2020年高中數(shù)學(xué)第三章概率幾何概型的類型及解法知識素材北師大版必修3通用

1、幾何概型的類型及解法幾何概型是一種特殊的概率模型，下面結(jié)合例題介紹它的類型及其解題方法。一、與長度有關(guān)的幾何概型若一次試驗中所有可能結(jié)果和某個事件a包含的結(jié)果（基本事件）都對應(yīng)一個長度，如線段長、時間區(qū)間、距離、路程等，那么需要求出各自相應(yīng)的長度，然后運用幾何概型的計算公式即可求出事件a發(fā)生的概率。例1 某人睡覺醒來，發(fā)現(xiàn)鐘表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。分析 假設(shè)他在060分鐘之間任何一個時刻打開收音機是等可能的。因為電臺每隔1小時報時一次，他在哪個時間段打開收音機的概率只與這時間段的長度有關(guān)，因此，需要求出各自相應(yīng)的時間“長度”，然后用幾何概型公式求

2、解。解 設(shè)事件a等待時間不超過10分鐘，我們關(guān)心的事件a恰好是打開收音機的時刻位于50,60之間，它的區(qū)間長度為10；電臺每隔1小時報時一次，它的區(qū)間長度為60，由幾何概型的計算公式得。即“他等待的時間不多于10分鐘的概率”為。評注 解決此類問題的關(guān)鍵是確定他在哪個時間段打開收音機的概率只與這時間段的長度有關(guān)，把它轉(zhuǎn)化為與“長度”有關(guān)的幾何概型。二、與角有關(guān)的幾何概型若一次試驗中所有可能結(jié)果和某個事件a包含的結(jié)果（基本事件）都對應(yīng)一個角，那么需要求出各自相應(yīng)的角度，然后運用幾何概型的計算公式即可求出事件a發(fā)生的概率。圖1ato例 如圖1所示，在直角坐標系內(nèi)，射線落在的終邊上，任作一條射線，求射

3、線落在內(nèi)的概率。分析 過o作射線是隨機的，射線落在任何位置都是等可能的，落在內(nèi)的概率只與的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件。解 設(shè)事件a射線落在內(nèi)，事件a的“幾何度量”是，而坐標平面的“幾何度量”為，所以由幾何概率公式，得。評注 解此題的關(guān)鍵是找到事件a射線落在內(nèi)的“幾何度量”是，以及坐標平面的“幾何度量”為。三、與面積有關(guān)的幾何概型如果每個基本事件可以理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，某個隨機事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域內(nèi)的點，且該區(qū)域中每一個被取到的機會都一樣，這樣的概率模型就可以用幾何模型來解。并且，這里的區(qū)域可以用面積表示，然后利用幾何概型的公式求解。例3 兩人

4、約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離圖2o11去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率。分析 設(shè)兩人分別在時和時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)。兩人到達約定地點的所有時刻（，）的可能結(jié)果可用圖2中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點表示，而兩人能在約定的時間內(nèi)相見的所有可能結(jié)果可用圖2中的陰影部分（包括邊界）表示，因此可求出兩人在約定時間內(nèi)相見的概率。解 設(shè)兩人分別在時和時到達約見地點，要使兩人在能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)。如圖2所示，根據(jù)題意，得兩人在約定時間內(nèi)

5、相見的概率為。評注 解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個條件轉(zhuǎn)化為線性的約束條件，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概率問題。四、與體積有關(guān)的幾何概型對于幾何概型，如果圖形與體積有關(guān)，只需把該試驗的所有結(jié)果對應(yīng)體積求出，就可以利用幾何概型概率公式進行計算。例4 在1l高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10ml，求含有麥銹病的種子的概率是多少？分析 病種子在這1l種子中的分布可以看做是隨機的，取得的10ml種子可看做構(gòu)成事件的區(qū)域，1l種子可看做試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此，可用“體積比”公式計算其概率。解 取出10ml種子，其中“含有病種子”這一事件記為a，則0.01.即含有麥銹病種子的概率為0.01.評注 解決此類實際問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定試驗為與體積有關(guān)的幾何概型，然后求出事件對應(yīng)的“幾何體”的“體積”，借助幾何概型的計算公式求出概率。幾何概型是一種特殊的概率模型，