高考數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性復(fù)習(xí)

1、2021/3/231要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 一般地一般地, ,如果對(duì)于函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f( (x) )的定義域內(nèi)任意一個(gè)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x, ,都都 有有_, ,那么函數(shù)那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)）就叫做偶函數(shù). . 一般地一般地, ,如果對(duì)于函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f( (x) )的定義域內(nèi)任意一個(gè)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x, ,都都 有有_, ,那么函數(shù)那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)）就叫做奇函數(shù). . 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; ;偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸軸 對(duì)稱對(duì)稱. .2.4 2.4 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 基礎(chǔ)知識(shí)

2、基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)f（- -x）= =f（x）f（- -x）=-=-f（x）2021/3/2322.2.判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性, ,一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行, ,一般一般 步驟是步驟是: : （1 1）考查定義域是否關(guān)于）考查定義域是否關(guān)于_; ;（2 2）考查表達(dá)式）考查表達(dá)式f（- -x）是否等于）是否等于f（x）或）或- -f（x）: : 若若f（- -x）=_=_, ,則則f（x）為奇函數(shù)）為奇函數(shù); ; 若若f（- -x）=_=_, ,則則f（x）為偶函數(shù)）為偶函數(shù); ; 若若f（- -x）=_=_且且f（- -

3、x）=_,=_,則則f( (x) )既是既是 奇函數(shù)又是偶函數(shù)奇函數(shù)又是偶函數(shù); ; 若若f（- -x）- -f（x）且）且f（- -x）f（x）, ,則則f（x）既）既 不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù), ,即非奇非偶函數(shù)即非奇非偶函數(shù). . 原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱- -f（x）f（x）- -f（x）f（x）2021/3/2333.3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_,_, 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_(_(填填 “ “相同相同”、“相反相反”）. .(2

4、)(2)在公共定義域內(nèi)在公共定義域內(nèi), , 兩個(gè)奇函數(shù)的和是兩個(gè)奇函數(shù)的和是_,_,兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶 函數(shù)函數(shù); ; 兩個(gè)偶函數(shù)的和、積是兩個(gè)偶函數(shù)的和、積是_; ; 一個(gè)奇函數(shù)一個(gè)奇函數(shù), ,一個(gè)偶函數(shù)的積是一個(gè)偶函數(shù)的積是_. _. 奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)相同相同相反相反2021/3/234基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, ,下列函數(shù)為奇函數(shù)的是下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 （ ） A.A.y=2=2x-3 B.-3 B.y=-3=-3x2 2 C. C.y=ln 5=ln 5x D.D.y=-|=-|x|cos |cos x 解析解析 A A為非

5、奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù),B,B、D D為偶函數(shù)為偶函數(shù),C,C為奇函為奇函 數(shù)數(shù). .設(shè)設(shè)y= =f( (x)=ln 5)=ln 5x= =xln 5,ln 5,f（- -x）=-=-xln 5=ln 5= - -f（x）. . C2021/3/2352.2.（20082008全國全國理）理）函數(shù)函數(shù) 的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 （ ） A.A.y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 B.B.直線直線y=-=-x對(duì)稱對(duì)稱 C.C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D.D.直線直線y= =x對(duì)稱對(duì)稱 解析解析 f（x）是奇函數(shù)）是奇函數(shù).f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. . xxxf1)(,1)(xxxf).()1

6、(1)(xfxxxxxfC2021/3/2363.3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)下列函數(shù)中既是奇函數(shù), ,又在區(qū)間又在區(qū)間-1,1-1,1上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 的函數(shù)是（的函數(shù)是（ ） A.A.f( (x)=sin )=sin x B. B.f( (x)=-|)=-|x-1|-1| C. C. D. D. 解析解析 函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)是奇函數(shù), ,排除排除B B、C C（B B中函數(shù)是非奇中函數(shù)是非奇 非偶函數(shù)非偶函數(shù), ,C C中是偶函數(shù)）中是偶函數(shù)）, , -1-1, ,1 1 f（x）=sin =sin x在在-1,1-1,1上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,排除排除A,A,故選故選D. D. )(21

7、)(xxaaxfxxxf22ln)(,2,2D2021/3/2374.4.已知已知f( (x）= =ax2 2+ +bx是定義在是定義在 a-1-1, ,2 2a 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), , 那么那么a+ +b的值是的值是 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 依題意得依題意得31312121,031,021babaa.31031baB2021/3/2385.5.（20082008福建理）福建理）函數(shù)函數(shù)f（x）= =x3 3+sin +sin x+1 (+1 (xR R),), 若若f（a）=2=2, ,則則f（- -a）的值為）的值為 （ ） A.3 B.0 C

8、.-1 D.-2A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 設(shè)設(shè)g( (x)=)=x3 3+sin +sin x, ,很明顯很明顯g( (x) )是一個(gè)奇函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù). . f（x）= =g（x）+1.+1.f（a）= =g（a）+1=2+1=2, , g（a）=1=1, , g（- -a）=-1=-1,f（- -a）= =g（- -a）+1=-1+1=0. +1=-1+1=0. B2021/3/239題型一題型一 函數(shù)奇偶性的判斷函數(shù)奇偶性的判斷【例例1 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性: : (1)(1) (2) (2) (3) (3) 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性

9、, ,應(yīng)先檢查定義域是應(yīng)先檢查定義域是 否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ,然后再比較然后再比較f( (x) )與與f(-(-x) )之間是否之間是否 相等或相反相等或相反. . 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析思維啟迪思維啟迪;11lg)(xxxf;11) 1()(xxxxf).0(),0()(22xxxxxxxf2021/3/2310解解 (1) (1) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. .故原函數(shù)是奇函數(shù)故原函數(shù)是奇函數(shù). .(2) 0(2) 0且且1-1-x00 -1 -1x1,00時(shí)時(shí), ,f( (x)=)=x2 2+ +x, ,則當(dāng)則當(dāng)x00,0,故故f(-(-x)=)=x2

10、 2- -x= =f( (x););當(dāng)當(dāng)x000時(shí)時(shí),-,-x0,00或或x00來來尋找等式尋找等式f(-(-x)=)=f( (x) )或或f(-(-x)=-)=-f( (x) )成立成立, ,只有當(dāng)對(duì)稱只有當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí)的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí), ,分段函數(shù)才具有確分段函數(shù)才具有確定的奇偶性定的奇偶性. . 2021/3/2314知能遷移知能遷移1 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性: : (1) (1) (2) (2) ;3|3|4)(2xxxf.) 1(2) 1|(|0) 1(2)(xxxxxxf2021/3/2315解解 (1) -2(1) -2x22且且

11、x0,0,函數(shù)函數(shù)f( (x) )的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. .f(-(-x)=-)=-f( (x),),即函數(shù)即函數(shù)f( (x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù). .,3|3|042xx,4)(4)(.4334)(2222xxxxxfxxxxxf又2021/3/2316(2)(2)當(dāng)當(dāng)x-11,1,f(-(-x)=-(-)=-(-x)+2=)+2=x+2=+2=f( (x).).當(dāng)當(dāng)x11時(shí)時(shí), ,f( (x)=-)=-x+2,-+2,-x-1,-1,f(-(-x)=(-)=(-x)+2=-)+2=-x+2=+2=f( (x).).當(dāng)當(dāng)-1-1x11時(shí)時(shí), ,f( (x)=0,-1-)=

12、0,-1-x1,1,f(-(-x)=0=)=0=f( (x).).綜上可知綜上可知, ,對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有都有f(-(-x)=)=f( (x),),f( (x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù). . 2021/3/2317題型二題型二 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【例例2 2】 已知函數(shù)已知函數(shù)f( (x),),當(dāng)當(dāng)x, ,yR R時(shí)時(shí), ,恒有恒有f( (x+ +y)=)= f( (x)+)+f( (y).). (1) (1)求證求證: :f( (x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù); ; (2)(2)如果如果x為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù), ,f（x）0,0,并且并且f(1)= (1)

13、= 試求試求 f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間-2-2, ,6 6上的最值上的最值. . (1)(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行證明根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行證明, , 只需證只需證f( (x)+)+f(-(-x)=0;)=0; (2) (2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明, ,并注意函數(shù)奇并注意函數(shù)奇 偶性的應(yīng)用偶性的應(yīng)用. . 思維啟迪思維啟迪,212021/3/2318(1)(1)證明證明 函數(shù)定義域?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽 R, ,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. .f（x+ +y）= =f（x）+ +f（y）, ,令令y=-=-x, ,f(0)=(0)=f(

14、(x)+)+f(-(-x).).令令x= =y=0,=0,f(0)=(0)=f(0)+(0)+f(0),(0),得得f(0)=0.(0)=0.f（x）+ +f（- -x）=0=0, ,得得f(-(-x)=-)=-f( (x),),f( (x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù). . （2 2）解解 方法一方法一 設(shè)設(shè)x, ,y為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù), ,f（x+ +y）= =f（x）+ +f（y）, ,f（x+ +y）- -f（x）= =f（y）. .x為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù), ,f（x）0,0,f( (x+ +y)-)-f( (x)0,)0,2021/3/2319f( (x+ +y) x, ,f( (x) )在（在（

15、0 0, ,+）上是減函數(shù)）上是減函數(shù). .又又f（x）為奇函數(shù)）為奇函數(shù), ,f（0 0）=0=0, ,f（x）在（）在（-,+-,+）上是減函數(shù)）上是減函數(shù). .f（-2-2）為最大值）為最大值, ,f(6)(6)為最小值為最小值. .f(1)= (1)= f(-2)=-(-2)=-f(2)=-2(2)=-2f(1)=1,(1)=1, f(6)=2(6)=2f(3)=2(3)=2f（1 1）+ +f（2 2）=-3.=-3.所求所求f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間-2-2, ,6 6上的最大值為上的最大值為1 1, ,最小值最小值為為-3. -3. ,212021/3/2320方法二方法二 設(shè)

16、設(shè)x1 1 0,0,f( (x2 2- -x1 1)0.)0.f( (x2 2)-)-f( (x1 1)0.)0.即即f( (x) )在在R R上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .f（-2-2）為最大值）為最大值, ,f（6 6）為最小值）為最小值. .f（1 1）= = f（-2-2）=-=-f（2 2）=-2=-2f（1 1）=1=1 f（6 6）=2=2f（3 3）=2=2f（1 1）+ +f（2 2）=-3.=-3.所求所求f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間-2-2, ,6 6上的最大值為上的最大值為1 1, ,最小值最小值為為-3. -3. ,212021/3/2321 探究提高探究提高 （1 1）

17、滿足）滿足f( (a+ +b)=)=f( (a)+)+f( (b) )的函數(shù)的函數(shù), ,只只 要定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的要定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的, ,它就是奇函數(shù)它就是奇函數(shù). .（2 2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是求最值（或值域）的常用）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是求最值（或值域）的常用 方法之一方法之一, ,特別對(duì)于抽象函數(shù)特別對(duì)于抽象函數(shù), ,更值得關(guān)注更值得關(guān)注. . 2021/3/2322知能遷移知能遷移2 2 函數(shù)函數(shù)f( (x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈=x| |x0,0,且滿且滿 足對(duì)于任意足對(duì)于任意x1 1, ,x2 2D, ,有有f( (x1 1x2 2)=)=f( (x1 1)+)+f( (

18、x2 2).). （1 1）求）求f(1)(1)的值的值; ; （2 2）判斷）判斷f( (x) )的奇偶性并證明你的結(jié)論的奇偶性并證明你的結(jié)論; ; （3 3）如果）如果f(4)=1,(4)=1,f(3(3x+1)+1)+f(2(2x-6)3,-6)3,且且f( (x) )在在 (0(0, ,+)+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,求求x的取值范圍的取值范圍. . 解解 （1 1）對(duì)于任意對(duì)于任意x1 1, ,x2 2D, , 有有f( (x1 1x2 2)=)=f( (x1 1)+)+f( (x2 2) ), , 令令x1 1= =x2 2=1,=1,得得f(1)=2(1)=2f(1),(1),

19、f(1)=0. (1)=0. 2021/3/2323(2)(2)令令x1 1= =x2 2=-1,=-1,有有f(1)=(1)=f(-1)+(-1)+f(-1). (-1). f(-1)= (-1)= f(1)=0.(1)=0.令令x1 1=-1,=-1,x2 2= =x有有f(-(-x)=)=f(-1)+(-1)+f( (x),),f(-(-x)=)=f( (x),),f( (x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù). .（3 3）依題設(shè)有）依題設(shè)有f(4(44)=4)=f(4)+(4)+f(4)=2,(4)=2, f（16164 4）= =f（1616）+ +f（4 4）=3=3, ,f(3(3x+1)+

20、1)+f(2(2x-6)3,-6)3,f(3(3x+1)(2+1)(2x-6)-6)f(64) (64) (* *) )212021/3/2324f( (x) )在（在（0 0, ,+）上是增函數(shù)）上是增函數(shù), ,( (* *) )等價(jià)于不等式組等價(jià)于不等式組x的取值范圍為的取值范圍為. 331313753.R331537313,64)62)(13(0)62)(13(64)62)(13(0)62)(13(xxxxxxxxxxxxxxxx或或或或或.533313137|xxxx或或2021/3/2325題型三題型三 函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性【例例3 3】 （1212分）已知函數(shù)分

21、）已知函數(shù)f( (x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R, ,且且 滿足滿足f( (x+2)=-+2)=-f( (x).). （1 1）求證）求證: :f( (x) )是周期函數(shù)是周期函數(shù); ; （2 2）若）若f( (x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,且當(dāng)且當(dāng)00 x11時(shí)時(shí), ,f( (x)= )= 求使求使f( (x)= )= 在在0 0, ,2 0092 009上的所有上的所有x的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù). . (1) (1)只需證明只需證明f（x+ +T）= =f（x）, ,即即f（x） 是以是以T為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù); ;(2)(2)由第由第(1)(1)問可知只需求問可知只需求 一個(gè)周期中一

22、個(gè)周期中f( (x)= )= 的的x的個(gè)數(shù)便可知在的個(gè)數(shù)便可知在0,2 0090,2 009 上的上的x的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù). . 思維啟迪思維啟迪,21x21212021/3/2326（1 1）證明證明 f（x+2+2）=-=-f（x）, , f（x+4+4）=-=-f（x+2+2）=-=-f（x）=f（x）, , 2 2分分f（x）是以）是以4 4為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). . 3 3分分（2 2）解解 當(dāng)當(dāng)00 x11時(shí)時(shí), ,f( (x)= )= 設(shè)設(shè)-1-1x0,0,則則0-0-x1,1,f( (x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù),f（- -x）=-=-f（x）, , 5 5分分故故f( (x

23、)= (-1)= (-1x1). 1). 6 6分分,21x.21)(21)(xxxf.21)(,21)(xxfxxf即x21解題示范解題示范2021/3/2327又設(shè)又設(shè)11x3,3,則則-1-1x-21, -21, f（x-2-2）= = （x-2-2）. . 7 7分分又又f（x-2-2）=-=-f（2-2-x）=-=-f(-(-x)+2)+2)=-=-f（- -x）=-=-f（x）, ,- -f（x）= = （x-2-2）, ,f（x）= = （x-2-2） （11x33）. . 8 8分分 9 9分分212121) 31 ()2(21) 11(21)(xxxxxf2021/3/232

24、8由由f( (x)= )= 解得解得x=-1.=-1.f（x）是以）是以4 4為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù), , f( (x)= )= 的所有的所有x=4=4n-1 (-1 (nZ Z). ). 1010分分令令0404n-12 009,-12 009,則則 又又nZ Z,11n502 502 （nZ Z）, ,在在00, ,2 0092 009上共有上共有502502個(gè)個(gè)x使使f( (x)= )= 1212分分 判斷函數(shù)的周期只需證明判斷函數(shù)的周期只需證明f（x+ +T）= =f( (x) )( (T0)0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)便可證明函數(shù)是周期函數(shù), ,且周期為且周期為T, ,函數(shù)函

25、數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題, ,是高考考查是高考考查的重點(diǎn)問題的重點(diǎn)問題. . ,2121,2005141 n.21探究提高探究提高2021/3/2329知能遷移知能遷移3 3 已知定義在已知定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)f（x）滿足）滿足f（x+2+2） =-=-f（x）, ,則則f（9 9）的值為）的值為 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2A.-1 B.0 C.1 D.2 解析解析 f( (x+2)=-+2)=-f( (x),), f( (x+4)=+4)=f( (x+2)+2+2)+2=-=-f( (x+2)=+2)=f( (x).).

26、 f（x）是周期為）是周期為4 4的函數(shù)的函數(shù). . f（9 9）= =f（2 24+14+1）= =f（1 1）. . f（x+2+2）=-=-f（x）, ,令令x=-1,=-1, 得得f(1)=-(1)=-f(-1)=-(-1)=-f(1),(1),f(1)=0.(1)=0.f(9)=0. (9)=0. B2021/3/23301.1.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義, ,必須把握好兩必須把握好兩 個(gè)問題個(gè)問題: : (1) (1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f( (x) )為奇為奇 函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件函數(shù)或偶函數(shù)的必要

27、非充分條件; ; (2) (2)f(-(-x)=-)=-f( (x) )或或f(-(-x)=)=f( (x) )是定義域上的恒等式是定義域上的恒等式. .2.2.奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù). .為為 了便于判斷函數(shù)的奇偶性了便于判斷函數(shù)的奇偶性, ,有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn), ,或應(yīng)用定義的等價(jià)形式或應(yīng)用定義的等價(jià)形式: :f(-(-x)=)=f( (x) ) f(-(-x) ) f( (x)=0)=0 = =1(1(f( (x)0). )0). 方法與技巧方法與技巧)()(xfxf 思想方法思想方法 感悟提高感悟

28、提高2021/3/23313.3.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ,偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, ,反之也真反之也真. .利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù) 圖象的畫法圖象的畫法, ,也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性. .1.1.判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性, ,首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. .定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇 偶性的一個(gè)必要條件偶性的一個(gè)必要條件. . 失誤與防范失誤與防范2021/3/23322.2.判斷

29、函數(shù)判斷函數(shù)f( (x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x, , 均有均有f(-(-x)=-)=-f( (x).).而不能說存在而不能說存在x0 0使使f(-(-x0 0)=-)=-f( (x0 0).).對(duì)對(duì) 于偶函數(shù)的判斷以此類推于偶函數(shù)的判斷以此類推. .3.3.判斷分段函數(shù)奇偶性時(shí)判斷分段函數(shù)奇偶性時(shí), ,要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷, , 不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù) 而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性. . 2021/3/2333一、選擇題

30、一、選擇題1.1.f( (x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,且且f( (x) )的周期為的周期為3 3, ,f（2 2）=1=1, ,則則 f（1010）等于）等于 （ ） A.1 B.-1 C.0 D.2A.1 B.-1 C.0 D.2 解析解析 f(10)=(10)=f(3(33+1)=3+1)=f(1)=-(1)=-f(-1)=-(-1)=-f(2)=-1. (2)=-1. 定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)B2021/3/23342.2.若函數(shù)若函數(shù)f（x）是定義在）是定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), ,在（在（-, ,0 0 上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,且且f(2)=0(2)=0, ,則使得則使得f( (

31、x)0)0的取值范圍的取值范圍 是是 （ ） A.(-,2)A.(-,2) B.(2,+) B.(2,+) C.(-,-2)(2,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-2,2) D.(-2,2) 解析解析 f（x）是偶函數(shù)且在）是偶函數(shù)且在 (-,0(-,0上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,且且f（2 2） = =f（-2-2）=0=0, ,可畫示意圖如圖所可畫示意圖如圖所 示示, ,由圖知由圖知f( (x)0)0的解集為（的解集為（-2-2, ,2 2）. . D2021/3/23353.3.（20092009遼寧理遼寧理, ,9 9）已知偶函數(shù)已知偶函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間0,0, +

32、 +）上單調(diào)遞增）上單調(diào)遞增, ,則滿足則滿足 的的x的取的取 值范圍是值范圍是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. )31() 12(fxf)32,31()32,31)32,21()32,212021/3/2336解析解析 方法一方法一 當(dāng)當(dāng)2 2x-10,-10,即即x 時(shí)時(shí), ,因?yàn)橐驗(yàn)閒( (x) )在在0 0, ,+）上單調(diào)遞增）上單調(diào)遞增, ,故需滿足故需滿足當(dāng)當(dāng)2 2x-10,-10,即即x 時(shí)時(shí), ,由于由于f( (x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,故故f( (x) )在在（-,0-,0上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, , 此時(shí)需滿足此時(shí)需滿足21,32,3112xx即.

33、3221 x所以21),31()31( ff.3231,2131,3112xxx綜上可得即2021/3/2337方法二方法二 f( (x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù),f(2(2x-1)=-1)=f( (|2 2x-1-1|) )又又f( (x) )在區(qū)間（在區(qū)間（0 0, ,+）上為增函數(shù)）上為增函數(shù)不等式不等式 等價(jià)于等價(jià)于 )31() 12(fxf31| 12|x.3231,311231xx答案答案 A2021/3/23384.4.(2009(2009陜西文陜西文, ,10)10)定義在定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)f( (x) ), ,對(duì)對(duì) 任意任意x1 1, ,x2 20,+)(0,+)(x1 1x2 2) ), ,有有 則則 （ ） A.A.f(3)(3)f(-2)(-2)f(1)(1) B. B.f(1)(1)f(-2)(-2)f(3)(3) C. C.f(-2)(-2)f(1)(1)f(3)(3) D. D.f(3)(3)f(1)(1)21,321,故