小學(xué)奧數(shù)專(zhuān)題-空心與實(shí)心方陣

1、小學(xué)奧數(shù)專(zhuān)題小學(xué)奧數(shù)專(zhuān)題空心與實(shí)心方陣空心與實(shí)心方陣編輯 張艷芬同學(xué)們要參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式同學(xué)們要參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,要進(jìn)行要進(jìn)行隊(duì)列操練隊(duì)列操練,解放軍排著整齊的方隊(duì)接解放軍排著整齊的方隊(duì)接受檢閱等受檢閱等,無(wú)論是訓(xùn)練或接受檢閱無(wú)論是訓(xùn)練或接受檢閱,都都要按一定的規(guī)則排成一定的隊(duì)形要按一定的規(guī)則排成一定的隊(duì)形,于于是就產(chǎn)生了這一類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是就產(chǎn)生了這一類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,今天今天我們將共同研究和分析這類(lèi)問(wèn)題我們將共同研究和分析這類(lèi)問(wèn)題。士兵排隊(duì)士兵排隊(duì),橫著排叫行橫著排叫行,豎著排叫列豎著排叫列,若行若行數(shù)與列數(shù)都相等數(shù)與列數(shù)都相等,正好排成一個(gè)正方形正好排成一個(gè)正方形,這這就是一個(gè)方隊(duì)就是一個(gè)方隊(duì)

2、,這種方隊(duì)也叫做方陣這種方隊(duì)也叫做方陣(亦叫亦叫乘方問(wèn)題乘方問(wèn)題)。方陣的基本特點(diǎn)方陣的基本特點(diǎn):(1)方陣不論哪一層方陣不論哪一層,每邊上的人每邊上的人(或物或物)數(shù)量數(shù)量都相同都相同,每向里一層每向里一層,每邊上的每邊上的 人數(shù)就少人數(shù)就少2。(2)每邊人每邊人(或物或物)數(shù)和四周人數(shù)和四周人(或物或物)的關(guān)系的關(guān)系;四周人四周人(或物或物)數(shù)數(shù)=每邊人每邊人(或物或物)數(shù)數(shù)-14每邊人每邊人(或物或物)數(shù)數(shù)=四周人四周人(或物或物)數(shù)數(shù)4+1(3)中實(shí)方陣的總?cè)藬?shù)中實(shí)方陣的總?cè)藬?shù)(或物或物)=每邊人每邊人(或物或物)數(shù)數(shù)每邊人每邊人(或物或物)數(shù)數(shù)(4)空心方陣的總?cè)丝招姆疥嚨目側(cè)?或物

3、或物)數(shù)數(shù)=（最外層每（最外層每邊人邊人(或物或物)數(shù)空心方陣的層數(shù)）數(shù)空心方陣的層數(shù)）空心方陣空心方陣的層數(shù)的層數(shù)4例例1.三年級(jí)一班參加運(yùn)三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,排成一個(gè)排成一個(gè)方陣方陣,最外層一周的人最外層一周的人數(shù)為數(shù)為20人人,問(wèn)方陣最外問(wèn)方陣最外層每邊的人數(shù)層每邊的人數(shù)是多少是多少?這個(gè)方陣共有這個(gè)方陣共有多少人多少人?分析分析:根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知知:每邊人數(shù)每邊人數(shù)=四周人數(shù)四周人數(shù)4+1,可以求出可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù)這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù),那么這個(gè)方那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求

4、了。解解:(1)方陣最外層每邊的人方陣最外層每邊的人數(shù)數(shù):204+1=5+1=6(人人) (2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù):66=36(人人)答答:方陣最外層每邊的人數(shù)是方陣最外層每邊的人數(shù)是6人人,這個(gè)這個(gè)方陣共有方陣共有36人。人。例例2.2.明明用圍棋子擺成一個(gè)三層明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣空心方陣, ,如果最外層每邊有圍棋子如果最外層每邊有圍棋子1515個(gè)個(gè), ,明明擺這個(gè)方陣最里層一周共明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子有多少棋子? ?擺這個(gè)三層空心方陣共擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子用了多少個(gè)棋子? ?分析分析:(1)方陣每向里面一層方陣每向里面一層,每邊

5、的個(gè)每邊的個(gè)數(shù)就減少數(shù)就減少2個(gè)個(gè),知道最外面一層知道最外面一層,每邊放每邊放15個(gè)個(gè),可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù)可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù),就可就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。 (2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù),再乘以層數(shù)再乘以層數(shù),再乘以再乘以4,計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋子計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋子多少個(gè)。多少個(gè)。解:(1)最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是:(15-2-2-1)4=40(個(gè)) (2)這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是:(15-3)34=144(個(gè))答:這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)空心方

6、陣共用144個(gè)棋子。例例3: 玲玲家的花園中玲玲家的花園中,有一個(gè)如下圖有一個(gè)如下圖那樣那樣,由四個(gè)大小相同的小等邊三角由四個(gè)大小相同的小等邊三角形組成的一個(gè)大三角形花壇形組成的一個(gè)大三角形花壇,玲玲在玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花,已知已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花5棵棵,問(wèn)大三角形的一周有雞冠花多少棵問(wèn)大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵玲玲一共種雞冠花多少棵?分析分析: (1),由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,

7、那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是52-1=9棵了,又由于大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的3棵花,即:93-3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2),三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù),加上大三角形一周種花的棵數(shù),再減去重復(fù)計(jì)算的3棵花(因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解: (1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是:(52-1)3-3=24(棵) (2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)3=12(棵) (3)玲玲

8、一共種雞冠花的棵數(shù)是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周種雞冠花24 棵;玲玲一共種雞冠花33棵。例例4. 五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們他們排成甲乙兩個(gè)方陣排成甲乙兩個(gè)方陣,其中甲方陣每邊的人數(shù)等于其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8,如果如果兩隊(duì)合并兩隊(duì)合并,可以另排成一個(gè)空心的丙方陣可以另排成一個(gè)空心的丙方陣,丙方陣每邊丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人人,甲方陣的人數(shù)正好甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多填滿丙方陣的空心五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人少人?分析:若只排列一個(gè)乙方

9、陣,則多余的人數(shù)為(即甲方陣的人數(shù))88=64(人),排列一個(gè)實(shí)心的丙方陣,不足的人數(shù)是:88=64(人)假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣,則乙多的人數(shù)是:88+88=128(人),又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層,每邊增加2人,丙方陣比乙方陣的外邊多4人,丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是42=2(層),方陣擴(kuò)展2層,需要增加128人,則方陣最外層的人數(shù)是(128+24)2=68(人),丙方陣的總?cè)藬?shù)1818-88=260(人)解:(1)假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣,則方陣最外層的人數(shù)是:(88+88+24)2=68(人) (2)丙方陣最外層每邊的人數(shù)是:684+1=18(人) (3)空心丙方陣的總?cè)藬?shù):1818-88=324-64=

10、260(人)答:五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有260人。例5.有楊樹(shù)和柳樹(shù)以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,問(wèn)這個(gè)方陣最外一層有楊樹(shù)和柳樹(shù)各多少棵?方陣中共有楊樹(shù),柳樹(shù)各多少棵?分析:根據(jù)已知條件柳樹(shù)和楊樹(shù)的種法有如下兩種,假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹(shù),白點(diǎn)表示柳樹(shù)觀察圖(1)(2)不管是柳樹(shù)種在方陣最外層的角上還是楊樹(shù)種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹(shù)和柳樹(shù)都是相同的。因而楊樹(shù)和柳樹(shù)的棵數(shù)相等,即最外層楊,柳樹(shù)分別為(7-1)42=12(棵)。當(dāng)柳樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是柳樹(shù);當(dāng)楊樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是楊樹(shù),即在方陣中,楊樹(shù)和柳樹(shù)總數(shù)相差1棵。解:(

11、1)最外層楊柳樹(shù)的棵數(shù)分別為:(7-1)42=12(棵) (2)當(dāng)楊樹(shù)種在最外層角上時(shí),楊樹(shù)比柳樹(shù)多1棵:楊樹(shù):(77+1)2=25(棵)柳樹(shù):77-25=24(棵) (3)當(dāng)柳樹(shù)種在最外層角上時(shí),柳樹(shù) 比楊樹(shù)多1棵柳樹(shù)(77+1)2=25(棵)楊樹(shù)77-25=24(棵)答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹(shù)12棵,柳樹(shù)12棵,方陣中總共有楊樹(shù)25棵,柳樹(shù)12棵,方陣中總共有楊樹(shù)25棵,柳樹(shù)24棵,或者有楊樹(shù)24棵,柳樹(shù)25棵?！眷柟?】某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？【鞏固2】晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？【鞏固3】一個(gè)正方形的隊(duì)列橫豎各減少一排共27人，求這個(gè)正方形隊(duì)列原來(lái)有多少人？【鞏固4】小紅用棋子擺成一個(gè)正方形實(shí)心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？【鞏固5】 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，他們排成了一個(gè)七行七列的正方形隊(duì)列， 如果去掉一行一列，請(qǐng)問(wèn)：要去掉多少名學(xué)生？還剩下多少名學(xué)生？【鞏固6】同學(xué)們做早操，排成一個(gè)正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第5個(gè)，這個(gè)方陣共有多少人？幾十年前，波蘭有個(gè)叫瑪妮雅的小姑娘，學(xué)習(xí)非常專(zhuān)心。不管周?chē)趺闯臭[，都分散不了她的注意