行列式在高中幾何中的應(yīng)用三階行列式的應(yīng)用

1、行列式在高中幾何中的應(yīng)用三階行列式的應(yīng)用 向量作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁被引入高中數(shù)學(xué)，大大簡化了幾何問題運(yùn)算量；在立體幾何中常用法向量來解決距離問題，夾角問題，于是求法向量又是一個(gè)新問題。行列式在求法向量時(shí)比較簡潔，明快，并且三階行列式還可以求點(diǎn)到平面的距離，四面體，平行六面體的體積一、行列式的定義階行列式的定義：符號第1行第2行第行第1列第2列第列叫做階行列式其中表示行列式中第行第列上的元素，即第一下標(biāo)表示行數(shù)，第二下標(biāo)表示列數(shù)如表示第行第列上的元素這里只介紹三階行列式的運(yùn)算規(guī)定以及應(yīng)用二階行列式的定義：符號 三階行列式的定義：符號叫做三階行列式（等號右邊是運(yùn)算結(jié)果）下面舉例說明三階行列式在

2、高中幾何中的應(yīng)用二、利用三階行列式求法向量1定義：設(shè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)的向量的坐標(biāo)為，則行列式叫平面的一個(gè)法向量，記為例：直棱柱中，為棱的中點(diǎn)求平面的一個(gè)法向量如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，取面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則平面的一個(gè)法向量為：；2應(yīng)用舉例（1）證明線面平行：平面的一個(gè)非零法向量是，平面外一條直線的一個(gè)非零方向向量是，則平面的充要條件是（2）求二面角：面面，面的一個(gè)非零法向量是，面的一個(gè)非零法向量是，則二面角的大小為：或【例1】正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，是的中點(diǎn)（i）證明：平面；（）求二面角的余弦值解：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，則：， 則，平面的一個(gè)法向量為：即，所以

3、平面（）面的一個(gè)法向量為：，面的一個(gè)法向量為：，則，因此二面角的余弦值為（3）求異面直線的公共法向量：與是異面直線， 向量是直線的方向向量，是直線的方向向量，則異面直線與的一個(gè)公共法向量是：法向量求兩異面直線距離的基本思想：在空間中取兩條異面直線和，且他們的一個(gè)法向量為，因?yàn)橹本€，記垂足為，記垂足為，則線段的長就是異面直線和的距離，如圖，記法向量與的夾角為，則，即，故其中、分別為兩異面直線上的任意點(diǎn)，并且此兩點(diǎn)必須分居在兩直線上【例2】已知正方體的棱長為求異面直線與的距離解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是異面直線與的一個(gè)法向量為分別在異面直線與各取一點(diǎn)、，異面直線與的距離為三、利用三階

4、行列式求平面方程定理：過三點(diǎn)、的平面的方程為：定理：若平面的方程為：，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為： 【例3】已知正方形的邊長為，平面，、分別是、的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離解：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，則：， 則平面的方程為：即：亦即：所以到平面的距離為： 四、利用三階行列式求四面體的體積定理：記平行六面體的一個(gè)頂點(diǎn)引出的三邊所對應(yīng)的向量、，則平行六面體的體積為：說明：定理中的三向量只要是平行六面體的同一頂點(diǎn)引出的都可以，如、等都行定理：記四面體的一個(gè)定點(diǎn)引出的三邊所對應(yīng)的向量坐標(biāo)分別為：、，則四面體的體積為：說明：1.定理中的三向量只要是四面體的同一頂點(diǎn)引出的都可以，如、等都行2.事實(shí)上，所以 【例4】已知正四棱柱，點(diǎn)是棱上的中點(diǎn)，截面與底面所成的角為，求三棱錐的體積解：記與交點(diǎn)為，由正方形性質(zhì)知是中點(diǎn)且，是棱上的點(diǎn)，易知，則，所以 ，所以，建立如圖