橢圓中?？嫉氖鶙l焦點(diǎn)性質(zhì)和證明

1、WORD完美格式技術(shù)資料專業(yè)整理橢圓中常考的十六條焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明（一）橢圓中，PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在 直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的 兩個(gè)端點(diǎn)證明：延長(zhǎng)F2H至M交PR于M PT平分/ MPF ，又 F2H丄 PT,a |pm 舊 PF2 | 又PF, |PF2=2a , |PM | | PF1 2a =|F1M |=2|OH 匕|OH |=a . H軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除長(zhǎng)軸端點(diǎn)（二）橢圓中，橢圓焦點(diǎn)三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切證明：如圖，設(shè)以焦半徑 MF為直徑的圓的半徑為 ri, 圓心為O,由橢圓定義知 |

2、MFi | T MF? |斗 AB | ：| MFi |彳 AB | 一| MF? |1 1 |OOi| MFi |= （| AB| -IMF2 |） =a -r O OO O相內(nèi)切（三）設(shè)A、A為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則厶PF1F2在邊PFz （或PFi） 上的旁切圓，必與 AiAa所在的直線切于 A2 （或Ai）. 證明：設(shè)旁切圓切 x軸于A'，切PF2于M, FiP于N,則 | PN 14 PM | , |MF2|=|MA'| ,IFNFIRA'I , |PFi I |PM 冃 F1F2I 7MF2 |PFi | | PF2 | -| FzAgFFI "A&

3、#39;I= 2a =2c -2| F2A'| ：| F2A'| = a _c =| F2a | A'與A重合.n _ y。22m +aX。+an-ny。y。ny。2 二=二 =2-ny0m +a m-ax。+ax。一a a -mx。一am -ax。_a2 2 2 2 2 . 2p m nnmnb又 2 +以一仁以一12二 22 - 2a bbaa -m a2b2222222 2 二 f 21，即軌跡方程為2 21x。_aaa ba b2 2（五）若p。）在橢圓x+b=1上，則過(guò)p。的橢圓的切線方程是加+狛1ab2證明：對(duì) x 求導(dǎo)可得：2x+2y2，y' 0

4、y' Xob2 ,aby°a切線方程為xob22 2 2 丄 2 2yy。一一 2（xx。）即 y°ya y°a -xx°b +x°b ,y°a即 yoya2 +xxob2 =x；b2 +y；a2 =a2b2 ,.斗坐2 .21ab2 2（六）若P°（x°,y。）在橢圓 務(wù)十與=1外，則過(guò)R作橢圓的a b兩條切線，切點(diǎn)為P1、P2 ,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是x）xyoy 422一 I ab證明：設(shè)RgyJ , P2（X2,y2）,則過(guò)點(diǎn)P、P2切線分別為l .加+丫F+yzyabab Po 在 11、l

5、2 上竽。+嚀=1,乂2了+彎=1j/a2b2a2b2過(guò)P1, P2方程警+警=1ab2 2（七）AB是橢圓；2 - J 的不平行于對(duì)稱軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦,b2M為 AB 的中點(diǎn)，貝V kOM kAB =：.a證明：設(shè) A(XA，yA),B(XB，yB)則 M(Xa Xb , yA yB2. 22yA ' yB yA - yB yA - yBKOM KAB22XA +滄 Xa Xb2 2又務(wù)+占=12 | 2 1 a b2XAXB2 2 2XA' XByA2yB2 2Xb yB2->2a bb22a2 2(八)若Po(Xo，yo)在橢圓X2 y2 =1內(nèi)，則被Po所平分的中

6、點(diǎn)弦 a b2 2xox y°y _xo yob2的方程是二J? _ 2aba證法1：由上題的結(jié)論得: b2、kAB kOP0 2 = kABa+ _b2b22 a弦AB方程為y_y0 =2y。_ b & =-2?xoa yob2x。y°a22 2(x _x)坐.XXl _ 匹.Xo(x _xo)2222baba2 2若Po(Xo，y°)在橢圓X2 y2 =1內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方a b2 2程是匚+乙=址+呈2 .2 2 .2a b a b證法2:設(shè)弦交橢圓于P(x，y), £(“2)中點(diǎn) S(m,n).2 22 2x+y_=i=d+z2

7、 22 2a ba b2(Xi X2)b二 -m2b2 mx)b2 二n2a2ny0a2 =2k1 y _mb _k _n-yokPP2 , 2 一 2 Kp°s -(y1 ' y2)anam -x°2 2m nxom y°na b a b2 2即匚+匚=泌+迫1 2.22 . 2a b a b2 2（九）過(guò)橢圓X2 y2-=1 （a >0, b>0）上任一點(diǎn)A%。）任意 a b作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBc =嚇（常數(shù)）a yo證明：設(shè)兩直線與橢圓交于點(diǎn)（捲，） （x2,y2）.廠£AC yi -

8、yox _X。X2 Xo y2 yoy2 - y。_ x xo b2 X2 _Xo _ y y° a2222222XyX2y2Xoy。222222ababab%二y。= _n_Xo b2 2(十一)若P為橢圓x2 y2二1 (a b o)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的a b任一點(diǎn),F1, F 2 是焦點(diǎn)，ZPF1F«, ZPF2FP ,則 tan ： tan a _c 2 a +c證明：設(shè) |PF1=m , IPF2 戶n , m n =2a , =空=目 1 F1F2 1 2c cXi-Xoyiy。a2y2- y。X2xob22X2Xoy2yoa 由題意得二國(guó)耳,(yi y2 y

9、76;y2 +y°yi yf)a2 =(xx2 -x2Xo +x x° x()b2 丿'展丿開(kāi)2 22 2(y 1 y? y°yi y°y2 y°)a =(xxz -x x° X2Xo x°)b 2 22a yo (yi y?) =2b xo(x *).2得： %=Kbc （定值）2x -X2 a yo22（十）橢圓Xt+t= 1 （a > b>0）的左右焦點(diǎn)分別為 F 1, F2, a b點(diǎn)P為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn).F fF2點(diǎn)三角形的面積為| PF1 | PF2 |= +cos 丫 ； SFp

10、f2證明：設(shè) |PF|=：m , IPF2 Hn，貝U m，n =2a.由余弦定理二，則橢圓的焦2=b ta n 。2m2 n2 -2mn cos =4c2 =4a2 -4b2 =(m n)2 -4b2 ,2b22b2 =( 1 cos )mn=| PR | PF2 匸 cos2 Vsin =b2ta n=c|yP|22b2 Fi PF2Jmnsin 22 1 cos*.2si nHLos三m 亠nsin 黒亠sin -22又|陸|smB)2 sin cos22aP1 tan tan22ap"1 -ta n ta n_22cos2Lt£a Pa. P cos cos sin

11、 sin P . a .P cos cos sin sin 2 2 2 2由、得： tan SLta nE=±222 a+c2 2(十二)橢圓x2 y2 =i (a > b > 0) 上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線a bz 2 人2、2 y =k（x _x。）對(duì)稱的充要條件是X。2豈（：2 ）2 .a +b k分析：該問(wèn)題等價(jià)于在橢圓上找兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)直線1率為一一，其中垂線l為y=k（x-x°）則X kli，2 2 2 <(a b ) a2 b2k21證明：設(shè)l1方程為y =一一x +m 即x =mk ky ,中點(diǎn)為(x： y") k得(b2k2 a2)

12、y2 -2mb2k2y b2k2m2 -a2b2 =0 mb2k2y =22 2a2 b2k22 22mb kyi y222a +b k2.ma k1x=mk-my。b k +a2 2 2 m k (ay y=k(X -X)代入(X°,0),mk(a2 +b2)Xo a2 b2k22Xo又厶> 0=+b2)2 -(a2 b2k2)22 2 2a k b，z 2 丄(a b ) a2 b2k2注：還可以用點(diǎn)差法（十二）已知橢圓X2-1 （ a>b>0）和*2a b-一直線順次與它們相交于證明：設(shè)直線方程為f 22x y - a2 b2-y = kx mA、B、C、 y

13、 二 kx m ,x2 (kx m)22 2a b_2 2y2 = （ 0 ： 1 ）,a bD四點(diǎn)，則丨=7二(丄a2 2X2 "2 =1視作，=1的特殊情況a bb2XdyD PD-b2 kyDX。Xd=Xd-yDk2Xdaa2 -b22km弦中點(diǎn)坐標(biāo)XD =勺竺- 2 與，無(wú)關(guān)22 1 kXd :aa 證明：設(shè)A為（Xi,yJB為化山）'2 2Xx a2b2 一 .(X X2)(x +X2)(% +y2)(% y2) a：®孑 而MX。 mD（Xdd）與，無(wú)關(guān) 線段AD,BC中點(diǎn)重合二| AB HCD（十四）已知橢圓a,2u1（a b 0） , A、B是橢圓上

14、的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與X軸相交于點(diǎn)P（x0,0）,貝V2 2 2a -ba -bX y（十五）已知橢圓方程為2 =1（a b 0）,兩焦點(diǎn)分別為a bF|, F2,設(shè)焦點(diǎn) PF| F2, - PF1F - r PF2F1 =:,則橢圓的離sin I)心率e =- °sin a +sin P證明：由正弦定理得:sin (180。PF2 _ PF1由等比定理得:FElPF1PF2sin( ：i -)sin ： sin :sin(、.： IJ2csin(:亠.)PFi| + |PF2sin ：亠 sin -2asin ：亠 sin l c si n(a + P)e =a sin 二' sin -2 2(十六)已知橢圓方程為 x2 y2 =1(a b 0),兩焦點(diǎn)分別a b為 F-i, F2,設(shè)焦點(diǎn) PRF2 中一 F| PF2 = 71,貝U cos： _ 1 - 2e1證明：設(shè)PF1二a，PF2 =r2,則在F1PF2中，由余弦定理得：COST2 2 2r-D - F1F2