巧用線性規(guī)劃思想解題

1、巧用線性規(guī)劃思想解題當約束條件或目標函數(shù)不是線性規(guī)劃問題，但其幾何意義明顯時，仍可利用線性規(guī)劃的思想來解決問題，從而使解題思路拓寬，提高解題能力一、 函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題例1 如圖1，滿足的可行域是圖中陰影部分（包括邊界）若函數(shù)在點取得最小值，求的取值范圍解：由圖1易得滿足的約束條件為將目標函數(shù)改為斜截式，表示直線在軸上的截距，欲求的最小值，可轉(zhuǎn)化為求的最大值當時，顯然直線在點處，取得最大值；當時，依題意，易得綜上所述，時，函數(shù)在點取得最小值二、 方程問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題例2 已知，若方程與方程都有實數(shù)根，求的最小值解：由題意，得即畫出其可行域為如圖2所示陰影部分令，故要求的最小值，即

2、求過可行域內(nèi)的點，使得在軸上截距最小的點的坐標由圖知，點即為所求由解得的最小值為6三、 不等式問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題例3 已知，且，求的取值范圍解：如圖3，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域作直線，把直線向右下方平移過，即直線與的交點時，；再把直線向右下方平移過即直線與的交點時，說明：本題還可運用整體代換法，先用與的一次組合表示，找出它們之間的線性關(guān)系，然后利用不等式的性質(zhì)加以解決四、 多元問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題例4 已知的三邊長滿足，求的取值范圍解：由題意，應(yīng)用令，上述不等式可化為求出的范圍即可作出可行域如圖4，易得，于是的范圍為五幾何問題轉(zhuǎn)化為線性（非線性）規(guī)劃問題（3，6，8）簡單的

3、線性規(guī)劃和實際應(yīng)用一、選擇題1.已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是( )a.2 b.5 c.6 d.8解析：由題可知可行域如下:顯然,b(3,3)使(x+y)取得最大值6.答案：c2.在平面直角坐標系xoy中,滿足不等式組的點(x,y)的集合用陰影表示為下列圖中的( )解析：若0<x<1,當y>0時,要使|y|x|,則yx;當y<0時,要使|y|x|,則y-x;若-1<x<0,當y>0時,要使|y|x|,則y-x; 當y<0時,要使|y|x|,則yx.答案：c3.若a為不等式組表示的平面區(qū)域,則當a從-2連續(xù)變化到1時,動直線x+y=a掃過

4、a中的那部分區(qū)域的面積為( )a. b.1 c. d.2解析：如圖所示,直線x+y=a掃過的區(qū)域為四邊形aobc.s四邊形aobc=saod-scbd=.答案：c4.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為m,則使函數(shù)y=ax(a>0,a1)的圖象過區(qū)域m的a的取值范圍是( )a.1,3 b.2, c.2,9 d.,9解析：平面區(qū)域m如圖所示.求得a(2,10),c(3,8),b(1,9).由圖可知,欲滿足條件必有a>1且圖象在過b、c兩點的圖象之間.當圖象過b時,a1=9,a=9.當圖象過c時,a3=8,a=2.故a的取值范圍為2,9.故選c.答案：c二、填空題5.若變量x,y滿足則

5、z=3x+2y的最大值是_.解析：由不等式組畫出的可行域如圖,結(jié)合圖形,由于是zmax=3×10+2×20=70.答案：706.已知m=(x,y)|x|+|y|1,則m的面積為_.解析：如圖,作出m表示的平面區(qū)域,其面積為2.答案：27.若a0,b0,且當時,恒有ax+by1,則以a,b為坐標的點p(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積是_.解析：ax+by1恒成立,當x=0時,by1恒成立,可得y(b0)恒成立,所以0b1;同理0a1.所以點p(a,b)確定的平面區(qū)域是一個正方形,面積為1.答案：1三、解答題8.已知求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值時x、y的值.解：z=x2+y2不是線性函數(shù),求它的最值可利用幾何意義求解.x2+y2表示區(qū)域上的點到原點的距離的平方,顯然,它的最值應(yīng)在區(qū)域的邊界上取得.作出滿足以上不等式組的可行區(qū)域(如圖),易知在這個區(qū)域中,點c到原點o的距離最遠,即z的最大值是22+32=13,這時x=2,y=3.又過o點作直線ab:x+=1的垂線,垂足,在點d處z有最小值|od|2=,此時x=,y=.9.若函數(shù)的定義域是r,