基于線性規(guī)劃的護(hù)士排班優(yōu)化問題.doc

1、基于線性規(guī)劃的護(hù)士排班優(yōu)化問題姓名1： 學(xué)號： 專業(yè)： 姓名1： 學(xué)號： 專業(yè)： 日期：2011年7月15日基于線性規(guī)劃的護(hù)士排班優(yōu)化問題摘要本文研究的是關(guān)于醫(yī)院護(hù)士排班最優(yōu)問題，本文的主要思想是根據(jù)約束條件建立相關(guān)的線性規(guī)劃模型，利用lingo求解，分別計算出每天，每星期的最少護(hù)士數(shù)，并給出具體的排班方案。問題一：計算每天該科所需的最少護(hù)士數(shù)。針對這一問，從各班次護(hù)士需求量考慮，依據(jù)每個護(hù)士每天至多工作8個小時，即上兩個班次且兩個班次不連上這一假定條件，假設(shè)每個時間段開始登記上班的人數(shù)為xi，建立規(guī)劃模型，進(jìn)而運用lingo軟件進(jìn)行求解，從而求出每天該科所需最少護(hù)士數(shù)為145人。問題二，以一

2、個星期為周期，計算該科最少需簽約多少護(hù)士。針對第二問，依據(jù)題目給出的約束條件：時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息。經(jīng)過本文規(guī)劃約束可以得出每個星期該科至少需簽約210名護(hù)士。問題三，以一個星期為周期，試給出具體的排班方案。依據(jù)問題二得出的結(jié)果，綜合考慮題目中各約束條件，將一個星期（七天）六個班次設(shè)為42個班次，引進(jìn)0,1變量，即，建立線性規(guī)劃模型，給出具體的排班方案，見附錄1，由于有的排班人數(shù)大于該次排班的最少要求人數(shù)所以該方案不唯一。問題四，計算最少需要多少護(hù)師職稱以上的護(hù)士。運用問題三的方法，增加約束條件，即每班次上 班的護(hù)士中護(hù)師以上（包括護(hù)師）

3、職稱的所占比例不低于40%。同樣引進(jìn)0,1變量，即，以需要最少的護(hù)師職稱以上的護(hù)士為目標(biāo)函數(shù)，同樣建立線性規(guī)劃模型。得出需要最少的護(hù)師（包括護(hù)師）職稱以上的護(hù)士為：84人。 關(guān)鍵詞：護(hù)士排班 線性規(guī)劃 0-1變量 lingo目錄1、問題重述42、問題分析53、模型假設(shè)54、符號說明65、模型建立與求解65.1問題一求解65.2問題二求解75.3問題三求解75.4問題四求解96、模型評價與改進(jìn)10參考文獻(xiàn)10附錄11附錄一 ：11附錄二：121、問題重述1.1基本條件某醫(yī)院某科室的一個工作日分為6個4小時時間長的時間段，每個時間段所需要的護(hù)士人員數(shù)各不相同。每日每個時間段的人員需求量如下所示：班

4、次該班時間段（24小時）該班所需最少護(hù)士數(shù)16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050 522:00-02:0020602:00-06:0030每班的護(hù)士在值班開始時向病房報道，排班需滿足：(1) 每天至多工作8個小時，即上兩個班次，兩個班次不連上；(2) 第一天排班在時間段22:00-02:00（小夜班）的護(hù)士，第二天在時間段06:00-10:00不排班；(3) 時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息；(4) 每個星期每位護(hù)士工作40小時；1.2需解決的問題問題1：每天該科所需的最少護(hù)士數(shù)

5、？問題2：以一個星期為周期，該科最少需簽約多少護(hù)士？問題3：以一個星期為周期，試給出具體的排班方案，該方案是否唯一？問題4：根據(jù)醫(yī)院要求，每班次上班的護(hù)士中護(hù)師以上（包括護(hù)師）職稱的所占比例不低于40%，問在護(hù)士數(shù)最少的條件下（第二問決定的最少護(hù)士數(shù)），最少需要多少護(hù)師職稱以上（包括護(hù)師職稱）的護(hù)士才能滿足院方對職稱的要求。注：護(hù)士職稱評定共分五級別，分別是：護(hù)士、護(hù)師、主管護(hù)師、副主任護(hù)師、主任護(hù)師。2、問題分析2.1問題背景護(hù)士是醫(yī)院日常運營的基礎(chǔ)，科學(xué)合理地安排護(hù)士工作時間不僅能夠緩解其壓力，提高護(hù)理質(zhì)量，而且能夠降低醫(yī)院的人力資源運營成本，提高醫(yī)院的護(hù)理質(zhì)量和工作積極性，保證護(hù)士心身健

6、康，因此護(hù)士排班已成為醫(yī)院管理工作的重要內(nèi)容之一。2.2具體問題分析排班問題是一類帶有一定約束條件的優(yōu)化類問題。在滿足各時間段人員需求量的條件下，要對現(xiàn)有人員做出最優(yōu)安排，從而達(dá)到醫(yī)院的運營需求。問題一的分析：本問題需要解決的是該醫(yī)院該科每天所需最少護(hù)士數(shù)，根據(jù)各時間段人員需求量表及題目給出的約束條件1，本文假設(shè)個時間段開始上班的人數(shù)為決策變量，所需護(hù)士數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型，進(jìn)行求解。問題二的分析：本文題需解決的問題是以一個星期為周期，該科所需的最少護(hù)士數(shù)，由條件，時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息可以知道排在大夜班的人都不相同，故可計算出最

7、少護(hù)士數(shù)。問題三的分析：本問題需給出一個星期內(nèi)具體的排班方案，也就是說需要知道該班次誰上班，有多少人上班，為此，本問題引進(jìn)0,1變量，建立優(yōu)化模型，進(jìn)行求解。在滿足每天至多工作8個小時，每班次不連上，每個星期工作40個小時；第一天排班在時間段22:00-02:00（小夜班）的護(hù)士，第二天在時間段，06:00-10:00不排班；時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息等的條件下，給出一個排班方案。問題四的分析：本文題需給出一個星期最少需要多少護(hù)師職稱以上的護(hù)士。相對于問題三，本文增加了一個條件，即每班次上班的護(hù)士中護(hù)師以上（包括護(hù)師）職稱的所占比例不低于40%

8、。根據(jù)問題三的排班程序可知至少需要84位護(hù)師，再經(jīng)過分析具體排班情況時，對其進(jìn)行調(diào)整，得到最終結(jié)果。3、模型假設(shè)1、 正常上班情況下，沒人每天至多工作8個小時，即上兩個班次，兩個班次不連上。2、 第一天排班在時間段22:00-02:00（小夜班）的護(hù)士，第二天在時間段06:00-10:00不排班。3、 時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息；4、 護(hù)士工作時間按勞動法規(guī)定，即每個星期每位護(hù)士工作40小時；5、 每個護(hù)士不能缺勤。6、 一周工作日為七天。4、符號說明ai ：第 i個時間段所需人員數(shù)；xi ：安排在第 i個時間段開始上班的人數(shù)；z ：滿足需求最

9、少需要的護(hù)士人員總數(shù)；xij ：第i班j號護(hù)士；5、模型建立與求解5.1問題一求解：每天該科所需的最少護(hù)士數(shù)。（1）模型建立本文假設(shè)xi為安排在第 i個時間段開始登記上班的人數(shù)并設(shè)為決策變量。目標(biāo)函數(shù)為該天各時間段開始上班的人數(shù)之和，即：由題目中的約束條件：每天至多工作8個小時，即上兩個班次，兩個班次不連上?？梢缘贸觯旱谌齻€時間段（14:00-18:00）+第一個時間段（6:00-10:00）>=第三個時間段所需的人員數(shù)a3，即第四個時間段（18:00-22:00）+第二個時間段（10:00-14:00）>=第四個時間段所需人員數(shù)a4，即以此類推，當(dāng)i=1,2,.,6循環(huán)時，有，i

10、=1,2,.,6綜上所述：目標(biāo)函數(shù)：min 約束條件：（2）模型求解編寫程序，運用lingo求解得出每天該科所需最少護(hù)士為145人。程序見附錄1。5.2問題二求解：以一個星期為周期，計算該科最少需簽約的護(hù)士數(shù)。由條件：時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息，從中可以知道上大夜班的護(hù)士都不相同，一個星期中每天需要30個護(hù)士上大夜班，則一個星期所需最少護(hù)士數(shù)為：30*7=210。本問題的檢驗將在問題三中體現(xiàn)。5.3問題三求解：以一個星期為周期，給出具體的排班方案。（1）模型建立本問題需給出每個護(hù)士每天每班次的上班情況，為此本問題引進(jìn)0,1變量，設(shè)xij表示第i

11、個班次j號護(hù)士，其具體意義如下：由于每天六個班次，則一個星期總共有42班次，即i取1,2,3.42。約束條件如下：1、 每天至多工作8個小時，即上兩個班次，即 j=1,2,.2102、 兩個班次不連上，即 j=1,2,.2103、 第一天排班在時間段22:00-02:00（小夜班）的護(hù)士，第二天在時間段06:00-10:00不排班，即 j=1,2,.2104、 時間段02:00-06:00（大夜班）每個星期最多只排一次，且第二天必須休息，即 j=1,2,.2105、 每個星期每位護(hù)士工作40小時，即 ，j=1,2,.210 （2）問題求解編寫程序，利用lingo求解，程序見附錄1，具體每人每天

12、每班次的排班方案見附錄2。每天每班次的上班人數(shù)如表一。從程序可以驗證問題二中的145人為一個星期所需最少護(hù)士數(shù)。表一 人員分配表星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天6:00-10:0011360606060606010:00-14:007071707170707014:00-18:006260606061616018:00-22:005052505351505022:00-02:002220202022212002:00-06:00303030303030305.3.1方案唯一性分析：由表一知，星期一的第一個時間段，第三個時間段，第五時間段等都大于題目要求的最少護(hù)士數(shù)，應(yīng)此交換這

13、些多的人就可以排出多種方案，所以不唯一。5.4問題四求解：求最少需要的護(hù)師職稱以上（包括護(hù)師職稱）的護(hù)士。問題四在以問題二的前提下，即確定了一個星期最少需要護(hù)士為145人，為此本問題做一下求解。目標(biāo)函數(shù)：1. 引進(jìn)0,1變量2. 新增一約束條件：，其它約束條件與問題三相同，在此不做重復(fù)。3. 編寫程序求解，可得最少需要84位護(hù)師職稱（包括護(hù)師職稱）以上的護(hù)士才能滿足院方對職稱的要求。6、模型評價與改進(jìn)6.1模型的優(yōu)點1. 該模型將護(hù)士排班所要求的條件都用數(shù)學(xué)語言表達(dá)清楚了，非常符合題目意思，很好的解決了這一類問題。實際醫(yī)院的排班都可借鑒該模型對限制條件進(jìn)行修改即可得到該院方的排班要求，所以本模

14、型具有很好的通用性，實用性強。而且是在滿足醫(yī)院要求下線人數(shù)下的優(yōu)化，可以為醫(yī)院減少開支。2. 該模型巧妙的將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，避免了程序運行時間長等缺點。3. 在問題三中引進(jìn)了0,1變量，直觀易懂，將問題簡化了，更容易著手解決問題。6.2模型的缺點與改進(jìn)1. 該模型得出的結(jié)果不是很明了，需要大量的處理工作才能制作真實的排班表。2. 該模型只考慮了一些勞動法約束等客觀因素，并沒有考慮護(hù)士請假約束和護(hù)士對工作時段偏好以及護(hù)士間配合默契程度的軟約束。鑒于此，該模型可進(jìn)一步改進(jìn)，即通過增加護(hù)士的工作時段偏好、相互配合默契程度等因素進(jìn)一步擴展護(hù)士排班模型, 使其在滿足各種實際約束的同時更具人性化

15、，實現(xiàn)“護(hù)士心意卡”排班方式。參考文獻(xiàn)1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型m . 北京:高等教育出版社,2003.2 秦裕瑗,秦明復(fù).運籌學(xué)簡明教程m.北京:高等教育出版社,施普林格出版社,2000.3 韓大衛(wèi).管理運籌學(xué)m .大連:大連理工大學(xué)出版社,2006.4 附錄附錄一 ：問題一程序：model:sets:s/1.6/:a,x;endsetsdata:a=60 70 60 50 20 30;enddatamin=sum(s(i):x(i);for(s(i):x(i)+x(wrap(i-2,6)>=a(i);for(s(i):gin(x(i);end問題三程序：model:sets:

16、r/1.210/;b/1.42/:a;link(b,r):x;endsetsdata:a=60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30;enddatafor(r(j):sum(b(i)|i#ge#1#and#i#le#6:x(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#7#and#i#le#12:x(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#

17、13#and#i#le#18:x(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#19#and#i#le#24:x(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#25#and#i#le#30:x(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#31#and#i#le#36:x(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#37#and#i#le#42:x(i,j)<2);for(r(j):for(b(i)|i#ge#1#and#i#le#5:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):f

18、or(b(i)|i#ge#7#and#i#le#11:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#13#and#i#le#17:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#19#and#i#le#23:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#25#and#i#le#29:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#31#and#i#le#35:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):fo

19、r(b(i)|i#ge#37#and#i#le#41:x(i,j)+x(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#1#and#i#le#6:x(6*i-1,j)+x(6*i+1,j)<1);for(r(j):sum(r(j):x(6,j)+x(12,j)+x(18,j)+x(24,j)+x(30,j)+x(36,j)+x(42,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#1#and#i#le#6:2*x(6*i,j)+(x(6*i+1,j)+x(6*i+2,j)+x(6*i+3,j)+x(6*i+4,j)+x(6*i+5,j)+x(6*i

20、+6,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#1#and#i#le#42:x(i,j)=10);for(b(i):sum(r(j):x(i,j)>a(i);for(link(i,j):bin(x(i,j);end問題四程序：model:sets:r/1.210/:x;b/1.42/:a;link(b,r):m;endsetsdata:a=60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,60,50,20,30,60,70,6

21、0,50,20,30;enddatamin=sum(r:x);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#1#and#i#le#6:m(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#7#and#i#le#12:m(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#13#and#i#le#18:m(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#19#and#i#le#24:m(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#25#and#i#le#30:m(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)

22、|i#ge#31#and#i#le#36:m(i,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#37#and#i#le#42:m(i,j)<2);for(r(j):for(b(i)|i#ge#1#and#i#le#5:m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#7#and#i#le#11:m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#13#and#i#le#17:m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#19#and#i#le#23:

23、m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#25#and#i#le#29:m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#31#and#i#le#35:m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#37#and#i#le#41:m(i,j)+m(i+1,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#1#and#i#le#6:m(6*i-1,j)+m(6*i+1,j)<1);for(r(j):sum(r(j):m(6,j)+m(12,j)+m

24、(18,j)+m(24,j)+m(30,j)+m(36,j)+m(42,j)<1);for(r(j):for(b(i)|i#ge#1#and#i#le#6:2*m(6*i,j)+(m(6*i+1,j)+m(6*i+2,j)+m(6*i+3,j)+m(6*i+4,j)+m(6*i+5,j)+m(6*i+6,j)<2);for(r(j):sum(b(i)|i#ge#1#and#i#le#42:m(i,j)=10);for(b(i):sum(r(j):m(i,j)>a(i)*0.4);for(link(i,j):bin(m(i,j);for(r(i):bin(x(i);end附錄二

25、：問題三護(hù)士具體排班方案：周一第1班護(hù)士編號周一第2班護(hù)士編號周一第3班護(hù)士編號周一第4班護(hù)士編號周一第5班護(hù)士編號周一第6班護(hù)士編號周二第1班護(hù)士編號周二第2班護(hù)士編號周二第3班護(hù)士編號周二第4班護(hù)士編號周二第5班護(hù)士編號周二第6班護(hù)士編號15111311020213422112292162134965221441041723751373224196115182786141533252071561931923212951262383572432112922425627291736825391230314659303421401228441333394962313526463337481435

26、405267323627493438551541476169393728534345582243489570413830555250602644539673424031566981633449549980434833627483643651551128944504167108856540585611392455751701158671426257115934662587615210576476364131944763598815510977526575139974964619316112278536682185106516566941771279354688819011152687510218

27、613695577110111753697911418815097597710312854728111915498617810812955748212115710069801101375676841261621017290111143588387141169102739611614759888914217510774991181646099911481781107910211919961101921511831148211712020167102951631891208412112420271103961661218712312573105971701238912912675110100174

28、125911301377711410417912892131138781191061901309413214079121107191132103133141801221111961341041341458212411219714110613514784126113199144113142163851271162001511151511668612911820115311615316787134123202158124158170891441282031601381601819014613020416313916118291152132205164140168188921541332061651

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