)越是不正確的。OLS的一致性只需要同期外生，而FGLS的一致性需要嚴(yán)格外生。如果嚴(yán)格外生不滿足的話，F(xiàn)GLS可能給出誤導(dǎo)性的結(jié)果。12.3 回歸元嚴(yán)格外生時序列相關(guān)的修正當(dāng)OLS與FGLS的估計(jì)值有實(shí)際差別時，更困難的問

9、題出現(xiàn)了：我們很難判斷這種差別是否統(tǒng)計(jì)顯著？（Hausman檢驗(yàn)是可利用的一種工具）OLS和FGLS的一致性和漸近正態(tài)性嚴(yán)重依賴于時間序列的弱相關(guān)性，當(dāng)用在某些單位根過程時會有一些奇怪的結(jié)果出現(xiàn)。更高階序列相關(guān)的修正：原理是一樣的，方法稍復(fù)雜，幸運(yùn)的是許多計(jì)量軟件能夠很容易估計(jì)存在AR（q）的模型。12.4 差分和序列相關(guān)當(dāng)時間序列是一階單整I（1），即存在單位根時，OLS估計(jì)與推斷可能有誤導(dǎo)性。因?yàn)槿绻`差項(xiàng)服從隨機(jī)游走過程，方程就沒有意義，這時需要對方程進(jìn)行差分變換，然后進(jìn)行OLS估計(jì)才有意義。當(dāng)誤差項(xiàng)不服從隨機(jī)游走，只有自相關(guān)系數(shù)為正且比較大，一階差分也是很好的主意：它可以消除大部分的序

10、列相關(guān)。12.5 在OLS后的序列相關(guān)-穩(wěn)健推斷針對序列相關(guān)的比較現(xiàn)代的一種方法是，用OLS估計(jì)模型，然后針對相當(dāng)任意的序列相關(guān)（及異方差）形式來修正標(biāo)準(zhǔn)誤。盡管OLS非有效，有些原因促使我們采用此方法：（1）當(dāng)解釋變量不是嚴(yán)格外生時，F(xiàn)GLS連一致性都不滿足。（2）FGLS的多數(shù)應(yīng)用中，往往假定誤差項(xiàng)服從AR（1）過程，而以上方法可對更一般形式的序列相關(guān)保持穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤。12.5 在OLS后的序列相關(guān)-穩(wěn)健推斷Newey和West（1987）提出了OLS估計(jì)的序列相關(guān)-穩(wěn)?。⊿C-穩(wěn)?。?biāo)準(zhǔn)誤方法。具體的技術(shù)細(xì)節(jié)不討論，Eviews軟件可自動計(jì)算出SC-穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤。從經(jīng)驗(yàn)看，在序列相關(guān)存在

11、時，SC-穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤一般比通常的OLS標(biāo)準(zhǔn)誤要大，因?yàn)榇蠖鄶?shù)情況下誤差項(xiàng)是正序列相關(guān)。SC-穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的使用要落后于異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的使用的原因：（1）大型截面數(shù)據(jù)比大型時間序列數(shù)據(jù)更為普遍，當(dāng)樣本很小時SC-穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的表現(xiàn)可能比較糟糕。（2）SC-穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算上有些不是自動完成的。（3）使用SC-穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤往往會使系數(shù)不顯著，或至少不如通常的OLS標(biāo)準(zhǔn)誤那么顯著。12.5 在OLS后的序列相關(guān)-穩(wěn)健推斷如果我們堅(jiān)信解釋變量是嚴(yán)格外生的，可使用FGLS。如果對某些解釋變量的嚴(yán)格外生性表示懷疑，F(xiàn)GLS也一致性都不滿足，這時OLS估計(jì)后的SC-穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤最為有用，特別是存在滯后因變量的模型。12.6 時間序列回歸中的異方差異方差也可能出現(xiàn)在時間序列模型中，只是受到的關(guān)注不多，因?yàn)樾蛄邢嚓P(guān)問題往往更亟待解決。在沒有序列相關(guān)的情形下，時間序列模型中的異方差可采用第八章的方法來處理。如異方差穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量、異方差檢驗(yàn)及加權(quán)最小二乘法（WLS）。ARCH模型：是一種動態(tài)形式的異方差，一階形式為222121011,ttttttE u uuE u uu12.6