第7講 控制系統(tǒng)分析

1、5.2.1 控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析 5.2 控制系統(tǒng)分析控制系統(tǒng)分析1、 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)格式1：給定系統(tǒng)模型num 、den（或a、b、c、d）,求系統(tǒng)階躍響應(yīng)并作圖，時(shí)間 t 由系統(tǒng)自動設(shè)定。格式2：同上，只是時(shí)間 t 由人工給定（等間隔）。格式3：返回輸出變量y、狀態(tài)變量x的值，不作圖。格式4：返回的變量中包括或者不包括t，不作圖。step(num , den) step(a , b , c , d)step(num , den , t) step(a , b , c , d , t)y , x=step(num , den) y , x=step(a , b , c ,d)y , x ,

2、 t=step(num , den) y ,x=step(num , den , t)例：求下面系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)num=4 ; den=1 , 1 , 4 ;step(num , den)計(jì)算峰值max(y) 計(jì)算峰值時(shí)間y , x , t=step(num , den) ;tp=spline(y , t , max(y) 44)(2sssG例：求如下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)a=0,1;-6,-5;b=0;1;c=1,0;d=0;y,x=step(a,b,c,d)plot(t,x);hold onplot(y)2121210 , 1105610 xxyuxxxx解：1、假設(shè)將自然頻率固定為n 1，

3、0,0.1,0.2,0.3,1,2,3,5。wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5;t=0:0.1:12;hold onfor i=1:length(zetas)Gc=tf(wn2,1,2*zetas(i)*wn,wn2);step(Gc,t)endhold off或者：wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5; t=0:0.1:12hold onfor zet=zetasnum=wn.2;den=1,2*zet*wn,wn.2;step(num,den,t)endhold off2、將阻尼比的值固定在0.55，則可以繪制出在各個(gè)自然頻率n 下的階躍響應(yīng)曲線，wn=0.1:0

4、.1:1; z=0.55; t=0:0.1:12;hold onfor i=1:length(wn)Gc=tf(wn(i)2,1,2*z*wn(i),wn(i)2);step(Gc,t)endhold off2、 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)以上各函數(shù)的功能為給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。各種格式同6.1.1中的階躍響應(yīng)。impulse(num , den) impulse(a , b , c , d)impulse(num , den , t) impulse(a , b , c , d , t)y , x=impulse(num , den) y , x=impulse(a , b , c

5、,d)y , x , t=impulse(num , den) y , x=impulse(num , den , t)例：求下面系統(tǒng)的單位 脈沖響應(yīng)：num=4 ; den=1 , 1 ,4 ;impulse(num,den)44)(2sssGG=tf(4,1,2,3,4);Gc=tf(1,3,1,3);H=tf(1,0.01,1);Go=Gc*G;Gc=feedback(Go,H);impulse(Go);figure,impulse(Gc);3、 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)格式1：給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣a、b、c、d和初始條件x0 ,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，并作圖。時(shí)間t由系統(tǒng)自動產(chǎn)生。格

6、式2：同格式1，時(shí)間t由用戶給定。格式3：返回輸出變量y、狀態(tài)變量x及時(shí)間t值，不作圖。initial(a , b , c , d ,x0)initial(a , b , c , d ,x0 , t)y , x , t=initial(a , b , c , d ,x0)例：已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。 a=0 , 1 ; -10 , -2 ; b=0 ; 1 ; c=1 , 0 ; d=0 ; x0=1 ,0; subplot(1 , 2 , 1) ; initial(a , b , c ,d) subplot(1 , 2 , 2) ; impulse(a , b

7、 , c , d)xyuxx0110210104、 一般響應(yīng)一般響應(yīng)給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，求任意輸入信號時(shí)，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)。格式1：給定系統(tǒng)模型參數(shù)、控制輸入信號 u 和等時(shí)間間隔 t ，求系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，并作圖。格式2：給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型時(shí)，計(jì)算帶初始條件x0的時(shí)間響應(yīng)，并作圖。格式3：返回輸出變量y和狀態(tài)變量x，不作圖。lsim(num , den , u ,t) lsim(a , b , c ,d ,u , t)lsim(a , b ,c , d , u , t , x0)y ,x=lsim(num , den , u , t) y,x=lsim(a , b , c , d ,u , t)例

8、：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：輸入正弦信號時(shí)，觀察輸出信號的相位差。 num=1 ; den=1 , 1 ; t=0 : 0.01 : 10 ; u=sin(2*t) ; hold on plot(t , u , :) lsim(num , den , u , t) 11)(ssG例：有一二階系統(tǒng)，求出周期為4秒的方波的輸出響應(yīng)32152)(22sssssGnum=2 5 1;den=1 2 3;t=(0:.1:10);period=4;u=(rem(t,period)=period./2);%看rem函數(shù)功能lsim(num,den,u,t); 在控制系統(tǒng)分析中，為了避開直接求解高階多項(xiàng)式的根時(shí)遇到的困

9、難，在實(shí)踐中提出了一種圖解求根法，即根軌跡法。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)的某一個(gè)（或幾個(gè)）參數(shù)從到時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上描繪的一些曲線。應(yīng)用這些曲線，可以根據(jù)某個(gè)參數(shù)確定相應(yīng)的特征根。在根軌跡法中，一般取系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù) K 作為可變參數(shù)。 由于根軌跡是以 K 為可變參數(shù)，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)畫出來的，因而它能反映出開環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)（特征根）之間的關(guān)系5.2.2 線性系統(tǒng)的根軌跡1 pzmap功能：繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。格式：p,z=pzmap(A,B,C,D) p,z=pzmap(num,den) pzmap(p,z)說明：對 SISO 系統(tǒng)，pzmap 函數(shù)可繪制出傳遞函數(shù)的

10、零極點(diǎn)；對 MIMO 系統(tǒng)，pzmap函數(shù)可繪制系統(tǒng)的特征向量和傳遞零點(diǎn)。當(dāng)不帶輸出變量引用時(shí)，pzmap 函數(shù)可在當(dāng)前圖形窗口中繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其中極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“o”表示。P 為極點(diǎn)的列向量，z 為零點(diǎn)的列向量。num=0.05,0.045;den=conv(1,-1.8,0.9,1,5,6);pzmap(num,den);title(Pole-Zero Map)2 rlocus功能：求系統(tǒng)根軌跡。格式：R,K=rlocus(num,den)R,K=rlocus(num,den,k)R,K=rlocus(A,B,C,D)R,K=rlocus(A,B,C,D,k)說明：rlocu

11、s 函數(shù)可計(jì)算 SISO 開環(huán)模型的 Evans 根軌跡，根軌跡以反饋增益的函數(shù)形式給出了閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡（假定為負(fù)反饋）。3 rlocfind功能：計(jì)算給定一組根的根軌跡增益。格式：K,poles=rlocfind(A,B,C,D)K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P)K,poles=rlocfind(num,den)K,poles=rlocfind(num,den,P)說明：函數(shù) rlocfind 可計(jì)算出與根軌跡上極點(diǎn)相對應(yīng)根軌跡增益。rlocfind 既適用連續(xù)系統(tǒng),也適用離散時(shí)間系統(tǒng) K,poles=rlocfind(A,B,C,D)可在圖形窗口根軌跡圖中顯示十字光標(biāo)，

12、當(dāng)用戶選擇其中一點(diǎn)時(shí)，其對應(yīng)的增益由 K 記錄，與增益有關(guān)的所有極點(diǎn)記錄在 poles 中。解：先繪制根軌跡圖，然后用 rlocfind 函數(shù)在圖中選擇極點(diǎn)位置，得到反饋增益。G=tf(0.05,0.045,conv(1,-1.8,0.9,1,5,6)rlocus(G),K=rlocfind(G)例：已知開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析其穩(wěn)定性22) 34()2()(sssksGnum=1 2;den1=1 4 3;den=conv(den1,den1);figure(1)rlocus(num,den)k,p= rlocfind(num,den)figure(2)k=55;num1=

13、k*1 2;den=1 4 3;den1=conv(den,den);num,den=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(impulse response (k=55) )figure(3)k=56;num1=k*1 2;den=1 4 3;den1=conv(den,den);num,den=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den)title(impulse response(k=56)5.2.3 控制系統(tǒng)頻域分析 頻率特性的定義： 設(shè)某穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率的正弦函數(shù)，

14、其振幅與輸入正弦信號的振幅之比A(w)稱為幅頻特性，其相位與輸入正弦信號的之差 稱為相頻特性。 系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)之間具有以下重要關(guān)系： jwssGjwG)()()(w 反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：如果開環(huán)系統(tǒng)有 P 個(gè)極點(diǎn)在右半平面，相應(yīng)于頻率從-+變化時(shí)，開環(huán)頻率特性 G(j)H(j)曲線逆時(shí)針方向環(huán)繞（1，j0）點(diǎn)的次數(shù)N 等于右半根平面內(nèi)的開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù) P，那么閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。1、 控制系統(tǒng)頻域Bode圖 系統(tǒng)對數(shù)頻率曲線，又稱為伯德(bode)圖 。這種方法用兩條曲線分別表示幅頻特性和相頻特性。橫坐標(biāo)為w，按對數(shù)log(w)分度。對數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)表示

15、，單位為“度”。而對數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)為：L(w)=20log(w)，單位為dB。)(wbode(num , den) bode(a , b , c , d)bode(num , den , w) bode(a , b , c , d , iu , w)m , p , w=bode(num , den) m,p,w=bode(a,b,c,d,iu) 功能：對數(shù)頻率作圖函數(shù)，即伯德圖作圖。格式1：給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作bode圖，頻率w由系統(tǒng)自動給出。當(dāng)系統(tǒng)模型以狀態(tài)空間模型給出時(shí)，需指定第幾個(gè)輸入iu，SISO時(shí)iu省缺。格式2：給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作bode圖，頻率w的范圍由人工給出，w的單位為

16、rad/s，可以由函數(shù)logspace得到對數(shù)等分的w值。格式3： 返回變量的值，不作圖。其中m為頻率特性G(jw)的幅值，p為頻率特性的幅角，w為頻率變化范圍。例：作如下系統(tǒng)的bode圖： n=1 , 1 ; d=1 , 4 , 11 , 7 ; bode(n , d)71141)(23sssssG解：1、n 為固定值， 變化時(shí)，wn=1;zet=0:0.1:1,2,3,5;hold onfor i=1:length(zet)num=wn2;den=1,2*zet(i)*wn,wn2;bode(num,den);endhold off2、 為固定值，n 變化時(shí)，wn=0.1:0.1:1; z

17、et=0.707;hold onfor i=1:length(wn)num=wn(i)2; den=1,2*zet*wn(i),wn(i)2;bode(num,den);endhold off例：系統(tǒng)傳函如下， 求有理傳函的頻率響應(yīng)，然后在同一張圖上繪出以四階伯德近似表示的系統(tǒng)頻率響應(yīng)um=1;den=conv(1 2,conv(1 2,1 2); w=logspace(-1,2); t=0.5;m1,p1=bode(num,den,2);p1=p1-t*w*180/pi;n2,d2=pade(t,4);numt=conv(n2,num);dent=(conv(den,d2);m2,p2=bo

18、de(numt,dent,w);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),g-);grid on ; title(bode plot);xlabel(frequency);ylabel(gain);subplot(2,1,2);semilogx(w,p1,w,p2,g-);grid on;xlabel(frequency);ylabel(phase);sesssG5 . 03)2(1)(2、 計(jì)算控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度格式1：給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，作bode圖，并在圖上標(biāo)注幅值裕度Gm和對應(yīng)的頻率wg，相角裕度Pm和對應(yīng)的頻率wp。格

19、式2：返回對應(yīng)變量的值，不作圖。格式3：給定頻率特性參數(shù)：幅值m、相位p和頻率w，由插值法來計(jì)算幅值裕度Gm和對應(yīng)的頻率wg，相角裕度Pm和對應(yīng)的頻率wp。margin(num , den) margin(a , b , c , d)Gm , Pm , wg , wp=margin(num , den)Gm , Pm , wg , wp=margin(a , b , c , d)Gm , Pm , wg , wp=margin(m , p , w)n=3.5; d=1 2 3 2;Gclose=cloop(n,d,1);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(n,d)step(Gclose)

20、 從運(yùn)行結(jié)果可知，系統(tǒng)的幅值裕量很接近穩(wěn)定的邊界點(diǎn) 1，且相位裕量只有 7.1578，所以盡管閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但其性能不會太好。同時(shí)可以看出在閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)中有較強(qiáng)的振蕩。如果系統(tǒng)的相角裕量45，則稱該系統(tǒng)有較好的相角裕量，然而這樣的數(shù)值不是很絕對。G=tf(100*conv(1,5,1,5),conv(1,1,1,1,9);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)G_close=feedback(G,1);step(G_close) 從運(yùn)行結(jié)果可以看出，該系統(tǒng)有無窮大的幅值裕量，且相位裕量高達(dá) 85.4365，所以系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)是較理想的。3、控制系統(tǒng)nyquist曲線 幅相頻特性曲線，

21、又稱為奈奎斯特(Nyquist)曲線或極坐標(biāo)圖。它以w為參變量，以復(fù)平面上的矢量表示G(jw)的一種方法。格式1：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，作極坐標(biāo)圖。頻率的范圍 由系統(tǒng)自動給定。格式2：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，作極坐標(biāo)圖。頻率的范圍 由用戶給定。格式3：返回極坐標(biāo)圖參數(shù)，不作圖。其中re為復(fù)變函 數(shù)G(jw)的實(shí)部，im為復(fù)變函數(shù)G(jw)的虛部， w為頻率，單位為：rad/secnyquist(num , den) ; nyquist(a , b , c , d)nyquist(num , den , w) ; nyquist(a , b , c , d ,w)re , im , w=nyquist(n

22、um , den)re , im , w=nyquist(a , b , c , d)例：二階系統(tǒng)為：令wn=1,分別作出z=2 , 1 , 0.707 , 0.5時(shí)的nyquist曲線。 n=1 ; d1=1 , 4 , 1 ; d2=1 , 2 , 1 ; d3=1 , 0.707 , 1； d4=1,1,1; nyquist(n,d1) ; hold on nyquist(n,d2) ; nyquist(n,d3) ; nyquist(n,d4) ;2222)(nnnsssGG=tf(1000,conv(1,3,2,1,5);nyquist(G);axis(square)該圖中（1，j0

23、）點(diǎn)附近 Nyquist 圖的情況不是很清楚，（選擇圖形窗口中的放大按鈕），從局部放大的圖形可以看出，Nyquist 圖逆時(shí)針包圍（1，j0）點(diǎn) 2 次，而原開環(huán)系統(tǒng)中沒有不穩(wěn)定極點(diǎn)，從而可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)有 2 個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)。這也可以由下面的 MATLAB 語句來進(jìn)一步驗(yàn)證。G_close=feedback(G,1);roots(G_close.den1)由運(yùn)行結(jié)果可知，系統(tǒng)有三個(gè)根，其中有兩個(gè)根位于右半 s 平面，由此可見該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例：分別由w的自動變量和人工變量作下列系統(tǒng)的nyquist曲線：n=1 ; d=1 , 1 ,0 ;nyquist(n ,d) ;w=0.5 : 0

24、.1 : 3 ;nyquist(n , d , w) ;)1(1)(sssG) 10625. 0)(125. 0)(185. 0(7 .16)(sssssG例：一多環(huán)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如下，使用Nyquist頻率曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。k1=16.7/0.0125;z1=0;p1=-1.25 -4 -16;num1,den1=zp2tf(z1,p1,k1);num,den=cloop(num1,den1);z,p,k=tf2zp(num,den);p figure(1)nyquist(num,den)figure(2)num2,den2=cloop(num,den);impulse(num2,den

25、2);4、控制系統(tǒng)nichols曲線 用開環(huán)頻率特性求系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性時(shí)，需要畫出系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。繪制曲線一般比較麻煩，因此希望通過開環(huán)對數(shù)頻率特性來求閉環(huán)頻率特性。下面介紹的尼柯爾斯圖線就是為滿足這個(gè)要求而提出的。 對數(shù)幅相頻率特性曲線 ， 又稱為尼柯爾斯(Nichols)曲線。該方法是以w為參變量， 為橫坐標(biāo)，L(w)=20log(w)為縱坐標(biāo)。)(w格式1：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，nichols曲線作圖。頻率范圍由系統(tǒng)自動給定，可由ngrid函數(shù)在圖上加網(wǎng)格。格式2：給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，nichols曲線作圖。頻率范圍由用戶給定，可由ngrid函數(shù)在圖上加網(wǎng)格。格式3：返回對應(yīng)變量值，

26、不作圖。m為頻率特性G(jw)的幅值，p為頻率特性G(jw)的相位，w為頻率。nichols(num , den) nichols(a , b , c , d)nichols(num , den , w) nichols(a , b , c , d , w)m,p,w=nichols(num,den) m,p,w=nichols(a,b,c,d) 例：已知系統(tǒng)為：作該系統(tǒng)的nichols曲線。 n=1 ; d=1 , 1 , 0 ; ngrid(new) ; nichols(n , d) ;)1(1)(sssG例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：K=2、k=10時(shí)，分別作nichols曲線。 n1=

27、2 ; n2=10 ; d=1 , 3 , 2 , 0 ; ngrid nichols(n1 ,d) ; nichols(n2 ,d) ; nichols(n1 ,d) ; hold on nichols(n2 ,d) ;)2)(1()(sssksGnum=1;den=conv(conv(1 0,1 1),0.5 1);subplot(1,2,1);nichols(num,den);grid;subplot(1,2,2);g=tf(num,den);bode(feedback(g,1,-1);grid; 由圖可見，開環(huán)對數(shù)幅相特性曲線與 的等幅值圖線相切，切點(diǎn)的頻率為 。所以，閉環(huán)對數(shù)幅頻特性

28、將出現(xiàn)諧振峰值 ,諧振頻率 ，dBM5lg20srad /8 . 0dBMr5lg20srad /8 . 0李雅普諾夫第一方法 求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，并觀察是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn)(不穩(wěn)定極點(diǎn))。如果有這樣的極點(diǎn)，則系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)，否則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若穩(wěn)定系統(tǒng)中存在實(shí)部等于 0 的極點(diǎn)，則系統(tǒng)稱為為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。5.2.4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可以用三種方法直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性a. 求傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的根，系統(tǒng)穩(wěn)定所有的根應(yīng)具有負(fù)實(shí)部。root(den)b. 求系統(tǒng)矩陣的特征多項(xiàng)式的根，系統(tǒng)穩(wěn)定所有的根應(yīng)具有負(fù)實(shí)部。 p=eig(a) c. 求系統(tǒng)極點(diǎn)，或利用下列函數(shù)顯示系統(tǒng)零極點(diǎn)在s平面上的位置，可以圖形方式顯示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 pzmap(num , den) pzmap(a , b , c , d)例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：分別確定k=2和k=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。d1=1 , 3 , 2 , 0 ; n1=2 ;nc1 , dc1=cloop(n1 , d ,-1) ;roots(dc1)d2=d1 ; n2=10 ;