高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題

1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： d 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 林 亮 2. 呂 迪 3. 崔丁飛 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：天然腸衣搭配問題摘要 本文針對天然腸衣搭配問題的研究，根據(jù)公司對搭配方案的具體要求，建立起最佳搭配模型。首先，在理

3、想情況下建立最優(yōu)搭配方案，然而，此方案中變量太多，可操作性較低，所以不易實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，我們先簡化模型減少變量，用maple編程的方法來確定具體要求下最優(yōu)的搭配方案。先將三種不同規(guī)格的成品進行最優(yōu)化求解，將規(guī)格2（7至13.5）的剩余原料與規(guī)格1（3至6.5）的剩余原料進行合理搭配，兩種原料搭配后的剩余原料再與規(guī)格3（14至）的剩余原料進行合理搭配。如果合理搭配之后規(guī)格3（14至）的原料還有剩余則降級成規(guī)格2（7至13.5）進行捆扎，如果最終規(guī)格1（3至6.5）的原料還有剩余，則不能進行捆扎，因此該剩余規(guī)格1（3至6.5）的原料不能進行生產(chǎn)，從而使搭配出的成品捆數(shù)較多。按此解決方案代入表2中

4、的數(shù)據(jù)，得出該批原料搭配出的成品最優(yōu)捆數(shù)為187捆，并在對實際數(shù)據(jù)進行求解的過程中得出相應(yīng)的搭配方案（maple編程得出的三種規(guī)格的搭配方案見附錄二），并模擬出了產(chǎn)生方案所需總時間大約為22分鐘。 按題中具體要求得到的模型搭配方式太多，不適宜工人的實際操作。因此，我們根據(jù)表一和表二的描述設(shè)計了一個原料搭配方案。關(guān)鍵詞：腸衣搭配、maple編程。一、問題重述天然腸衣（以下簡稱腸衣）制作加工是我國的一個傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，出口量占世界首位。腸衣經(jīng)過清洗整理后被分割成長度不等的小段（原料），進入組裝工序。傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式依靠人工，邊丈量原料長度邊心算，將原材料按指定根數(shù)和總長度組裝出成品（捆）。原料按長度分檔，

5、通常以0.5米為一檔，如：3-3.4米按3米計算，3.5米-3.9米按3.5米計算，其余的依此類推。表1是幾種常見成品的規(guī)格，長度單位為米，表示沒有上限，但實際長度小于26米。表1 成品規(guī)格表最短長度最大長度根數(shù)總長度36.52089713.588914589為了提高生產(chǎn)效率，公司計劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個原料表。表2為某批次原料描述。表2 原料描述表長度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410

6、.5-10.9根數(shù)2424202521232118長度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.4-14.9根數(shù)3123225918253529長度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長度23-23.423.5-23.924-24.

7、424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，設(shè)計一個原料搭配方案，工人根據(jù)這個方案“照方抓藥”進行生產(chǎn)。公司對搭配方案有以下具體要求：(1) 對于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；(2) 對于成品捆數(shù)相同的方案，最短長度最長的成品越多，方案越好；(3) 為提高原料使用率，總長度允許有± 0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根；(4) 某種規(guī)格對應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級使用。如長度為14米的原料可以和長度介于7-13.5米的進行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格；(5) 為了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。請建立上述問題的數(shù)

8、學(xué)模型，給出求解方法，并對表1、表2給出的實際數(shù)據(jù)進行求解，給出搭配方案。二、模型假設(shè)1不計丈量腸衣時的誤差。2按照表一中三種成品規(guī)格進行生產(chǎn)，不考慮其它規(guī)格。3不考慮外界因素對產(chǎn)生方案時間的影響。4腸衣原料實際長度小于26米。5優(yōu)化后的剩余量降級使用，不再考慮長度，可以加到下一種規(guī)格的任何一檔。6原料按長度分檔，以0.5米為一檔，3-3.4米按3米計算，3.5-3.9按3.5米計算，其余的以此類推。三、符號說明：成品總捆數(shù)；：第種規(guī)格產(chǎn)品的捆數(shù)；：第種規(guī)格成品按第種搭配方式所需第檔原料數(shù)目；：第種規(guī)格分配好以后原料剩余總根數(shù)；：產(chǎn)生方案所需時間；：第檔原料數(shù)目；：第檔原料長度；：第種規(guī)格按第

9、種方式搭配的捆數(shù)；：第規(guī)格成品所需根數(shù)；：第種規(guī)格的組合方式；（注釋：=1,2,3，46；=1,2,3；第1種規(guī)格為成品（3至6.5），第2種規(guī)格為成品（7至13.5），第3種規(guī)格為成品（14至）。四、模型的建立 天然腸衣要按照指定的根數(shù)和總長度組裝出成品，對于給定的一批原料來說，組裝出成品的捆數(shù)越多越好，我們將成品的捆數(shù)作為目標，得出以下整數(shù)優(yōu)目標函數(shù)。天然腸衣原料長度不一，以0.5米為一檔共被分為46檔。為提高原料利用率，總長度允許有0.5米的誤差，得到第一個約束條件；第種規(guī)格成品按第種搭配方式所需第檔原料數(shù)目為定值，則由此得到第二至第五個約束條件；第種規(guī)格成品按第種方式搭配的捆數(shù)不能超過

10、第檔原料數(shù)目，據(jù)此得到第七個約束條件。 目標函數(shù)：約束條件：五、模型的求解由總模型可知，變量數(shù)目相當(dāng)龐大，如果用窮舉法求解模型，時間將會大大超過30分鐘，而且將所有規(guī)格的原材料放在一起捆扎勢必對工人的工作增大難度。所以為了避免計算困難及企業(yè)工人操作上的困難，將模型分為三個優(yōu)化模型，即針對三種規(guī)格的腸衣分別求出最優(yōu)捆扎方案，再將剩余的原料進行優(yōu)化組合。由于長度長的原料可以降級處理，長度短的卻不能升級，所以先將借用規(guī)格2的原料來補充規(guī)格1剩下的余料捆扎出最多的成品，如果不夠再向規(guī)格3借用。類似地，如果規(guī)格2借用后還有剩余就借用規(guī)格3的余料進行優(yōu)化捆扎。如果最后只剩規(guī)格1的余料，那這些余料將無法再組

11、合，組裝結(jié)束；如果最后只剩規(guī)格2的余料，將其全部降級成規(guī)格1進行捆扎；如果最后只剩規(guī)格3的余料，將其全部降級成規(guī)格2進行捆扎。最后再結(jié)合前面得出的，得出成品的最多捆數(shù)。各規(guī)格優(yōu)化求解后的剩余量可降級使用，如下示意圖：規(guī)格1規(guī)格3規(guī)格2剩余量將規(guī)格1中余量補齊剩余量將規(guī)格2中余量補齊剩余量將規(guī)格1中余量補齊六、實例運算用maple編程（對規(guī)格1編程見附錄一）對天然腸衣的三種規(guī)格分別進行最優(yōu)化求解,在編程時，將最短長度最長的的成品首先進行運算，使得方案滿足最短長度最長的成品越多越好的條件。求得：第1種規(guī)格：最優(yōu)化捆數(shù)；剩余原料根數(shù)；maple運行時間為439.5秒；第2種規(guī)格：最優(yōu)化捆數(shù)；剩余原料

12、根數(shù)；maple運行時間為232.8秒；第3種規(guī)格：最優(yōu)化捆數(shù)；剩余原料根數(shù)；maple運行時間為61.2秒；規(guī)格1剩余12根要補成一捆成品需在規(guī)格2剩余的145根里拿7根，規(guī)格3剩余49根，所以要從規(guī)格3里拿出49根補到規(guī)格2，現(xiàn)在規(guī)格2里的總根數(shù)為145-7=138根，余5，所以規(guī)格2里的剩余原料為5根不能進行生產(chǎn)。綜上所述，得到的成品數(shù)捆，總的運行時間分鐘。表一為按第三種規(guī)格生產(chǎn)的搭配方案，表二為第二種生產(chǎn)的搭配方案，表三為第三種生產(chǎn)的搭配方案。根據(jù)此原理搭配方案，工人可根據(jù)此方案“照方抓藥”進行生產(chǎn)。（表格奇數(shù)行表示原料的根數(shù)，偶數(shù)行表示原料搭配方案）表一表二表三七、模型評價與改進本論

13、文所建立的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，操作較簡單。針對條件約束中生產(chǎn)方案的時間不能超過30分鐘的問題，我們在對表一、表二中實際數(shù)據(jù)進行求解過程中，模擬了本次產(chǎn)生方案的時間。maple運行時間為12.225分鐘，手工輸入數(shù)據(jù)花費了5分鐘，分配搭配方案用了5分鐘，共計22.225分鐘，所以在30分鐘之內(nèi)該方案可行，符合保持天然腸衣新鮮的要求。該模型簡單易行，運行時間短，可推廣到其他需要短時間內(nèi)得到搭配方案的實例中。該模型中沒有考慮降級使用的腸衣是否能被切割的問題，如果可以進行合理切割，那么總捆數(shù)將會變大。八、參考文獻 1、羅榮桂，新編運籌學(xué)題解，武漢，華中科技大學(xué)出版社，2002年。附錄一>

14、reatrat:k1:=43,59,39,41,27,28,34,21:k1:for nn from 7 to 20 do#nn:=8:num:=0:nn1:=nn:nn2:=nn:nn3:=nn:nn4:=nn:nn5:=nn:nn6:=nn:nn7:=nn:nn8:=nn:k1:=43,59,39,41,27,28,34,21:for i from 0 to nn1 do if(k11>nn) then nn1:=nn: elif(k11<nn) then nn1:=k11: elif(k11=0) then nn1:=0: end if: for j from 0 to nn

15、2 do if(k12>nn) then nn2:=nn: elif(k12<nn) then nn2:=k12: elif(k12=0) then nn2:=0: end if: for k from 0 to nn3 do if(k13>nn) then nn3:=nn: elif(k13<nn) then nn3:=k13: elif(k13=0) then nn3:=0: end if: for l from 0 to nn4 do if(k14>nn) then nn4:=nn: elif(k14<nn) then nn4:=k14: elif(k

16、14=0) then nn4:=0: end if: for m from 0 to nn5 do if(k15>nn) then nn5:=nn: elif(k15<nn) then nn5:=k15: elif(k15=0) then nn5:=0: end if: for n from 0 to nn6 do if(k16>nn) then nn6:=nn: elif(k16<nn) then nn6:=k16: elif(k16=0) then nn6:=0: end if: for o from 0 to nn7 do if(k17>nn) then n

17、n7:=nn: elif(k17<nn) then nn7:=k17: elif(k17=0) then nn7:=0: end if: for p from 0 to nn8 do if(k18>nn) then nn8:=nn: elif(k18<nn) then nn8:=k18: elif(k18=0) then nn8:=0: end if:if(i+j+k+l+m+n+o+p=20) and (3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=89 or 3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=88.5 or 3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=89.5) and k11-i>=0 and k12-j>=0 and k13-k>=0 and k14-l>=0 and k15-m>=0 and k16-n>=0 and k17-o>=0 and k18-p>=0) then p