2021年新高考數(shù)學(xué)全國卷模擬(附參考答案和詳解)

1、絕密啟用前2021年普通高等學(xué)校招生模擬考試（全國卷I ）數(shù)學(xué)（適用新高考地區(qū)）總分：150分 考試時間：120分鐘?？荚図樌⒁馐马?xiàng):1、本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2、選擇題的作答：選出每小題答案后，用 2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試 題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿 紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試

2、結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。第I卷、單項(xiàng)選擇題：本題共 8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 一 21.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2 i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限2.設(shè)集合A x| 3A. (1,2)B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2x 1 3,集合B為函數(shù)y lg（x 1）的定義域，則 Ap BB.1,2C.1,2）D.（1,23.已知向量 a (k,3) , b (1,4), c (2,1),且(2a 3b) c,則實(shí)數(shù) k ()A.B. 0C.315D.一24.使 3xn1(nx<xN ）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的A. 4B.

3、5C.6D.7第3頁（共13頁）5.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表:A. 0.35B. 0.45C.0.55D.0.65分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40）的頻率為（）226 .已知過點(diǎn)P（2,2）的直線與圓（x 1） y 5相切，且與直線 ax y 1 0垂直，則a （）A. -B.1C.2D.-227 .命題"存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)"的否定是（）A.任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)8 .任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一

4、個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)8 .已知b 0,log 5b a,lgb c,5d 10 ,則下列等式一定成立的是（）A. d acb. a cdc. c add. d a c二、多項(xiàng)選擇題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要 求.全部選又的得5分，部分選對的得 3分，有選錯的得 0分.9 .甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則（A頻數(shù)3-；一口口口口口 一 .34 56789 10 環(huán)數(shù) 甲A.甲的成績的平均數(shù)大于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的

5、極差小于乙的成績的極差10.如果雙曲線的離心率.5 1'人皿小一人人口 =一- '人口,則稱此雙曲線為黃金雙曲線.有以下幾個命題，其中正確命題的222A.雙曲線人1是黃金雙曲線2、5 1B.雙曲線y22x25 11是黃金雙曲線x2 y2C.在雙曲線一2 匕 1中，E為左焦點(diǎn)，A2為右頂點(diǎn)，B（0,b）,若 EBA 901則該雙曲 a b線是黃金雙曲線D.在雙曲線二 冬 1中，過焦點(diǎn)F2作實(shí)軸的垂線交雙曲線于 M, N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若MON 120；,則該雙曲線是黃金雙曲線11.已知m, n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列4個命題，其中真命題有A.若 m, n，

6、則 m nB.若 m, n，則 m nC.若m , m ，則D.若 m , n ，則 m n12.已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x 0時，有f(x 1) f(x),且當(dāng)x 0,1)時, f(x) log2(x 1).給出下列命題，其中正確的命題的為()A. f(2016) f( 2017) 08 .函數(shù)f(x)在定義域上是周期為 2的周期函數(shù)C.直線y x與函數(shù)f(x)的圖像有1個交點(diǎn)D.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,1)90分.5分。本卷包括填空題和解答題兩部分，共三、填空題：本題共 4小題，每小題13.函數(shù) y 3sin 2x的最小正周期為14 .盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,

7、7,8,9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是 .(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)15 .在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2 4x的焦點(diǎn)F ,且與該拋物線相交于 A, B兩點(diǎn)， 其中點(diǎn)A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60i：,則OAF的面積為.16 .已知正三棱錐 P-ABC ,點(diǎn)P,A, B,C都在半徑為 石的球面上.若 PA,PB,PC兩兩互相垂直, 則球心到截面ABC的距離為.四、解答題：本題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. (10 分)已知%為等差數(shù)列，且a36, 06 0.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列bn滿足h 8,

8、 b2 a1 a2 a3,求bn的前n項(xiàng)和公式.18. (12 分)在ABC中，內(nèi)角A, B, C對邊的邊長分別是 a, b, c,已知c 2, C(1)若ABC的面積等于 點(diǎn)，求a, b；(2)若 sinC sin(B A) 2sin2A,求ABC 的面積.第9頁(共13頁)19. （12 分）一 3. . 一 _ .一一 現(xiàn)有甲乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次命中的概率為-,命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射42擊兩次，每次命中的概率為 2,每命中一次得2分，沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú) 3立，假設(shè)該射手完成以上三次射擊.(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得

9、分 X的分布列及數(shù)學(xué)期望 EX .20. （12 分） 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA 底面ABCD , E是PC的中點(diǎn).已知AB 2 , AD 272 , PA 2 .求：(1)三角形PCD的面積；(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.21. (12 分)已知橢圓C:x2 2V之4.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn) A在直線y 2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA OB ,求線段AB長度的最小值.22. (12 分)x a3已知函數(shù)f (x) lnx 一,其中a R ,且曲線y f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線垂直于 4 x21y x.2(1)求a的值

10、；(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值.參考答案與解析、單項(xiàng)選擇題1.D2.D【解析】因?yàn)?2 i)2 3 4i ,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選D.【解析】A x| 3 2x 1 3 1,2, B (1,) , A。B (1,2 .故選 D.3.C【解析】2a 3b (2 k 3, 6) , r (2 a 3b) c,2(2k 3) 6 0 , k 3 .故選C.4.Br 一 r n r 1【解析】展開式通項(xiàng) Tr 1 Cn(3x)x 二 x5n -r . 一 一一3C： x 2 ,常數(shù)項(xiàng)要滿足n0,所以滿足條件的最小的n為5.故選B.5.B6.C解得k【解析】數(shù)據(jù)落在10,40的頻

11、率為2 3 4 -9 0.45 .故選B.2020，一 ，一 22 .2 0【解析】由題意知點(diǎn) P(2,2)在圓(x 1) y 5上，設(shè)切線的斜率為 k ,則k 1 ,2 11 _1 C 一，,直線ax y 1 0的斜率為a ,且與切線垂直，所以一a 1,解得a 2 .故選22C.7.B【解析】由題知，原命題是一個存在命題，因此其否定形式為特稱命題，“存在一個無理數(shù)”變?yōu)椤叭我庖粋€無理數(shù)”，再把結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”予以否定 .故選B.8.B 【解析】因?yàn)閘og5b a,lgb c,所以5a b,b 10c.又 5d 10,所以 5a b 10c (5d)c 5cd ,所以 a cd .故選

12、 B.二、多項(xiàng)選擇題.9.AC【解析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知甲的中靶情況為4環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、7環(huán)、8環(huán)；乙的中靶情況.27.2、5 1b 45 1,所以e ，不是黃金雙曲線;22 3x5、51e2 ,即e ,是黃金雙曲線；22,5 1 人ac,則e ,是黃金雙曲線；2為5環(huán)、5環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、9環(huán)，之后應(yīng)用各個統(tǒng)計(jì)量的公式進(jìn)行計(jì)算即可.故選AC.一.210.BC 【解析】雙曲線中 a 2,雙曲線中a2 1, b2 近二，則2雙曲線中，B7彘1 0,即b2雙曲線中，可得點(diǎn) M(c,J3c),因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線上，代入雙曲線方程有c4 5a2c2 a4 0,所.2521以e ,不是黃金雙曲線.故選 BC

13、.211.BC【解析】A錯誤，m , n可能異面；D錯誤，m , n可能相交或異面.故選 BC.12.C【解析】根據(jù)題意，可在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y x和函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象可知選項(xiàng) A中f (2016) f( 2017) 0正確；對于選項(xiàng) B,函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù)，所以B不正確；對于選項(xiàng) C,根據(jù)函數(shù)圖象可知 y x與f (x)的圖象有1個交點(diǎn)，所以C正確;對于選項(xiàng)D,根據(jù)圖象，函數(shù) f (x)的值域是(1,1),所以D正確.故選ACD .第n卷三、填空題.1 2九13.冗【解析】T 九.213人人，E，一 一 ， 一 ，14. 一 【解析】9個數(shù)5個奇

14、數(shù)，4個偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為181 C1 £C918.15 .石【解析】如圖，1過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線段 AM ,設(shè)AF t,則AM t , FN -t ,2一，_ _ ,1因?yàn)?AM PN PF FN ,所以 t 2 -t, 2所以AF t 4,所以AN 273,所以 S；，OAF -OF AN & 216 . g【解析】因?yàn)镻A、PB、PC兩兩互相垂直，所以正三棱錐 P-ABC的外接球就是以 PA PB、PC為棱的正方體的外接球,從而球心到截面 ABC的距離即為球半徑減去正三棱錐的高.設(shè) PA PB PC a,貝U 3a2_ 2 一 一4R2 12 ,即 a2.設(shè)正三棱錐

15、P-ABC的高為則 Vp-abc 3232.2故球心到截面ABC的距離為332.33,33四、解答題：本題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d .因?yàn)?a36,% 0,a 2d 6,a 5d 0.解得 a 10,d 2.所以 an10 (n 1) 2 2n 12.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)?b2 a1 a2 a324，b8,所以8q 24,即q 3.所以bn的前n項(xiàng)和公式為Sn"(1 q ) 4(1 3n).1 q18.【解析】（1）由余弦定理及已知條件得，a2b2 ab 4,又因?yàn)榘薃BC的面積等于J3,

16、所以- absinC2a2 b2 ab聯(lián)立方程組a b ab ab 4,4,解得a 2, b(2)由題意得sin(B A)sin( BA) 4sinAcosA,即 sinBcosA 2sinAcosA ,當(dāng)cosA 0時,2.33 ，當(dāng)cosA 0時,得 sinB2sinA ,由正弦定理得b 2a ,聯(lián)立方程組 a bb2 ab2a,4,23解得a 34-33所以的面積一 1，.八S -absinC22.3319.【解析】（1）記 該射手恰好命中一次”為事件A,該射手射擊甲靶命中”為事件B ,該射手第次射擊乙靶命中”為事件C ,該射手第二次射擊乙靶命中 ”為事件D ,32由題意知P(B) ,

17、P(C) P(D)一,由于A43BCDBCD根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A) P(BCD BCD BCD)P(BCD) P(BCD) P(BCD) P B P C PP(B)P(C)P(D)P(B)P(C)P(D)736（2）根據(jù)題意，X的所有可能取值為 0,1,2,3,4,5 ,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得1P(X 0) P(BCD) 1 P(B)1 P(C)1 P(D)361P(X 1) P(BCD) P(B)P(C)P(D) ,12第13頁（共13頁）-1P(X 2) P(BCD BCD) P(BCD) P(BCD) ,9-1P(X 3) P(BCD BCD) P(BCD) P(BCD)

18、-,3、1P(X 4) P(BCD)-,9-1P(X 5) P(BCD)-.3故X的分布列為X012345P13611219-3-91311111141所以 EX 01234536129393 1220 .【解析】(1)因?yàn)镻A 底面ABCD, CD 平面ABCD,所以PA CD .又 AD CD , PA AD A,所以 CD 平面 PAD ,從而 CD PD .因?yàn)樵谥苯侨切?PCD中，PD J22 2J2 2 273, CD 2,所以三角形PCD的面積為1 2 2J3 2J3.2第17頁(共13頁)(2)解法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則 B 2,0,0 , C 2,2 石,0 ,AE與BC的夾角為，則1,72,1 , BC0,272,0cos一兀所以-,4. . 一 ，, 它由此知，異面直線 BC與AE所成的角的大小是 -.4解法二：如圖所示,取PB的中點(diǎn)F ,連接EF , AF ,則EF BC ,從而 AEF （或其補(bǔ)角）是異面直線 BC與AE所成的角.在 AEF 中，由 EF 72, AF 72, AE 2 ,知AAEF是等腰直角三角形，所以 AEF ；,一 一 ,