華師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)13.3.1等腰三角形的性質(zhì)

1、13.3 等腰三角形等腰三角形第第1課時(shí)課時(shí) 等腰三角形等腰三角形 的的性質(zhì)性質(zhì)第第13章章 全等三角形全等三角形1課堂講解課堂講解等腰三角形邊角性質(zhì)：等邊對(duì)等角等腰三角形邊角性質(zhì)：等邊對(duì)等角 等腰三角等腰三角形的軸對(duì)稱性：三線合一形的軸對(duì)稱性：三線合一2課時(shí)流程課時(shí)流程逐點(diǎn)逐點(diǎn)導(dǎo)講練導(dǎo)講練課堂課堂小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè)提升提升1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)等腰三角形邊角性質(zhì)：等邊對(duì)等角等腰三角形邊角性質(zhì)：等邊對(duì)等角等腰三角形的定義及有關(guān)概念：等腰三角形的定義及有關(guān)概念：1. 定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2. 有關(guān)概念：等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，有關(guān)概念：

2、等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰， 另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊 的夾角叫做底角的夾角叫做底角知知1 1講講（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知1 1講講【例例1】分類討論題分類討論題等腰三角形的周長為等腰三角形的周長為50 cm，一條邊長是，一條邊長是12 cm，求另兩條邊長，求另兩條邊長導(dǎo)引：導(dǎo)引：已知一條邊長為已知一條邊長為12 cm，由于不確定已知的邊，由于不確定已知的邊 是腰還是底邊，所以要分兩種情況討論是腰還是底邊，所以要分兩種情況討論解：解： 當(dāng)腰長為當(dāng)腰長為12 cm時(shí)，設(shè)底邊長為時(shí)，設(shè)底邊長為x cm， x21

3、250，x26. 當(dāng)?shù)走呴L為當(dāng)?shù)走呴L為12 cm時(shí)，設(shè)腰長為時(shí)，設(shè)腰長為y cm， 2y1250，y19.（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知1 1講講當(dāng)腰長為當(dāng)腰長為12 cm時(shí)，時(shí)，12122426，不滿足三角形任意兩邊之和大不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊于第三邊當(dāng)?shù)走呴L為當(dāng)?shù)走呴L為12 cm時(shí)，三角形三條邊長分別為時(shí)，三角形三條邊長分別為12 cm，19 cm，19 cm，滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，這個(gè)等腰三角形另兩條邊長分別為這個(gè)等腰三角形另兩條邊長分別為19 cm，19 cm.（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知1 1講講歸歸

4、 納納 在等腰三角形中求某一條邊長時(shí)，若已知的邊在等腰三角形中求某一條邊長時(shí)，若已知的邊和所要求的邊是腰還是底邊不確定，則要運(yùn)用和所要求的邊是腰還是底邊不確定，則要運(yùn)用分類分類討論思想討論思想，分情況討論求解，分情況討論求解（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥） 剪一張等腰三角形的半透明紙片，每人所剪的等腰三角剪一張等腰三角形的半透明紙片，每人所剪的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣，如圖形的大小和形狀可以不一樣，如圖13.3.2,把紙片對(duì)折，讓把紙片對(duì)折，讓兩腰兩腰ab、ac 重疊在一起，重疊在一起， 折痕為折痕為ad 你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？知知1 1講講（來自教材）（來自教

5、材）做做一一做做知知1 1講講性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角相等等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成“等邊等邊對(duì)等角對(duì)等角”)要點(diǎn)精析：要點(diǎn)精析：(1)適用條件：必須在同一個(gè)三角形適用條件：必須在同一個(gè)三角形中中(2)應(yīng)用格式：在應(yīng)用格式：在abc中，因?yàn)橹?，因?yàn)閍bac，所，所以以bc. (3)作用：它是證明角相等常用的方作用：它是證明角相等常用的方 法，法， 它的應(yīng)用可省去三角形全等的證明，它的應(yīng)用可省去三角形全等的證明， 因而因而 更更簡(jiǎn)便簡(jiǎn)便（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)知知1 1講講等腰三角形的兩底角相等等腰三角形的兩底角相等.（簡(jiǎn)寫成（簡(jiǎn)寫成

6、“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”）已知已知: 如圖如圖 13. 3.3,在在 abc中，中，abac. 求證：求證： bc.分析：分析：由上述操作可以得到啟發(fā)，即添加由上述操作可以得到啟發(fā)，即添加等腰三角等腰三角 形的頂角平分線形的頂角平分線ad，然然后證明后證明abd acd.（此講解來源于教材）（此講解來源于教材）定理證明：定理證明：知知1 1講講證明：證明：畫畫abc的平分線的平分線ad.在在 abd和和 acd中，中， abac (已知），已知）， 1 = 2(角平分線的定義），角平分線的定義），ad =ad (公共邊），公共邊）， abd acd(s.a.s.). bc(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相

7、等）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（此講解來源于教材）（此講解來源于教材）知知1 1講講【例例1】已知：在已知：在abc中，中， abac ， b =80求求 c和和a的大小的大小.解：解： abac （已知），（已知）， cb 80（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）.又又 a + b + c 180(三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和等于等于 180 ），）， a 180 b c (等式的性質(zhì)）等式的性質(zhì)） 180 80 80 20.（此講解來源于教材）（此講解來源于教材）知知1 1講講【例例2】 (1) 在在abc中，中，abac，若，若a50，求求b；(2)若等腰三角形的一個(gè)角為若等腰三角形的一個(gè)角為70

8、，求頂角的，求頂角的度數(shù)；度數(shù)；(3)若等腰三角形的一個(gè)角為若等腰三角形的一個(gè)角為90，求頂角的，求頂角的度數(shù)度數(shù)（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知1 1講講導(dǎo)引導(dǎo)引：給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)求解；若給出的條件中底角、頂角相等的性質(zhì)求解；若給出的條件中底角、頂角不確定，則要分兩種情況求解角不確定，則要分兩種情況求解（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知1 1講講解解：(1)abac，bc.abc180， 502b180，解得，解得b65

9、. (2)當(dāng)?shù)捉菫楫?dāng)?shù)捉菫?0時(shí)，頂角為時(shí)，頂角為18070240. 當(dāng)當(dāng)頂角為頂角為70時(shí)，底角時(shí)，底角為為 55.因此因此頂頂角角為為40或或70.（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）180702知知1 1講講(3)若頂角為若頂角為90，底角為，底角為 45. 若底角為若底角為90，則三個(gè)內(nèi)角的和將大于，則三個(gè)內(nèi)角的和將大于180， 不符合三角形內(nèi)角和定理因此頂角為不符合三角形內(nèi)角和定理因此頂角為90.（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）180902總總 結(jié)結(jié)知知1 1講講 (1) (1)在等腰三角形中求角時(shí)，要看給出的角是否在等腰三角形中求角時(shí)，要看給出的角是否確定為頂角或底角若已確

10、定，則直接利用三角形確定為頂角或底角若已確定，則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理(2)(2)若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角，則此角必為頂角角或鈍角，則此角必為頂角（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）1 1 填空：填空： （1 1）如果等腰三角形的一個(gè)底角為如果等腰三角形的一個(gè)底角為5050，那么其余，那么其余兩個(gè)角的大小分別為兩個(gè)角的大小分別為 和和 ； （2 2）如果等腰三角形

11、的頂角為如果等腰三角形的頂角為8080，那么它的一個(gè)，那么它的一個(gè)底角的大小為和底角的大小為和 . . 知知1 1練練（來自教材）（來自教材）2 (2015廣西廣西)如圖，在如圖，在abc中，中，abac，bac100，ab 的垂直平分線的垂直平分線de分別交分別交ab、bc于點(diǎn)于點(diǎn)d 、 e，則，則bae() a80 b60 c50 d40 知知1 1練練（來自（來自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）3 (2015丹東丹東)如圖，在如圖，在abc中，中，abac，a30，e為為bc的延長線上一點(diǎn)，的延長線上一點(diǎn)，abc與與ace的的平分線交于點(diǎn)平分線交于點(diǎn)d，則，則d的度數(shù)為的度數(shù)為() a15 b17.5 c

12、20 d22.5 知知1 1練練（來自（來自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的軸對(duì)稱性：三線合一等腰三角形的軸對(duì)稱性：三線合一知知2 2導(dǎo)導(dǎo)由前面的由前面的“做一做做一做”，你還可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)，你還可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)寫寫 出你的發(fā)現(xiàn)：出你的發(fā)現(xiàn)： ； ； .探探索索知知2 2講講性質(zhì)性質(zhì)2：等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線互相重合分線互相重合 (簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱“三線合一三線合一”)要點(diǎn)解析：要點(diǎn)解析：(1)含義：這是等腰三角形所特有的性含義：這是等腰三角形所特有的性 質(zhì)，它實(shí)際是一組定理，應(yīng)用過程中，在三角形是等腰質(zhì)，它實(shí)際是一組定理，應(yīng)用過

13、程中，在三角形是等腰三角形前提下，三角形前提下，“頂角的平分線、底邊上的中線、底邊頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高上的高” 只要知道其中只要知道其中 “一線一線 ”，就可以說明是其他，就可以說明是其他 “兩兩線線”(2)作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系的重要方法，應(yīng)用廣泛的重要方法，應(yīng)用廣泛（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）知知2 2講講(3)對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線線(或底邊上的高、底邊上的中線或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)所在的直線是它的對(duì)稱軸稱軸(4)應(yīng)用格

14、式：如圖應(yīng)用格式：如圖13.31，在，在abc中，中，abac，adbc，ad平分平分bac(或或bdcd)；abac，bddc，adbc(或或ad平分平分bac)；abac，ad平分平分bac， 圖圖13.31bddc(或或adbc)（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）總總 結(jié)結(jié)知知2 2講講1. 1. 等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)包含三層含義：的性質(zhì)包含三層含義：(1)(1)已知等腰三角形底邊上的中線，則它平分頂角，垂已知等腰三角形底邊上的中線，則它平分頂角，垂 直直于底邊；于底邊；(2)(2)已知等腰三角形頂角的平分線，則它垂直平分底邊；已知等腰三角形頂角的平分線，則

15、它垂直平分底邊；(3)(3)已知等腰三角形底邊上的高，則它平分底邊，平分已知等腰三角形底邊上的高，則它平分底邊，平分 頂角頂角 2 2等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)常?？梢杂脕碜C明角相的性質(zhì)常?？梢杂脕碜C明角相等、線段相等和線段垂直在遇到等腰三角形的問題時(shí)，等、線段相等和線段垂直在遇到等腰三角形的問題時(shí)，嘗試作這條輔助線，常常會(huì)有意想不到的效果嘗試作這條輔助線，常常會(huì)有意想不到的效果（來自（來自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）知知2 2講講【例例3】如圖如圖 13.3.4，在在abc中，中， abac ，d是是bc 邊上的中點(diǎn)邊上的中點(diǎn)， b =30求求 ：（1）adc的大小的大?。唬?）1的大

16、小的大小.解：解： （1） abac ，bddc （已知），（已知）， ad bc (等腰三角形的等腰三角形的“三線合一三線合一”） adcadb 90.（此講解來源于教材）（此講解來源于教材）知知2 2講講（2） 1+ b + adb 180(三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和 等于等于 180 ），）， b = 30 （已知），（已知）， 1 = 180 b adb (等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)） = 180 30 90 = 60.（此講解來源于教材）（此講解來源于教材）知知2 2講講【例【例4】 如圖如圖13.32，在，在abc中中，abac，ad是是bc邊上邊上的的中線若中線若bad25，求求c的

17、度數(shù)的度數(shù)解：解：abac，ad是是bc邊上的中線，邊上的中線，badcad，bac2bad50. abac， cabc (180a) (18050)65.（此講解來源于教材）（此講解來源于教材）圖圖13.321212總總 結(jié)結(jié)知知2 2講講(1) 等腰三角形的等腰三角形的“三線合一三線合一”的性質(zhì)是證明角相等、線的性質(zhì)是證明角相等、線段相等和垂直關(guān)系的重要依據(jù)；因?yàn)轭}目的證明或段相等和垂直關(guān)系的重要依據(jù)；因?yàn)轭}目的證明或計(jì)算所求結(jié)果大多都是單一的，所以計(jì)算所求結(jié)果大多都是單一的，所以“三線合一三線合一”的的性質(zhì)的應(yīng)用也是單一的，一般得出一個(gè)結(jié)論，因此性質(zhì)的應(yīng)用也是單一的，一般得出一個(gè)結(jié)論，因

18、此應(yīng)用要靈活應(yīng)用要靈活(2) 在等腰三角形中，作在等腰三角形中，作“三線三線”中中“一線一線”，利用，利用“三線合三線合 一一”是解決有關(guān)等腰三角形問題常用的方法是解決有關(guān)等腰三角形問題常用的方法（此講解來源于（此講解來源于點(diǎn)撥點(diǎn)撥）1 如圖，在如圖，在abc中，中，abac，點(diǎn)，點(diǎn)d是是bc邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)e在在ad上，那么下列結(jié)論不一定正確的是上，那么下列結(jié)論不一定正確的是()aadbc bebcecbcabeace daebe知知2 2練練（來自（來自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）2 如圖，在如圖，在abc中，中，abac，adbc于點(diǎn)于點(diǎn)d，deab于點(diǎn)于點(diǎn)e，dfac于點(diǎn)于點(diǎn)f，下列結(jié)論：，下列結(jié)論：badcad；bdcd；若點(diǎn)若點(diǎn)p在直線在直線ad上，則上，則pbpc.其中正確的是其中正確的是()a bc d知知2 2練練（來自（