線性代數(shù)教案同濟(jì)版

1、線性代數(shù)線性代數(shù) 課 程 教 案學(xué)院、部 系、所 授課教師 課程名稱 線性代數(shù) 課程學(xué)時(shí) 45 學(xué)時(shí) 實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí) 教材名稱 年年 月月 日日 第 2 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 3 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章 行列式1 二階與三階行列式2 全排列及其逆序數(shù)3 階行列式的定義n4 對(duì)換本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1.會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算 2 階和 3 階行列式。2.知道階行列式的定義。n本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：基本內(nèi)容：行列式的定義1.計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法設(shè)是這個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小

2、到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。12np pp1,2,nn先看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；1p1p1t再看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；2p2p2t最后看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；npnpnt則此排列的逆序數(shù)為。12ntttt2.階行列式n1212111212122212()12( 1)nnnntppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa其中為自然數(shù)的一個(gè)排列， 為這個(gè)排列的逆序數(shù)，求和符號(hào)是對(duì)所有排列12np pp1,2,nt求和。12()np pp階行列式中所含個(gè)數(shù)叫做的元素，位于第 行第列的元素，叫做的元。nD2nDijijaD( , )i j3.對(duì)角線法則：只對(duì) 2 階和 3 階行

3、列式適用 第 3 頁，共 41 頁 1112112212212122aaDa aa aaa111213212223112233122331132132313233132231122133112332aaaDaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a重點(diǎn)和難點(diǎn)：理解行列式的定義行列式的定義中應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1) 和式中的任一項(xiàng)是取自中不同行、不同列的個(gè)元素的乘積。由排列知識(shí)可知，中這樣的DnD乘積共有項(xiàng)。!n(2) 和式中的任一項(xiàng)都帶有符號(hào)， 為排列的逆序數(shù)，即當(dāng)是偶排列( 1)tt12()np pp12np pp時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)。12

4、np pp綜上所述，階行列式恰是中所有不同行、不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，其中一nDDn半帶正號(hào)，一半帶負(fù)號(hào)。例：寫出 4 階行列式中含有的項(xiàng)。1123a a解：和。11233244a a a a11233442a a a a例：試判斷和是否都是 6 階行列式中的項(xiàng)。142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a解：下標(biāo)的逆序數(shù)為，所以142331425665a a a a a a4312650 1220 16 是 6 階行列式中的項(xiàng)。142331425665a a a a a a下標(biāo)的逆序數(shù)為，所以324314512566a a a a a a

5、(341526)(234156)538不是 6 階行列式中的項(xiàng)。324314512566a a a a a a例：計(jì)算行列式0001002003004000D 解：0 1 2 3( 1)1 2 3 424D 本授課單元教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合首先通過二（三）元線性方程組的解的表達(dá)式引出二（三）階行列式的定義。然后介紹有關(guān)全排列及其逆序數(shù)的知識(shí)，引出階行列式的定義。n通過討論對(duì)換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生了解行列式的三種等價(jià)定義。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：1 P.26 1(1)(3)2 2(5)(6)本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出）線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔

6、導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟(jì)第四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章 行列式5 行列式的性質(zhì)6 行列式按行（列）展開7 克拉默法則本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1 知道階行列式的性質(zhì)。n2 知道代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)。3 會(huì)利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計(jì)算簡(jiǎn)單的階行列式。n4 知道克拉默法則。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：基本內(nèi)容：1.行列式的性質(zhì)(1) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。DTD(2) 互換行列式的兩行（列） ，行列式變號(hào)。(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)，等于用

7、數(shù)乘此行列式；或者行列式kk的某一行（列）的各元素有公因子，則可提到行列式記號(hào)之外。kk(4) 行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項(xiàng)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。2.行列式的按行（列）展開(1) 把階行列式中元所在的第 行和第列劃去后所成的階行列式稱為元的n( , )i jijaij1n( , )i jija余子式，記作；記，則稱為元的代數(shù)余子式。ijM( 1)ijijijAM ijA( , )i jija(2)階行列

8、式等于它的任一行（列）的各元素與對(duì)應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積的和。即可以按n第 行展開：i；1122(1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain或可以按第列展開：j.1122(1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn(3) 行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即，11220,ijijinjna Aa Aa Aij或 .11220,ijijninja Aa Aa Aij3.克拉默法則含有個(gè)未知元的個(gè)線性方程的方程組n12,nx xxn 第 5 頁，共 41 頁 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna x

9、a xa xba xa xa xba xa xa xb當(dāng)全為零時(shí)，稱為齊次線性方程組；否則，稱為非齊次線性方程組。12,nb bb(1)如果方程組的系數(shù)行列式，那么它有唯一解：，其中0D (1,2, )iiDxinD是把中第 列元素用方程組的右端的自由項(xiàng)替代后所得到的階行列(1,2, )iD inDin式。(2)如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，那么它的系數(shù)行列式。0D (3)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零0D 解，那么它的系數(shù)行列式必定等于零。用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：(1) 方程個(gè)數(shù)等于未知元個(gè)數(shù)；(2) 系數(shù)行列式不等于零?？死▌t

10、的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).4.一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主對(duì)角線上的元素的乘積。即11121112222122112212nnnnnnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa特別地，對(duì)角行列式等于對(duì)角線元素的乘積，即.11221122nnnnaaDa aaa類似地，.1(1)2,1212,111( 1)nn nnnnnnaaDa aaa (2) 設(shè)，則11111kkkkaaDaa11121nnnnbbDbb 第 6 頁，共 41 頁 .111112111111110kkkkknnnknnnaaaaDD Dcc

11、bbccbb(3) 范德蒙（Vandermonde）行列式122221212111112111( ,)()nnnnijn ijnnnnxxxV x xxxxxxxxxx 計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。重點(diǎn)和難點(diǎn)：行列式的計(jì)算，要注重學(xué)會(huì)利用行列式性質(zhì)及按行（列）展開等基本方法來簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。例：課本 P.12 例 7例 9例：課本 P.21 例 13例：課本 P.25 例 16本授課單元教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合以從行列式的定義為切入口，引導(dǎo)學(xué)生探討行列式的各種性質(zhì)。通過大量的例題引導(dǎo)學(xué)生掌握如何利用行列式性質(zhì)及按行

12、（列）展開等基本方法來簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：思考題問：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時(shí)方程組的解為何？答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，不能否用克拉默法則解方程組，因?yàn)榇藭r(shí)方程組的解為無解或有無窮多解。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5)6 P.26 5 (4)，7 (3) (6)7 P.28 8(1)，9本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出）線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟(jì)第四版） 第 7 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型

13、理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第二章矩陣及其運(yùn)算 1 矩陣 2 矩陣運(yùn)算 3 逆矩陣 4 矩陣分塊法本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求： 掌握矩陣的定義,矩陣的加減法數(shù)乘轉(zhuǎn)置矩陣求逆矩陣的行列式分塊矩陣等運(yùn)算,了解矩陣多項(xiàng)式運(yùn)算本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：本章擬分 3 次課完成,第一講: 1 矩陣,2 矩陣的運(yùn)算;第二講: 3 逆矩陣;第三講: 4 矩陣分塊法第一講: 1 矩陣,2 矩陣的運(yùn)算; 基本內(nèi)容:1 矩陣:一 矩陣的定義,定義 1 由 MN 個(gè)數(shù)組成的行列的數(shù)表), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaijmn

14、 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為行列矩陣,簡(jiǎn)稱 MN 矩陣,為表示它是一個(gè)整體,總是加一個(gè)括弧,并用大寫黑體字母表mn示它,記作 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211這 MN 個(gè)數(shù)稱為菊陣 A 的元素,簡(jiǎn)稱為元,數(shù)位于矩陣 A 的第 行列,稱為矩陣 A 的(I,J)元,以ijaij數(shù)為(I,J)元的矩陣可簡(jiǎn)記為或,MN 矩陣 A 也記著.ija)(ijanmija)(nmA元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣行數(shù)和列數(shù)都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣, 階矩陣 A 也記作.nnnnnA只有一行的矩陣 )(21naaaA稱為行矩陣,又

15、稱為行向量, 行矩陣也記作),(21naaaA 第 8 頁，共 41 頁 只有一列的矩陣 nbbbA21稱為列矩陣,又稱為列向量.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等,稱它們是同型矩陣,如果 A=,B=是同型矩陣,并且它們的)(ija)(ijb對(duì)應(yīng)元素相等,即),njmibaijij, 2 , 1, 2 , 1(那么就稱矩陣 A 與矩陣 B 相等,級(jí)作A=B元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作 O,不同型的零矩陣是不同的.2 矩陣的運(yùn)算一 矩陣的加法定義 2 設(shè)有兩個(gè)矩陣 A=和 B=,那么矩陣 A 與 B 的和記著 A+B,規(guī)定為nm)(ija)(ijb mnmnmmmmnnnnbababababab

16、abababa221122222221211112121111兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算.矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè) A,B,C 都是矩陣):nm( ) A+B=B+A;i()(A+B)+C=A+(B+C)iiA=的負(fù)矩陣記為)(ija -A=)(ija A+(-A)=O規(guī)定矩陣的減法為A-B=A+(-B)二 矩陣的數(shù)乘定義 3 數(shù)與矩陣 A 的乘積記作或,規(guī)定為AA mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 第 9 頁，共 41 頁 矩陣數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè) A,B 為矩陣,為數(shù)):nm,(1) ;)()(AA(2) AAA)(3) BABA)(重點(diǎn),難點(diǎn):矩

17、陣乘矩陣:讓學(xué)生充分理解矩陣乘矩陣的定義,特別強(qiáng)調(diào)前面矩陣的列等于后面矩陣的行的原因.說明矩陣乘法常態(tài)下不滿足消去率,通過練習(xí)提高學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確率.三 矩陣乘矩陣定義 4 設(shè) A=()是一個(gè)矩陣,B=()是一個(gè)矩陣,那么矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一ijasmijbns個(gè)矩陣 C=(),其中nmijc ), 2 , 1;, 2 , 1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij把此乘積記為 C=AB且有 sjjjisiibbbaaa2121),(ijskkjiksjisjijicbabababa12211例 4 求矩陣 A=與20121301431110231101

18、4B的乘積 解 C=AB=2012130143111023110141199129例 5求矩陣A=與 B=21426342 第 10 頁，共 41 頁 的乘積 AB 與 BA 解 AB=214263421683216 BA=634221420000AB對(duì)于兩個(gè)階方陣 A,B,若 AB=BA,稱方陣 A 與 B 可交換n從上面等式可以得出結(jié)論:若而也不能得出 X=Y 的結(jié)論OA 0)(YXA矩陣的乘法雖不滿足交換律,滿足結(jié)合律和分配律(1)(AB)C=A(BC)(2)為數(shù))()()(BABAAB(3)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA 對(duì)于單位矩陣 E,有 nmnnmnmnmmAE

19、AAAE, 即: EA=AE=A特殊矩陣:1 單位矩陣; E=1000100012 數(shù)量矩陣 E0000003 對(duì)角矩陣 nnaaa00000022114 ;三角矩陣 或nnnnaaaaaa000022211211nnnnaaaaaa21222111000可以得到: )()(nnnnnEAAAE 第 11 頁，共 41 頁 表明純量矩陣跟任何矩陣可交換 定義矩陣的冪為 kllklklkAAAAAAAAAA)( ,1121其中為正整數(shù)k例 6證明 nnnnncossinsincoscossinsincos證 用數(shù)學(xué)歸納法,時(shí)顯然成立,設(shè)=時(shí)成立,即1nnk kkkkkcossinsincosco

20、ssinsincos當(dāng)時(shí),有1 kn kkkkkcossinsincoscossinsincos1cossinsincos =sinsincoscossincoscossinsincoscossinsinsincoscoskkkkkkkk =) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(kkkk等式得證. 四 矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣,叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣,記作TA A=.則mnmmnnaaaaaaaaa212222111211TAmnnnmmaaaaaaaaa212221212111A 的轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算,滿足(1) AATT)( (2)

21、TTTBABA)( (3) TTAA)(4) (AB)TTTAB證明(4) 設(shè),B=,記,有smijaA)(nsijb)(mnijTTnmijdDABcCAB)(,)( skkijkjibac1而的第 行為,的第列為,因此TBi),(21siiibbbTAjTjsjaa),(1skkijkskjkkiijbaabd11), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij有 TTTABAB)(例 7已知 第 12 頁，共 41 頁 ,B=231102A102324171求TAB)(解 因?yàn)?=AB2311021023241711013173140所以 1031314170)(TAB若 A 是階

22、方陣,如果滿足,即nAAT ), 2 , 1,(njiaajiij那么 A 稱為對(duì)稱矩陣. 例 設(shè)列矩陣 X=滿足,E 是階單位陣,證明是對(duì)Tnxxx),(211XXTnTXXEH2H稱矩陣,且EHHT 證 TTTXXEH)2( HXXEXXETTT22所以 H 是對(duì)稱矩陣. =THH2H2)2(TXXE =+TXXE4)(4TTXXXX =+TXXE4)(4TTXXXX =+=TXXE4TXX4E五 方陣的行列式 定義 6 由階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式(各元素位置不變),稱為方陣 A 的行列式,記作n或A.Adet滿足下列運(yùn)算規(guī)律(A,B 為階方陣,為數(shù))An(1) AAT(2) AA

23、n(3) ,且BAAB BAAB 例 9 行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下的矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAA212221212111稱為 A 的伴隨矩陣,試證 第 13 頁，共 41 頁 EAAAAA證明 設(shè),記,則)(ijaA )(ijbAA ijjninjijiijAAaAaAab2211故 )()(EAAAAAijij類似有 )()(1EAAAaAAAijijnkkjki本授課單元教學(xué)手段與方法： 講授為主,練習(xí)為輔,主要讓學(xué)生充分理解矩陣運(yùn)算的定義,原則,從而掌握矩陣運(yùn)算,并通過練習(xí)提高學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確率.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P53:3.4(1),(2);

24、(3),(4)本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出）線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟(jì)第四版）注：1.每單元頁面大小可自行添減；2.一個(gè)授課單元為一個(gè)教案；3. “重點(diǎn)” 、 “難點(diǎn)” 、 “教學(xué)手段與方法”部分要盡量具體；4.授課類型指：理論課、討論課、實(shí)驗(yàn)或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題課。 第 14 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)第二講: 3 逆矩陣 基本內(nèi)容: 3 逆矩陣定義 7 對(duì)于階矩陣 A,如果有一個(gè)階矩陣 B,使nn EBAAB則說矩陣 A 是可逆的,并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣,簡(jiǎn)稱逆陣.記為1A 如果 A 可逆,則 A 的逆

25、陣是唯一的.因?yàn)?設(shè) B,C 都是 A 的逆陣,則有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理 1 若矩陣 A 可逆,則0A 證 A 可逆,即有,使,故所以.1AEAA111EAA0A 定理 2 若,則矩陣 A 可逆,且0A AAA11其中為 A 的伴隨矩陣.A 證 由例 9 可知 EAAAAA所以有 EAAAAAA11按照逆矩陣的定義知 A 可逆,且有 AAA11當(dāng)時(shí)稱 A 為奇異矩陣,否則稱 A 為非奇異矩陣,可逆矩陣就是非奇異矩陣.0A推論 若,則)(EBAEAB或1 AB證 ,故,因而存在,有1EBA0A1A 1111)()(AEAABABAAEBB逆陣滿足下列運(yùn)算:(1) 若

26、 A 可逆,則也可逆,且.1AAA11)( 第 15 頁，共 41 頁 (2) 若 A 可逆,數(shù),則可逆,且0A 111AA(3) 若 A,B 為同階矩陣且可逆,則 AB 也可逆,且111)(ABAB證 ,由推論有: EAAAEAABBAABAB111111)()(111)(ABAB(4) 若 A 可逆,則也可逆,且TATTAA)()(11證 ,由推論有: EEAAAATTTT)()(11TTAA)()(11當(dāng)時(shí),定義0A ,為正整數(shù)TTAA)()(11kkAAEA)(,10k這樣,當(dāng),為整數(shù),有0A, AAAAA)( ,重點(diǎn),難點(diǎn):逆矩陣的求法.定理 2 說明通過求伴隨矩陣的方式,讓學(xué)生掌握

27、矩陣求逆,并告知學(xué)生下一章里還有更簡(jiǎn)單的求逆方法.例 10 求二階矩陣的逆陣.dcba解 , 當(dāng)時(shí),有bcadAacbdA0A bcadA11acbd例 11 求方陣 343122321A的逆陣.解 ,知 A 可逆,的余子式2AA2, 5, 42, 6, 62, 3, 2333231232221131211MMMMMMMMM得 第 16 頁，共 41 頁 222563462332313322212312111MMMMMMMMMA所以1112532323111AAA例 12 設(shè) ,A343122321130231,3512CB求矩陣 X 使其滿足 CAXB 解 若存在,有11,BA 1A111C

28、BAAXBB即 =X11CBA111253232311302312513 =202011251341041012例 13設(shè) P=求,2001,4121PAPnA解 112421, 21PP 11221,PPAPPAPPAnn而 ,2001nn2001,200122所以 =1PPAnn11242120014121n112421212121nn 第 17 頁，共 41 頁 122212222224222421112211nnnnnnnn 定義 設(shè) mmxaxaxaax2210)(為的次多項(xiàng)式,A 為階矩陣,記xmnmmAaAaAaEaA2210)(稱為矩陣 A 的次多項(xiàng)式.,可證矩陣 A 的兩個(gè)多

29、項(xiàng)式和是可交換的,即有)(Am A Af AAfAfAA 的多項(xiàng)式可以象數(shù)的多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.例如x323233)(2)2)(AAAEAEAAEAEAE容易證明(1) 如果,則,從而1PPA1PPAkk)(AmmAaAaAaEa2210 11221110PPaPPaPPaEPPamm 1)(PP(2) 如果 為對(duì)角陣,則,從而),(21ndiag),(21knkkkdiagmmaaaEa2210)( mnmmmnaaa212110111 )()()(21n本授課單元教學(xué)手段與方法： 講授為主,練習(xí)為輔,通過逆矩陣的定義及定理 2 的證明讓學(xué)生充分掌握矩陣的求逆運(yùn)算,并告知學(xué)生在下一章里

30、還可用更簡(jiǎn)練的方法計(jì)算逆矩陣本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22 第 18 頁，共 41 頁 本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出）線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟(jì)第四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)第三講: 4 矩陣分塊法基本內(nèi)容:4 矩陣分塊法. 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A,運(yùn)算時(shí)常采用分塊法,使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算將矩陣 A用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣,每一個(gè)小矩陣稱為 A 的子塊.以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣. 例 將矩陣43 34333231242322

31、2114131211aaaaaaaaaaaaA可以分塊為 (1) (2) (3) 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa分法(1)可記為 22211211AAAAA其中 ,2221121111aaaaA2423141312aaaaA ,323121aaA343322aaA分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則類似,滿足:(1) 設(shè)矩陣 A 與矩陣 B 的行數(shù)相同,列數(shù)相同,采用相同的分塊法,有 ,srsrAAAAA11

32、11srsrBBBBB1111其中,與的行數(shù)相同,列數(shù)相同,那么ijAijB srsrssrrBABABABABA11111111(2) 設(shè),為數(shù),那么srsrAAAAA1111 第 19 頁，共 41 頁 srsrAAAAA1111(3) 設(shè) A 為矩陣,B 為矩陣,分塊成lmnl,ststAAAAA1111trtrBBBBB1111其中的列數(shù)分別等于的行數(shù),那么itiiAAA,21tjjjBBB,21 ABsrsrCCCC1111其中 ), 1;, 1(1rjsiBACtkkjikij重點(diǎn),難點(diǎn): 分塊矩陣的乘法運(yùn)算,對(duì)于四階且子塊含有零矩陣,單位陣,對(duì)角陣的高階,一般做四塊分且盡量分出單

33、位陣,零矩陣.例 14設(shè) 0211140110210101,1011011100100001BA求 AB解 把 A,B 分塊成 22211110211140110210101,1011012100100001BBEBBEAOEA則 =ABEAOE1222111BBEB2212111111BABBAEB而 =+=21111BBA1121210111011142 =+221BA 112113330214所以 1311334210210101AB(4) 設(shè),則srsrAAAAA1111TsrTrTsTTAAAAA1111 第 20 頁，共 41 頁 (5) 設(shè) A 為階矩陣,若 A 的分塊矩陣只有在

34、對(duì)角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且在對(duì)角線n上的子塊都是方陣,即 sAOOOAOOOAA21其中都是方陣,稱 A 為分塊對(duì)角矩陣.), 2 , 1(siAi分塊對(duì)角矩陣的行列式有下列性質(zhì): sAAAA21若,則,并有), 2 , 1(sioAi0A 112111sAOOOAOOOAA例 15設(shè),求120130005A1A解 , 2100120130005AAA3211,1213,51),5(122111AAAA 32011000511A對(duì)矩陣進(jìn)行按行分快或按列分塊:矩陣 A 有行,稱為矩陣的個(gè)行向量,若第 行記作nmmAmi ),(21iniiTiaaa則矩陣 A 記為 TmTTA21

35、矩陣 A 有列,稱為矩陣 A 的個(gè)列向量,若第列記作nmnnj mjjjjaaa21則 ),(21naaaA 對(duì)于矩陣與矩陣的乘積矩陣 AB=C=,若把行分成塊,把 BsmijaA)(nsijbB)(nmijc)(m 第 21 頁，共 41 頁 分成塊,有n ABTmTT21 nmijnTmTmTmnTTTnTTTncbbbbbbbbbbbb21222121211121),(其中ijcjTib),(21isiiaaaskkjiksjjjbabbb121以對(duì)角陣左乘矩陣時(shí)把 A 按行分塊,有mnmA =mnmmA21TmTT21TmmTT2211以對(duì)角陣右乘矩陣時(shí)把 A 按列分塊,有nnmA =

36、nA),(21naaam21),(2211nnaaa例 16設(shè),證明OAATOA 證 設(shè),把 A 的列向量表示為 A=,則nmijaA)(),(21naaa =AATTTTaaa21),(21naaanTnTnTnnTTTnTTTaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111因?yàn)?所以,OAAT ,), 2 , 1,( , 0njiaajTi特別有 ), 2 , 1( , 0njaajTj而 jTjaa0),(222212121mjjjmjjjmjjjaaaaaaaaa得 ), 2 , 1( , 021njaaamjjj即 OA 下面用分塊矩陣證明第一章中的克萊姆法則克萊姆法則

37、對(duì)于個(gè)變量, 個(gè)方程的線性方程組nn 第 22 頁，共 41 頁 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111如果它的系數(shù)行列式,則它有唯一解0D ), 2 , 1)(112211njAbAbAbDDDxnjnjjjj 證 把方程組寫成向量方程 bAx 這里為階矩陣,因,故存在.nnijaA)(noDA1AbbAAAx1表明是方程組的解向量,也是唯一的解向量.bAx1由于,所以,即AAA11bADbAx11nnnnnnnnnnnnnnnnnAbAbAbAbAbAbAbAbAbDbbbAAAAAAAAADxxx22112222121121

38、2111212122212121112111也就是 ), 2 , 1(112211njDDAbAbAbDxjnjnjjj本授課單元教學(xué)手段與方法： 講授為主,練習(xí)為輔,通過對(duì)高階矩陣特別是可分出部分零矩陣或單位陣的四階矩陣的分塊讓學(xué)生掌握分塊矩陣的加法運(yùn)算,數(shù)乘運(yùn)算,矩陣乘矩陣的運(yùn)算,以及求逆矩陣的運(yùn)算,并列舉了幾個(gè)典型例子的運(yùn)算.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P55:26;P56:29.本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出）線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟(jì)第四版） 第 23 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 1 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）

39、：第三章 矩陣的初等變換與線性方程組3.1 矩陣的初等變換本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求： 熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡(jiǎn)形；知道矩陣等價(jià)的概念。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容 定義與記號(hào)初等行變換與行等價(jià);(,),ijiijrr rk rkrAB()rAB初等列變換與列等價(jià);(,),ijiijcc ck ckcAB()cAB初等變換,與等價(jià).AB()AB矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形0.00rm nEF2.重點(diǎn) 矩陣的初等變換對(duì)矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換： (1) 交換矩陣的兩行(列); (2) 以

40、一個(gè)非零的常數(shù)乘矩陣的某一行(列);k (3) 把矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列).k3.例題與解題方法 參見 PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：79.1(1)(3)P 第 24 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組3.2 初等矩陣本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求： 知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法.本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容 初等矩陣(1) 定義 單位陣經(jīng)一次初等變換所得

41、矩陣稱為初等矩陣.(2) 對(duì)矩陣作一次初等行(列)變換相當(dāng)于用對(duì)應(yīng)的初等矩陣左(右)乘.AA(3) 初等變換及其逆變換與初等矩陣及其逆陣的對(duì)應(yīng)可列表如下：初等變換初等矩陣逆變換逆矩陣ijrrijcc( , )E i jijrrijcc( , )E i jiirkck( ( )E i kiirkck1( ( )E ikijjirkrckc( ( )E ij kijjirkrckc( ()E ijk(4) 方陣可逆ArAE12()liAPPP P為初等矩陣存在可逆矩陣使AB ,P Q.BPAQ(5)若則可逆，且特別地，若則可逆，且( , )( ,),rA BE XA1.XA B( ,)( ,),r

42、A EE XA1.XA2.重點(diǎn)、難點(diǎn)對(duì)矩陣作一系列初等行(列)變換，相當(dāng)于用可逆矩陣左(右)乘，由此引出用初等變換求逆AA陣的方法；會(huì)用矩陣的初等行變換求矩陣的逆矩陣；會(huì)用矩陣的初等行變換求矩陣方程的解.3.例題與解題方法例 1 設(shè)1112131414131211212223242423222131323334343332314142434444434241,aaaaaaaaaaaaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaaa 第 25 頁，共 41 頁 120001100001000010,0010010010000001PP其中可逆，則等于A1B(A) (B) (C) (D) 112A P

43、P112PA P112PP A121P A P分析：把矩陣的 1,4 兩列對(duì)換,2,3 兩列對(duì)換即得到矩陣,根據(jù)初等矩陣的性質(zhì),有或AB12BAPP那么所以應(yīng)選(C).21.BAP P111111211212().BAP PP PAPP A例 2 設(shè) 4 階矩陣1100213401100213,0011002100010002BC且矩陣滿足關(guān)系式試將所給關(guān)系式化簡(jiǎn),并求出矩陣.A1(),TTA EC BCEA解：由所給的矩陣關(guān)系得即故用初等變1 (),TA C EC BE(),TA CBE1() .TACB換法求由于1() ,TCB1000100010001000210001000100210

44、0() ,)321000100210301043210001032140011000100010001000010021000100210000101210001012100021230100010121TCBE故110002100() 12100121TACB其他例題參見 PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：79.3(2)4(1)P 第 26 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 1.5 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組3.3 矩陣的秩本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1.理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理，掌握用初等變

45、換求矩陣的秩的方法。知道矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與秩的關(guān)系。2.知道矩陣秩的基本性質(zhì)。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容矩陣的秩(1) 定義 矩陣的階子式，矩陣的秩。k(2) 的行階梯形含個(gè)非零行的標(biāo)準(zhǔn)形( )R ArArA0.00rEF(3) 矩陣秩的性質(zhì) 0( )min , ;R Am n ()( );TR AR A 若則,AB( )( );R AR B 若可逆，則,P Q()( );R PAQR A max ( ), ( )( , )( )( );R A R BR A BR AR B特別地，當(dāng)為列向量時(shí)，有Bb ( )( , )( )

46、 1;R AR A bR A ()( )( );R ABR AR B ()min ( ), ( );R ABR A R B 若則0,m nn lAB( )( ).R AR Bn2.重點(diǎn)、難點(diǎn)矩陣秩的概念，矩陣秩的性質(zhì)，利用初等變換求秩，應(yīng)用矩陣的秩解決問題。3.例題與解題方法例 1.設(shè)三階矩陣為A 111111xAxx試求秩( )R A分析 矩陣含有參數(shù)因此其秩一般隨的變化而變化，討論其秩主要從兩點(diǎn)著手分析：矩陣A, xx秩的行列式定義和初等變換不改變矩陣的秩。 第 27 頁，共 41 頁 解: 方法一 直接從矩陣秩的行列式定義出發(fā)討論由于 21111(2)(1)11xxxxx故 當(dāng)且時(shí), 1

47、x 2x | 0, ( )3;AR A 當(dāng)時(shí), 且1x | 0,A 1 1 11 1 1 , ( )1;1 1 1AR A 當(dāng)時(shí), 且,這時(shí)有二階子式因此2x | 0,A 211121112A210.12( )2.R A 方法二 利用初等變換求秩211111111110111111111101100(2)(1)xxxAxxxxxxxxxxxxxx因此 當(dāng)且時(shí), 1x 2x ( )3;R A 當(dāng)時(shí), 1x ( )1;R A 當(dāng)時(shí), 2x ( )2.R A 例 2. 設(shè)為矩陣A5 41231212011311042025kA且的秩為 3,求A. k解: 方法一 用初等變換 第 28 頁，共 41

48、頁 1231123121205600113011311040333202504431231123101130113001 15001 15000120001000150000kkAkk可見, 則必有即( )3,R A 10,k 1.k 方法二 因?yàn)榈闹葹?3,故其 4 階子式A1231212001131104k解得1.k 例 3. 設(shè)為階矩陣的伴隨矩陣,證明*AnA*, ( ),()1, ( )1,0, ( )1.n R AnR AR AnR An證明: 已知?jiǎng)t可逆由知可逆,所以( ),R AnA,| 0,A *|AAA E*A*().R An若則由( )1,R AnA| 0,A 又由矩陣秩的

49、行列式定義*|0,AAA E*( )(),R AR An*()( )1,R AnR A( )1,R An有,矩陣至少有一個(gè)階子式不為零,那么矩陣中至少有一個(gè)元素非零,所以從而A1n*A*()1,R A有*()1.R A若則的任一階子式為零,故,所以( )1,R AnA1n*0A *()0.R A本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 79.9(2)(3)P 第 29 頁，共 41 頁 第 30 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 1.5 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組3.4 線性方程組的解本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1.理解線性方程組無解

50、,有唯一解或有無限多個(gè)解的充分必要條件(包括非齊次線性方程組有解的充分必要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件).2.熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。3.知道矩陣方程有解的充要條件。AXB本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：1.基本內(nèi)容 (1) 線性方程組的解法 1 基本定理 元線性方程組n.Axb 無解的充分必要條件是( )( , );R AR A b 有唯一解的充分必要條件是( )( , );R AR A bn 有無限多解的充分必要條件是( )( , ).R AR A bn 2 求解線性方程組的步驟(見教材) (2) 重

51、要定理 定理 1 線性方程組有解的充分必要條件是Axb( )( , ).R AR A b 定理 2 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是n0m nAx( ).R An 把定理 1 推廣到矩陣方程，得 定理 3 矩陣方程有解的充要條件是AXB( )( , ).R AR A B2.重點(diǎn)、難點(diǎn)根據(jù)增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形熟練寫出線性方程組的通解；線性方程組的基本定理。3.例題與解題方法例 1求方程組的通解123412341234124562345xxxxxxxxxxxx解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換得 1111111111( , )2145603234123450323457102111113324240

52、1101133330000000000A b 第 31 頁，共 41 頁 原方程組化為134234752334233xxxxxx取自由未知量得特解為對(duì)應(yīng)原方程的齊次方程組為340,xx07 4( ,0,0) ,3 3Txxxxx 令得基礎(chǔ)解系為3410,01xx 故原方程的通解為1252(,1,0) ,( 2, 1,0,1) ,33TT 01 122127523342133001100 xkkkk其中為任意常數(shù)12,k k例 2. 設(shè) 1232123123424xxkxxkxxkxxx 問方程組什么時(shí)候有解？什么時(shí)候無解？有解時(shí)，求出相應(yīng)的解。解 方法一 方程組的系數(shù)

53、行列式 11|11(1)(4)112kAkkk 當(dāng)即時(shí)，方程組有唯一解，且唯一解為(按克萊姆法則)| (1)(4)0Akk1,4k 221232242,111kkkkkxxxkkk時(shí)，方程組為1k 1231231234124xxxxxxxxx 此時(shí) 第 32 頁，共 41 頁 11141114( , )1111023811240005A b 方程組無解。( )2( , )3,R AR A b時(shí)，方程組為4k 1231231234441624xxxxxxxxx 114411441030( , )1411601140114112400000000A b 故方程組有無窮多解，其同解方程組為，通解為(

54、 )( , )23,R AR A b1323304xxxx其中為任意常數(shù)1230341 ,01xxxCx C方法二 直接化增廣矩陣為階梯形2114114( , )1102281124(1)(4)00(4)2kkA bkkkkkk k 時(shí)，有1,4k 2221001141224( , )014010,212200100111kkkkkkkA bkkkkk可見方程組有唯一解221232242,111kkkkkxxxkkk時(shí)，方程組無解1k ( )2( , )3,R AR A b時(shí)，4k 11441030( , )0114011400000000A b故方程組有無窮多解，通解為( )( , )23,

55、R AR A b 第 33 頁，共 41 頁 其中為任意常數(shù)1230341 ,01xxxCx C本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：80.12(2),13(3)P 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性1 向量組及其線性組合2 向量組的線性相關(guān)性本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：一、了解維向量空間的概念n二、掌握線性組合的概念，掌握一向量由一個(gè)向量組線性表示的充要條件三、掌握線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，能夠利用定義及一些有關(guān)判定定理證明或判定一組向量的線性關(guān)系本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例

56、題等）：一、向量組及其線性組合（定義、定義、定義 3、定理 1、定理 2、定理 3）二、維向量的表示方法 n三、向量空間四、向量、向量組與矩陣五、線性相關(guān)性的概念（定義 4）六、線性相關(guān)性的判定(定理 4、定理 5） 向量 可由（不可由）1，2，n線性表示的主要結(jié)論：（1）若 = k11+ k22 + +knn（ki為實(shí)數(shù)） ，則說 可由1，2，n線性表示命題： 可由向量組1，2，n線性表示 方程組 AX = 有解，其中 A =（1，2，n ） 秩（A）= 秩（A， ） 推論 1： 可由1，2，n線性表示，且表達(dá)式是惟一的 方程組 AX = 有惟一解 秩（A）= 秩（A，）= n 1，2，n線

57、性無關(guān)，1，2，n ，線性相關(guān)推論 2： 可由1，2，n線性表示，且表達(dá)式是不惟一的 秩（A）= 秩（A，） n（2）若對(duì)于任何一組數(shù) k1，k2，kn都有 k11+ k22 + + knn則說 不可由1，2，n線性表示命題： 不可由1，2，n線性表示 方程組 AX = 無解 秩（A） 秩（A，） ，其中 A =（1，2，n ） 七、線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用 第 34 頁，共 41 頁 重點(diǎn)（難點(diǎn)）：. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義

58、，兩個(gè)定理 （難點(diǎn)）本授課單元教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：. P108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、20 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性3 向量組的秩本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：一、掌握最大無關(guān)組與向量組的秩的概念二、掌握求向量組的秩的方法三、掌握求向量組的最大無關(guān)組的方法本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：一、最大線性無關(guān)向量組的概念 （定義 5）二、矩陣與向量組秩的關(guān)系三、向量組秩的重要結(jié)論：1m 維向量組1，2，n線

59、性無關(guān)的充分必要條件：向量組1，2，n線性無關(guān) 對(duì)于任何一組不全為零的數(shù)組k1，k2，kn都有 k11+ k22 + + knn 0 對(duì)于任一個(gè)i（1in）都不能由其余向量線性表示 AX = 0 只有零解 秩（A）= n，其中 A =（1，2，n ） 2m 維向量組1，2，n線性相關(guān)的充分必要條件：向量組1，2，n線性相關(guān) 存在一組不全為零的數(shù)組k1，k2，kn，使得 k11+ k22 + + knn 0 至少存在一個(gè)i（1in）使得i可由其余向量線性表示 AX=0 有非零解 秩（A） n，其中 A =（1，2，n ） 3線性相關(guān)向量組的幾個(gè)結(jié)論：（1）設(shè)1，2線性相關(guān)，則1，2，3必線性相關(guān)

60、（反之不一定對(duì)） ； （2）含有零向量的向量組必線性相關(guān)（反之不一定對(duì)） ；（3）若向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù)，則向量組必線性相關(guān)4列向量組1，2， t可由1，2，s線性表示則（1）若 t s，則1，2， t線性相關(guān)；（2）若1，2， t線性無關(guān)，則 t s；重點(diǎn)（難點(diǎn)）： 第 35 頁，共 41 頁 最大線性無關(guān)向量組的概念：最大性、線性無關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：一個(gè)定理、三個(gè)推論 求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換本授課單元教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)。本授課單元思考