基于MATLAB設(shè)計(jì)巴特沃斯和切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)

1、摘要隨著信息和數(shù)字時(shí)代的到來(lái)，數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今一門(mén)極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。目前數(shù)字信號(hào)處理在通信、語(yǔ)音、圖像、自動(dòng)控制、雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號(hào)處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應(yīng)用的是數(shù)字濾波器（df，digital filter）。數(shù)字濾波器是一種用來(lái)過(guò)濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來(lái)達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。matlab是英文matrix laboratory(矩陣實(shí)驗(yàn)室)的縮寫(xiě)。它是一套用于科學(xué)計(jì)算和圖形處理可視化、高性能語(yǔ)言與軟件環(huán)境。它的信號(hào)處理工具箱包含了各種經(jīng)典的和現(xiàn)代的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)，是一個(gè)非常優(yōu)秀的算

2、法研究與輔助設(shè)計(jì)的工具。在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，通常采用matlab來(lái)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)和仿真。 本次設(shè)計(jì)將運(yùn)用matlab完成一個(gè)數(shù)字巴特沃斯低通和切比雪夫低通iir濾波器的設(shè)計(jì)，分別了利用了脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法原理完成設(shè)計(jì)，并利用matlab進(jìn)行仿真。 1數(shù)字濾波器1.1數(shù)字濾波器的介紹數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號(hào)處理裝置,其輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào),實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對(duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號(hào)波形,讓有用頻率的信號(hào)分量通過(guò),抑制無(wú)用的信號(hào)分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波

3、概念,根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類(lèi)型,與模擬濾波器相比,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號(hào)處理的固有優(yōu)點(diǎn)外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長(zhǎng)有關(guān))、穩(wěn)定性好(僅運(yùn)行在0與l兩個(gè)電平狀態(tài))、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。 時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱(chēng)為頻譜特性）,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱(chēng)為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過(guò)濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(iir)數(shù)字

4、濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(fir)數(shù)字濾波器。iir 數(shù)字濾波器的特征是，具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來(lái)實(shí)現(xiàn)，其差分方程為： (1-1)系統(tǒng)函數(shù)為： 設(shè)計(jì)iir濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)，使其頻率響應(yīng)h(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。1.2 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理 iir數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 通 帶阻帶過(guò)渡帶圖1.2.1 實(shí)際模擬低通濾波器的頻率特性為了從模擬濾波器出發(fā)設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器，必須先設(shè)計(jì)一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器，亦即要把數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾

5、波器的指標(biāo)，因此必須先設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的模擬原型濾波器，然后將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器的主要辦法有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 圖1.2.2 iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程 2 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì) 2.1 巴特沃斯低通濾波器 巴特沃斯濾波器是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器，它在通信領(lǐng)域里已有廣泛應(yīng)用，在電測(cè)中也有廣泛的用途，可以做檢測(cè)信號(hào)的濾波器等。 巴特沃斯模擬低通濾波器其幅度響應(yīng)模方定義為： 式中n為濾波器階數(shù)，為濾波器的3db截止頻率，當(dāng)=1時(shí)，模擬低通濾波器稱(chēng)為歸一化的巴特沃斯模擬低通濾波器。其幅度響應(yīng)具有以下特性：（1）對(duì)所有的都有當(dāng)=0時(shí)，（

6、2）對(duì)所有的，都有當(dāng)=時(shí)，=1/2；（3）是的單調(diào)遞減函數(shù)，即不會(huì)出現(xiàn)幅度響應(yīng)的起伏；（4）當(dāng)時(shí)，巴特沃斯濾波器趨向于理想的低通濾波器；（5）在=0處平方幅度響應(yīng)的各級(jí)導(dǎo)數(shù)均存在且等于0，因此在該點(diǎn)上取得最大值，且具有最大平坦特性。下圖展示了2階、4階、8階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性?？梢?jiàn)階數(shù)越高，其幅頻特性越好，低頻檢波信號(hào)保真度越高。 圖2.1巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性 2.2 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法就是要求數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)與模擬濾波器的脈沖響應(yīng)的采樣值相等，即h(n)=式中，t為采樣周期。根據(jù)模擬信號(hào)的拉普拉斯變換與離散序列的z變換之間的關(guān)系，我們知道h(z)=

7、此式表明，的拉普拉斯變換在s平面上沿虛軸，按照周期=2/t延拓后，按式z=，進(jìn)行z變換，就可以將ha(s)映射為h(z)。事實(shí)上，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)iir濾波器，只適合于ha(s)有單階極點(diǎn),且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式階次的情況。將ha(s)用部分分式表示： ha(s)=lth=式中，lt·代表拉普拉斯變換，為的單階極點(diǎn)。將ha(s)進(jìn)行拉普拉斯反變換，即可得到=式中，u(t)是單位階躍函數(shù)。則的離散序列h(n)=對(duì)h(n)進(jìn)行z變換之后，可以得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z)h(z)= 對(duì)比ha(s)與h(z)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：s域中ha(s)的極點(diǎn)是，映射到z平面之后，其極點(diǎn)變

8、成了，而系數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，仍為。因此，在設(shè)計(jì)iir濾波器時(shí)，我們只要找出模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)ha(s)的極點(diǎn)和系數(shù)，通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法，代入h(z)的表達(dá)式中，即可求出h(z)，實(shí)現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的離散化。但是脈沖響應(yīng)不變法只適合于設(shè)計(jì)低通和帶通濾波器，而不適合于設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。因?yàn)?，如果模擬信號(hào)的頻帶不是介于之間，則會(huì)在的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，映射到z平面后，則會(huì)在附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。從而使所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器不同程度的偏離模擬濾波器在附近的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法。圖2.2 利用脈沖響應(yīng)不變法將h(s)變換為h(z)3 切

9、比雪夫型低通濾波器設(shè)計(jì)3.1 切比雪夫型低通濾波器切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止 處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次n很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式來(lái)逼近所希望的 。切比雪夫?yàn)V波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方函數(shù)為式中c為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關(guān)的參量，值越大通帶不動(dòng)愈大。vn（x）是n階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性如圖所示：n為偶數(shù)，cos2(

10、)=1，得到min，n為奇數(shù)，cos2( ，得到max， 圖3.1 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性 3.2 雙線性變換法為了克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因?yàn)閺膕平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/t/t之間，再用z=est轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè)s平面壓縮映射到s1平面的-/t/t一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1t將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如下圖：圖3.2.1雙線性變

11、換的映射關(guān)系 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系如下圖在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖3.2.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如圖3.2.2所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻

12、率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如下圖所示：圖3.2.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射4 matlab設(shè)計(jì)程序4.1 matlab設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器 wp=0.2*pi; ap=0.92; ws=0.3*pi ; as=13.98; n ,wc =buttord(wp,ws,ap,as,'s') numa,dena=butter(n,wc,'s') omega1 =linspace(0,wp,500); omega2 =

13、linspace(wp,ws,200); omega3 =linspace(ws, pi,500); h1 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega1); h2 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega2); h3 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega3); plot( omega1 omega2 omega3/(pi),h1 h2 h3) grid xlabel('normalized frequency')ylabel('gain in db')fprintf

14、('ap = %.4fn',max(-h1);fprintf('as = %.4fn',min(-h3) fs=1; wp=wp/fs; ws=ws/fs； numd , dend = impinvar(numa,dena,1); w = linspace(0,pi,256); h = freqz(numd,dend,w); norm = max(abs(h); numd = numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm) grid xlabel('normalized frequency') ylabel(

15、'gain in db') w=wp ws; h= freqz(numd,dend,w); fprintf('ap = %.4fn',-20*log10(abs(h(1); fprintf('as = %.4fn', -20*log10(abs(h(2);運(yùn)行結(jié)果：n = 6wc = 0.7232模擬濾波器系數(shù)：numa = 0 0 0 0 0 0 0.1431dena = 1.0000 2.7942 3.9037 3.4575 2.0416 0.7643 0.1431ap = 0.7372as = 13.9800數(shù)字濾波器系數(shù)：numd = 0

16、.0000 0.0007 0.0116 0.0183 0.0046 0.0001 0dend = 1.0000 -3.2933 4.8865 -4.0706 1.9842 -0.5326 0.0612ap = 0.7371as = 13.98024.2 matlab設(shè)計(jì)切比雪夫型低通濾波器 wp=0.2*pi; ap=0.92; ws=0.3*pi; as=13.98; n ,wc =cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s') numa,dena=cheby1(n,ap,wc,'s') omega1 =linspace(0,wp,500); omega2

17、 =linspace(wp,ws,200); omega3 =linspace(ws,pi,500); h1 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega1); h2 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega2); h3 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega3); plot( omega1 omega2 omega3/(pi),h1 h2 h3) grid xlabel('normalized frequency') ylabel('gain in db') fpri

18、ntf('ap = %.4fn',max(-h1); fprintf('as = %.4fn',min(-h3); numd,dend=bilinear(numa,dena,1) w = linspace(0,pi,256); h = freqz(numd,dend,w); norm = max(abs(h); numd = numd/norm; figure plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm) grid xlabel('normalized frequency') ylabel('gain in db'

19、;) axis(0 1 -100 0); w=0,ws; h= freqz(numd,dend,w); fprintf('ap = %.4fn',-20*log10(abs(h(1); fprintf('as = %.4fn', -20*log10(abs(h(2);運(yùn)行結(jié)果：n = 4wc = 0.6283模擬濾波器系數(shù)numa = 0 0 0 0 0.0401dena = 1.0000 0.6169 0.5851 0.1918 0.0446ap = 0.9200as = 21.1827數(shù)字濾波器系數(shù)：numd = 0.0017 0.0068 0.0102 0.0068 0.0017dend = 1.0000