行列式的計算方法及應用

1、聊城大學本科畢業(yè)論文 本科生畢業(yè)論文題 目: 行列式的計算方法及應用 專業(yè)代碼: 070102 作者姓名: 李延雪 學 號: 2007200676 單 位: 2007 級 1 班 指導教師: 孫守斌 2011年 5 月 20 日原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明: 所提交的學位論文是本人在導師指導下, 獨立進行研究取得的成果. 除文中已經注明引用的內容外, 論文中不含其他人已經發(fā)表或撰寫過的研究成果, 也不包含為獲得聊城大學或其他教育機構的學位證明書而使用過的材料. 對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體, 均已在文中以明確方式標明. 本人承擔本聲明的相應責任. 學位論文作者簽名: 日期 指 導 教 師 簽

2、 名: 日期 聊城大學本科畢業(yè)論文目 錄前言1 1.行列式的定義及其表示1 1.1 行列式的定義1 1.2 行列式的表示3 2.行列式的性質43.行列式的計算方法63.1加邊法63.2利用已知公式73.3數(shù)學歸納法10 3.4遞推法113.5構造法12 3.6拆項法134.行列式的應用13 4.1行列式在證明微分中值定理中的應用13 4.2 行列式在求逆矩陣中的應用15 4.3行列式在多項式理論中的應用15 4.4 行列式在解析幾何中的應用16 結語17 參考文獻18 致謝19 i摘 要行列式是研究高等代數(shù)的一個重要工具.在對行列式的定義及其性質研究的基礎上,總結了計算行列式的幾種常見方法：加

3、邊法、構造法、遞推法、拆項法、數(shù)學歸納法等.另外,歸納了二條線性行列式、“兩岸”行列式、上（下）三角形行列式、二條線叉型行列式及箭型行列式幾類特殊行列式的計算公式.利用行列式證明明微分中值定理；并通過一些具體的實例介紹了行列式在求逆矩陣、求解幾何圖形方程和計算圖形面積體積等多個方面的實際應用.關鍵詞：行列式；計算方法；行列式的應用 ivabstractdeterminant calculation is an important tool in higher algebra. studying the definition and properties of the determinant a

4、nd summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. at the same time two linear determinant, "cross-strait" determinants, the upper (lower) tr

5、iangular determinant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. using determinant proof differential mid-value theorem.and through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving

6、 inverse matrix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications. keywords: determinant; calculation method; determinant application 行列式的計算方法前 言行列式不僅是研究高等代數(shù)的一個重要工具,它也是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分.在高等代數(shù)中,行列式的求解是非常重要的,但是直接計算行列式往往是困難和繁瑣的,特別當行列式的元素是字母時更加明顯.根據(jù)這一情況,對行列

7、式計算的常見方法進行了總結.計算行列式的常見方法有化三角形法,拆分法,降階法,升階法,待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法,乘積法和加邊法等.另外對行列式中存在的二條線性行列式、“兩岸”行列式、上（下）三角形行列式、二條線叉型行列式及箭型行列式等特殊構造的行列式的公式進行了歸納.行列式的產生和最早的應用都是在解線性方程組中,現(xiàn)在的應用范圍已拓展得較為廣泛,成為數(shù)學、物理學以及工科許多課程的重要工具.對這些應用技巧進行探討歸納,不僅有課程建設的現(xiàn)實意義,而且有深刻的理論意義.通過介紹一些具體的實例,說明行列式在證明明微分中值定理、求逆矩陣及矩陣特征值、求解線性方程組、求解幾何圖形方程和計算圖形面積體積等多個方

8、面中的實際應用.1.行列式的定義及其表示 1.1行列式的定義行列式有各種各樣的定義方法,本文以排列為工具來定義行列式.先來考察二、三階行列式的共同規(guī)律,然后利用這些規(guī)律去定義階行列式.二階行列式為 .于是二階行列式可以簡寫成 .其中 表示所有二元排列求和.我們約定,在一個行列式中,橫排叫做行,縱排叫做列,行列式中的數(shù)叫做行列式的元素,其中表示所在的行,叫做行標；表示所在的列,叫做列標.從二階行列式中可以得到以下規(guī)律：（1） 它是2！=2項的代數(shù)和；（2） 每一項都是兩個元素相乘,且這兩個元素既位于不同的行又位于不同的列；（3） 每一項的兩個元素行標按自然順序排列后,其所在的列標構成的全部二元排

9、列為12和21,前一個為偶排列,與其對應的項取正號；后一個為奇排列,與其對應的項取負號.下面看三階行列式 .類似于二階行列式,可以得到以下規(guī)律：（1）它是3！=6項的代數(shù)和；（2）每一項都是三個元素相乘,且這三個元素既位于不同的行又位于不同的列； （3）每一項的三個元素行標按自然順序排列后,其所在的列標構成的全部三元排列為：123,231,312,321,213,132.前三個為偶排列,與其對應的項取正號,后三個為及排列,與其對應的項均取負號. 總之,三階行列式可以寫成.以上是二、三階行列式的共同構造規(guī)律,它也是一般階行列式的本質所在.定義1.1 稱為一個階行列式,它表示：（1）項的代數(shù)和；

10、（2）每一項是個元素相乘,且這個元素既位于中不同的行,又位于不同的列；（3）每一項的個元素行標按自然順序排列后,其列排列為偶排列時該項取正號,為奇排列時該項取負號.這一定義可以簡單的表示成其中 表示對所有階行列求和.1.2行列式的表示.矩陣的行列式記作.絕對值和矩陣范數(shù)也使用這個記法,有可能和行列式的記法混淆.不過矩陣范數(shù)通常以雙垂直線來表示,且可以使用下標.此外,矩陣的絕對值是沒有定義的.因此,行列式經常使用垂直線記法（例如:克萊姆法則和子式）.例如,一個矩陣： 矩陣行列式 也寫作或明確的寫作: 行列式即矩陣的方括號以細長的垂直線取代. 階行列式的表示： ,其中為的逆序數(shù).2.行列式的性質為

11、了有效地進行行列式的計算,有必要研究其性質,并由此得到實際可行的計算方法性質2.1 設是階矩陣,則,其中是的轉置矩陣.今后稱行列式 為的轉置行列式,性質1說明行列式與它的轉置行列式相等,具體地寫出來,即 根據(jù)性質1,對于行列式中有關行的性質完全適用于列性質2.2 交換行列式中任意兩行(列),其值變號 例如二階行列式中,若交換其第1行與第二行,則得  推論2.1 若行列式有兩行(列)的對應元素相同,則該行列式等于零.證明 設行列式中第行與第行的對應元素相同,現(xiàn)交換這兩行得一新行列式,記作, 根據(jù)性質2,但因這兩行對應元素相同,交換后所得行列式與原行列式又相同,即于是,故性質2.3 用常

12、數(shù)乘以行列式中某行（列）的每個元素所得到的行列式,等于用乘以該行列式.證明 設行列式是.若用乘以的第1行,則成為行列式 .現(xiàn)按d1的第一行展開得其中與中第一行各元素的代數(shù)余子式是相同的.現(xiàn)設用乘以的第行,.我們記交換的第1行與第行所得的行列式為.現(xiàn)用乘以的第行,即得行列式 .推論2.2 若行列式中有一行（列）的所有元素全是零,則該行列式等于零證明 在性質3中取即可推論2.3 若行列式某行（列）所有元素含有公因數(shù),則可將該公因數(shù)提到行列式外面 此推論實際上就是性質3推論2.4 若行列式有兩行（列）的對應元素成比例,則該行列式等于零證明 只要把比例系數(shù)作為公因數(shù)提到行列式外面,就得到一個兩行相同的

13、行列式,所以行列式為零3.行列式的計算方法在行列式的計算問題中,對于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定義計算. 對于一般的行列式,我們主要有下面兩種計算思想：1) 利用行列式的性質進行行列式的初等變換,將其劃為上(或下)三角形行列式,進而得到結果.2) 利用行列式按行(列)展開定理進行降階和遞推.在典型的計算過程中一般兩種方法同時應用,先利用性質化出盡可能多的零元素,然后再利用行(列)展開定理降階,化為低階行列式進行計算.3.1 加邊法利用行列式按行(列)展開的性質,把階行列式通過加行(列)變成與之相等的階行列式,利用行列式的性質把添加進去的行(列)的適當?shù)谋稊?shù)加到其它行(列),使其它行(

14、列)出現(xiàn)更多為零的元素后再進行計算添加的行與列一般有四種方式,分別是添加在：(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列當然有時也添加在行列式的一般行與列的位置 例3.1.1 計算階行列式的值.解 按第行展開得到的是關于的多項式,而所求行列式的值是上述加邊行列式展開式的項的系數(shù)乘以.注意 能夠利用加邊法的題目往往具有如下兩種特征之一：（1） 各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性質把一行(列)的適當?shù)谋稊?shù)加到其它行(列)的時候不容易變成三角形行列式,或者說出現(xiàn)的零的個數(shù)還不夠多；（2） 添加一行(列)后能夠跟范德蒙行列式聯(lián)系起來.3.2 利用已知公式3.2.1 定

15、義二條線性行列式的計算定義3.2.1 的行列式稱為二線型行列式.其可按第一列（或最后一列）展開進行計算得出.例3.2.1 計算行列式和的值. 解 觀察行列式和可知它是二線型行列式,且由定義知其中全為0.故代入公式可得出 . .類似的二條線型行列式還有,和（其中定義中給出的二線型行列式為=,=,在簡記中實線處均為非零元素其它地方元素為零）,它們均可以按定義中的方法進行計算展開進行降階,再利用三角或次三角型行列式總結出相應的計算公式. 3.2.2 “兩岸”行列式的計算方法定義3.2.2 形如 的行列式稱為“兩岸”行列式,其計算可化成箭型行列式,且值等于注 對于各行各列元素之和相等的行列式.可將第列

16、(行)都加到第1列（行）（或第列（行）加到第列（行）,則第1（或）列(行)的元素相等,再進一步化為三角或次三角型行列式.3.2.3 上三角形（或下三角形）行列式的計算定義3.2.3 形如的行列式稱為上三角形（或下三角形）行列式,其值為.3.2.4 二條線叉型行列式的計算 定義3.2.4 形如的行列式為二條線叉型行列式.例3.2.2 計算二線型行列式的值.解 可將此行列式按照第一行展開,則 然后將此兩個行列式分別按最后一行和第一行展開,則 .3.2.5箭型行列式的計算定義3.2.5 形如,的行列式稱為箭型（或爪型）行列式,可直接利用行列式性質將其一條邊化為零,從而可根據(jù)三角形或次三角形的結果求（

17、在簡記中實線處均為非零元素其它地方元素為零）.例 3.2.3 計算行列式的值.解 可給該行列式第行分別乘以加到第行則知原行列式 .3.3 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法多用于證明明題用數(shù)學歸納法計算n階行列式,依據(jù)行列式元素間規(guī)律來計算,此類型的題變化較多,相應的方法也較多.例3.3.1 計算的值,其中解 當時,；當時,；當時,；假設當時,.那么當時,將按最后一行展開得 ,所以 .綜上可得 .3.4 遞推法利用行列式的性質,把某一行列式表示成具有較低階相同結構行列式的關系式（稱為遞推關系式）,根據(jù)所得遞推關系式及低階某行列式的值便可遞推得到所需要的結果（有時用數(shù)學歸納法證明明其正確性）,這種計算行列式值

18、得方法叫做遞推法. （1）若則. （2）若我們可以設、是的根,則,.于是有 （1） （2）若,則.注意 由（1）和（2）得：,.若,則（1）與（2）變?yōu)?,即 ,于是 , 依次做下去得： . 3.5 構造法通過構造新的行列式計算原行列式.例 3.5.1 計算循環(huán)行列式. 解 設 ,令 ,則 ,因為,故.3.6 拆項法這是計算行列式常用的方法.一般地,當行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有規(guī)律地表示為兩項或多項和的形式,就可以考慮用拆為和的方法來進行計算.例3.6.1 以為頂點的三角形面積為其中 .解 第一行為 .四 、行列式的應用4.1 行列式在證明明微分中值定理中的應用4.1.1 拉

19、格朗日中值定理設函數(shù)滿足條件：（1）在閉區(qū)間連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導,則在內至少存在一點,使得 .證明 我們可以構造行列式輔助型函數(shù)來證明明定理.設因在上連續(xù),在內可導,所以在上連續(xù),在內可導,且,故由羅爾定理知,至少存在一點使得所以4.1.2柯西中值定理（1）函數(shù)與都在閉區(qū)間連續(xù)；（2）與都在開區(qū)間內可導；（3）與則在內不同時為零；（4）,則在內至少存在一點,使得. 證明 設由于是的多項式函數(shù),從而在上上連續(xù),在內可導,利用行列式性質易見故由羅爾定理知,至少存在一點,使得由此可得 .4.2 行列式在求逆矩陣中的應用設,則是非奇異矩陣的充分且必要條件是,且當時,的逆矩陣其中是的伴隨矩陣.例4

20、.2.1 設是正交矩陣,則證明 由a正交知道|a|= ±1.于是a¢=a-1=|a|-1(adja)故由(2)易見與有上述關系 4.3行列式在多項式理論中的應用例4.3.1 證明明一個次多項式至多有個互異根. 證明 設有個互異的零點則有.即這個關于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式 因此這個矛盾表明至多有個互異根.例4.3.2 設是個復系數(shù)多項式,滿足.證明：.證明 設取分別代入,可得 由此得到這個行列式關于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式.因此.4.4 行列式在解析幾何中的應用4.4.1 在向量積、混合積中的應用設為右手直角坐標系,因為 所以 4.4.2 在面積、體積中的應用以為鄰

21、邊的平行四邊形的面積為.以為相鄰棱的平行六面體的體積為.4.4.3 在求解幾何圖形方程中的應用 1)過不同兩點的平面直線的方程為.2)過不共線三點的平面的方程為.行列式的應用是十分廣泛的,本文只列舉了行列式在數(shù)學中幾個方面的應用,隨著行列式理論的不斷發(fā)展與完善,它必將應用到更加廣泛的領域中.結語通過對行列式的計算方法的研究發(fā)現(xiàn),不同的題目可能用到不同的計算方法,至于采用哪種方法進行計算要視具體的題目而定.每一種方法都各具特色,每一種方法都是從根本上解決行列式計算難的問題,簡化了計算過程,避免了許多錯誤的出現(xiàn).同樣的題目有時也可以用不同的方法來計算,只要我們多觀察行列式的特點就能找到適合的方法特別需要注意的是有的行列式的計算不是單純的一種方法就能夠完成,有時需要用到兩種或兩種以上的方法.在對行列式定義及其方法了解透徹的基礎上,可以將行列式靈活的運用在解決其它問題上.參考文獻1 王文省,趙建立,于增海,王廷明.高等代數(shù).山東大學出版社,2004.5.2 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹m.北京:中央民族大學出版社,20023 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)m.北京：高等教育出版社,2003.4 趙樹原.線性代數(shù)(第三版)m.北京:中國人民大學