復(fù)數(shù)及其運算

1、張長華復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換大學(xué)數(shù)學(xué)教程大學(xué)數(shù)學(xué)教程主講：主講： 鄭修才鄭修才10/30/20211張長華Complex Analysis and Integral Transform 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1 1.1 復(fù)數(shù)及其運算復(fù)數(shù)及其運算1.2 1.2 復(fù)平面上的曲線和區(qū)域復(fù)平面上的曲線和區(qū)域1.3 1.3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1.4 1.4 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性張長華Complex Analysis and Integral Transform 1.1 1.1 復(fù)數(shù)及其運算復(fù)數(shù)及其運算一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念1、產(chǎn)生背景的數(shù)

2、稱為復(fù)數(shù)，其中稱為虛單位，iyxz1iyx,)Im(zy z2、定義：形如為任意實數(shù),且記分別稱為的實部與虛部。張長華Complex Analysis and Integral Transform二、復(fù)數(shù)的表示法二、復(fù)數(shù)的表示法1 1、( (復(fù)平面上的復(fù)平面上的) )點表示點表示 -用坐標(biāo)平面上的點用坐標(biāo)平面上的點r 此時的坐標(biāo)面（稱為復(fù)平面）與直角坐標(biāo)平面的區(qū)別與聯(lián)系。yx),(yxPxy( 2 )zxiy復(fù) 數(shù)與 點 （ x , y ） 構(gòu) 成一 一 對 應(yīng) 關(guān) 系 ， 復(fù) 數(shù) z = x + i y由 （ x , y ） 唯 一 確 定 。張長華Complex Analysis and

3、Integral Transform2 2、( (復(fù)平面上的復(fù)平面上的) )向量表示向量表示-OMyxMiyxz),(點22|yxrz|zrOM（1）模 的長度 ，記為 ，則（2）輻角( ) 與 軸正向的夾角 (周期性)0zoxOM( )cos ,sinArg zxryr記，則張長華Complex Analysis and Integral Transform輻角主值輻角主值: :a()a rg ()rgzz滿 足的輻 角 值 （ 僅 有 一 個 ） ，記 作 a r g ( z ) . 即 ： -), 2, 1, 0k(k2)zarg()z(Arg0z時，無意義的輻角不確定，：)0(0Arg

4、z 其中主值)arg(z的確定方法見教材P3（1.1.6）式或借助復(fù)數(shù)向量表示）式或借助復(fù)數(shù)向量表示.張長華Complex Analysis and Integral Transform3 3、三角（或極坐標(biāo)）表示三角（或極坐標(biāo)）表示-)sin(cosiriyxz,|22yxzrxyarctan,cosrx sinry 由由得得4izre、 指 數(shù) 表 示 sinicosei歐拉公式5、代數(shù)表示- iyxz張長華Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)數(shù)的各種表示可相互轉(zhuǎn)換在不同的運算中可選擇不同表示式進行運算。NSPyzZx6*、復(fù)球面表示- 將擴充

5、復(fù)平面中 | z的所有復(fù)數(shù)唯一表示為一個點，則所有復(fù)數(shù)與復(fù)球面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。 張長華Complex Analysis and Integral Transform三、復(fù)數(shù)的運算三、復(fù)數(shù)的運算1、相等兩個復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)實部與虛部分別相等時才相等。2、和、差、積、商（分母不為0）代數(shù)式、三角式、指數(shù)式,iyxzzxiy。3、共軛復(fù)數(shù)及運算性質(zhì))Re(22zxzz),Im(22ziyizz222)Im()Re(|zzzzzzzyxoyyx張長華Complex Analysis and Integral Transform四、復(fù)數(shù)的四、復(fù)數(shù)的n n次方根次方根1(cossin),22(cos

6、sin)(0,1,1)nnzrikkwzrinnkn若則wnr0k的n個值恰為以原點為中心，的內(nèi)接正邊形的頂點，當(dāng)時，為半徑的圓周n0w稱為主值。張長華Complex Analysis and Integral Transform答疑解惑答疑解惑 答：不能，實數(shù)能比較大小，是因為實數(shù)是有序的；而答：不能，實數(shù)能比較大小，是因為實數(shù)是有序的；而復(fù)數(shù)是無序的，所以不能比較大小。復(fù)數(shù)是無序的，所以不能比較大小。 假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實數(shù)中大小關(guān)系保持假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實數(shù)中大小關(guān)系保持一致，（因為實數(shù)是復(fù)數(shù)的特例），不妨取一致，（因為實數(shù)是復(fù)數(shù)的特例），不妨取0 0和和i i加

7、以討論：加以討論：1 1、復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？0,0,010,iii ii設(shè)則得顯然矛盾注：復(fù)數(shù)的模、實部和虛部都是實數(shù)，輻角也是實數(shù)，注：復(fù)數(shù)的模、實部和虛部都是實數(shù)，輻角也是實數(shù)，可比較大小可比較大小。i張長華Complex Analysis and Integral Transform2 2、復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運算與向量的、復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運算與向量的 運運算是否相同？算是否相同？ 答：有相同之處，但也有不同之處。 加減和數(shù)乘運算相同，乘積運算不同，向量運算有數(shù)量積、向量積和混合積，復(fù)數(shù)則沒有；復(fù)數(shù)運算有乘除及乘冪、方根，但向量沒有；

8、乘積運算的幾何意義不同。張長華Complex Analysis and Integral Transform典型例題典型例題例例1 1、判斷下列命題是否正確？、判斷下列命題是否正確？（1 1）（2 2）（3 3）7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57Im(ii（ ）（ ）（ ）張長華Complex Analysis and Integral Transform例例2 2、求下列復(fù)數(shù)的模與輻角、求下列復(fù)數(shù)的模與輻角（1） （2） （3） （4） i 3i231iii25104ni231張長華Complex Analysis and Integral Transform解

9、（解（1 1）22(3)( 1)2,15arg( )arctan63zz （1）22321131313z32arctan)arg(z,132133)23)(23(23231iiiii （2 2）張長華Complex Analysis and Integral Transform,3144102510iiiiiii,103) 1(|22z3arctan)arg(z（3）,1|z,23)arg(knz(23nkk滿足的 ）313cossin233niinnei313arg( )arctan 3)23iiez(模為1,(4)張長華Complex Analysis and Integral Trans

10、form例例3 3、求滿足下列條件的復(fù)數(shù)、求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z z：（1）（3）izz2|,3)2arg(z（2） 且且3,zai2|2|z65)2arg(z張長華Complex Analysis and Integral Transformzxiy解：（1） 設(shè)：則222xiyxyi22321.4xxyyxi3由，得,故z=42(2)3,23212zaizaia 則a 的值為(- 3, 3)內(nèi)任一實數(shù),故滿足條件的z有無窮多個.張長華Complex Analysis and Integral Transform132ri2322r212r i11113(3)2cossin3322zrirr i設(shè)22255312cossin6622zrirr i 1122rz則124,4 3 rr張長華Complex Analysis and Integral Transform0123zzz123zzz例例4 4 求方程求方程的根。并將的根。并將分解因式。分解因式。1)1)(1(423zzzzz解 ，101z 0而的根為z014z則的其余三個根即為所求014z420s