XX屆高考數(shù)學立體幾何知識導航復習教案

1、XX 屆高考數(shù)學立體幾何知識導航復習教案第十章立體幾何高考導航考試要求重難點擊命題展望認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能 用這些特征描述簡單物體的結構.能畫出簡單空間圖形的三視圖，能識別三視圖表示的立體模型；會制作模型，會用斜二測法畫直觀圖通過觀察用平行投影與中心投影畫出的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.掌握和理解點、空間直線、平面之間的關系.掌握空間線線、線面、面面平行的判定和性質.掌握空間線線、線面、面面垂直的判定和性質掌握空間向量及其基本運算；理解共線、共面向量、空 間向量定理，掌握空間向量的數(shù)量積；理解空間向量坐

2、標概 念，運算，法向量.理解空間角，會求線線角、線面角、面面角掌握空間距離，會由坐標求兩點間的距離及點到平面的距離.本章重點：1.正投影與三視圖的畫法以及應用;2.幾何體的表面積和體積的計算；3.直線與直線、直線與平面、平 面與平面的位置關系；4.直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的判定方法和性質；5.利用空間向量求空間距離和空間角.本章難點：1.利用直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直和平行的判定定理與性質定理解決有關問題；2.利用空間向量求空間角.三視圖結合幾何體求面積、體積是高考熱點，這也是新 課改的新增內容.空間角是高考的重點，點、線、面的平行 和垂直關系是考查的切入點.

3、本章高考時一般是選擇填空題至多1個，解答題1個.多是以幾何體為載體，主要考查平 行、垂直或計算多面體的面積與體積、空間角.高考考查的熱點是三視圖和幾何體的結構特征借以考 查空間想象能力，往往是以選擇題、填空題出現(xiàn).核心是以幾何體為載體，考查平行、垂直關系的性質與 判定.知識網(wǎng)絡0.1空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖典例精析題型一結構特征判斷【例1】以下命題錯誤的個數(shù)是1以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉軸，旋轉所得的幾何體是圓錐;2圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相3四棱錐的四個側面都可以是直角三角形;4三棱錐的四個面可能都是直角三角形；5有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面

4、體是棱A.1個B.2個C.3個D.4個【解析】錯：只能以直角邊為軸旋轉一周才可；2錯：必相交；3對：如圖，底面ABcD為矩形，PA!底面ABcD時，四 個側面均為直角三角形；4對：如圖，/ABc=90,PA丄底面，則四個面均為 直角三角形；5錯：只有側棱延長交于一點時才是棱臺綜上，錯誤的個數(shù)是3,故選c.【點撥】判斷結構特征必須嚴格依據(jù)柱、錐、臺、球的 定義，結合實際形成一定的空間想象能力【變式訓練1】給出下列命題：1在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的 連線是圓柱的母線；2圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的 母線；3在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺

5、的母線；4圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行.其中正確命題的序號是【解析】.題型二直觀圖的斜二測畫法【例2】用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直 觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是【解析】按照斜二測畫法的作圖規(guī)則，對四個選項逐一 驗證，可知只有選項A符合題意.【點撥】本題已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向 思維能力.要熟悉運用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖的基 本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對應線段、角 的關系.【變式訓練2】已知ABc的平面直觀圖ABc是 邊長為a的正三角形，求原三角形的面積.【解析】因為直觀圖的坐標軸成45,橫長不變，豎長 畫成原來的一半，則還原成原圖

6、時將45還原成90,則過A作Ao與oc成45,將其還原成90,且Ao=2Ao.而AD=32a.所以Ao=32ax2=62a,所以Ao=6a.所以SAABc=12Bc?Ao=12aX6a=62a2.題型三三視圖與直觀圖【例3】四棱柱ABc A1B1c1D1的三視圖如下.求出該四棱柱的表面積；求證：Die丄Ac1;設E是Dc上一點，試確定E的位置，使D1E/平面A1BD并說明理由.【解析】求得該四棱柱的表面積為S=11+22.證明：由三視圖得該四棱柱為直四棱柱且底面為直角梯形.在直四棱柱ABcD- A1B1c1D1中，連接c1D.因為Dc=DD1所以四邊形Dcc1D1是正方形.所以Dei丄Dic.

7、又AD丄Dc,AD丄DD1, DeQDD1= D,所以AD丄平面DcclDI.又Dic?平面DcclDI,所以AD丄Dic.因為AD, Dci?平面ADci, 且ADQDci=D,所以Dic丄平面ADci.又Aci?平面ADci,所以Die丄Aci.連接ADi, AE,設ADiQAiD=,BDQAE=N,連接N.因為平面ADiEP平面AiBD= N,要使DIE/平面A1BD,須使N/ DIE又是AD1的中點，所以N是AE的中點.又易知ABNAEDN所以AB=DE即E是Dc的中點.綜上所述，當E是Dc的中點時，可使D1E/平面A1BD.【點撥】本題以三視圖為載體考查空間線面位置關系的證明以及表面

8、積的計算，解決此類問題的關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)相應的位置關系 與數(shù)量關系，然后在直觀圖中解決問題【變式訓練3】如圖所示，甲、乙、丙是三個幾何體的三視圖，則甲、乙、丙對應的標號依次是長方體；圓錐；三棱錐；圓柱A.B.c.D.【解析】選A.總結提高學習空間幾何體的結構要以對實物的觀察想象為基礎，再以課本中給定的柱、錐、臺、球的概念為標準對實物進行再認識，通過這一過程提高空間想象能力.10.2空間幾何體的表面積與體積典例精析題型一表面積問題【例1】圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面 積之比.【解析】設圓錐的半徑

9、為R母線長為I，圓柱的半徑為r，軸截面如圖，S圓錐=nR=nR=R2,S圓柱=2nr=4nr2,又rR=R-rR，所以rR=12,所以S圓柱S圓錐=2-11.【點撥】軸截面是解決內接、外切問題的一種常用方法.【變式訓練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示.試畫出它的直觀圖；求它的表面積和體積.【解析】直觀圖如圖所示.該幾何體的表面積為2,體積為323.題型二體積問題【例2】某人有一容積為V,高為a且裝滿了油的直三 棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生 滲漏，其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開了，為減少油的損失，該人采用 破口朝上，傾斜容器的

10、方式拿回家，估計容器內的油最理想 的剩余量是多少？【解析】如圖，破損處為D、E,且AD= b,Ec=c,BB1=a，貝恪器內所剩油的最大值為幾何體ABc DB1E的體積.因為=，而=a+c2a,由三棱柱幾何性質知=23V,=V3,所以=a+c3aV,又因為=ba，所以VtABc=ba?V3=bV3a,所以=+v ABc=a+b+c3aV.故油最理想的剩余量為a+b+c3aV.【點撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體， 然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這是求幾何體體積的一種 常用的思想方法.【變式訓練2】一個母線長與底面圓直徑相等的圓錐形 容器，里面裝滿水，一鐵球沉入水內，有水溢出，容器蓋

11、上 一平板，恰與球相切，問容器內剩下的水是原來的幾分之 幾？【解析】設球的半徑為R則圓錐的高h=3R,底面半徑r=3R,V圓錐=n3?2?3R=3nR3; V球=43nR3.所以V球V圓錐=43nR33nR3=49,所以剩下的水量是原來的1-49=59.【點撥】本題關鍵是求圓錐與球的體積之比，作出軸截 面，找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關系即可題型三組合體的面積、體積的關系【例3】底面直徑為2,高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，設這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2,截面的面積為A,如圖所示：求面積A以x為自變量的函數(shù)式；求截得棱柱的體積的最大值.【解析】A=x?4-x2.V=x?4

12、-x2?1=x2= -2+4.因為Ovxv2,所以當x=2時，Vax=2.【點撥】關鍵是理解截面，并且注意x的范圍從而求體積，在求第求體積時還可利用不等式.【變式訓練3】把一個周長為12c的長方形圍成一個圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為A.1:2B.1: nc.2:1D.2: n【解析】 設長方形的一條邊長為xc,則另一條邊長為c, 且Ovxv6,以長為c的邊作為圍成的圓柱的高h,若設圓 柱的底面半徑為r，則有2nr=x,所以r=x2n,因此圓柱 的體積V=n?2=14n,由于V=14n?，令V=0,得x=4,容易推出當x=4時圓柱的體積取得最大值，此 時圓柱的底面周長是4

13、c,圓柱的高是2c，所以圓柱的底面周長與高的比為2：1,選c.總結提高表面積包含側面積和底面積；直棱柱的側棱長即側面展開圖矩形的一邊；對于正棱柱、正棱錐、正棱臺，其所有側 面多邊形均全等，故可先求一個的側面積，再乘以側面多邊 形的個數(shù).求體積時，常常需要“轉變”底面，使底面面積和高易 求；另外，對于三棱錐的幾何體選擇不同的底面時，利用同 一個幾何體體積相等，再求出幾何體的高，即等體積法0.3空間點、線、面之間的位置關系典例精析題型一證明三線共點【例1】已知空間四邊形ABcD中，E、F分別是AB AD的中點，G H分別是Be、cD上的點，且BGGe= DHHc= 2.求 證：直線EG FHAc相

14、交于同一點P.【證明】因為E、F分別是AB AD的中點，所以EF/BD且EF=12BD.又因為BGGc= DHHc= 2,所以GH/ BD且GH= 13BD所以EF/GH且EFGH所以四邊形EFHG是梯形， 其兩腰所在直線必相交，設兩腰EG FH的延長線相交于一點P, 因為EG?平面ABc, FH?平面AcD,所以P平面ABc,P平面AcD.又平面ABcn平面AcD=Ac,所以PAc,故直線EG FH Ac相交于同一點P.【點撥】證明三線共點的方法：首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經過這兩條直線的兩個 平面的交線；由公理3可知，兩個平面的公共點必在這兩個 平面的交線上，即三

15、條直線交于一點.【變式訓練1】如圖，在四面體ABcD中作截面PQR PQ cB的延長線交于，RQ DB的延長線交于N, RP Dc的延長 線交于.求證：、N、三點共線.【證明】?、N、在平面BcD與平面PQR的交線上，即、N三點 共線.題型二 空間直線的位置關系【例2】在正方體ABcD- A1B1c1D1中，E是cD的中點， 連接AE并延長與Bc的延長線交于點F,連接BE并延長交AD的延長線于點G,連接FG.求證：直線FG?平面ABcD且直線FG/ A1B1.【證明】因為E為cD的中點，在正方體中AE?平面ABcD又AEQBc=F,所以FAE,所以F平面ABcD同理G平面ABcD所以FG?平面ABcD.因為Ec12AB,故在RtFBA中，cF=Bc,同理DG= AD所以在正方體中cFDQ所以四邊形cFGD是平行四邊形，所以FG/ cD, 又cD/AB, AB/ A1B1,所以直線FG/ A1B1.【點撥