開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)分析

1、第一章 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的基本原理本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1.1 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)簡介開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)簡介1.2 開關(guān)電容等效電阻的原理開關(guān)電容等效電阻的原理1.3 開關(guān)電容積分器開關(guān)電容積分器1.4 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的基本電路開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的基本電路1.1 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)簡介開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)簡介1.1.什么是開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)什么是開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò) 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)是指由電容、運(yùn)算放大器和受開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)是指由電容、運(yùn)算放大器和受時鐘控制的開關(guān)組成的網(wǎng)絡(luò)。時鐘控制的開關(guān)組成的網(wǎng)絡(luò)。2.為什么要研究開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)為什么要研究開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò) (1)有源有源RC濾波器及其缺點(diǎn)濾波器及其缺點(diǎn) 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)最先是在高質(zhì)量單片集成濾波開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)

2、最先是在高質(zhì)量單片集成濾波器的研究中受到重視和得到應(yīng)用的。器的研究中受到重視和得到應(yīng)用的。 早期的濾波器是用無源早期的濾波器是用無源RLC電路實(shí)現(xiàn)的，但由電路實(shí)現(xiàn)的，但由于電感難以集成，在六十年代，隨著集成有源于電感難以集成，在六十年代，隨著集成有源器件和集成運(yùn)算放大器的發(fā)展，人們開始致力器件和集成運(yùn)算放大器的發(fā)展，人們開始致力于用有源器件取代電感。由此導(dǎo)致了有源于用有源器件取代電感。由此導(dǎo)致了有源RC濾濾波器的發(fā)展波器的發(fā)展。有源有源RCRC濾波器的缺點(diǎn)是：濾波器的缺點(diǎn)是：不便于用不便于用MOSMOS工藝直接集成。工藝直接集成。 RCRC有源濾波器可以用混合集成技術(shù)集成，但有源濾波器可以用混

3、合集成技術(shù)集成，但這種技術(shù)不能同目前的主流集成工藝即這種技術(shù)不能同目前的主流集成工藝即MOSMOS集成集成工藝兼容。因此，自七十年代起，追求用工藝兼容。因此，自七十年代起，追求用MOSMOS工工藝技術(shù)單片集成高性能濾波器就成為濾波器研藝技術(shù)單片集成高性能濾波器就成為濾波器研究的主要方向。究的主要方向。 體積較大，需占用較大空間。體積較大，需占用較大空間。 在在MOS工藝中，為了不占用過大的芯片面工藝中，為了不占用過大的芯片面積，很少能將積，很少能將MOS電容做到大于電容做到大于100pF。 對音頻對音頻(04kHz) 濾波器，時間常數(shù)濾波器，時間常數(shù)RC通通常具有常具有10-4的數(shù)量級。假設(shè)電

4、容已做到的數(shù)量級。假設(shè)電容已做到10pF，電阻仍具有電阻仍具有107的數(shù)量級，用的數(shù)量級，用MOS工藝實(shí)現(xiàn)這工藝實(shí)現(xiàn)這樣一個電阻，需要樣一個電阻，需要106m2的芯片面積。這大的芯片面積。這大約是整個芯片的十分之一。因此，這種做法是約是整個芯片的十分之一。因此，這種做法是不實(shí)際的。不實(shí)際的。 元件的精度不高元件的精度不高 用用MOSMOS工藝集成電阻和電容時，都會有工藝集成電阻和電容時，都會有5-5-1010的誤差。這兩種誤差又是不相關(guān)的，這的誤差。這兩種誤差又是不相關(guān)的，這樣就會造成整個濾波器的時間常數(shù)樣就會造成整個濾波器的時間常數(shù)RCRC有高達(dá)有高達(dá)2020的誤差，而且這種誤差還會隨著溫度

5、和的誤差，而且這種誤差還會隨著溫度和信號電平而改變。信號電平而改變。(2)(2)開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)及其優(yōu)點(diǎn)開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)及其優(yōu)點(diǎn) 為了克服為了克服RCRC濾波器的缺點(diǎn)，人們設(shè)法在濾波器的缺點(diǎn)，人們設(shè)法在MOSMOS電路中用開關(guān)和電容取代電阻。這就是開電路中用開關(guān)和電容取代電阻。這就是開關(guān)電容電路。這種取代的意義正如六十年代關(guān)電容電路。這種取代的意義正如六十年代用有源器件取代電感一樣重要，它是電路設(shè)用有源器件取代電感一樣重要，它是電路設(shè)計和制造中的又一次革命。計和制造中的又一次革命。 用開關(guān)和電容取代電阻后，電路的組用開關(guān)和電容取代電阻后，電路的組成只有成只有MOS開關(guān)、開關(guān)、MOS電容和電容和MOS運(yùn)

6、放。運(yùn)放。電路的特性只取決定于電容比。在穩(wěn)定的電路的特性只取決定于電容比。在穩(wěn)定的MOS工藝條件下，雖然電容仍有工藝條件下，雖然電容仍有5-10的制造誤差，但電容比的制造精度可以做的制造誤差，但電容比的制造精度可以做到到0.01-0.1。 用開關(guān)和電容還可以很方便地實(shí)現(xiàn)大電阻，用開關(guān)和電容還可以很方便地實(shí)現(xiàn)大電阻，這樣由開關(guān)電容電路實(shí)現(xiàn)的濾波器不僅有這樣由開關(guān)電容電路實(shí)現(xiàn)的濾波器不僅有MOS電路的許多優(yōu)點(diǎn)，還克服了有源電路的許多優(yōu)點(diǎn)，還克服了有源RC濾波器集成濾波器集成時的許多不足。目前，凡是使用有源時的許多不足。目前，凡是使用有源RC濾波器濾波器的場合均可以用開關(guān)電容濾波器代替的場合均可以用

7、開關(guān)電容濾波器代替。3.3.開關(guān)電容濾波器的設(shè)計方法開關(guān)電容濾波器的設(shè)計方法 開關(guān)電容濾波器的設(shè)計方一般可以分為兩開關(guān)電容濾波器的設(shè)計方一般可以分為兩類：類：類是變換設(shè)計法一類是直接設(shè)計法。類是變換設(shè)計法一類是直接設(shè)計法。 變換法充分繼承了以往模擬濾波器的研究變換法充分繼承了以往模擬濾波器的研究成果，在設(shè)計模擬濾波器的基礎(chǔ)上，通過一定成果，在設(shè)計模擬濾波器的基礎(chǔ)上，通過一定的變換，如雙線性變換、無耗離散積分器變換的變換，如雙線性變換、無耗離散積分器變換等，將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為開關(guān)電容濾波器。等，將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為開關(guān)電容濾波器。 直接法則直接從濾波器的直接法則直接從濾波器的z z域傳輸函數(shù)出發(fā)，

8、域傳輸函數(shù)出發(fā)，基于對開關(guān)電容濾波器雙二階節(jié)和各種開關(guān)電基于對開關(guān)電容濾波器雙二階節(jié)和各種開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)功能塊的研究，通過級聯(lián)法、信號流圖容網(wǎng)絡(luò)功能塊的研究，通過級聯(lián)法、信號流圖等直接綜合等直接綜合z z域傳輸函數(shù)，得到所需要的開關(guān)電域傳輸函數(shù)，得到所需要的開關(guān)電容濾波器。容濾波器。 4.4.開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的分析方法開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的分析方法 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的分析是開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)研究中開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的分析是開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)研究中另一個受到普遍關(guān)注的問題。由于開關(guān)電容網(wǎng)另一個受到普遍關(guān)注的問題。由于開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)中存在周期開閉的開關(guān)，所以開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)絡(luò)中存在周期開閉的開關(guān)，所以開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涫请S時間而變的，它是

9、周期時變網(wǎng)絡(luò)。的拓?fù)涫请S時間而變的，它是周期時變網(wǎng)絡(luò)。分析周期時變網(wǎng)絡(luò)比分析非時變網(wǎng)絡(luò)困難得多。分析周期時變網(wǎng)絡(luò)比分析非時變網(wǎng)絡(luò)困難得多。 在需要進(jìn)行精確分析的場合，通常采用計算在需要進(jìn)行精確分析的場合，通常采用計算機(jī)輔助分析。這方面有許多新方法，目前占主機(jī)輔助分析。這方面有許多新方法，目前占主流的是改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法、狀態(tài)變量法和等效電路法流的是改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法、狀態(tài)變量法和等效電路法等。等。5.開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)在濾波領(lǐng)域的應(yīng)用開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)在濾波領(lǐng)域的應(yīng)用 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的一個重要應(yīng)用領(lǐng)域就是開開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)的一個重要應(yīng)用領(lǐng)域就是開關(guān)電容濾波器。前面已經(jīng)討論過，由開關(guān)電關(guān)電容

10、濾波器。前面已經(jīng)討論過，由開關(guān)電容電路實(shí)現(xiàn)的濾波器克服了有源容電路實(shí)現(xiàn)的濾波器克服了有源RC濾波器濾波器集成時的許多不足。它不但可以利用集成時的許多不足。它不但可以利用CMOS工藝直接集成實(shí)現(xiàn)，而且具有很高的精度，工藝直接集成實(shí)現(xiàn)，而且具有很高的精度，能夠?qū)崿F(xiàn)高性能的濾波器。目前，凡是使用能夠?qū)崿F(xiàn)高性能的濾波器。目前，凡是使用有源有源RC濾波器的場合均可以用開關(guān)電容濾濾波器的場合均可以用開關(guān)電容濾波器代替。波器代替。 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)在非濾波領(lǐng)域的應(yīng)用開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)在非濾波領(lǐng)域的應(yīng)用 在開關(guān)電容濾波器發(fā)展的同時，開關(guān)電容網(wǎng)在開關(guān)電容濾波器發(fā)展的同時，開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)在非濾波領(lǐng)域也獲得到了廣泛應(yīng)用。主要有

11、：絡(luò)在非濾波領(lǐng)域也獲得到了廣泛應(yīng)用。主要有： 開關(guān)電容開關(guān)電容AD轉(zhuǎn)換器，開關(guān)電容轉(zhuǎn)換器，開關(guān)電容DA轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換器；器； 開關(guān)電容振蕩器；開關(guān)電容振蕩器； 開關(guān)電容放大器；開關(guān)電容放大器； 開關(guān)電容調(diào)制器；開關(guān)電容調(diào)制器； 開關(guān)電容鎖相環(huán)等多種非濾波電路。開關(guān)電容鎖相環(huán)等多種非濾波電路。 開關(guān)電容英文為開關(guān)電容英文為Switched Capacitor，簡，簡稱為稱為SC。為表示簡潔，本書中也將開關(guān)容電。為表示簡潔，本書中也將開關(guān)容電網(wǎng)絡(luò)簡稱為網(wǎng)絡(luò)簡稱為SC網(wǎng)絡(luò)或網(wǎng)絡(luò)或SCN。 1.2 1.2 開關(guān)電容等效電阻的原理開關(guān)電容等效電阻的原理 1開關(guān)電容等效電阻的電路開關(guān)電容等效電阻的電路 用一個開

12、關(guān)和一個小電容等效一個大電阻的用一個開關(guān)和一個小電容等效一個大電阻的開關(guān)電容等效電阻的電路原理如圖開關(guān)電容等效電阻的電路原理如圖1.1所示。稱所示。稱為為SC并聯(lián)等效電阻。并聯(lián)等效電阻。(a) (b)圖圖1.1 開關(guān)電容等效電阻電路開關(guān)電容等效電阻電路 圖中，開關(guān)是由圖中，開關(guān)是由MOS管管T1、T2實(shí)現(xiàn)的。它們實(shí)現(xiàn)的。它們分別由相位相反的兩相時鐘信號分別由相位相反的兩相時鐘信號 e e 和和 o o控制控制的。的。t2t1+TT1T2eCV1V2ot1eo) 1 . 1 ()(2121VVCCVCVQ2 2開關(guān)電容等效電阻的原理分析開關(guān)電容等效電阻的原理分析 設(shè)初始時刻為設(shè)初始時刻為t t1

13、 1。這時。這時e e為高電平為高電平, ,o o為低電為低電平。在這兩個信號的作用下，平。在這兩個信號的作用下，MOSMOS管管T T1 1導(dǎo)通，導(dǎo)通，T T2截截止。電壓止。電壓V V1通過通過T T1給電容給電容C充電。充電。C上的電荷為上的電荷為CV1. 在在t2時刻，時刻， o o為高電平，為高電平， e e為低電平。為低電平。MOS管管T2導(dǎo)通，導(dǎo)通，T1截止。電容截止。電容C通過通過MOS管管T2放電。放電。 C上的電荷為上的電荷為CV2. 這樣在一個時鐘周期內(nèi)，由這樣在一個時鐘周期內(nèi)，由V1端向端向V2端傳送的端傳送的電荷為電荷為T1T2ecV1V2ot1t2t1+Teo 若定

14、義平均電流若定義平均電流 為一個周期為一個周期T內(nèi)流動的電荷內(nèi)流動的電荷Q，則有，則有I) 2 . 1 ()(21VVTCTQI 從上式可以看出，從上式可以看出，V1和和V2之間的伏安關(guān)系可之間的伏安關(guān)系可以等效為一個電阻，電阻的阻值為以等效為一個電阻，電阻的阻值為)3 .1 (121CfCTIVVRc 上式中，上式中，fc c是開關(guān)的時鐘頻率。是開關(guān)的時鐘頻率。3.3.開關(guān)電容等效電阻的討論開關(guān)電容等效電阻的討論 (1)(1)在以上分析過程中，我們假設(shè)在以上分析過程中，我們假設(shè)V V1 1和和V V2 2在開關(guān)在開關(guān)導(dǎo)通時是不變的導(dǎo)通時是不變的. .實(shí)際上這個假設(shè)只是一個近似。實(shí)際上這個假設(shè)

15、只是一個近似。但是，只要時鐘頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號頻率，這個假但是，只要時鐘頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號頻率，這個假設(shè)就可以基本滿足。設(shè)就可以基本滿足。 (2)(2)從從R R的表達(dá)式可以看出，的表達(dá)式可以看出，SCSC等效電阻的大小等效電阻的大小與電容值和時鐘頻率成反比。如果電容取與電容值和時鐘頻率成反比。如果電容取1 pF1 pF，時鐘頻率取時鐘頻率取100kHz100kHz，這時，這時SCSC等效電阻具有等效電阻具有10M10M的的阻值。這樣實(shí)現(xiàn)的電阻所占的芯片面積僅相當(dāng)于阻值。這樣實(shí)現(xiàn)的電阻所占的芯片面積僅相當(dāng)于直接利用直接利用MOSMOS工藝實(shí)現(xiàn)該電阻所占的芯片面積的大工藝實(shí)現(xiàn)該電阻所占的芯片面積的大

16、約約400400分之一。分之一。 (3)(3)用開關(guān)和電容構(gòu)成的電路取代電阻，其原理用開關(guān)和電容構(gòu)成的電路取代電阻，其原理和電路都很簡單，但其意義卻非常重大。和電路都很簡單，但其意義卻非常重大。 5.5開關(guān)電容濾波器的設(shè)計 隨著通信和隨著通信和VLSI技術(shù)的發(fā)展，濾波器的技術(shù)的發(fā)展，濾波器的理論和應(yīng)用發(fā)展很快，而理論和應(yīng)用發(fā)展很快，而SC網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展則是與濾波器理論的發(fā)展緊密相關(guān)的。則是與濾波器理論的發(fā)展緊密相關(guān)的。SC網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)最早的應(yīng)用領(lǐng)域就是濾波器領(lǐng)域，并且很絡(luò)最早的應(yīng)用領(lǐng)域就是濾波器領(lǐng)域，并且很快進(jìn)入了實(shí)用化和商品化階段。電路理論工快進(jìn)入了實(shí)用化和商品化階段。電路理論工作者

17、和集成電路設(shè)計者對用作者和集成電路設(shè)計者對用SC網(wǎng)絡(luò)設(shè)計濾波網(wǎng)絡(luò)設(shè)計濾波器的方法進(jìn)行了大量的研究，提出了許多設(shè)器的方法進(jìn)行了大量的研究，提出了許多設(shè)計方法，在本章我們只介紹幾種最常用和主計方法，在本章我們只介紹幾種最常用和主要的設(shè)汁方法。要的設(shè)汁方法。 濾波器是一種信息選擇網(wǎng)絡(luò)，它對某一些濾波器是一種信息選擇網(wǎng)絡(luò)，它對某一些( (有有用的用的) )信息進(jìn)行選取，同時抑制另一些（無用的）信息進(jìn)行選取，同時抑制另一些（無用的）信息的傳輸。信息的傳輸。 濾波器可以有許多種分類方法。濾波器可以有許多種分類方法。 按照它所選擇的物理量分：有頻率選擇、幅度按照它所選擇的物理量分：有頻率選擇、幅度選擇選擇(

18、 (如電視中的調(diào)幅信號如電視中的調(diào)幅信號) )、時間選擇、時間選擇( (如如PCMPCM調(diào)調(diào)制中的話路信號制中的話路信號) )等。等。 根據(jù)濾波器的幅度特性分：有巴特沃茲、契比雪夫、橢圓、反契比雪夫等。 根據(jù)信號處理的類型分：有模擬濾波 器、數(shù)字濾波器和取樣數(shù)據(jù)濾波器等。 根據(jù)濾波器實(shí)現(xiàn)方法分：有機(jī)械濾波器、無源濾波器、有源濾波器、電荷轉(zhuǎn)移器件（CTD）濾波器、開關(guān)電容濾波器和數(shù)字濾波器等。 按頻域功能劃分：有低通、高低、帶通、帶阻、按頻域功能劃分：有低通、高低、帶通、帶阻、幅度均衡和相位均衡等。幅度均衡和相位均衡等。 開關(guān)電容濾波器的分類：通常，開關(guān)電容濾波開關(guān)電容濾波器的分類：通常，開關(guān)電

19、容濾波器器(SCF)的輸入是取樣保持信號，故的輸入是取樣保持信號，故SC濾波器也濾波器也就劃歸為取樣數(shù)據(jù)濾波器。有些情況下也將就劃歸為取樣數(shù)據(jù)濾波器。有些情況下也將SC濾濾波器劃歸為模擬濾波器，這時波器劃歸為模擬濾波器，這時SC濾波器輸入為模濾波器輸入為模擬信號。擬信號。 用用SC濾波器可以實(shí)現(xiàn)低通、帶通、帶阻、幅濾波器可以實(shí)現(xiàn)低通、帶通、帶阻、幅度均衡和相位均衡等各種功能度均衡和相位均衡等各種功能 設(shè)計設(shè)計SC濾波器的框圖如圖濾波器的框圖如圖5.5.l. 濾波器指標(biāo) 逼近方法 傳輸函數(shù)H(s) SC濾波器綜合查表 S域?yàn)V波器的實(shí)現(xiàn) S域?yàn)V波器變換為 z 域?yàn)V波器S域傳遞函數(shù)H(s)變換為z

20、域傳遞函數(shù)H(z) 綜合S域?qū)崿F(xiàn)z域?qū)崿F(xiàn)直接實(shí)現(xiàn)間接實(shí)現(xiàn)圖5.5.1 SC濾波器的設(shè)計步驟SC濾波器的設(shè)計可分為間接實(shí)現(xiàn)和直接實(shí)現(xiàn)兩種。間接實(shí)現(xiàn)法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：（1）給出所要設(shè)計的濾波器的指標(biāo)要設(shè)計一個SC濾波器，首先要給出所要設(shè)計的濾波器的指標(biāo)。如最大衰減、最小衰減、通帶截止頻率、阻帶截止頻率等。（2）選擇合適的逼近函數(shù)有了濾波器指標(biāo)后，可以選擇合適的逼近函數(shù)，如巴特沃茲函數(shù)、契比雪夫函數(shù)、橢圓或反橢圓函數(shù)等，來逼近濾波器特性，得到s域的傳輸函數(shù)H(s)。（3）實(shí)現(xiàn)s域?yàn)V波器 在s域有些濾波器(如無源RLC、RC等)，可以直接由指標(biāo)通過查手冊同時解決逼近和實(shí)現(xiàn)問題。（4）通過變換的方法實(shí)現(xiàn)

21、SCF 獲得符合要求的s域?yàn)V波器電路以后，再依據(jù)s域與z域的變換關(guān)系，將s域?yàn)V波器電路變換為z域的濾波器電路，從而實(shí)現(xiàn)SCF。這類設(shè)計方法也稱為SCF的變換設(shè)計法。 s域與z域的變換關(guān)系有多種，如階躍不變法、沖激不變法、雙線性變換法、LDI變換法等等。由不同的變換法，可以導(dǎo)出不同的SCF的設(shè)計方法。 變換法之所以受到重視的原因有兩點(diǎn)：一是由于人們對s域?yàn)V波器性能了解和研究的很深入， s域設(shè)計方法很成熟。在s域設(shè)計無源RLC、LC或有源RC濾波器非常容易。還有另一原因，就是SCF可以比較容易地通過對s域?yàn)V波器進(jìn)行變換來實(shí)現(xiàn)，以達(dá)到集成的目的。 直接實(shí)現(xiàn)法的前兩步與間接實(shí)現(xiàn)法的一樣。其實(shí)現(xiàn)步驟如下

22、：（1）給出所要設(shè)計的濾波器的指標(biāo)；（2）選擇合適的逼近函數(shù)，得到s域的傳輸函數(shù)H(s)；（3）對傳輸函數(shù)H(s)進(jìn)行變換，得到z域傳輸函數(shù)H(z)有了s域的傳輸函數(shù)H(s)以后，對傳輸函數(shù)H(s)進(jìn)行變換，將其變換到z域，求得z域傳輸函數(shù)H(z)。（4）對H(z)進(jìn)行綜合，實(shí)現(xiàn)SCF 一般的實(shí)現(xiàn)方法是用雙二階SC結(jié)構(gòu)對傳輸函數(shù)H(z)進(jìn)行綜合，得出SCF。這類設(shè)計方法的重點(diǎn)主要在各種SC功能塊的研究上，利用這些基本的SC功能塊可以設(shè)計各種高階SCF. I 本章只考慮圖3.1虛線以下的設(shè)計過程。在實(shí)際的SCF設(shè)計中，要考慮的問題很多。除了要保證SCF的結(jié)構(gòu)對大量的雜散電容不靈敏之外，還要求占用

23、硅片面積小、所用元件少、功耗低、布線合理、動態(tài)范圍大、噪聲低等等，同時還要考慮時鐘的控制方案、運(yùn)放和電容的復(fù)用可能性等等。其中，雜散電容的靈敏度、運(yùn)放的有限增益帶寬對性能的影響，噪聲分析和抑制，是SCF設(shè)計中最受重視的問題。5.5.2用開關(guān)電容等效電阻概念設(shè)計開關(guān)電容濾波器 在本書的第一節(jié)，我們介紹了開關(guān)電容與電阻等效的概念和幾種電路，SC電路等效電阻概念的提出，是SC網(wǎng)絡(luò)理論研究中的一次飛躍。1972年，F(xiàn)ried首次考慮設(shè)計MOS SC電路時，并沒有意識到SC等效電阻的概念，僅將他聽沒計的電路稱之為模擬取樣數(shù)據(jù)濾波器。1977年單片SCF的研制成功和SC與電阻等效概念的正式提出，使SC網(wǎng)絡(luò)

24、的研究進(jìn)入了一個新階段。 利用SC等效電阻電路，將有源RC濾波器中的電阻用SC等效電阻取代，就可以得到SCF。這是很自然的想法。也是SCF設(shè)計中最方便、最直觀的方法。由于有源RC濾波器已比較成熟，各種有效的有源結(jié)構(gòu)都可以被轉(zhuǎn)換為SCF。)1.5.5(cTR V1V2T1T2T1T2cV1V2 我們著重介紹用這種方法設(shè)計時要注意的問題。 在第章導(dǎo)出SC電路與電阻等效的概念時，曾假設(shè)電路的兩端是電壓源，即電路是由電壓驅(qū)動的。為了討論方便，將SC串聯(lián)和并聯(lián)等效電阻重畫如圖5.5.2，該電路等效為一個阻值為R的電阻. R=T/C.圖5.5.2 SC等效電阻電路如果等效電阻不是雙端電壓驅(qū)動，而是由單端電

25、壓驅(qū)動時，又會怎樣呢?我們看一個例子。圖5.5.3（a）是一個簡單的無源RC電路。如果用串聯(lián)SC等效電阻取代原RC電路中的電阻R，則如圖5.5.3（b）所示。時鐘如圖5.5.3(c) 所示。一般的RC電路如圖5.5.3（d）所示。 t1t2t1+T12viR1ViVoT1T22CRC(b)(c)Rc1c2voC(a)(d)圖5.5.3 RC電路及其等效電阻電路) 2 . 5 . 5()()()(121221ttRtVtVidtQoitt)3 . 5 . 5() 1()(TnVnTVCQoo 下面研究圖5.5.3(b)的傳遞函數(shù)，從而討論有源 RC電路中的電阻直接用SC電阻等效代換以后所產(chǎn)生的問

26、題。 對于圖5.5.3(a) 電路，從時刻t1到時刻t2，由電壓源傳輸?shù)诫娙莸撵o電荷為 圖5.5.3(b) 的電路，在一個時鐘周期內(nèi)傳輸?shù)碾姾蔀?)4 . 5 . 5() 1()() 1()(TnVnTVCCCTnVnTVoiRRoo)5 . 5 . 5() 1()()() 1(TnVnTVCCCTnVTnVoiRRoo)6 . 5 . 5() 1()(TnVnTVCCCCQoiRR由電路的電荷守恒方程，可以得到輸出電壓Vo 將上式表示為 代入（5.5.3）式可以得 這里，nT和(n-1)T分別對應(yīng)t1和t2時刻，T=t2-t1. 由于圖5.5.3（a）與圖5.5.3(b)互相等效，故由圖5.

27、5.3（b）SC網(wǎng)絡(luò)獲得的等效電阻為 )7 . 5 . 5()11(CCTRR式（5.5.7）的等效電阻表達(dá)式與式(5.5.1)的等效電阻表達(dá)式是不一樣的，當(dāng)CCR，時，兩式近似相等.用同樣的方法可導(dǎo)出并聯(lián)電阻的表達(dá)式，它也可以用(5.5.6)和(5.5.7)兩式描述，不同的只是有一附加輸入時延.)8 . 5 . 5()(212121aTCCCCCCCCRRR)8 . 5 . 5 ()(2122121bTCCCCCCCCCRRRR 對于更一般的情況，如圖5.5.3（d）所示?？梢詫?dǎo)出串聯(lián)等效電阻為: 并聯(lián)SC等效電阻為: 圖 5.5.3（d）的電路中，如果還有別的電容連接到電阻的節(jié)點(diǎn)上，式（5

28、.5.8 a）和（5.5.8 b）都要作相應(yīng)的修正。連接到電阻節(jié)點(diǎn)上的電容越多，修正公式越復(fù)雜，其結(jié)果與式（5.5.1）的差別也越大。 由此可以看出，在用SC等效電阻的概念設(shè)計SCF時，由于電阻兩端不是接電壓源，將產(chǎn)生等效誤差。為了減少這種誤差，需要選擇合適的有源RC濾波器的結(jié)構(gòu)，盡量使該電路中要用SC電路取代的電阻是雙端或單端電壓驅(qū)動的。實(shí)際有源RC濾波器中的電阻，在大多數(shù)情況下都是雙端和單端電壓驅(qū)動的。這就使得大多數(shù)實(shí)際有源RC濾波器都可以通過SC等效電阻的方法去設(shè)計相應(yīng)的SCF。 5.5.3 跳耦型開關(guān)電容濾波器設(shè)計 1966年，Orchard證明了一個非常有用的定理，即雙端RLC梯形濾

29、波器與絕大多數(shù)其他拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的濾波器相比，它在通帶內(nèi)由元件值的變化而引起的濾波器特性的變化要小的多。也就是說RLC梯形濾波器具有較低的靈敏度。于是這種結(jié)構(gòu)的濾波器受到了特別重視。人們常常以RLC梯型濾波器作為原型濾波器，然后通過適當(dāng)?shù)姆椒▽⑺儞Q為新型濾波器。 在研究有源RC濾波器時，人們提出了由RLC梯型結(jié)構(gòu)變換到有源RC濾波器的設(shè)計方法，這種方法基于狀態(tài)變量法，常稱為有源RC濾波器的跳耦設(shè)計法。 在SCF的設(shè)計中，人們也用態(tài)變量法，由RLC梯型結(jié)構(gòu)，導(dǎo)出SCF。由于這種方法與有源RC濾波器的跳耦設(shè)計法相似，所以稱之為跳耦型開關(guān)電容濾波器設(shè)計法。5.5.3.1 梯形結(jié)構(gòu)濾波器的狀態(tài)變量表示和流

30、圖雙端RLC梯型濾波器電路的一般結(jié)構(gòu)如圖5.5.4所示。vinvnI5RSC2L1v2I1I3In-1Ln-1L5L3C4C6CnCn-1RL圖5.5.4 RLC梯形結(jié)構(gòu)濾波器電路如果選擇該電路的串臂電流和并臂電壓為狀態(tài)變量，可以列出電路的狀態(tài)方程為式（5.5.9）如下： )(1)(1)(142333122211VVsLIIIsCVVVsLRIinS111nLnnIRsCV)(12221212kkkkVVsLI)(1)(11212225344kkkkIIsCVIIsCV 根據(jù)式(5.522)的狀態(tài)方程可以畫出梯型結(jié)構(gòu)RLC的信號流圖如圖5.5.5。ViVo1-1 V2 1 -1 V4 1 I1

31、I3 1 -1 1 -1 -1 1 V2kVnI2k+111sLRS21sC31sL41sCksC21121ksLLnRsC11 圖5.5.5 梯形結(jié)構(gòu)RLC濾波器信號流圖 由于SC電路是壓控電路，所以為了實(shí)現(xiàn)圖5.5.5的信號流圖，需要將圖5.5.5中的電流變量先轉(zhuǎn)換成電壓變量。為此可以對式 (5.5.9)進(jìn)行變形，將式(5.5.9)重新寫為式（5.5.10）如下： )(/1)(1)(/1142333122211VVRsLIRIRIRRsCVVVRsLIRSSSSSinSS12221212/1)(/1nSLSSnnkkSkkSIRRRRsCVVVRsLIR)(1121222kSkSSkkIR

32、IRRsCV)(15344IRIRRsCVSSS上述將狀態(tài)方程中的電流變量轉(zhuǎn)換成電壓變量的過程稱為歸一化。所謂歸一化，實(shí)際上就是將狀態(tài)方程中的端電阻RS歸一化為1。具體實(shí)現(xiàn)過程是：將方程中的所有電容乘以歸一化電阻RS，將所有的電感值和電阻值除以歸一化電阻RS.實(shí)行歸一化以后的結(jié)果，就是將端電阻RS歸一化為1，將電阻RL歸一化為電阻RL/RS, 而將電容C歸一化為CRS，將電感L歸一化為L/RS.設(shè)歸一化的變量 5 , 3 , 1mIRVmSm則歸一化的信號流圖如圖5.5.6所示。ViVo1-1 V2 1 -1 V4 1 V1 1 -1 1 -1 -1 1 V2kVnV3V2k+1sRsL111

33、SRsC21sRsL31SRsC41SkRsC21skRsL121LSnRRsC/1圖5.5.6 梯形結(jié)構(gòu)RLC濾波器歸一化信號流圖由圖5.5.6的信號流圖可以看出，梯形結(jié)構(gòu)RLC濾波器可以用SC積分器 1/sa和有耗積分器 1/(sa+b)構(gòu)成。其中的加減功能可以由差壓SC積分器來完成。 5.5.3.2 跳耦型開關(guān)電容濾波器基本節(jié)設(shè)計跳耦型開關(guān)電容濾波器基本節(jié) 跳耦型開關(guān)電容濾波器是利用雙端RLC梯形濾波器實(shí)現(xiàn)的。將RLC梯形結(jié)構(gòu)中的一個典型節(jié)用SC電路實(shí)現(xiàn)，就得到開關(guān)電容濾波器的基本節(jié)。RLC梯形結(jié)構(gòu)中的一個典型節(jié)如圖5.5.7所示。 viCLVi+1Vi+2Vi+3Vi+4 圖5.5.7

34、 梯形結(jié)構(gòu)中的典型節(jié))11. 5 . 5 ()()11. 5 . 5 ()(/131221bVVVaVVRsLViiiiisiCVoV1V2Cu這節(jié)電路的狀態(tài)方程為:上述兩個方程的功能可以用第章中介紹過的SC差壓積分器實(shí)現(xiàn)。將SC差壓積分器重畫于圖5.5.8。 圖5.5.8 SC差壓積分器)12. 5 . 5 (1uceqcfR )13. 5 . 5()(1IucIeqBCCfCR它的等效積分電阻為: 積分器的帶寬為: 由上式可見，積分器的帶寬是由電容比確定的，所以集成實(shí)現(xiàn)時可以獲得高的穩(wěn)定性和精確度.用SC差壓積分器實(shí)現(xiàn)方程（5.5.11）的具體實(shí)現(xiàn)電路如圖5.5.9所示。 CLViVi+2

35、CuVi+1CuCcVi+3 圖5.5.9 梯形結(jié)構(gòu)中的典型節(jié)的SC實(shí)現(xiàn)電路為了確定圖5.5.9的SC電路中電容的參數(shù)，只需令該電路中每節(jié)積分器的帶寬或時間常數(shù)與式(5.5.11 a)和 (5.5.11 b)的相同，就可以導(dǎo)出：)14.5 .5()14.5 .5(bCRfCCaRLfCCscucscuL 如果RLC梯形結(jié)構(gòu)是歸一化的原型，即端電阻Rs歸一化為1，截止頻率0歸一化為1rad/s, 則電路的電容按下式計算)15. 5 . 5 ()15. 5 . 5 (00bCfCCaLfCCcuccuL2開關(guān)相位的配置在設(shè)計跳耦型開關(guān)電容濾波器時，除了要設(shè)計SC基本節(jié)的構(gòu)造和參數(shù)選取之外，還要考慮

36、開關(guān)相位的配置問題。注意,圖5.5.9中開關(guān)相位使得積分器的取樣輸出與取樣輸入不在同一相，而是有T/2的時延。其設(shè)計原則是將相鄰的兩個積分器的開關(guān)設(shè)置成反相。下面討論這樣設(shè)計的原因。)17. 5 . 5(1)()16. 5 . 5(1)(12/121, 01121,zzCCzHzzCCzHeee)19. 5 . 5 () 2/sin(2)()18. 5 . 5 () 2/sin(2)(0,2/0,ccoeTjcceeTTjHeTTjHc我們在第章已導(dǎo)出圖5.5.8的差壓積分器的傳遞函數(shù)為:設(shè) z=exp(jcT), 將其代入式(5.5.16)和（5.5.17)得:在式（5.5.18）和 (5.

37、5.19)中，括號外的項(xiàng)-o/j表示的是連續(xù)積分器的傳遞函數(shù)。而括號中的項(xiàng)，表示的是由取樣保持所引入的偏差。該項(xiàng)所引入的偏差對積分器的幅度和靈敏度的影響如下：該偏差對積分器的幅度影響很小.而且通過提高時鐘頻率，可以進(jìn)一步減小這種影響。該偏差對積分器的靈敏度影響較大。1975年Brukon在分析數(shù)字梯型濾波器時發(fā)現(xiàn)，僅有半周期時延的離散時間積分器（如Ho,e(z)與連續(xù)時間積分器具有相同的相移.這表明由式(5.5.30)表示的積分器的傳輸函數(shù)與連續(xù)積分器傳輸函數(shù)之間有附加相移偏差.當(dāng)用式(5.5.18)表示的積分器來構(gòu)造有源梯形結(jié)構(gòu)時，所產(chǎn)生的額外相位偏移可以等效為引入了一個模擬電感或一個模擬電

38、容所產(chǎn)生的損耗。不過，這種損耗與實(shí)際電路中的由于分布電容所引起的損耗不一樣，它不是使頻城響應(yīng)下降，而是產(chǎn)生個峰值。在大多數(shù)情況下，這種峰值是不希望的。所以一般選用傳輸函數(shù)為（5.5.19）的積分器，即偶相輸入、奇相輸出的積分器。圖（5.5.9）就是具有式（5.5.17）傳輸函數(shù)的兩個積分器的梯型節(jié)。在理想元件的條件下，只要第個運(yùn)放的輸入電容Cu接到運(yùn)放上，則輸出就有效。這時，第二個積分器的開關(guān)必須放在立即將這個輸出取樣的位置，如圖 （5.5.9）所示。所以，鄰近兩積分器的開關(guān)設(shè)置要反相。5.5.3.3梯型結(jié)構(gòu)有限傳輸極點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)的實(shí)現(xiàn) 有限傳輸極點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)在濾波器的設(shè)計中有很重要的意義.它

39、可以由梯型結(jié)構(gòu)中的電感和電容的串聯(lián)或并聯(lián)獲得. 具有限傳輸極點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)的RLC梯型結(jié)構(gòu)濾波器如圖5.5.10(a) 和5.5.10(b)所示。vivoC2voRSC1v1I0I2I4L2C3RLv3C2viRSC1v1I0I2L2C3I4RLAB圖5.5.10具有有限傳輸極點(diǎn)和零點(diǎn)的梯型結(jié)構(gòu)濾波器（a）具有有限傳輸極點(diǎn)的梯型結(jié)構(gòu)濾波器.(b) 具有有限傳輸零點(diǎn)的梯型結(jié)構(gòu)濾波器具有有限傳輸極點(diǎn)的梯型結(jié)構(gòu)濾波器的SC實(shí)現(xiàn)對圖5.5.10(a)的電路，取并臂電壓V1、V3, 串臂電流Io、I2、I4為狀態(tài)變量，可以寫出狀態(tài)方程為 LiSRVIIIsCVsCIVVsLIIIsCVVVRI344233

40、223122201110)(1)20. 5 . 5()(1)(1)(1 將上式歸一化后,有: LSSSSSioRRVVVVRsCVRsCVVVRsLVVVRsCVVVV34423322312220111)(1)21.5 .5()(/1)(1)( 根據(jù)式(5.5.21)的狀態(tài)方程，可以畫出其的信號流圖如圖5.5.11所示 Vi -1 V1 1 1-1 V3 V0 1 -1 1 -1 V2SRsC11sRsL21SRsC21LSRR /V4從圖5.5.11的信號流圖可以看出，該流圖完全可以用前面介紹的方法和SC基本節(jié)來實(shí)現(xiàn)，這時，需要用四個積分器。圖5.5.11 式(5.5.35)的信號流圖2.

41、具有有限傳輸零點(diǎn)的梯型結(jié)構(gòu)濾波器的SC實(shí)現(xiàn) 如果用與前面相同的分析方法，可以得到相應(yīng)的狀態(tài)方程和流圖，這時實(shí)現(xiàn)該電路需用四個運(yùn)放。但是，通過適當(dāng)?shù)牡刃Щ蚯闪袪顟B(tài)方程，可使得該電路的SC實(shí)現(xiàn)僅需用三個運(yùn)放。5.5.3.4跳耦型開關(guān)電容濾波器的設(shè)計步驟與設(shè)計實(shí)例 1跳耦型開關(guān)電容濾波器的設(shè)計步驟從前面的介紹可以歸納出跳耦型SCF的設(shè)計步驟： 給定濾波器指標(biāo)，如已有設(shè)計好的梯型濾波器則轉(zhuǎn)。 根據(jù)設(shè)計指標(biāo)設(shè)計RLC梯型濾波器(可以查表直接得到RLC梯型原型的電路參數(shù))。 取RLC梯型濾波器電路中串臂電流和并臂電壓為狀態(tài)變量，列出狀態(tài)方程。 對狀態(tài)方程歸一化。 畫山出積分器、有耗積分器、比例器，、積分求

42、和器等構(gòu)成的信號流圖。 用積分器、有耗積分器、比例器、積分求和器等SC結(jié)構(gòu)綜合該信號流圖。 如已有設(shè)計好的RLC梯型濾波器，則用(5.5.14a)和（5.5.14b)兩式計算SCF中的電容值。如是歸一化原型RLC梯型濾波器，則用(5.5.25a)和(5.5.25b)兩式確定SCF中的電容值。 集成實(shí)現(xiàn)SCF。 在設(shè)計跳耦型SCF時，狀態(tài)變量的選取和狀態(tài)方程的建立，對設(shè)計優(yōu)劣的影響至關(guān)重要。特別是通過對狀態(tài)方程的適當(dāng)整理往往會使設(shè)計出的SCF電路簡化。在整理狀態(tài)方程時，盡可能地將方程整理成可以由積分器實(shí)現(xiàn)的形式，以便于電路實(shí)觀。實(shí)際上在有了一組狀態(tài)方程后，熟練的設(shè)計者就可以直接設(shè)計SCF，而并不

43、一定要畫出信號流圖。 跳耦型開關(guān)電容濾波器的設(shè)計實(shí)例 例5.5-2 現(xiàn)有一個五階全極點(diǎn)RLC梯型低通濾波器如圖3.12所示。電路中電感和電容的數(shù)值均為已知，并設(shè)RS=SL=1用跳耦型法設(shè)計設(shè)計相應(yīng)的開關(guān)電容濾波器。 C1vov1I0I2I4L4L2C3C5RLvinRSv3v5Io圖5.5.12五階全極點(diǎn)RLC梯型低通濾波器設(shè)計步驟如下： SC電路的實(shí)現(xiàn)取電路的串臂電流和并臂電壓為狀態(tài)變量，列出電路的狀態(tài)方程為)22.5 .5()(1)(1)(1)(142333122201110IIsCVVVsLIIIsCVVVRIinSLRVIIIsCVVVsLI5664555344)(1)(1因?yàn)镽S=S

44、L=1，對上式進(jìn)行歸一化，得 )23. 5 . 5()(1)(1)(1)(423331222111VVsCVVVsLVVVsCVVVVoino5664555344)(1)(1VVVVsCVVVsLV)24. 5 . 5()(11211VVsCVinVin -1 V1 1 -1 V3 1 1 -1 1 -1 -1 V5V2111sC21sL31sC51sC41sLV4 對式（5.5.23）進(jìn)行整理，將其中的第一式帶入第二式，兩式合并為 根據(jù)式（5.5.23）和（5.5.24），可以畫出信號流圖如下 圖5.5.13五階RLC梯型低通濾波器的信號流圖 根據(jù)上述信號流圖，可以得到其SC實(shí)現(xiàn)電路如圖5.

45、5.14所示。 CuCuCuCuCuCuCC1CL2CC3CL4CC5voutVin該電路的第一節(jié)是有耗積分器，其它各節(jié)的開關(guān)都是按每節(jié)有半個周期的延時配置的。圖5.5.14 五階SC低通濾波器2元件參數(shù)的求得因?yàn)樵娐泛退玫降男盘柫鲌D都不是歸一化的，所以這時求電容比的公式為:ScuLScuCRLfCCRCfCC2211ScuCScuLRCfCCRLfCC5544)25. 5 . 5 (33ScuCRCfCC 其中，fc為所設(shè)計的SCF的時鐘頻率。至此，S CF的設(shè)計過程結(jié)束。如果要對設(shè)計好的SCF進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整，則可以調(diào)整每節(jié)的增益以使電路獲得最大動態(tài)范圍。同時可以用計算機(jī)模擬程序?qū)﹄娐愤M(jìn)

46、行模擬，以利于進(jìn)步改進(jìn)。 跳耦型SCF能保持原來的梯型結(jié)構(gòu)的低靈敏度特點(diǎn)，設(shè)計方法簡單，驅(qū)動時鐘僅需同頻反相的雙相時鐘，這種時鐘易于產(chǎn)生。鑒于上述優(yōu)點(diǎn)，SCF的跳耦設(shè)計法受到普遍重視。用跳耦法設(shè)計的SCF產(chǎn)品種類多，應(yīng)用范圍廣。用跳耦法設(shè)計的SCF的不足之處是所需運(yùn)放較多，其數(shù)目通常要大于等于濾波器的階數(shù)。5.54 用雙線性變換法設(shè)計開關(guān)電容濾波器5.5.4.1 由模擬域（S域）到離散域(Z域)的變換 在圖31中可以看出，當(dāng)有了濾波器S域的傳輸函數(shù)H(S)或已經(jīng)設(shè)計好了模擬濾波器以后，都需要通過某種變換使連續(xù)模擬域(S域)的傳輸函數(shù)變換到離散復(fù)頻域(z域)，或者將模擬濾波器變換為SCF。變換的

47、方法有多種，但合適的變換究竟需要什么條件呢?它必須要保證： 1)變換到z域以后的濾波器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性與原S域?yàn)V波器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性一致。 2)變換到z域后的濾波器特性仍然是穩(wěn)定的。 將這兩個條件用s域和z域的映射關(guān)系表示可以描述為 條件l : s平面上的虛軸映射為z平面上的單位圓上。 條件2: s平面左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)。 實(shí)現(xiàn)由模擬域到離散域的變換的方法有多種，后面我們將介紹常用的雙線性變換和LDI變換。其中，雙線性變換是能夠比較理想地實(shí)現(xiàn)上述兩個條件的變換。本節(jié)先介紹雙線性變換。)26. 5 . 5()()()(001txdtycdttdyc)27. 5 . 5 ()()()(010

48、cscdsXsYsH5.5.4.2雙線性變換 下面推導(dǎo)雙線性變換的關(guān)系。推導(dǎo)的方法是將模擬系統(tǒng)的微分方程直接積分，然后通過求其數(shù)值近似逼近的方法得到的。推導(dǎo)是從最簡單的一階常系數(shù)微分方程開始。 S域傳輸函數(shù)H(S)設(shè)模擬濾波器的微分方程為： 對上式求拉氏變換，即得傳遞函數(shù)： 2相應(yīng)的z域傳輸函數(shù)H(z)根據(jù)積分定理，可以寫出 )28. 5 . 5 ()()()()(00tydtdttdydtdttdytytt 對信號y(t)和x(t)以周期T進(jìn)行采樣，并應(yīng)用梯形近似求定積分，則上式逼近為：)29. 5 . 5()()()(2)()()(TnTydtTnTdydtnTdyTTnTydttydtd

49、nTynTTnT)30. 5 . 5 ()()(2)()(dtTnTdydtnTdyTTnTynTy即 上面的過程說明，在模擬域與離散域之間進(jìn)行的變換，總可以用一種對應(yīng)的數(shù)值計算方法來描述。對于雙線性變換，實(shí)際上是用梯形積分法做如下的描述：)31. 5 . 5 ()()()()(21TTnTynTydttdydttdyTnTtnTt它實(shí)際上是用后向歐拉法將相鄰兩取樣點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)的取平均值，并把它作為該區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值。)32. 5 . 5 ()()()(1010txcdtyccdttdy)33. 5 . 5()()()(1010nTxcdnTyccdtnTdy式（5.5.31）中的微商可有由（5.5.

50、26）求得： 對上式取微商得： 將上式代入式（5.5.29）得: )34. 5 . 5 ()()()()(2)()(10101010TnTxcdTnTyccnTxcdnTyccTTnTynTy若用y(n)、x(n)、y(n-1)、x(n-1)代替各取樣值，則得：)35. 5 . 5 ()1()() 1()(2) 1()(1010nxnxcdnynyccTnyny)36. 5 . 5 ()1)()1)(2)1)(1101101zzXcdzzYccTzzY)37. 5 . 5 ()11(2)()()(01110cczzTdzXzYzH對上式取z變換,得: 得到z域傳遞函數(shù)為: （3）雙線性變換關(guān)系

51、:11112zzT)38.5 .5(22112sTsTzzzTs或?qū)⑸鲜脚c式（5.5.24）逐項(xiàng)比較，可以看出，由S域傳遞函數(shù)H(s)得到相應(yīng)的z域傳遞函數(shù)H（z)的變換關(guān)系是將H(s)中的S用 來代替，表示為 這種變換稱為雙線性變換。式（5.5.38）實(shí)際上是一對變換和反變換式。由于它們都是線性分式變換，而且這種變換是雙向的，所以稱為雙線性變換。)39.5.5(22jTjTz)40.5.5()2(211Ttgzarcz5.5.4.3雙線性變換滿足映射關(guān)系的討論（1）穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 為了研究穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將s=j代入式（5.5.38）得 其中，為模擬濾波器的角頻率。 式（5.5.39）的模和幅角為 由此

52、可以看到，z的模與角頻率無關(guān)。所以，當(dāng)變化時，z始終在單位圓上。也就是說，通過這種變換，可以保證s平面上的虛軸映射到z平面的單位圓上。因此，通過雙線性變換以后，變換到z域的濾波器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性與原S域?yàn)V波器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性一致。 （2）變換以后的穩(wěn)定性為了研究變換以后的穩(wěn)定性，需要研究s左半平面的映射情況，令s=+j,由式（5.5.39）得 )41.5.5(22jTjTz在s左半平面，為負(fù)值，由式（5.5.41）可知，這時|z|恒小于1。這就說明s平面上的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)部。因此，通過雙線性變換以后，變換到z域的濾波器特性仍然是穩(wěn)定的。 （3）變換的非線性 設(shè)穩(wěn)態(tài)時模擬濾波器角頻率

53、變量為，離散域SCF的角頻率變量為。將s=j和z=e-j代入式（5.5.38），可以導(dǎo)出 )42. 5 . 5()2(2)2(21TtgtgT或 雙線性變換中與的關(guān)系如圖5.5.15所示。 - 可見，雙線性變換不是線性變換，而是非線性變換。 圖5.5.15 雙線性變換中與的關(guān)系它使得頻率軸發(fā)生畸變。 式(5.5.42)表示穩(wěn)態(tài)時模擬濾波器與SCF之間頻率的畸變關(guān)系。 減小這種畸變效應(yīng)的影響的方法有兩個方面：一方面，可以將T減小，即提高采樣頻率，使線性范圍變寬。另一方面，可以在設(shè)計SCF時要先進(jìn)行預(yù)畸變。即首先根據(jù)離散域的頻率特性要求，通過式(5.5.42)求出連續(xù)域的頻率特性，然后按這些要求設(shè)

54、計模擬濾波器，最后再將模擬濾波器變換為SCF。結(jié)論 式（5.5.38）的關(guān)系稱為雙線性變換。 雙線性變換具有一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，即z平面上的每一點(diǎn)恰好與s平面上的一個點(diǎn)對應(yīng)，反之也是這樣。這種唯一性的結(jié)果，使得雙線性變換法不會產(chǎn)生混迭效應(yīng)，并且完全保留了模擬濾波器原型的頻率特性和穩(wěn)定性。這是雙線性變換的優(yōu)點(diǎn)。（3）在雙線性變換中，模擬頻率與數(shù)字頻率之間不是線性關(guān)系，它使得頻率軸發(fā)生畸變。這是雙線性變換的缺點(diǎn)。5.5.4.4 基本電路元件的雙線性模型 前面研究了雙線性變換的基本原理，下面利用這些基本原理導(dǎo)出基本電路元件電阻、電感、電容和LC并聯(lián)諧振回路的SC雙線性模型。導(dǎo)出這些基本模型之后，就可

55、以通過將連續(xù)模擬濾波器中的這些元件用相應(yīng)的SC模型取代，從而得到SC濾波器。這就是雙線性設(shè)計法。雙線性變換的阻抗關(guān)系設(shè)模擬濾波器第m條支路的電壓用Vm(s)表示,電流用Im(s)表示，電荷用Qn(s)表示。在開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)中，因?yàn)橹饕请姾蓚鬏敚瑸榱朔奖悖嗖捎肰(s)和Q(s)作為變量進(jìn)行分析。)43. 5 . 5()()(tdttitq)44. 5 . 5()()()(1)(ssQsIsIssQ或下面先討論R、L、C元件在s域中電壓和電荷變化量之間的關(guān)系：對于連續(xù)信號，電荷與電流的關(guān)系為: 在s域，電荷與電流的關(guān)系為: 在s域，對于任一支路i，支路兩端的電壓Vi(s)與流過該支路的電荷Qi(

56、s)以及支路阻抗Xi之間的關(guān)系為:)45. 5 . 5 (, 2:1, 0:, 1)()(LXkcXkRXksQXssViiiiiki電感電容電阻：)46. 5 . 5(, 2:1, 0:, 1)()(1LXkcXkRXksIXssViiiiiki電感電容電阻：電壓Vi(s)與電流Ii(s)的關(guān)系為: 上述關(guān)系如表5.5.1所示:下面討論R、L、C元件在z域中電壓和電荷變化量之間的關(guān)系。 根據(jù)s域和z域的映射關(guān)系s=f(z)，與式（5.5.58相仿，對于任一支路i，其電荷Q(z)與電壓Vi(z)之間的關(guān)系為 )47. 5 . 5(, 2:1, 0:, 1)()()(LXkcXkRXkzQXzf

57、zViiiiiki電感電容電阻： 由于在SCF中電荷的變化是瞬間完成的，為了方便SCF的綜合，常討論電荷的變化量與電壓的關(guān)系，并以此作為設(shè)計公式(或綜合公式)。nTTnTTnTqnTqdinTq)48. 5 . 5 ()()()()()49. 3()()1 ()(1zQzzQ對于離散信號，從nT-T到nT的電荷增量為: 對上式取z變換得: 將z變換的關(guān)系式（5.5.38）和電荷增量的表達(dá)式（5.5.48）代入式（5.5.46）。得:)49. 5 . 5 (, 2:1, 0:, 11)(112)(1LXkcXkRXkzzQXzzTzViiiiki電感電容電阻： 從表5.5.1中電容的 V(s)/

58、Q(s)和V(z)/Q(z)關(guān)系可以看出，在模擬s域和離散z域，電容支路都是一個電容。所以電容元件經(jīng)雙線性變換后不改變其值和拓?fù)潢P(guān)系。但是電阻和電感的關(guān)系卻改變了。我們下面的工作是導(dǎo)出電阻和電感的雙線性SC模型。112zzTL1121zzTc112zzTR2)112(zzTL)1 (21 zRT12121)1 (4zzLT)1 (1 zc)50. 5 . 5 ()()(2)()()(TnTVnTVRTTnTqnTqnTq（2）電阻的雙線性SC模型雙線性變換阻抗關(guān)系襄 為了導(dǎo)出電阻和電感的雙線性SC模型，可以從表3.1中最后得出的綜合公式Q(z)/V(z)出發(fā), 將式(5.5.49)中電阻表示式

59、在離散域表示為: 在第一章曾討論過一個SC等效電阻如圖5.5.16所示。 T1T2cT3T4V1V2圖5.516 SC等效電阻)51. 5 . 5 ()()()()()(TnTVnTVcTnTqnTqnTq)52. 5 . 5(2cTR )53. 5 . 5(4cTRc該電路的電荷差與電壓的關(guān)系為 這個公式與式(5.5.64)在形式上完全一樣，所以該電路實(shí)現(xiàn)了雙線性SC電阻。將式(5.5.50)和(5.5.51)進(jìn)行比較，可以得到圖5.5.16雙線性SC等效電阻為 因?yàn)樵赟C開關(guān)驅(qū)動脈沖采用同頻反相脈沖時，開關(guān)在每個采樣周期T動作兩次，即開關(guān)周期Tc = 2T, 所以 )54. 5 . 5 (

60、1)1 (4)()(1212zzLTzVzQc)55.3()1131 (4)()(12112zzzzLTzVzQc（3）電感的雙線性SC模型 由表5.5.1 可知，如果要利用一個SC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)雙線性等效電感，則該網(wǎng)絡(luò)的庫伏特性應(yīng)滿足下列關(guān)系 上式也可以寫成: 利用圖5.5.17 的方框圖可以實(shí)現(xiàn)式（5.5.55） VQC0 V0C1 V1C2 V2H1H2圖5.5.17 實(shí)現(xiàn)SC雙線性等效電感的方框圖)56. 5 . 5 ()()(1 )()(20zVzVCzVzQii該網(wǎng)絡(luò)的庫伏特性為: 選擇合適的傳遞函數(shù)Hi=Vi(z)/V(z),(i=0,1,2)，可以使式（5.5.56）與式（5.5.5