圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用

1、淺談圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用無錫市北高級中學(xué) 計(jì) 巍 214044在近幾年的教學(xué)以及高考試題中，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用比較多，于是對焦點(diǎn)三角形的一些特征進(jìn)行一點(diǎn)探究和歸納。圓錐曲線上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的稱為“焦點(diǎn)三角形”。1、 關(guān)于焦點(diǎn)三角形的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)：焦點(diǎn)三角形的面積公式若、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則。解：設(shè)，由余弦定理得由橢圓定義得 由得：（）由此類比雙曲線還可得到：已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且，則。（）以上兩個(gè)公式對于焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線同樣成立。性質(zhì)：焦點(diǎn)三角形中的最大頂角已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)

2、時(shí)角最大。解：設(shè)，由余弦定理得由橢圓定義得 而，（），由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)且僅當(dāng)，取值最小，即點(diǎn)為段軸端點(diǎn)時(shí)角最大。當(dāng)我們比較“清楚地了解”焦點(diǎn)三角形的面積公式，我們的思路就又多了一條。運(yùn)用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，證明如下：證：設(shè)，則、都是焦點(diǎn)三角形，故，且，即，即，當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)角最大。2、應(yīng)用舉例例：已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)使，求橢圓離心率的取值范圍。思路一：由題條件可以理解為以焦距為直徑的圓與該橢圓有交點(diǎn)，從解方程角度出發(fā)。（過程略）思路二：利用焦點(diǎn)三角形性質(zhì)，從面積角度考慮不妨設(shè)短軸一端點(diǎn)為則 故思路三：由焦點(diǎn)三角形性質(zhì)頂角例：（2001年全國卷理科第14題）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為_。思路一：設(shè)，由定義，由，中，則得：作軸于，在中，思路二：設(shè)，由于點(diǎn)在以為直徑的圓上，要求點(diǎn)到軸距離，可通過交軌法求。由點(diǎn)在以為直徑的圓上，由點(diǎn)在雙曲線上，消得，即。思路三：由焦點(diǎn)三角形性質(zhì)，利用面積公式又，小結(jié)：發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)三角形的解法更簡潔明了。變式：若將問題改換為“當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_”，則可以先求出使時(shí)的點(diǎn)橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合即可得到所求問題的解。2000年高考理科卷中也曾出現(xiàn)類似問題。練習(xí)：1、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、，試問：橢圓上是否存在點(diǎn)，使？存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；否則說明理