特色訓(xùn)練111平方根與立方根

1、111平方根與立方根 專題專練 一、概念本專題有二個重要概念，即：平方根、算術(shù)平方根，這二個概念既有相同點(diǎn)，又有本質(zhì)區(qū)別，很容易混淆，為了更好地區(qū)分它們，列表比較如下：概念個數(shù)x叫做a的平方根，即：若x2=a，則x叫做a的平方根一個正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根；即：若x2=a（x0），則x叫做a的算術(shù)平方根表示方法±a的取值范圍a0a0性質(zhì)正數(shù)的平方根有二個，它們是互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。一個正數(shù)有一個算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根等于0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根重要結(jié)論（±）2=a （a0）= (a為全體實(shí)數(shù))（）2=a （a0）= (a為全體實(shí)數(shù))平方

2、根與算術(shù)平方根的聯(lián)系平方根包含算術(shù)平方根；算術(shù)平方根是平方根中的一個。平方根和算術(shù)平方根都是只有非負(fù)數(shù)才有。求平方根和算術(shù)平方根都是開平方運(yùn)算，且都是開平方運(yùn)算的逆運(yùn)算0的平方根是0，0的算術(shù)平方根也是0注意：在本專題中要準(zhǔn)確理解 ±、-的意義±（a0）表示非負(fù)數(shù)a的平方根，正數(shù)a的平方根有二個，它們是互為相反數(shù).（a0）表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，它是一個非負(fù)數(shù)，即0（a0）-（a0）表示的是非負(fù)數(shù)a的負(fù)的平方根，或非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的相反數(shù)。±、-當(dāng)a0時，它們都沒有意義。二、運(yùn)算學(xué)習(xí)平方根，要過好運(yùn)算關(guān)，即：“開平方運(yùn)算”開平方，求一個非負(fù)數(shù)a的平方根的運(yùn)算

3、叫開平方，開平方是一種新的運(yùn)算，與我們以前學(xué)習(xí)的加、減、乘、除、乘方一樣是一種運(yùn)算，平方根是開平方的結(jié)果 開平方與平方互為逆運(yùn)算。開平方與其它運(yùn)算不一樣，其它運(yùn)算的結(jié)果是唯一的，而開平方的結(jié)果可能有二個、一個、不存有。三、注意算術(shù)平方根兩個非負(fù)性的應(yīng)用任何一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，即0（a0）對于二次根式，隱含著一個重要條件：被開方數(shù)是一個非負(fù)數(shù)，即a0當(dāng)a為非負(fù)數(shù)時，的最小值為0，即0四、典型例題剖析例1、4的算術(shù)平方根是（ ）a、2 b、-2 c、±2 d、16剖析：本題考查算術(shù)平方根的概念，根據(jù)算術(shù)平方根的定義能夠直接得到：4的算術(shù)平方根是2，選a例2、的平方根是 剖析

4、本題考查了二個知識，其一：的意義，它表示的是81的算術(shù)平方根，即9；其二：9的平方根，即±3，所以本題答案為±3。評注：本題很容易錯填±9，其原因是對的意義不明確，本題有二步計(jì)算，一是=9；二是9的平方根是±3例3、若2m-4與3m-1是同一個數(shù)的兩個不同的平方根，則m的值是（ ）a-3 b1 c-3或1 d-1剖析：根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，并且這兩個平方根互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根；0的平方根是0。所以有2m-4+3m-1=0，得出m=1，本題選b例4、解方程16x2-25=0剖析：要求滿足方程未知數(shù)x的值，能夠象解一元一次方程那樣，把方

5、程變形，先求出x2的值。再開方求出x的值。解：由16x2-25=0 所以x2= 所以x=±=±例5、一塊板長3米，寬2米，它的對角線長為米，不用計(jì)算器試估計(jì)它的對角線長是多少？（結(jié)果精確到0.01）剖析：本題是一道估算題，它考查的是平方與開平方的互逆運(yùn)算關(guān)系，借助平方，容易得到，解：設(shè)對角線的長為x，由已知得 x2=13，9<13<16， 因?yàn)?2=9，42=16， 所以3<x<4 又因?yàn)?.62=12.96，3.72=13.69 所以3.6<x<3.7 又因 3.6052=12.996025， 3.6062=13.003236， 所以

6、3.605<x<3.606精確到百分位，可得對角線的長約為36.1米例6、物體從某一高度自由落下，物體下落的高度s與下落的時間t之間的關(guān)系可用公式s=gt2表示，其中g(shù)=10米/秒2，若物體下落的高度是180米，那么下落的時間是多少秒？剖析：本題是一道貼近生活的實(shí)際問題，只須代入數(shù)值計(jì)算即可，解：因?yàn)閟=gt2，所以當(dāng)s=180米時，得180=·10t2，所以t2=36，所以t=±6因?yàn)闀r間不能為負(fù)，所以t=6，即物體下落的時間為6秒專題練習(xí)一1、16的平方根是（ ）a、4 b、-4 c、±4 d、±82、的算術(shù)平方根（ ）a、3 b、

7、77;3 c、 d、±3下列各式成立的是（ ）a ±3 b=81 c=-3 d =34、一個數(shù)a有兩個不同的平方根為2m+1，m-7，則這個數(shù)a是 5、解方程（x-1）2=32 6、將一塊面積為30m2的正方形鐵皮的四個角各剪去一個面積為2m2的小正方形，剩下的部分剛好能作一個無蓋的長方體運(yùn)輸箱，求此運(yùn)輸箱底面的邊長（可借助于計(jì)算器，結(jié)果精確到0.01m）專題二、立方根一、概念立方根與平方根類似，為了更好的學(xué)習(xí)，列表比較之立方根平方根概念如果一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)x叫做a的立方根，即：若x3=a，則x叫做a的立方根如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x叫做a的平方

8、根，即：若x2=a，則x叫做a的平方根表示方法±a的取值范圍a為全體實(shí)數(shù)a0性質(zhì)正數(shù)的立方根有一個，是正的；負(fù)數(shù)的立方根有一個，是負(fù)的；0的立方根是0；正數(shù)的平方根有二個，它們是互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。重要結(jié)論 （a全體實(shí)數(shù)） （a全體實(shí)數(shù)）= （a全體實(shí)數(shù)）（±）2=a （a0）二、運(yùn)算 開立方，求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，開立方和開平方統(tǒng)稱為開方，加、減；乘、除；乘方、開方稱為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的三級運(yùn)算開立方與立方互為逆運(yùn)算。開立方的結(jié)果是唯一的，任何一個實(shí)數(shù)都有唯一的一個立方根三、典型例題剖析例1、 -的立方根是（ ）a b- c± d不

9、存在剖析：根據(jù)立方根的概念直接得到為 -，選b例2、下列說法中正確的是（ ）3的立方根是27； 的立方根是；64的立方根是±4； 0的立方根是0a b c d剖析：本題考查的是立方根的概念，對照概念可知，只有是正確的，所以選d例3、下列說法中錯誤的是（ ）a負(fù)數(shù)沒有立方根 b1的立方根是1c的平方根是± d立方根等于它本身的數(shù)有3個剖析：本題考查的是立方根與平方根性質(zhì)的區(qū)別，要認(rèn)真區(qū)分，否則很容易出錯，顯然a是錯誤的，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)都有立方根，所以選a例4、已知x兩個不同的平方根是2a+3和1-3a，y的立方根為a，求x+y的值剖析：根據(jù)平方根的性質(zhì)有，2a+3+1-3a=0

10、，所以a=4，x的平方根就是：2a+3=11，1-3a=-11于是x=121；根據(jù)立方根的性質(zhì)，y=a3=64，所以，x+y=185例5、已知a2=4，b3=27，求ab的值剖析：本題包含了分類討論思想。解：由a2=4得，a=±2；由b3=27得b=3所以，當(dāng)a=2，b=3時，ab=23=27當(dāng)a= -2，b=3進(jìn)，ab=（-2）3= -27例6、將半徑為12cm的鐵球熔化，重新鑄造出8個半徑相同的小鐵球，不計(jì)損耗，小鐵球的半徑是多少厘米？（球的體積公式為v=r3）剖析：本題是一個帖近生活的實(shí)際問題，根據(jù)熔化前后，總體積相等，列方程求解解：設(shè)小鐵球的半徑為x。根據(jù)題意得： ××123=8×××x3解得，x3=216所以，每個小球的半徑為x=6cm專項(xiàng)練習(xí)二1、-8的立方根是（ ）a、不存在 b、2 c、-2 d、±22下列說法中正確的是（ ）a1的立方根是±1 b負(fù)數(shù)沒有立方根c2的立方根是 d任何實(shí)數(shù)都有一個立方根3、一個數(shù)的立方根等于它本身，這個數(shù)是 4、用計(jì)算器計(jì)算：_（保留4個有效數(shù)字）5、8（x+1）3-27=06、王老師有棱長為40