11兩個基本計數(shù)原理1

1、1.1 1.1 分類加法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理與 分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理湛師附中：柯國君湛師附中：柯國君 2011.10.112011.10.11 問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有也可以乘汽車，一天中，火車有3 3班，汽車班，汽車有有2 2班那么一天中，乘坐這些交通工具從班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？甲地到乙地共有多少種不同的走法？解：因為一天中乘火車有解：因為一天中乘火車有3 3種走法，乘汽車有種走法，乘汽車有2 2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所種走法，每一種走法都可以從

2、甲地到乙地，所以共有以共有 3 32 25 5 種不同的走法。種不同的走法。分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 完成一件事，有兩類不同的方案，在完成一件事，有兩類不同的方案，在第第1 1類方案中有類方案中有m m種不同的方法，在第種不同的方法，在第2 2類方類方案中有案中有n n種不同的方法，那么完成這件事共種不同的方法，那么完成這件事共有：有： 種不同的方法。種不同的方法。 nm n 分類計數(shù)原理又稱為加法原理。分類計數(shù)原理又稱為加法原理。 分類計數(shù)原理的推廣分類計數(shù)原理的推廣 完成一件事，完成一件事，有有n n類方案，在第類方案，在第1 1類方案中有類方案中有m m1 1種不同的種不同的方法，在第方

3、法，在第2 2類方案中有類方案中有m m2 2種不同的方種不同的方法，法，在第，在第n n類方案中有類方案中有m mn n種不同的方法，種不同的方法，那么完成這件事共有：那么完成這件事共有： 種不同的方法。種不同的方法。 nmmmn21 問題二：從甲地到乙地，要從甲地選乘火問題二：從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有天中，火車有3 3班，汽車有班，汽車有2 2班。那么兩天中，班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 這個問題與前一個問題有什么區(qū)別？這個問題與前一個問題

4、有什么區(qū)別？ 在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地步驟，才能從甲地到乙地 解：因為乘火車有解：因為乘火車有3 3種走法，乘汽車有種走法，乘汽車有2 2種走法，種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有共有 3 32 26 6 種不同的走法。種不同的走法。 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成兩個步

5、驟，做第兩個步驟，做第1 1步有步有m m種不同的方法，做第種不同的方法，做第2 2步有步有n n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法。種不同的方法。nm n分步計數(shù)原理又稱為乘法原理。分步計數(shù)原理又稱為乘法原理。 分步計數(shù)原理的推廣分步計數(shù)原理的推廣 完成一件事，需要完成一件事，需要分成分成n n個步驟，做第個步驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法，種不同的方法，做第做第2 2步有步有m m2 2 種不同的方法，種不同的方法，做第，做第n n步時步時有有m mn n種不同的方法。那么完成這件事共有種不同的方法。那么完成這件事共有 種不同的方

6、法。種不同的方法。nmmmn21思考：什么情況下用分類計數(shù)原理？什么情況思考：什么情況下用分類計數(shù)原理？什么情況下用分步計數(shù)原理？它們最根本的區(qū)別是什么？下用分步計數(shù)原理？它們最根本的區(qū)別是什么？ 分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理( (加法原理加法原理) )中，中，“完成一件完成一件事，有事，有n n類方式類方式”，即每種方式都可以獨立地，即每種方式都可以獨立地完成這件事。進行分類時，要求各類方式彼此完成這件事。進行分類時，要求各類方式彼此之間是相互排斥的，不論那一類辦法中的哪一之間是相互排斥的，不論那一類辦法中的哪一種方法，都能獨立完成這件事。只有滿足這個種方法，都能獨立完成這件事。只有滿足這個條件

7、，才能直接用加法原理，否則不可以。條件，才能直接用加法原理，否則不可以。 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理( (乘法原理乘法原理) )中，中，“完成一件完成一件事，需要分成事，需要分成n n個步驟個步驟”，是說每個步驟都不足，是說每個步驟都不足以完成這件事。如果完成一件事需要分成幾個以完成這件事。如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步有即相對于前一步的每一種方法，下一步有m m種不種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以

8、直同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理。接用乘法原理。 例例1 1、某班共有男生、某班共有男生2828名、女生名、女生2020名，名，從該班選出學生代表參加校學代會。從該班選出學生代表參加校學代會。 （1)1)若學校分配給該班若學校分配給該班1 1名代表，有多少種名代表，有多少種不同的選法？不同的選法？ （2 2）若學校分配給該班）若學校分配給該班2 2名代表，且男女名代表，且男女生代表各生代表各1 1名，有多少種不同的選法？名，有多少種不同的選法？ 應(yīng)用這兩個原理的關(guān)鍵是看完成應(yīng)用這兩個原理的關(guān)鍵是看完成這件事情是這件事情是“分類分類”還是還是“分步分步”。(1)28+20=

9、48(1)28+20=48(種種) () (分類分類) )(2)28(2)2820=560(20=560(種種) () (分步分步) )例題例題: : 例例2 2、在下面兩個圖中，使電路接通的、在下面兩個圖中，使電路接通的不同方法各有多少種？不同方法各有多少種？（1 1）a ab b（2 2）b ba a例例3 3、為了確保電子信箱的安全，在注冊時，通、為了確保電子信箱的安全，在注冊時，通常要設(shè)置電子信箱密碼。在某網(wǎng)站設(shè)置的信箱常要設(shè)置電子信箱密碼。在某網(wǎng)站設(shè)置的信箱中中,(1),(1)密碼為密碼為4 4位，每位均為位，每位均為0 0到到9 9這這1010個數(shù)字中個數(shù)字中的一個數(shù)字，這樣的密碼

10、共有多少個？的一個數(shù)字，這樣的密碼共有多少個？(2)(2)密碼密碼為為4 4位，每位均為位，每位均為0 0到到9 9這這1010個數(shù)字中的一個，或個數(shù)字中的一個，或是從是從a a到到z z這這2626個英文字母中的個英文字母中的1 1個。這樣的密碼個。這樣的密碼共有多少個？共有多少個？(3)(3)密碼為密碼為4 4到到6 6位，每位均為位，每位均為0 0到到9 9這這1010個數(shù)字中的一個。這樣的密碼共有多少個？個數(shù)字中的一個。這樣的密碼共有多少個？(1)10(1)101010101010=10000(10=10000(種種) () (分步分步) )(2)36(2)363636363636=1

11、679616(36=1679616(種種) () (分步分步) )(3)10(3)104 4+10+105 5+10+106 6=1110000(=1110000(種種) () (分類分類) ) 1.1.有有4 4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？每人報一項，共有多少種報名方法？2.2.有有4 4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？的冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？ 3.3.某中學的一幢某中學的一幢5 5層教學樓共有層教學樓共有3 3處樓梯，問處樓梯，問從從1 1樓到

12、樓到5 5樓共有多少種不同的走法？樓共有多少種不同的走法？課堂練習課堂練習: :4.4.已知集合已知集合m=1,-2,3,n=-4,5,6,7,am,m=1,-2,3,n=-4,5,6,7,am,bnbn在直角坐標系中在直角坐標系中, ,點點(a,b)(a,b)可表示第一可表示第一, ,二象二象限內(nèi)的不同點限內(nèi)的不同點, ,這樣的點共有多少個這樣的點共有多少個? ?6.6.有有2 2個元素的集合的子集共有多少個？個元素的集合的子集共有多少個？ 有有3 3個元素的集合的子集共有多少個？個元素的集合的子集共有多少個？ 有有4 4個元素的集合的子集共有多少個？個元素的集合的子集共有多少個？ 有有n

13、n個元素的集合的子集共有多少個？個元素的集合的子集共有多少個？5.5.將將4 4本不同的書分給本不同的書分給3 3名同學名同學, ,每人都分到每人都分到 書書, ,共有多少種分法共有多少種分法? ?7.7.從從-3,-2,-1,0,1,2,3-3,-2,-1,0,1,2,3中任取中任取3 3個不同的數(shù)個不同的數(shù)作為拋物線方程作為拋物線方程y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的系數(shù)的系數(shù), ,設(shè)拋物線設(shè)拋物線過原點過原點, ,且頂點在第一象限且頂點在第一象限, ,這樣的拋物線有多這樣的拋物線有多少條少條? ? 分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理( (加法原理加法原理) )中，中，“完成一件完成一件事，有事，有n n類方式類方式”，即每種方式都可以獨立地，即每種方式都可以獨立地完成這件事。完成這件事。 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理( (乘法原理乘法原理) )中，中，“完成一件事，完成一件事，需要分成需要分成n n個步驟個步驟”，是說每個步驟都不足以完，是說每個步驟都不足以完成這件事