數(shù)學(xué)變形裂項(xiàng)沐風(fēng)教育

1、*裂項(xiàng)就是朝著一定方向變形。*裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的” 裂和型運(yùn)算的題目不僅有，“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為 “分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。一、基本裂項(xiàng)例1、計(jì)算1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100分析：這個(gè)算式實(shí)際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100，先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個(gè)數(shù)為2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2&

2、#215;3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3） 擴(kuò)大倍數(shù)=公差x因數(shù)加一98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99

3、5;100）÷（1×3）將以上算式的等號(hào)左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號(hào)里面諸多項(xiàng)相互抵消，可以簡(jiǎn)化為（99×100×101-0×1×2）÷3。解：1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100=（99×100×101-0×1×2）÷3=333300 下式：增大后減（裂差）例2、計(jì)算3×5+5×7+7×9+97×99+99×101分析：這個(gè)算

4、式實(shí)際上也可以看作是：等差數(shù)列3、5、7、997、99、101，先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為：數(shù)列公差為2，因數(shù)個(gè)數(shù)為2。3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）97×99=（97×99×101-95×97×

5、;99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）將等號(hào)左右兩邊分別累加，左邊即為所求算式，右邊括號(hào)里面許多項(xiàng)可以相互抵消。解：3×5+5×7+7×9+97×99+99×101=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）=1029882÷6=171647例3、計(jì)算1×2×3+2×3×4+3×4

6、×5+96×97×98+97×98×99分析：這個(gè)算式實(shí)際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100，先將所有的相鄰三項(xiàng)分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個(gè)數(shù)為3。1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4

7、5;5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右邊累加，括號(hào)內(nèi)相互抵消，整個(gè)結(jié)果為（97×98×99×100-0

8、5;1×2×3）÷（1×4）。解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）=23527350例4、 計(jì)算10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88分析：算式的特點(diǎn)為：數(shù)列公

9、差為6，因數(shù)個(gè)數(shù)為3。解：10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=2147376二、組合裂項(xiàng)例5、計(jì)算1×1+2×2+3×3+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n解：1×1+2×2+3×3+99×99+100

10、15;100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+98×99+99×100）+（1+2+3+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=333300+5050=338350例6、計(jì)算1×2+3×4+5×6+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n 左式：縮小后加（裂和）解：1

11、5;2+3×4+5×6+7×8+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+96×98+98×100）+（2+4+6+8+98+100）=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2=169150例7、計(jì)算1×1×1+2×2×2+3×3

12、×3+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n 更神奇的“倒推”解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×

13、;3+2×3×4+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=25492400例8、計(jì)算1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101 解：1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101（奇偶數(shù)項(xiàng)分開）=（1×3+3×5+9

14、9×101）+（2×4+4×6+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250例9、計(jì)算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+100×101÷2（高斯新解：101為均數(shù)的兩倍）=（1×2+2×3+3×4+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=171700三、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)（下面常數(shù)：其分母即裂項(xiàng)后的裂差分子，或叫連續(xù)自然數(shù)乘積的差）例題一：1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/99×100 =（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+.+（1/98-1/99）+（1/99