單擺周期公式的推導(dǎo)與應(yīng)用

1、單擺周期公式的推導(dǎo)與特殊應(yīng)用新課程考試大綱與2003年理科綜合考試說明（物理部分）相比，有了很大的調(diào)整。知識點(diǎn)由原來的92個增加到了131個，并刪去了許多限制性的內(nèi)容。如在振動和波這一章，刪去了“不要求推導(dǎo)單擺的周期公式”這一限制性的內(nèi)容。這就說明，新課程考試大綱要求學(xué)生會推導(dǎo)單擺的周期公式。而查看全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本）物理第一冊（必修），在關(guān)于單擺周期公式的推導(dǎo)中也僅僅講到單擺受到的回復(fù)力與其位移大小成正比，方向與位移的方向相反為止。最后還是通過物理學(xué)家的研究才得出了單擺的周期公式。這樣一來，前面的推導(dǎo)似乎只是為了想證明單擺的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。一 簡諧運(yùn)動物體的運(yùn)動學(xué)特征作簡諧

2、運(yùn)動的物體要受到回復(fù)力的作用，而且這個回復(fù)力與物體相對于平衡位置的位移成正比，方向與位移相反，用公式表示可以寫成，其中是比例系數(shù)。對于質(zhì)量為的小球，假設(shè)時刻（位移是）的加速度為，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律有：，即abgg1g2gp圖 1因此小球的加速度與它相對平衡位置的位移成正比，方向與位移相反。因?yàn)椋ɑ颍┦亲兞?，所以也是變量，小球作變加速運(yùn)動。把加速度寫成，并把常數(shù)寫成得到。對此微分方程式，利用高等數(shù)學(xué)方法，可求得其解為。這說明小球的位移是按正弦曲線的規(guī)律隨著時間作周期性變化的，其變化的角速度為，從而得到作簡諧運(yùn)動物體的周期為。二單擺周期公式的推導(dǎo) 單擺是一種理想化的模型，實(shí)際的擺只要懸掛小球的擺

3、線不會伸縮，懸線的長度又比球的直徑大很多，都可以認(rèn)為是一個單擺。 當(dāng)擺球靜止在點(diǎn)時，擺球受到的重力和擺線的拉力平衡，如圖1所示，這個點(diǎn)就是單擺的平衡位置。讓擺球偏離平衡位置，此時，擺球受到的重力和擺線的拉力就不再平衡。在這兩個力的作用下，擺球?qū)⒃谄胶馕恢酶浇鼇砘赝鶑?fù)運(yùn)動。當(dāng)擺球運(yùn)動到任一點(diǎn)時，重力沿著圓弧切線方向的分力提供給擺球作為來回振動的回復(fù)力，當(dāng)偏角很小如時，所以單擺受到的回復(fù)力，式中的為擺長，是擺球偏離平衡位置的位移，負(fù)號表示回復(fù)力與位移的方向相反，由于m、g、l都是確定的常數(shù)，所以可以用常數(shù)來表示，于是上式可寫成。因此，在偏角很小時，單擺受到的回復(fù)力與位移成正比，方向與位移方向相反，

4、單擺作的是簡諧運(yùn)動。把代入到簡諧運(yùn)動物體的周期公式，即可得到單擺的周期公式是。圖 2三單擺周期公式在特定條件下的應(yīng)用討論1：單擺周期公式中的指的是單擺的擺長，但在特定情況下可以理解為是等效擺長。例1如圖2所示，為一雙線擺，它是在水平天花板上用兩根等長的細(xì)線懸掛一個小球而構(gòu)成的。已知擺長為，擺線與天花板之間的夾角為。求小球在垂直于紙面方向作簡諧運(yùn)動時的周期。解析 小球在垂直于紙面內(nèi)作簡諧運(yùn)動時，其等效擺長為，所以此雙線擺的周期。討論2：單擺周期公式中的指的是重力加速度，而在很多特定條件下可以理解為擺球在平衡位置保持相對靜止時，擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方

5、向的合力與擺球質(zhì)量的比值，即，（在加速運(yùn)動系統(tǒng)中，還應(yīng)包括慣性力，慣性力的大小，方向與系統(tǒng)的加速度的方向相反）此時，單擺的周期公式就變成了。例2在電場中帶電擺球的擺動周期如圖3所示，長為的絕緣細(xì)線下端系一帶電量為、質(zhì)量為的小球，整個裝置處于場強(qiáng)為方向豎直向下的勻強(qiáng)電場中，在擺角小于時，求它的擺動周期。eqfg圖 4解析 擺球所受到的力如圖3所示即細(xì)線的拉力、重力圖 3eqe和電場力。當(dāng)擺球在平衡位置保持相對靜止時， 擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，則，擺動的周期是。 若整個裝置處于如圖4所示的電場中，同樣可以求得單擺的擺動周期為。圖 5例3 如圖

6、5所示，求在勻加速上升的升降機(jī)內(nèi)單擺的周期。解析 設(shè)升降機(jī)勻加速上升的加速度為，單擺的擺長為，擺球的質(zhì)量為。當(dāng)擺球在平衡位置保持相對靜止時，擺球受到的力如圖5所示即擺線的拉力和重力以及慣性力，方向與系統(tǒng)的加速度方向相反。擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，圖 6因此，所以單擺的周期。 如圖6所示，若單擺處于沿水平方向作勻加速直線運(yùn)動的系統(tǒng)內(nèi)，單擺的擺長為，系統(tǒng)水平向右的加速度為，擺球的質(zhì)量為，求這一單擺的周期。圖 7 1+q, m解析 擺球受到擺線的拉力和重力以及慣性力，慣性力的方向與系統(tǒng)的加速度方向相反。擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向

7、的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，因此， ，單擺的周期。例4如圖7所示為一單擺，擺繩長為，擺球的質(zhì)量為，擺球帶有正電荷的電量為，在單擺的懸點(diǎn)處放有一帶電量為的正電荷，試求這一單擺的周期。圖 8解析 擺球受到擺繩的拉力、重力和電場力。其中電場力始終沿著擺繩的方向，當(dāng)擺球在平衡位置保持相對靜止時，擺球受到的外力中除去所有的始終沿著擺繩方向的力，剩余的各力沿著擺繩方向的合力，。因此，單擺的周期是。例5如圖8所示，單擺處在方向垂直紙面向里的磁場中，已知擺球的帶電量為，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，求該單擺的周期。解析 擺球在平衡位置周圍往復(fù)運(yùn)動時，除了重力和拉力外，還將受到洛倫茲力的作用，而洛倫茲力的方向總是沿著擺線的方向， 擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力，。因此，單擺的周期是。參考文獻(xiàn)：1、 顧建中力學(xué)教