數(shù)學(xué)思想方法(201408012)

1、數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院胡典順E-mail：湘南學(xué)院，2014，08，12 思考一個(gè)小數(shù)數(shù)學(xué)試題中的問(wèn)題：請(qǐng)用一句話說(shuō)明“”的含義。 的含義是圓周率。 （） 標(biāo)準(zhǔn)答案是：是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)領(lǐng)域普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。 一項(xiàng)調(diào)查 魔鬼，難打敗的憎恨者； 數(shù)學(xué)是殺死腦細(xì)胞的工具； 數(shù)學(xué)是學(xué)不會(huì)的科目，很難，很難，難上加難； 腦細(xì)胞的滅絕師太； 滿清十大酷刑； 看似簡(jiǎn)單，學(xué)起來(lái)難；聽(tīng)課容易，做題難；平時(shí)測(cè)驗(yàn)有高分，大型考試高分難；抽象難以變?cè)敿?xì)； 數(shù)學(xué)是一門(mén)偉大而神奇的學(xué)科，對(duì)于一些人而言，它是天堂，對(duì)于我而言，它是地獄！ 數(shù)學(xué)就像老奶奶的拐杖，沒(méi)有它，老奶奶仍然可以行走，

2、但是不安全，不方便，擁有它，則更加便利； “買(mǎi)菜時(shí)最廣泛的語(yǔ)言” ； 數(shù)學(xué)是150分，沒(méi)定義，為了高考，為了父母的期望，為了上個(gè)好大學(xué)，要不然，打死我，我也不學(xué)。 小時(shí)候，數(shù)學(xué)是生活中的必須品，我離不開(kāi)它，它也離不開(kāi)我。后來(lái)啊，數(shù)學(xué)變成生活中的小包袱，我背著它，它壓制我。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)成了生活中的繩索，它捆綁我，我一心只想逃離，因?yàn)橐呖肌Ｒ苍S，它還是暴風(fēng)雨，將我對(duì)學(xué)習(xí)的熱情，扼殺在搖籃里。 數(shù)學(xué)，你是個(gè)壞蛋，你害我腦細(xì)胞不知死了多少。我美好的青春年華就毀在你的手上，你很能耐呀！你總是打破別人的夢(mèng)，你為什么要做個(gè)人見(jiàn)人恨，人做人更恨的家伙呢？如果沒(méi)有你，我將笑得多燦爛呀！如果你離開(kāi)我，我絕不責(zé)怪你

3、無(wú)情，只要你理解我的心，我就知足了。數(shù)學(xué)課應(yīng)該怎樣上 不照本宣科，不拼命做題，有詩(shī)意，有笑聲，不會(huì)讓我們常覺(jué)得：你必須這樣做，而是明白：為什么要這樣做。 告訴我們?nèi)绾文苡姓_的思路，而不是你要這樣想。 把數(shù)學(xué)放在歷史發(fā)展的角度進(jìn)行發(fā)人深省的啟迪。 互動(dòng)，有激情，以學(xué)生為主體。 將數(shù)學(xué)與生活結(jié)合起來(lái)，講有關(guān)數(shù)學(xué)的趣事。 從游戲到數(shù)學(xué) 游戲1：拿15點(diǎn)游戲 桌子上有9張撲克牌，從1點(diǎn)到9點(diǎn)，甲、乙兩人輪流來(lái)取，哪個(gè)人先取得3張牌，使3張牌的點(diǎn)數(shù)加起來(lái)是15，他便勝了。 游戲2：有69塊糖，甲乙兩人輪流拿，每人每次可取不多于10的任意數(shù)（但不能不拿），誰(shuí)取完糖使對(duì)方無(wú)糖可取為勝。如果讓甲先取，問(wèn)誰(shuí)能

4、獲勝，怎樣才能獲勝？形形色色的加法 1.在實(shí)數(shù)系里，有理數(shù)系里，整數(shù)系里，1+1=2。 2.電燈的拉線開(kāi)關(guān)，拉一下，燈亮了，又拉一下，燈又滅了，拉兩下等于不拉，這叫1+1=0。 3.操場(chǎng)上的口令：立正，向右轉(zhuǎn)，向后轉(zhuǎn)，向左轉(zhuǎn)。向右轉(zhuǎn)+向左轉(zhuǎn)=立正，向左轉(zhuǎn)+向后轉(zhuǎn)=向右轉(zhuǎn)。+012300123112302230133012記立正=0，向右轉(zhuǎn)=1，向后轉(zhuǎn)=2，向左轉(zhuǎn)=3。叫“模4同余類(lèi)的加法” 把“+”當(dāng)成乘法來(lái)做，所得的積再除以7，余數(shù)就叫做和。+123456112345622461353362514441526355316426654321共同特征 1.每一個(gè)系統(tǒng)與一個(gè)基本集合有關(guān)。(1)實(shí)數(shù)

5、集，有理數(shù)集，整數(shù)集；(2)兩個(gè)動(dòng)作“拉”與“不拉”；(3)4個(gè)口令；（4）1，2，3，4，5，6。 2.給定集合中的兩個(gè)元素，可以唯一地確定集合中的某元素，這叫在集合上規(guī)定了一種運(yùn)算，用“+”或其他符號(hào)表示。 3.結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)，交換律a+b=b+a。 4.零元素“0”，x+0=0+x=x。(1)中0，(2)中不拉動(dòng)，(3)中立正；（4）1。 5.負(fù)元素，x+X=X+x=0。 加以抽象可得到交換群的定義。第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵 所謂所謂數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是指從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提是指從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它在數(shù)煉出來(lái)的

6、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被普遍使用，是建立數(shù)學(xué)理學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被普遍使用，是建立數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想。論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想。比如，化歸思想、極限思想、公理化思想等。 所謂所謂數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法是指研究數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中所是指研究數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中所采用的手段、途徑、方式等。采用的手段、途徑、方式等。比如變量代換方法、解析法等。 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，兩者雖層次不同但它們之間并沒(méi)有絕對(duì)的界限，因此常統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。 一般說(shuō)來(lái)，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程操作過(guò)程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。 中小學(xué)數(shù)學(xué)中用到的各種解題方法，都是體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想的。同時(shí)，

7、有的解題方法和思想可以說(shuō)是等同的，只是在不同的情況下或側(cè)重于不同的方面，才有“方法”與“思想”提法之別，例如：“公理化方法”與“公理化思想”。當(dāng)然，中小學(xué)數(shù)學(xué)中由于解題方法的層次性，有的方法通常不宜簡(jiǎn)單直接冠以“思想”的雅號(hào)。 例如，“配方法”倘若冠以“配方思想”就與我們所定義的思想不那么相稱。鑒于中小學(xué)數(shù)學(xué)中的解題方法與數(shù)學(xué)思想的這種特殊關(guān)系，以及從數(shù)學(xué)方法論的角度來(lái)考慮既同一又有差異，或沒(méi)有明確界限的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法中，我們?cè)谥行W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一般仍籠統(tǒng)使用“數(shù)學(xué)思想方法”一詞。 第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)途徑數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)途徑滲透滲透 一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要采取“滲透”

8、的方式進(jìn)行。 所謂“滲透”，就是有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，采用“教者有意、學(xué)者無(wú)心”的形式，反反復(fù)復(fù)地向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)思想方法，日積月累，期待學(xué)生的認(rèn)識(shí)飛躍。 第一，從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系來(lái)看，思想方法隱含在知識(shí)內(nèi)容中，體現(xiàn)在揭示、應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，它不象知識(shí)那樣可以具體地編排在某一教材，它幾乎滲透在所有的教學(xué)內(nèi)容之中。 第二，從學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律來(lái)看，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法要經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間從模糊到清晰的過(guò)程，也就是說(shuō)學(xué)生對(duì)思想方法的認(rèn)識(shí)不可能一次完成。 第三，從學(xué)生的個(gè)體差異來(lái)看，不同的學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法比理解知識(shí)和形成技能更加參差不齊，更加不同步。 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括

9、，是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體的對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，因此是一種隱形的知識(shí)內(nèi)容，要通過(guò)反復(fù)體驗(yàn)才能領(lǐng)悟和運(yùn)用。 數(shù)學(xué)方法是處理、解決問(wèn)題的一種方式、途徑、手段，是對(duì)變換數(shù)學(xué)形式的認(rèn)識(shí)，同樣要通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)容才能反映出來(lái)，并且要在解決問(wèn)題的不斷實(shí)踐中才能理解和掌握。 因此在數(shù)學(xué)課本中即使是直接指出“思想”、“方法”也不一定能起到應(yīng)有的作用。于是溝通課本與學(xué)生的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生領(lǐng)悟、理解、掌握、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法就需要通過(guò)精心的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂上的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，在教師的主導(dǎo)、學(xué)生的參與下去完成。 具體地說(shuō)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)過(guò)程應(yīng)包括“多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展”三個(gè)階段。 滲透思

10、想方法，重在細(xì)水長(zhǎng)流 。第三節(jié)第三節(jié) 滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意義滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意義 數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)的精神與態(tài)度、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)與文化。 日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為，“學(xué)生們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)之后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用。因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門(mén)不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用” 數(shù)學(xué)的精神、思想與方法 數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的推導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂。因此，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)

11、學(xué)思想方法，是使學(xué)生提高思維水平，真正懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的重要保證。 從宏觀意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力。 從微觀意義上來(lái)說(shuō)，在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，只有從知識(shí)和思想方法兩層面上去教和學(xué)，使他們從整體上，從內(nèi)部規(guī)律上掌握系統(tǒng)化的知識(shí)，以至蘊(yùn)含于知識(shí)中以知識(shí)為載體的思想方法，才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也才能有助于學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)，最終達(dá)到提高學(xué)生洞察事物，尋求關(guān)系，解決問(wèn)題的思維品質(zhì)和各種能力，培養(yǎng)現(xiàn)代社會(huì)需要的智能型人才。 幾個(gè)例子從燒水到三次方程的求解 匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎彼得（Rozsa Peter）在她的名著無(wú)窮的玩藝一書(shū)

12、中曾對(duì)“化歸方法”作過(guò)生動(dòng)而有趣的描述： “如上所述的推理過(guò)程，對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程來(lái)說(shuō)是很典型的，他們往往不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題。當(dāng)然，從陳舊的實(shí)用觀點(diǎn)來(lái)看，以下的一個(gè)比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳的： 現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做呢？往水壺里注滿水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上你對(duì)問(wèn)題的回答是正確的?，F(xiàn)把所說(shuō)的問(wèn)題稍作修改，即假使水壺里已經(jīng)裝滿了水，而所說(shuō)問(wèn)題中的其他情況都不變，試問(wèn)，此時(shí)你應(yīng)該怎樣去做？此時(shí)被問(wèn)者一定會(huì)大聲而頗有把握地說(shuō)：點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去。他

13、確信這樣的回答是正確的，但是更完善的回答應(yīng)該是這樣的：只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說(shuō)的辦只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說(shuō)的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：只須把水壺中的水法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：只須把水壺中的水倒掉，問(wèn)題就化歸為前面所說(shuō)的問(wèn)題了。倒掉，問(wèn)題就化歸為前面所說(shuō)的問(wèn)題了。 從這段話可以看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)家們最典型的思維模式了”。 笛卡爾的“萬(wàn)能方法萬(wàn)能方法”（一般模式）： 第一，把任何問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；第二，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題；第三，把任何代數(shù)問(wèn)題化歸為方程式的求解。 由于求解方程問(wèn)題是已經(jīng)解決或較為容易解決的，因此，在笛卡爾看來(lái)，就可利用上述方法解決任何類(lèi)型的問(wèn)題，故

14、稱其為“萬(wàn)能方法”。 不容置疑，他所闡述的上述化歸原則事實(shí)上已成為他賴以創(chuàng)立解析幾何的思想方法基礎(chǔ)。 解一元三次方程：x3+px+q=0。33333333332332:,()()0,(3)(3)0,3,:0(1)3(2)1(2).27,10,.27:0 xuvuvuv pquuvp uuvp vvquvpuvuvquvpu vpuvyqypaxbxcxd 解 令則原方程變形為即從而 如果取對(duì)這樣選擇的 和 就有由有因此由韋達(dá)定理知和 就是一元二次方程的解 從而原問(wèn)題獲得解決注 由于一般的三次方程總(),.3byxa可以轉(zhuǎn)化成上述特殊類(lèi)型令即可 從而三次方程的求解問(wèn)題也就徹底解決了第四節(jié) 數(shù)學(xué)思

15、想方法的教學(xué)內(nèi)容對(duì)應(yīng)思想方法 對(duì)應(yīng)是人們對(duì)兩個(gè)集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法，中小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對(duì)應(yīng)的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線上的點(diǎn)（數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對(duì)應(yīng)。符號(hào)化思想方法 用符號(hào)化的語(yǔ)言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來(lái)描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號(hào)思想。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系，量的變化及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式等。類(lèi)比思想方法 類(lèi)比思想是指依據(jù)兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長(zhǎng)方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形

16、面積公式。類(lèi)比思想不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使公式的記憶變得順?biāo)浦鄣淖匀缓秃?jiǎn)潔。轉(zhuǎn)化思想方法 轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等 。分類(lèi)思想方法 分類(lèi)思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的方法，數(shù)學(xué)的分類(lèi)思想方法體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的分類(lèi)及其分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。 如自然數(shù)的分類(lèi)，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)。不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)有不同的分類(lèi)結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的正確、合理分類(lèi)取決于分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識(shí)的分類(lèi)有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和建構(gòu)。集合思想方法 集合思想就是運(yùn)用集合的概念、邏輯語(yǔ)言、運(yùn)算、圖形等來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)

17、題或非純數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法。小學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實(shí)物滲透集合思想。在講述公約數(shù)和公倍數(shù)時(shí)采用了交集的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想方法 數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對(duì)象，數(shù)離不開(kāi)形，形離不開(kāi)數(shù)，一方面抽象的數(shù)學(xué)概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。另一方面復(fù)雜的形體可以用簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系?；瘹w思維方法 把有可能解決的或未解決的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一類(lèi)以便解決可較易解決的問(wèn)題，以求得解決，這就是“化歸”。而數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密，新知識(shí)往往是舊知識(shí)的引申和擴(kuò)展。讓學(xué)生面對(duì)新知會(huì)用化歸思想方法去思考問(wèn)題，對(duì)獨(dú)立獲得新知能力的提高

18、無(wú)疑是有很大幫助。數(shù)學(xué)模型思想方法 所謂數(shù)學(xué)模型思想是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、分析綜合概括等所謂過(guò)程，得到簡(jiǎn)化和假設(shè)，它是把生活中實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題模型的一種思想方法。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和處理周?chē)挛锘驍?shù)學(xué)問(wèn)題乃數(shù)學(xué)的最高境界，也是學(xué)生高數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求的目標(biāo)。整體思想方法 對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握化零為整，往往不失為一種更便捷更省時(shí)的方法。假設(shè)思想方法 假設(shè)是先對(duì)題目中的已知條件或問(wèn)題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)

19、思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使要解決的問(wèn)題更形象、具體，從而豐富解題思路。第五節(jié) 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透符號(hào)思想 請(qǐng)你想好一個(gè)數(shù)記在心里。現(xiàn)在將它加5，然后乘以2，再減去4，再除以2，然后減去你記在心里的那個(gè)數(shù)。結(jié)果得到的數(shù)是什么？請(qǐng)你算出來(lái)，但不要告訴我，因?yàn)槲乙呀?jīng)知道它是什么了。請(qǐng)你猜我是怎么知道的。（美國(guó)問(wèn)題） 請(qǐng)你進(jìn)行如下操作： 寫(xiě)下你出生的月份（比如：如果出生在十月，寫(xiě)下你出生的月份（比如：如果出生在十月，就寫(xiě)下一個(gè)就寫(xiě)下一個(gè)1010）。將這個(gè)數(shù)字翻倍，然后加）。將這個(gè)數(shù)字翻倍，然后加上上6 6，用，用5050乘這個(gè)新的數(shù)。然后，加上出生乘這個(gè)新的數(shù)。然后，加上

20、出生那天的日期數(shù)（比如：如果那天的日期數(shù)（比如：如果1010月月2020號(hào)出生，號(hào)出生，則加上則加上2020）。最后，減去）。最后，減去365365。 現(xiàn)在，請(qǐng)你告訴我你計(jì)算的最后結(jié)果，我就可以知道你的生日了。（美國(guó)問(wèn)題） 奧妙在哪里：從特殊到一般用m代表某人的出生月份，用d代表出生的天數(shù)，對(duì)于一個(gè)生日是10月20日的人，關(guān)于那個(gè)特殊日期以及一般情況而言，問(wèn)題的步驟如下： 說(shuō)明特殊一般寫(xiě)下月份10m數(shù)字乘以2202m加上6262m+6乘以50130050(2m+6)=100m+300加上生日日期1320100m+300+d減去365955100m-65+d私自加上651020100m+d A、

21、B、C、D四名選手即將進(jìn)行100米決賽。甲、乙、丙三人猜測(cè)比賽結(jié)果。甲說(shuō)“A第1名，B第3名”。乙說(shuō)“C第1名，D第4名”。丙說(shuō)“D第2名，A第3名”。比賽結(jié)果他們分獲14名。而且甲、乙、丙三人都只猜對(duì)了一半。你知道比賽的結(jié)果嗎? 我們用字母的下標(biāo)1，2，3，4來(lái)表示該選手的名次，例如用A1表示A第1名，等等。由于已知甲、乙、丙三人所猜都各有一項(xiàng)為真，因此有A1+B3=1，C1+D4=1，D2+A3=1。于是有(A1+B3)( C1+D4)( D2+A3)=1。 則A1C1D2+A1C1A3+A1D4D2+A1D4A3+B3C1D2+B3C1A3+B3D4D2+B3D4A3=1。 顯然，不能有

22、一人同時(shí)得兩個(gè)名次，也沒(méi)有兩人獲同一名次。 因此A1C1=A1A3=D4D2=A3B3=0。代入上式得B3C1D2=1。于是B3=1，C1=1，D2=1。故C第1名，D第2名，B第3名，從而A第4名。數(shù)學(xué)直覺(jué) 有人說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題(性質(zhì)、關(guān)系或結(jié)構(gòu))的直接領(lǐng)悟或覺(jué)察。 也有人說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象中隱含的整體性、次序性、和諧性的領(lǐng)悟，能夠越過(guò)邏輯推理而做出種種預(yù)見(jiàn)的能力。 不論如何界定，數(shù)學(xué)直覺(jué)大體有如下特征：非邏輯性、直接性、快速性、易逝性、間斷性、模糊性、偶然性、自發(fā)性等。 甲乙兩人進(jìn)行百米賽跑，當(dāng)甲跑完100米時(shí)，乙離終點(diǎn)還有10米。現(xiàn)在，讓甲從起跑線后退10米，再來(lái)

23、進(jìn)行一次比賽，問(wèn)甲乙兩人會(huì)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)嗎？ 若你從甲村步行到乙村，去時(shí)每小時(shí)走8千米，返回時(shí)每小時(shí)走12千米，問(wèn)你往返甲乙兩村的平均速度是多少？ 若你是一個(gè)售貨員，半徑是5厘米的實(shí)心線球標(biāo)價(jià)10元，而半徑是10厘米的實(shí)心線球未標(biāo)價(jià)，恰好有人要賣(mài)半徑是10厘米的實(shí)心線球，你賣(mài)多少元？ 某樓房的每樓層之間的樓梯臺(tái)階數(shù)一樣多，若你從1樓到4樓用時(shí)30秒，問(wèn)你從1樓到8樓，需用時(shí)多長(zhǎng)？89,.910aa bNbb設(shè)求滿足的分?jǐn)?shù) 要求 最小8():89819(1)9910910191091(2)1091(1),(2):8191910817917,.9191019abababaababbbabbbab 師

24、 解由得1917),(109,9819172018109181698:)(分母相加分子相加解生數(shù)學(xué)模型 分蛋糕問(wèn)題：A、B兩人作游戲，擲一硬幣，若正面出現(xiàn)則A得1分，反面出現(xiàn)則B得1分，先得10分者勝，勝利者可得一正方形蛋糕?，F(xiàn)在A已得8分，B已得7分，而游戲因故中斷，問(wèn)蛋糕應(yīng)如何合理分配？（美國(guó)問(wèn)題）9:78:8 第一次擲幣后 第二次擲幣后 10:79:89:88:9 第三次擲幣后 10:710:89:910:89:99:98:10第四次擲幣后 10:7 10:8 10:9 9:10 10:8 10:9 9:10 10:9 8:10 9:10 （匈牙利）證明在6個(gè)人的集會(huì)上，總有3人或者互相

25、認(rèn)識(shí)，或者互不認(rèn)識(shí)。 可用圖論的知識(shí)建立模型。將6個(gè)人用6個(gè)點(diǎn)V1、V2、V3、V4、V5、V6表示，且無(wú)三點(diǎn)共線，如果兩人互相認(rèn)識(shí)，就在相應(yīng)的兩點(diǎn)間用實(shí)線連接，否則就連虛線。于是實(shí)際問(wèn)題相當(dāng)于證明：在6點(diǎn)圖中，必然會(huì)有實(shí)線三角形或虛線三角形存在。 由V1向V2、V3、V4、V5、V6連5條線，根據(jù)抽屜原則，這5條線中至少有三條同為實(shí)線或同為虛線。不妨設(shè)V1V2、V1V3、V1V4同為實(shí)線(或虛線)。如果V2V3V4的三條邊中，只要有一條為實(shí)線，不妨設(shè)為V3V4，則V1V3V4為實(shí)線三角形；如果V2V3V4的三條邊都不是實(shí)線，那么V2V3V4就是三邊同為虛線的三角形。返回到原實(shí)際問(wèn)題，可知其結(jié)

26、論：總有3人互相認(rèn)識(shí)或者互不認(rèn)識(shí)是成立的。 整體思想2310,20092 -.xxx x 若求的值轉(zhuǎn)化思想 有張紙片，把它撕成5小片，把5小片再撕成5小片，也可不撕，如此繼續(xù)，問(wèn)能否撕成2005片?（英國(guó)問(wèn)題）類(lèi)比思想 這里有一堆桃子，這是5 個(gè)猴子的公共財(cái)產(chǎn)，它們要平分。 第一個(gè)猴子來(lái)了，它左等右等，別的猴子都不來(lái)，它便動(dòng)手把桃子均分成5 堆，還剩下一個(gè)。它認(rèn)為自己辛苦了，當(dāng)之無(wú)愧地把這個(gè)無(wú)法分配的桃子吃掉了，又拿走了5堆中的1堆。 第二個(gè)猴子來(lái)了，它不知道剛才發(fā)生的情況，又把桃子均分成5堆，還是多了1個(gè)，它吃了這1個(gè)，又拿1堆走了。 以后，每個(gè)猴子來(lái)了，都是如此辦理。 請(qǐng)問(wèn)：原來(lái)至少有多少

27、桃子？最后至少剩下多少桃子？幫助分類(lèi)討論 給出3、6、12、15、21、27、42、51、66、81、99諸數(shù)(數(shù)字可以重復(fù)使用)，問(wèn)能否從其中取出幾個(gè)來(lái)，使它們的和等于100?為什么?（美國(guó)問(wèn)題） 任給的五個(gè)整數(shù)中，必有三個(gè)數(shù)之和被3整除。概率統(tǒng)計(jì)思想 有三扇外觀完全相同的門(mén)，其中一扇門(mén)背后有一輛轎車(chē)，另兩扇門(mén)后面則各有一只山羊若你猜中有轎車(chē)的那一扇門(mén)，你就獲勝了現(xiàn)在，你猜1號(hào)門(mén)，然后主持人將2、3號(hào)門(mén)中無(wú)轎車(chē)的打開(kāi)，例如3號(hào)門(mén)無(wú)轎車(chē)，現(xiàn)在請(qǐng)問(wèn)你是否要換選2號(hào)門(mén)? （美國(guó)問(wèn)題）幫 助 河?xùn)|獅吼：某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁的家在郊區(qū)一個(gè)小鎮(zhèn)的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車(chē)回

28、那小鎮(zhèn)。小鎮(zhèn)車(chē)站離家還有一段距離，他的私人司機(jī)總是在同一時(shí)刻從家里開(kāi)出轎車(chē)，去小鎮(zhèn)接總裁回家。由于火車(chē)與轎車(chē)都十分準(zhǔn)時(shí)，因此火車(chē)與轎車(chē)每次都是在同一時(shí)刻到站。 某一次，司機(jī)比以往遲了半個(gè)小時(shí)出發(fā)。總裁到站后，找不到他的車(chē)子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿著公路步行往家里走，途中遇到他的轎車(chē)正風(fēng)馳電掣而來(lái)，立即招手示意停車(chē)，跳上車(chē)子后也顧不上罵司機(jī)，命其馬上掉頭往回開(kāi)?；氐郊抑?，果不出所料，他老婆大發(fā)雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘” 總裁步行了多長(zhǎng)時(shí)間？（美國(guó)問(wèn)題）數(shù)學(xué)假設(shè) 總裁在火車(chē)站死等，遲30分鐘； 只晚了22分鐘，他走了轎車(chē)4分鐘的路程； 若他等在火車(chē)站，則知再過(guò)

29、4分鐘，轎車(chē)也到了。也就是說(shuō)，他如果等在火車(chē)站，那么他也等了30-4=26分鐘。所以，他走了26分鐘。 提示：從“第一天沒(méi)有槍聲”可以推出“病狗”不只一條。 否則，假設(shè)病狗只有一條，那么病狗的主人將看到其余的49條狗都不是病狗，而題目中說(shuō)明“這些狗中有一部分病狗”，所以只可能自己的狗是病狗。題目中又說(shuō)，“一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗是一只病狗，就會(huì)在當(dāng)天開(kāi)槍打死這條狗”，但第一天沒(méi)有槍聲，矛盾，因此病狗不止一條。 同理，假設(shè)只有2條病狗，不妨設(shè)主人為A，B，此時(shí)A看到48條好狗，另外B的病狗；在B看來(lái)也一樣，即48條好狗，A的病狗。A會(huì)想到，為什么B不知道自己的狗是病狗呢？只能說(shuō)明自己的狗也是病狗。如

30、果假設(shè)成立，就會(huì)在第二天聽(tīng)到兩聲槍聲。矛盾，因此不止2條病狗。 如此一直推理下去，有10條病狗。 有一只蝸牛住在一棵梧桐樹(shù)下面，一天清晨，太陽(yáng)剛剛升起，蝸牛便開(kāi)始從樹(shù)根向樹(shù)梢上爬。它爬得忽快忽慢，有時(shí)還停下來(lái)四處望一望，躲避可能發(fā)生的危險(xiǎn)。直到太陽(yáng)落山的時(shí)候這只蝸牛終于爬上了樹(shù)梢，在樹(shù)梢上睡了一覺(jué)。第二天清晨，也是太陽(yáng)剛剛升起的時(shí)候，蝸牛開(kāi)始從樹(shù)梢向下爬，它沿著昨天爬行所留下的印跡，忽快忽慢地朝樹(shù)根爬去。有時(shí)它也停下來(lái)望一望，或者吸食一點(diǎn)樹(shù)汁，總體來(lái)看，朝下爬要比朝上爬輕松多了，所花費(fèi)的時(shí)間也少一些。這樣，當(dāng)太陽(yáng)還沒(méi)落山的時(shí)候，蝸牛就已經(jīng)爬到了梧桐樹(shù)的根部，也就是昨天清晨它出發(fā)的地點(diǎn)。 現(xiàn)在請(qǐng)問(wèn)：在蝸牛上下爬行的途中，會(huì)不會(huì)存在著這樣一個(gè)點(diǎn)：蝸牛第一天上樹(shù)時(shí)經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)的時(shí)刻（幾時(shí)