常用算法設(shè)計方的法C語言

1、常用算法設(shè)計方法1一、迭代法1二、窮舉搜索法2三、遞推法6四、遞歸7五、回溯法15六、貪婪法28七、分治法33八、動態(tài)規(guī)劃法3947常用算法設(shè)計方法要使計算機能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計一個算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計算機程序要對問題的每個對象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個算法由有限條可完全機械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計算機按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令

2、能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對此輸入數(shù)據(jù)無解。通常求解一個問題可能會有多種算法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲空間少和執(zhí)行更快等。算法設(shè)計是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡潔的形式設(shè)計和藐視算法，在算法設(shè)計時又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。一、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：選一個方程的近似根

3、，賦給變量x0；將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；當(dāng)x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟（2）的計算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用c程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根 x0=初始近似根；do x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程計算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)>epsilon)；printf(“方程的近似根是%fn”，x0)；迭代算法也常用于求方程組的根，令x=（x0，x1，xn-1）設(shè)方程組為：xi=gi(x)(i=0

4、，1，n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根 for (i=0;i<n;i+)xi=初始近似根;do for (i=0;i<n;i+)yi=xi;for (i=0;i<n;i+)xi=gi(x);for (delta=0.0,i=0;i<n;i+)if (fabs(yi-xi)>delta)delta=fabs(yi-xi)； while (delta>epsilon)；for (i=0;i<n;i+)printf(“變量x%d的近似根是 %f”，i，xi)；printf(“n”)；具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)

5、生的情況：如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導(dǎo)致迭代失敗。二、窮舉搜索法窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進行逐一枚舉和檢驗，并從中找出那些符合要求的候選解作為問題的解?！締栴}】將a、b、c、d、e、f這六個變量排成如圖所示的三角形，這六個變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個解。程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不

6、相同的條件下，測試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細節(jié)見下面的程序?！境绦?】# include <stdio.h>void main()int a,b,c,d,e,f;for (a=1;a<=6;a+)for (b=1;b<=6;b+)if (b=a)continue;for (c=1;c<=6;c+)if (c=a)|(c=b)continue;for (d=1;d<=6;d+)if (d=a)|(d=b)|(d=c) continue

7、;for (e=1;e<=6;e+)if (e=a)|(e=b)|(e=c)|(e=d) continue;f=21-(a+b+c+d+e);if (a+b+c=c+d+e)&&(a+b+c=e+f+a)printf(“%6d,a);printf(“%4d%4d”,b,f);printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);scanf(“%*c”);按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個變量排成三角形，每條邊有4個變量的情況，程序的循環(huán)重數(shù)就要相應(yīng)改變。對一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個排列看作一個長整數(shù)，則所有排列對應(yīng)著一組整數(shù)。將這組

8、整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個整數(shù)，從對應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個排列對應(yīng)的每個整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個排列找出對應(yīng)數(shù)列的下一個排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來實現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對應(yīng)的長整數(shù)為124653。要尋找比長整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個數(shù)字比它前一個數(shù)字大時，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說明還有對應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一

9、個排列。為了得到排列124653的下一個排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考察過程中第一個比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對應(yīng)最小整數(shù)的那個排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個排列。按以上想法編寫的程序如下?！境绦?】# include <stdio.h># define side_n3# define length3#

10、define variables6int a,b,c,d,e,f;int *pt=&a,&b,&c,&d,&e,&f;int *sideside_nlength=&a,&b,&c,&c,&d,&e,&e,&f,&a;int side_totalside_n;mainint i,j,t,equal;for (j=0;j<variables;j+)*ptj=j+1;while(1)for (i=0;i<side_n;i+)for (t=j=0;j<length;

11、j+)t+=*sideij;side_totali=t;for (equal=1,i=0;equal&&i<side_n-1;i+)if (side_totali!=side_totali+1equal=0;if (equal)for (i=1;i<variables;i+)printf(“%4d”,*pti);printf(“n”);scanf(“%*c”);for (j=variables-1;j>0;j-)if (*ptj>*ptj-1)break;if (j=0)break;for (i=variables-1;i>=j;i-)if (*p

12、ti>*pti-1)break;t=*ptj-1;* ptj-1 =* pti; *pti=t;for (i=variables-1;i>j;i-,j+)t=*ptj; *ptj =* pti; *pti=t;從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個示例來加以說明。【問題】背包問題問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設(shè)n個物品的重量和價值分別存儲于數(shù)組w 和v 中，限制重量為tw?？紤]一個n元組（x0，x1，xn-1），其中x

13、i=0 表示第i個物品沒有選取，而xi=1則表示第i個物品被選取。顯然這個n元組等價于一個選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。顯然，每個分量取值為0或1的n元組的個數(shù)共為2n個。而每個n元組其實對應(yīng)了一個長度為n的二進制數(shù)，且這些二進制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個n元組?！舅惴ā縨axv=0;for (i=0;i<2n;i+)b0.n-1=0;把i轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)，存儲于數(shù)組b中;temp_w=0;temp_v=0;for (j=0;j

14、<n;j+)if (bj=1)temp_w=temp_w+wj;temp_v=temp_v+vj;if (temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv)maxv=temp_v;保存該b數(shù)組；三、遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為n的解，當(dāng)n=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為i的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通

15、過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為n的解?！締栴}】階乘計算問題描述：編寫程序，對給定的n（n100），計算并輸出k的階乘k！（k=1，2，n）的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)n用數(shù)組a 存儲：n=am×10m-1+am-1×10m-2+ +a2×101+a1×100并用a0存儲長整數(shù)n的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素。例如，5！=120，在數(shù)組

16、中的存儲形式為：3021首元素3表示長整數(shù)是一個3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。計算階乘k！可采用對已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計算5！，可對原來的24累加4次24后得到120。細節(jié)見以下程序。# include <stdio.h># include <malloc.h># define maxn1000void pnext(int a ,int k)int *b,m=a0,i,j,r,carry;b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1);for ( i=1;i<

17、=m;i+)bi=ai;for ( j=1;j<=k;j+)for ( carry=0,i=1;i<=m;i+)r=(i<a0?ai+bi:ai)+carry;ai=r%10;carry=r/10;if (carry) a+m=carry;free(b);a0=m;void write(int *a,int k)int i;printf(“%4d！=”,k);for (i=a0;i>0;i-)printf(“%d”,ai);printf(“nn”);void main()int amaxn,n,k;printf(“enter the number n: “);scanf

18、(“%d”,&n);a0=1;a1=1;write(a,1);for (k=2;k<=n;k+)pnext(a,k);write(a,k);getchar();四、遞歸遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為n的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模n=1時，能直接得解?！締栴}】編

19、寫計算斐波那契（fibonacci）數(shù)列的第n項函數(shù)fib（n）。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)（當(dāng)n>1時）。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n)if (n=0)return 0;if (n=1)return 1;if (n>1)return fib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n

20、-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)

21、用層，當(dāng)遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）5、4、3（2）5、4、2（3）5、4、1（4）5、3、2（5

22、）5、3、1（6）5、2、1（7）4、3、2（8）4、3、1（9）4、2、1（10）3、2、1分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個組合求出后，才將a 中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合

23、的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb?！境绦颉? include<stdio.h># definemaxn100intamaxn;voidcomb(int m,int k)int i,j;for (i=m;i>=k;i-)ak=i;if (k>1)comb(i-1,k-1);elsefor (j=a0;j>0;j-)printf(“%4d”,aj);printf(“n”);void main()a0=3;comb(5,3);【問題】背包問題問題描

24、述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)

25、一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個方案。因為當(dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇?？紤]物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下：try(物品i，當(dāng)前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可

26、能性*/if(包含物品i是可以接受的)將物品i包含在當(dāng)前方案中；if (i<n-1)try(i+1,tw+物品i的重量,tv);else/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (不包含物品i僅是可男考慮的)if (i<n-1)try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；else/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;為了理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：物品0123重量5321

27、價值4431并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。try(0,0,12)try(1,5,12)try(1,0,8)try(2,5,8)try(3,7,8)try(2,3,8)try(3,5,8)不能得到更好的解不能得到更好的解超重不能得到更好的解得到解：(1,0,1,0)maxv=7得到解：(0,1,1,1)maxv=8不能得到更好的解超重按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：【程序】# include<stdio.h># de

28、finen100doublelimitw,totv,maxv;intoptionn,copn;structdoubleweight;doublevalue;an;intn;void find(int i,double tw,double tv)int k;/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (tw+ai.weight<=limitw)copi=1;if (i<n-1)find(i+1,tw+ai.weight,tv);elsefor (k=0;k<n;k+)optionk=copk;maxv=tv;copi=0;/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (

29、tv-ai.value>maxv)if (i<n-1)find(i+1,tw,tv-ai.value);elsefor (k=0;k<n;k+)optionk=copk;maxv=tv-ai.value;void main()int k;double w,v;printf(“輸入物品種數(shù)n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入各物品的重量和價值n”);for (totv=0.0,k=0;k<n;k+)scanf(“%1f%1f”,&w,&v);ak.weight=w;ak.value=v;totv+=v;printf(“輸入限制

30、重量n”);scanf(“%1f”,&limitv);maxv=0.0;for (k=0;k<n;k+)copk=0;find(0,0.0,totv);for (k=0;k<n;k+)if (optionk)printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價值為%.2fn”,maxv);作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該

31、物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品?！境绦颉? include<stdio.h># definen100doublelimitw;intcopn;structeledoubleweight;doublevalue; an;intk,n;structint flg;doubletw;doubletv;twvn;

32、void next(int i,double tw,double tv)twvi.flg=1;twvi.tw=tw;twvi.tv=tv;double find(struct ele *a,int n)int i,k,f;double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=0.0,k=0;k<n;k+)totv+=ak.value;next(0,0.0,totv);i=0;while (i>=0)f=twvi.flg;tw=twvi.tw;tv=twvi.tv;switch(f)case 1:twvi.flg+;if (tw+ai.weight<=

33、limitw)if (i<n-1)next(i+1,tw+ai.weight,tv);i+;elsemaxv=tv;for (k=0;k<n;k+)copk=twvk.flg!=0;break;case 0:i-;break;default:twvi.flg=0;if (tv-ai.value>maxv)if (i<n-1)next(i+1,tw,tv-ai.value);i+;elsemaxv=tv-ai.value;for (k=0;k<n;k+)copk=twvk.flg!=0;break;return maxv;void main()double maxv

34、;printf(“輸入物品種數(shù)n”);scanf(“%d”,&n);printf(“輸入限制重量n”);scanf(“%1f”,&limitw);printf(“輸入各物品的重量和價值n”);for (k=0;k<n;k+)scanf(“%1f%1f”,&ak.weight,&ak.value);maxv=find(a,n);printf(“n選中的物品為n”);for (k=0;k<n;k+)if (optionk)printf(“%4d”,k+1);printf(“n總價值為%.2fn”,maxv);五、回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放

35、棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題p，通常要能表達為：對于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個狀態(tài)空間e=（x1，x2，xn）xisi ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個分量的

36、一個約束集d，要求e中滿足d的全部約束條件的所有n元組。其中si是分量xi的定義域，且 |si| 有限，i=1，2，n。我們稱e中滿足d的全部約束條件的任一n元組為問題p的一個解。解問題p的最樸素的方法就是枚舉法，即對e中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足d的全部約束，若滿足，則為問題p的一個解。但顯然，其計算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對于許多問題，所給定的約束集d具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足d中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j（j<i）元組（x1，x2，xj）一定也滿足d中僅涉及到x1，x2，xj的所有約束，i=1，2，n。換句話說，只要存在0jn-1，使得（x1

37、，x2，xj）違反d中僅涉及到x1，x2，xj的約束之一，則以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）一定也違反d中僅涉及到x1，x2，xi的一個約束，ni>j。因此，對于約束集d具有完備性的問題p，一旦檢測斷定某個j元組（x1，x2，xj）違反d中僅涉及x1，x2，xj的一個約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會是問題p的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們?；厮莘ㄕ轻槍@類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}p的n元組的狀態(tài)空間e表示成一棵高為n的

38、帶權(quán)有序樹t，把在e中求問題p的所有解轉(zhuǎn)化為在t中搜索問題p的所有解。樹t類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造： 設(shè)si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|si| =mi，i=1，2，n。從根開始，讓t的第i層的每一個結(jié)點都有mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，e中的一個n元組（x1，x2，xn）對應(yīng)于t中的一個葉子結(jié)點，t的根到這個葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對于任意的0in-1，e中n元組（x1，x2

39、，xn）的一個前綴i元組（x1，x2，xi）對應(yīng)于t中的一個非葉子結(jié)點，t的根到這個非葉子結(jié)點的路徑上依次的i條邊的權(quán)分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，e中的任意一個n元組的空前綴（），對應(yīng)于t的根。因而，在e中尋找問題p的一個解等價于在t中搜索一個葉子結(jié)點，要求從t的根到該葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個權(quán)x1，x2，xn滿足約束集d的全部約束。在t中搜索所要求的葉子結(jié)點，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、，前綴i元組（x1，x2，xi），直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問

40、題p的狀態(tài)空間樹；樹t上任意一個結(jié)點被稱為問題p的狀態(tài)結(jié)點；樹t上的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題p的一個解狀態(tài)結(jié)點；樹t上滿足約束集d的全部約束的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題p的一個回答狀態(tài)結(jié)點，它對應(yīng)于問題p的一個解?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）1、2、3（2）1、2、4（3）1、2、5（4）1、3、4（5）1、3、5（6）1、4、5（7）2、3、4（8）2、3、5（9）2、4、5（10）3、4、5則該問題的狀態(tài)空間為：e=（x1，x2，x3）xis ，i=1，2，3 其中：s=1，2，3，4，5約束集為：x1&l

41、t;x2<x3顯然該約束集具有完備性。問題的狀態(tài)空間樹t： 2、回溯法的方法對于具有完備約束集d的一般問題p及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹t，利用t的層次結(jié)構(gòu)和d的完備性，在t中搜索問題p的所有解的回溯法可以形象地描述為：從t的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點的所有狀態(tài)結(jié)點，而跳過對肯定不含回答結(jié)點的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達一個滿足d中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點時，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對以該狀態(tài)結(jié)點為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點的祖先結(jié)點回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點已被搜索遍的祖先

42、結(jié)點，直到遇到其兒子結(jié)點未被搜索遍的祖先結(jié)點，即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個兒子結(jié)點繼續(xù)搜索。在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點后，同時也要進行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到t的根且根的所有兒子結(jié)點均已被搜索過為止。例如在組合問題中，從t的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點（1，2）時，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點（1，2，5）時，由于它已是一個回答結(jié)點，則保存（或輸出）該結(jié)點，并回溯到其雙親結(jié)點，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點（1

43、，5）時，由于它已是葉子結(jié)點，但不滿足約束條件，故也需回溯。3、回溯法的一般流程和技術(shù)在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：nynynnyy建立根結(jié)點root建立root的第一個孩子結(jié)點node建樹完畢？node是葉子？node是解？處理解回溯node=parent(node)node還有孩子？建立node的孩子結(jié)點node=parent(node)建立node的孩子結(jié)點node=parent(node)結(jié)束開始在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要

44、用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點和回溯過程。例如在組合問題中，我們用一個一維數(shù)組stack 表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結(jié)點。如果元素1進棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點；這時如果元素2進棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點；元素3再進棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點。這時可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個解，輸出（或保存）。這時只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點（1，2，3）回溯到結(jié)點（1，2）?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1，2，n中任取r個數(shù)的所有組合。采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存

45、于a0，a1，ar-1中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：ai+1>ai，后一個數(shù)字比前一個大；ai-i<=n-r+1。按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個候選解，因a2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對5不能再作調(diào)整，就要從a2回溯到a1，這時，a1=2，可以調(diào)

46、整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序】# definemaxn100int amaxn;void comb(int m,int r)int i,j;i=0;ai=1;do if (ai-i<=m-r+1if (i=r-1)for (j=0;j<r;j+)printf(“%4d”,aj);printf(“n”);ai+;continue;elseif (i=0)return;a-i+;while (1)main()comb(5,3);【問題】填字游戲問題描述：在3×3

47、個方格的方陣中要填入數(shù)字1到n（n10）內(nèi)的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，似的所有相鄰兩個方格內(nèi)的兩個整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個要求的各種數(shù)字填法?？捎迷囂桨l(fā)找到問題的解，即從第一個方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出，并調(diào)整第九個的填入的整數(shù)，尋找下一個解。為找到一個滿足要求的9個數(shù)的填法，從還未填一個數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填

48、入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個滿足問題要求的解，將解輸出?；厮莘ㄕ乙粋€解的算法：int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok)擴展;else調(diào)整;ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性;while (!ok|m!=n)&&(m!=0)if (m!=0)輸出解;else輸出無解報告；如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整

49、最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個解。相應(yīng)的算法如下：回溯法找全部解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok)if (m=n)輸出解；調(diào)整；else擴展;else調(diào)整;ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性;while (m!=0);為了確保程序能夠終止，調(diào)整時必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會再次實驗，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個被檢驗的順序，按這個順序逐一形成候選者并檢驗。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴展時，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時，找當(dāng)前候選解中下一個還未被使用過的整數(shù)。將上述擴展、調(diào)整、檢驗都編寫成程序，細節(jié)見以下找全部

50、解的程序?！境绦颉? include <stdio.h># define n12void write(int a )int i,j;for (i=0;i<3;i+)for (j=0;j<3;j+)printf(“%3d”,a3*i+j);printf(“n”);scanf(“%*c”);int bn+1;int a10;int isprime(int m)int i;int primes =2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1;if (m=1|m%2=0)return 0;for (i=0;primesi>0;i+)if (m=primesi)ret

51、urn 1;for (i=3;i*i<=m;)if (m%i=0)return 0;i+=2;return 1;int checkmatrix 3=-1,0,-1,1,-1,0,-1,1,3,-1,2,4,-1,3,-1,4,6,-1,5,7,-1;int selectnum(int start)int j;for (j=start;j<=n;j+)if (bj) return jreturn 0;int check(int pos)int i,j;if (pos<0)return 0;for (i=0;(j=checkmatrixposi)>=0;i+)if (!isprime(apos+aj)return 0;return 1;int extend(int pos)a+pos=selectnum(1);bapos=0;return pos;int change(int pos)int j;while (pos>=0&&(j=selectnum(apos+1)=0)bapos-=1;if (pos&