整理第十二節(jié)曲面上的杜邦指標線曲率線

1、精品文檔精品文檔第二章 曲面論第十一節(jié)曲面上的曲線七、曲面上的主方向、主曲率和曲率線法曲率的最大值和最小值所滿足 的方程為-(EG -F2)kn2 (LG -2MF NE)kn -(LN - M 2) =0，(2)其判別式為2 2 2 =(LG -2MF NE)2 -4(EG - F2)(LN - M2)二(NE 一 LG) (ME2 4(EG-F2)-LF )2己 (MELF)-0，故當且僅當NE -LG =ME -LF =0 時，判別式為零, 即E F G，(3)滿足（3）式的點稱為臍點 否則稱為非臍點.所以在一個非臍點，判別式 0，方程(2)總有兩個不相等的實 根，曲面在這一點總有兩個不

2、相等 的法曲率，且分別是法曲率的最大 值和最小值。法曲率取到的極值稱為主曲率.。在臍點，若令L = E,M = F,N = G，則任意方向的法 曲率常數(shù)，都為主曲率，而方程 (2)變?yōu)?k)2=o，但這個關系無非表 示任意方向的法曲率相等.對于L = M = N = 0的臍點， 稱為平點。我們把L,M,N不同時為零的臍點 稱為圓點。容易證明球面上的每一點都是圓 點。將k”=E ： ；代入方程式， 得到f ()(EG - F 2)( L 2 2M N )2 (LG -2MF NE)(L 2 2M N)(E 2 2F G) (LN - M 2)(E 2 2F G)= 0 ,經(jīng)過計算，此方程可化為2

3、 2g( )=(ME-LF) (NE-LG) NF -MG -0，事實上，利用待定系數(shù)法,經(jīng)計算可知，f(0) =g(0), f (0) =g (0), f (0 g (0)，f (0)二 g (0), f (0) =g (0)，于是有f( J =g()。故得使法曲率取到最值的方向為(ME - LF) 2 (NE - LG) NF - MG = 0，此式還能寫成如下形式:2扎 扎F G =0。M N則有(dv)2dudv (du)2EFG =0 ,LMN(ME -LF)(du)2 (NE-LG)dudv (NF _MG)(dv)2 =0, ( 4)這給出曲面上的兩族曲線，曲線 上的方向使法曲率

4、達到最值。再給出另一種推演方法如下rh I在法曲率取到極值的方向二不處，dkn _(L 2 2M N)(E 2 2F G)-(1_ 2 2M N)(E 2F G)， d，一(E -2 2 G)2(L 2 2MN) (E 2 2F G) -(L 2 2M N)(E，2 2F G) =02 2(L' M)(E' 2F' G)-(L'2M ' N)(E' F)=0，2knL 2M N L ME ' 2 2 G EF化簡后，得到(3)2(ME -LF) 2 (NE -LG) NF-MG=0， 此式還能寫成如下形式：nn 2AAFG =0 oMN其

5、判別式為2(NELG) -4(ME - LF )( NF - MG)二(NE _LG)-2FT(ME -LF )24(EG 一 F2)(ME 一 LF)2 _ 0所以當且僅當NE -LG =ME -LF =0時，判別式為零，即沁所以在一個非臍點，判別式0，方程總有兩個不相等的實根 曲面在這一點總有兩個不相同的方 向，法曲率在這兩個方向分別達到 最大值和最小值。曲面上使法曲率達到極值的切 方向，稱為主方向。曲面上一條曲線，如果曲線在 每點處的切方向都是曲面的主方向 則稱此曲線為曲面上的一條曲率 線.在臍點處,方程(5.9)變成恒 等式，即任意方向都為主方向?qū)⒊耄瑒t有(dv)2-dudv (d

6、u)2E F G =0 ,L M N(ME LF)(du)2 (NE LG)dudv (NF 一 MG)(dv)2 =0? ( 4)這方程確定了曲面上兩族曲率 線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。定理5.2曲面在非臍點處,兩個 主方向互相垂直.要證明這個定理,只要應用以下 引理于方程(4).引理5.3曲面上一點由方程P(du)2 2Qdudv R(dv)2=0所確定的兩個切方 向互相垂直的充要條件是ER-2FQ GP=0，,這里E,F,G是曲面的第 一類基本量.證明 兩個方向du：dv( dr = *udu £dv) 和u-v C r = b u b v )正交的充要條件是Edu u F (d

7、u v dv u) Gdv v = 0換一種寫法即du udv vF(dudv(5)將已知的二次方程寫成P(du)2 2Qdu R=0 dvdv則它的兩個根，記為包芒，均應滿足dv ov上述方程，由根與系數(shù)的關系知，du ' u R du 'u2Q, , ” ， , “ -f- ” ， “ ”dv v P ' dv v P ?將上式代入 式，即得引理.對方程(4),有 ER-2FQ GP= E(NF -MG)-F(NE - LG) G(ME -LF)=0，所以曲面在非臍點處，兩個主 方向互相垂直.【注1】定理5.2只說明在非臍點處 兩個主方向垂直,但任意兩個垂直的方向卻

8、不是主方向另一方面， 在臍點處，任意方向都是主方向， 因此主方向未必垂直，而任意兩個 垂直的方向都是主方向共軛方向 定義設A為n階實對稱矩陣，如果 有兩個n維向量S和S，（寫成列向 量），滿足STAS2 =0，（ 1）則稱向量S與S2對于矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式（1）即 成為，這樣兩個向量的點積 （或稱內(nèi)積）為零，此二向量在幾 何上是正交的，它是共軛的一種特 例。設A為對稱矩陣，若一組非零向量Si,S2j|,Sn，滿足sTASj=o (i 工 j )(2)則稱向量系S,S2, ,Sn為關于矩陣A 共軛。共扼向量的方向稱為共軛方向。幾何意義設aM M i為二階對稱矩陣，N !方程XTM

9、 X=±1NJ為以原點為中心的平面二次曲線連結曲線上任意兩點的線段叫 作弦；過中心的弦稱為直徑。平行于一條直徑AB的弦的中心的軌 跡CD，亦構成直徑，稱AB與CD互為共 軛直徑，兩直徑分別所在的兩直線 的方向，稱為曲線的共軛方向。設X二t：是一條直徑所在的直線 的方程是直線的方向；X二t： Xi是平行于直徑的弦所在的直線的方程，Xi是曲線上的點， 則此弦與曲線的交點 "ti： Xi， 滿足廣L MT廣L M廣LM、a十2爐XiN,MN,M N(tiXi)TLiMMN障 +XJ-1.2 T ti GLMMdLN丿 i 兇MN 丿 Xi = °，共軛直徑的方向ii=

10、2(X2 XJti Xi，i圳代入，則得到2t仁TL<MM =。N，即:T L 即卩 MM>=0。N。設兩共軛直徑的斜率分別為2=0 o1， 2，則有1) 宀丿1I * 2丿，r lM M 1 '(l/l)|= 0<MN2a=即得LM ( I ') N 1 11 1ii P曲面上兩個方向du：dv( dr二.du Idv ) 和、u:、v (卩二b u £ v稱為共軛方向，如果(L M、W N丿(du, dv)rV v，二 Ldu u M (du v dv u) Ndv v = 0 onudu nvdv ,-(Ldu u M (du v dv u)

11、Ndv v) o曲面上兩個方向du: dv (d,二 rudu Adv)和u :、v ( r= b u b v)稱為曲面上的共 軛方向，彳,如果有dn ,= 0，或者Ldu； u M (du； v dv up Ndv； v = 0。換一種寫法，即L竺 J m()G=0。dv v dv v°前面已證，曲面上的兩主方向正 交，現(xiàn)證兩主方向共軛。事實上，將方程(5)的兩根豈晉寫出，dv ov再由根與系數(shù)的關系知，L屯M(屯dv v dv-)vME LFL(NF - MG) -M (NE - LG) N(ME - LF ) =0du: dv所以曲面上兩個主方向dr = du dv)和c f

12、= b u £ v是曲面上的共軛方 向。這樣一來，曲面上使法曲率分別 達到最大值和最小值的兩個方向，必互相垂直，且互為共軛方向， 即主方向的判別定理（羅德里格 斯（Rodrigues ）定理）,如果方向 （d）=（du：dv）是主方向,則d dr ,其中 十n，k”是曲面沿方向（d）的法曲率。 反之,如果對于方向（d）,有 dn= ' dr ,則（d）是主方向,且k”， kn是曲面沿方向（d）的法曲率。證明先證定理的前半部分：設G）=Guv）是垂直于（d）的另 一個主方向。由n n = 1，兩邊微分得n d 0。這關系式說明dn在切平面 上，于是d¥ 二 d0 -

13、r彳 將兩邊點乘丄，并注意 d t = 0 （這是由于方向（d）和CJ的 共軛性，以及dr r = 0 （這是由于 這兩個方向的正交性）， 得到以rr = o，因此1 o，d*，得由此dn = d*，彳f把這等式兩邊點乘dn d* = dr dr，由此得再證定理的前后半部B分： 設方向（d）滿足dn = d*，現(xiàn)在要證明它是主方向。假設方)垂直于(d), 把等式dn = dr的兩邊點乘:i, 得 彳，dn 0,這表示方向(d)和C)是共軛的。 因此(d)和C)不僅正交，而且共軛， 所以它們都是主方向。k 由dn二dr，可得-kn2.5.2 Euler 公式現(xiàn)在我們考察在曲面的一個 非臍點，法曲

14、率隨方向而變化的規(guī) 律,并可以看到，主曲率就是法曲 率的最大值和最小值.首先我們證明這樣一個事實定理5.4不含臍點的曲面片上, 參數(shù)曲線的方向是主方向當且僅當F = M = 0. 證明 必要性首先因參數(shù)曲線 的切方向是主方向，而主方向必正 交，因此F = 0,同時 du 式 O,dv = 0 及 du = 0, dv 式 0 適合主方向 的微分方程,故得E ：卜|： A。 因 F = 0,E = 0,G = 0，由上式得 M = 0.充分性若F = M = 0,則主方向的微分方程可化為(NE- LG)dudv= 0因為 NE - LG = 0 (否則 L : M : N=E : F: G與沒有

15、臍點的已知條 件不符),這時主方向的微分方程 即為dudv = 0,與參數(shù)曲線的微分 方程相同，這就證明了參數(shù)曲線方 向是主方向例如在旋轉曲面v 4-:r 二(x(t)cos ,x(t)sin , z(t)上子午線和平行圓構成了曲率線 網(wǎng)。F=M=0 。定理5.5在曲面齊r（u,v）上選取曲 率線網(wǎng)為曲紋坐標網(wǎng)。設du:dv是曲面上一點P處的任意 一個切方向，它與u-曲-線的夾角 記為：，ki，k2表示曲面在p點處的 主曲率，則有kn = k1 cos2k2 si n2：1 ，這個公式稱為Euler公式，它表明 了法曲率隨方向而變化的變化規(guī) 律證明 首先若P是臍點，則因臍點處，任意方向都是主方

16、 向，因而任意方向的法曲率都是主 曲率,同時在臍點處，半浮專E 卜 G 故在臍點處任意方向的法曲率都相 同，即kn在臍點處為常數(shù)，換句話 說，在臍點處，心=& = k2 , Euler公式自然成立 下面我們假設P是非臍點來證明之.設P為曲面上一個非臍點，根據(jù)連 續(xù)性，曲面必包含P在內(nèi)的一整片 在這片曲面上完全沒有臍點在這 片曲面上選取參數(shù)曲線的方向作為 主方向,則由定理5.4,F = M = 0 ,曲面的第一、第二基本形式化為2 2 2 2= E(du) G(dv) , . = L(du) N(dv)，于是在P點，各個切線方向的法曲 率公式為2 2亠 L(du) N(dv)_ E(du

17、)2 G(dv)2 ?設ki, k2分別為對應于主方向dv = 0和du = 0的主曲率，貝gL N根據(jù)曲面上兩條曲線夾角的公式,容易計算得到2 2cos 嚴)2G2(dv)2 ,E(du)2+G(dv)2E(du)2+G(dv)2?于是k i L(du)2 N(dv)2 丄E(du)2_NG(dv)2n 一 .一 E(du)2 G(dv)2 一 E E(du)2 G(dv)2G E(du)2 G(dv)22 2=ki cos v k2sin。定理5.6曲面在非臍點處的主曲 率是曲面在這點沿所有方向的法曲 率中的最大值和最小值.證明設k1,k2是兩個主曲率，不妨設ki *：k2否則可交換坐標u

18、和v ),由Euler 公式 kn = k1 cos2日 + k2 sin2 日，顯然& = k1 cos2 v k1 sin2 v : k1 cos2 J k2 sin2 j : k2 cos2k2 sin2 v - k2，于是有k1 ' kn空k2，這就是說,主曲率是法曲率的最大 值和最小值.【例4】證明：在曲面上給定點處，沿兩個正交的方向的法曲率之和為常數(shù).彳【證明】 設曲面上給定點處的兩個主曲率分別為 k1和k2, dr和為給定點處任意兩個相互成為直角的方向，對應的法曲率分別為kn和*kn ,則由Euler公式有kn 二 k1 cos2'k2sin2丁* 2 2

19、kn = k1 cos ()k2 sin ()29二 ki sin v k2cos其中：為方向dr和u-曲線之間的夾 角，顯然有*knkn - k1 k2 一 C（給定點處為常數(shù)）。迪潘（Dupin）指標線杜邦（Dupin ）指標線、曲面上的漸近方向和共軛方向4漸近方向與漸近曲線曲面二r （u,v）上給定點E處使法曲率kn - °的方向稱為曲面在 P）點處的漸近方向由 kn的幾何意義，沿漸近方向曲面無彎曲，與切平面最貼近顯然，平面上一點處任意方向都是漸近方向，而球面上任何點處均無漸近方向.一般地，曲面上P)點處的一個方向 (du,dv) 是- -個漸2 2近方向當且僅當 Lo(du)

20、 2Modudv No(dv) =0,其中Lo,Mo,No是乞 在p)點處的第二類基本量.所以，我們總有當2LoNo-MoO時，即橢圓點處，無(實)漸近方向，當L°No-Mo2：O時，即雙曲點處,有兩個(實)漸近方向 當L°No-Mo2=O時，即拋物點處，有一個(實)漸近方向。若曲面上一條曲線在每點處的切方向都是曲面的漸近方向，則稱此曲線為曲面的漸近曲線 .例如，平面上任何正則曲線都是漸近線，而球面上無漸近線.一般地，曲面上漸近曲線的微分方程是L(du)2 2Mdudv N(dv)2 =O。推論曲面上法曲率為 o的曲線是漸近曲線，特別地直線是漸近 曲線.定理1曲面上曲率處處

21、不為 O的曲線是漸近曲線的充分必要條 件是曲線在每點處的密切平面與曲面在該點處的切平面重合時#:k到意注證明 必要性由公式kn = kcosr因此，因此匕n 2即得曲線在每點處的密切平面與曲面在該點處的切平面重合充分性若曲面上曲線c的密切平面與曲面的切平面重合，則* / n,而?丄 故n 丄 E,即 e=z(n,B)=,2因此沿C有kn =k COST - 0 ,換句話說，C為漸近曲線.定理2在只含雙曲點的曲面上，參數(shù)曲線網(wǎng)成為漸近網(wǎng)的充分必要條件是L = N =0 O證明：若曲面上的點都是雙曲點 ，則每點處有兩個漸近方向， 那么整個曲面上就有兩族漸近曲線，這兩族漸近曲線構成的網(wǎng)稱為曲面上的漸近曲線網(wǎng)，簡稱漸近網(wǎng).必要性由參數(shù)曲線網(wǎng)的微分方程dudv = 0及漸近線的微分方程，若u-線為漸近線，則L(du)2 = 0 ,即L = 0;同樣若v -線為漸近線，貝UN(dv)2 =0 , 即N =0.因此當參數(shù)曲線網(wǎng)成為漸近線網(wǎng)時，必有L = N = 0 o充分性 若L = N =0 ,則漸近網(wǎng)的微分