初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)專題

1、旋轉(zhuǎn)證明一 利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線例 1.如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 DC， BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終EAF 450.過點(diǎn) A做AP EF. （ 1）求證： EF=DE+BF.(2) 求證： AP=AD.BA（ 3）若 EFC周長(zhǎng)為 a ，求正方形的面積 .FDEC變式 1：如圖，點(diǎn)M、 N 分別在正方形ABCD的邊 BC、 CD上，已知AB=a， MCN的周長(zhǎng)為2a，求證： MAN=45°ADNBMC1. 如圖，直角梯形ABCD中， AD BC,AB BC,AD=2,BC=3,將腰 CD以 D 為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 到 ED，連結(jié)AE、 CE,則 ADE的面積是。E

2、DABC2. 如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 DC， BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足AF平分BAE ，探究： BF、 DE與 AE 的關(guān)系 .ABDEFC5. 如圖 1，在正方形 ABCD中， E、F 分別是 BC、 CD上的點(diǎn)，且 EAF=45°，則有結(jié)論 EF=BE+FD成立。（ 1）如圖 2，在四邊形 ABCD中， AB=AD， B= D=90°， E、 F 分別是 BC、 CD上的點(diǎn)，且 EAF是BAD的一半，那么結(jié)論EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。（ 2）若將（ 1）中的條件改為：在四邊形ABCD中， AB=AD，

3、B+D=180°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn) E，延長(zhǎng) CD到點(diǎn) F，使得 EAF仍然是 BAD的一半， 則結(jié)論 EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明； 若不成立。請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。例 2. 在等邊 ABC中， O 為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接 AO、 BO、 CO且 AO=2,BO=1,CO= 3 , 求 AOB， BOC的度數(shù)分別是多少？2. 如圖，點(diǎn) D 為等邊 ABC外一點(diǎn)，ADC 300,AD=4,CD=3，求 BD的長(zhǎng)。ADBC3. 在等邊 ABC中， O為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接 AO、 BO、 CO，有 AOB 1500 ， BOC=1200 . 問： AO、 BO、

4、CO三條線條能否構(gòu)成一個(gè)三角形若能，求出這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是多少度？若不能，請(qǐng)說明理由。25（ 09 朝陽(yáng)一模） . （本小題8 分）圖圖（ 1）已知：如圖，Rt ABC中， ACB=90°， AC=BC，點(diǎn)D 、 E 在斜邊AB上，且 DCE=45° . 求證：線段 DE 、 AD 、EB 總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；（ 2）已知：如圖，等邊三角形ABC 中，點(diǎn) D、 E 在邊 AB 上，且 DCE=30° ，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段 DE、 AD 、 EB 能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)；（ 3）在（ 1）的條件下，如果AB=10 ，求

5、 BD·AE 的值25（ 09 西城一模）已知：PA2， PB 4 ，以 AB 為一邊作正方形ABCD ，使 P、D 兩點(diǎn)落在直線AB 的兩側(cè) .（1）如圖，當(dāng) APB= 45°時(shí)，求 AB 及 PD 的長(zhǎng)；（2）當(dāng) APB 變化，且其它條件不變時(shí)，求PD 的最大值，及相應(yīng)APB 的大小 .二 旋轉(zhuǎn)型相似例 1. 圖 1 是邊長(zhǎng)分別為a 和 b（ ab）的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和 CDE疊放在一起 （ C與 C 重合）的圖形（ 1）操作：固定，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，連結(jié)， ，如圖 2；在圖 2ABCCDEAD BE中，線段 BE與 AD之間具有怎樣的大

6、小關(guān)系？證明你的結(jié)論（2）操作：若將圖1 中的繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，連結(jié)， ，如圖CDEAD BE3；在圖 3 中，線段 BE與 AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論（ 3）根據(jù)上面的操作過程，請(qǐng)你猜想當(dāng)為多少度時(shí)，線段AD 的長(zhǎng)度最大？是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最??？是多少？（不要求證明）ADAAADDEEBBEC BCCD圖 1圖 2圖 3例 2. 如圖為等邊 ABC和菱形 BDEF, DBF=60°（ 1）觀察圖形 1 , 猜想 AF 與 CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ?直接寫出結(jié)論 , 不必證明 .（ 2）將菱形 BDEF繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) , 使

7、菱形 BDEF的一邊落在等邊 ABC內(nèi)部 , 在圖 2 中畫出一個(gè)變換后的圖形, 并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母, 請(qǐng)問 :(1)中的結(jié)論是否依然成立?若成立請(qǐng)證明 ; 若不成立 ,請(qǐng)說明理由 ;（ 3）在上述旋轉(zhuǎn)過程中,AF 與 CD之間所夾的銳角度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變 , 請(qǐng)你求出它的度數(shù), 并說明理由 ; 若改變 , 請(qǐng)說明它的度數(shù)是如何變化的.AADEBCBCF練習(xí)121點(diǎn) A、 B、C 在同一直線上，在直線AC 的同側(cè)作ABE 和BCF ，連接 AF ， CE取 AF、 CE 的中點(diǎn) M、N，連接 BM，BN， MN （ 1）若ABE 和FBC 是等腰直角三角形，且ABEFBC90 0(

8、如圖1) ，則MBN 是三角形（ 2）在ABE 和BCF 中，若 BA=BE,BC=BF, 且ABEFBC，（如圖2），則MBN 是三角形，且 MBN.（ 3）若將（ 2）中的ABE 繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)一定角度 ,(如同 3)，其他條件不變，那么（2）中的結(jié)論是否成立？ 若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.FFFEEMMEMANNNABCBCABC（如圖3）（如圖 1)（如圖 2）3. 填空或解答：點(diǎn) B、C、E 在同一直線上，點(diǎn) A、D在直線 CE的同側(cè)， AB AC，ECED， BAC CED，直線 AE、 BD交于點(diǎn) F。(1) 如圖，若 BAC 60°，則

9、AFB _ ；如圖，若 BAC 90°，則 AFB _；(2) 如圖，若 BAC ，則 AFB_( 用含 的式子表示 ) ；(3) 將圖中的 ABC繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn) ( 點(diǎn) F 不與點(diǎn) A、B 重合 ) ，得圖或圖。在圖中，AFB與 的數(shù)量關(guān)系是 _ ；在圖中， AFB與 的數(shù)量關(guān)系是_ 。請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明。4、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在一組對(duì)邊的平方和等于另外一組對(duì)邊的平方和，則稱這個(gè)四邊形為等平方和四邊形。（ 1）寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：（ 2）如圖，在梯形ABCD中， AD BC， AC BD，垂足為2222O。求證： AD+B

10、C=AB+DC。即四邊形 ABCD是等平方和四邊形。（ 3 ）如果將圖中的AOD 繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a 度（ 0<a<90°）后得到圖，那么四邊形 ABCD能否成為等平方和四邊形？若能，請(qǐng)證明；若不能，請(qǐng)說明理由。三正方形中的旋轉(zhuǎn)例 1. 如圖 1 已知 ABC中，AB BC 1， ABC 90°， 把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在 AC的中點(diǎn)上 ( 直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞 D 點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。(1) 在圖 1 中， DE交 AB于 M， DF 交 BC于 N。證明 DMDN；在

11、這一旋轉(zhuǎn)過程中， 直角三角板 DEF與 ABC的重疊部分為四邊形 DMBN，請(qǐng)說明四邊形 DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2) 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖 2 的位置，延長(zhǎng) AB 交 DE于 M，延長(zhǎng) BC交 DF于 N，DM DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3) 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖 3 的位置，延長(zhǎng) FD交 BC于 N，延長(zhǎng) ED交 AB于 M， DM DN是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，不用證明。0C重合，它的練習(xí)： 1. 已知 AOB=90，在 AOB的平分線 OM上有一點(diǎn) C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與兩條直角邊分別與 OA

12、、 OB(或它們的反向延長(zhǎng)線 ) 相交于點(diǎn) D、E當(dāng)三角板繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到 CD與 OA垂直時(shí) ( 如圖 1) ，易證： OD+OE= 2OC當(dāng)三角板繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到 CD與 OA不垂直時(shí)，在圖2、圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、 OE、 OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ?請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明2. （ 08 平谷一模 25）在圖中，把一副直角三角板ABC和 EFG（其短直角邊長(zhǎng)均為 4）疊放在一起（如圖），且使三角板 EFG 的直角頂點(diǎn) G與三角板 ABC的斜邊中點(diǎn) O重合現(xiàn)將三角板 EFG繞點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角 滿足條件： 0 090o

13、），四邊形 CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）（ 1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中， BH與 CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（ 2）聯(lián)結(jié) HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè) BH=x， GKH的面積為 y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范圍；（ 3）在（ 2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面積恰好等于 ABC 面積的 1 ？若存在，求A出此時(shí) x 的值；若不存在，說明理由A 16G(O)G(O)CBKFCHB3. （ 08 延慶一模23）（ 1）已知：有兩塊完全相同的含E10 1，將 Rt DEF45°角的三角板，如

14、圖FEDBC的面積的直角的 =頂點(diǎn) D 放在 Rt ABC斜邊 AB 的中點(diǎn)處，這時(shí)兩塊三角板重疊部分圖圖是 ABC的面積的；（ 2）如圖 10 2，點(diǎn) D 不動(dòng)，將 Rt DEF繞著頂點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)（0°90°），這時(shí)兩塊三角板重疊部分為任意四邊形DNCM，這時(shí)四邊形DNCM的面積是 ABC的面積的；（ 3）若 Rt DEF的頂點(diǎn) D 在 AB上移動(dòng)（不與點(diǎn)A、 B 重合），且兩條直角邊與Rt ABC的兩條直角4邊相交，是否存在一點(diǎn)，使得兩塊三角板重疊部分的面積是Rt ABC的面積的 9 ，如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D103 中畫出此時(shí)的圖形，并說明點(diǎn)D 在 AB上的位置。如果不存在，說

15、明理由。FBBBDDMACFCACNAEE圖 101圖 103圖 1024. （ 08 東城一模025）已知 ABC中， AB=AC=3, BAC=90, 點(diǎn) D為 BC上一點(diǎn)， 把一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D 處 .（ 1）如圖 1，若 BD=CD, 將三角板繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交AB、 AC于點(diǎn) E、點(diǎn) F, 求出重疊部分 AEDF的面積（直接寫出結(jié)果） ；（ 2）如圖 2，若 BD=CD, 將三角板繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AB 于點(diǎn) E、另一條直角邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F, 設(shè) AE x ，兩塊三角板重疊部分的面積為y ，求出 y與 x 的函數(shù)關(guān)系式 ,

16、并寫出自變量 x 的取值范圍；（ 3）若 BD2CD , 將三角板繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AC于點(diǎn) F、另一條直角邊交射線AB于點(diǎn) E，設(shè) CF=x(x 1) ，兩塊三角板重疊部分的面積為y ，求出 y與 x 的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量x的取值范圍AAEEFCBDCBD圖2F圖124 （09 延慶一模） . 如圖 24 1，正方形 ABCD和正方形 QMNP， M 是正方形ABCD的對(duì)稱中心， MN交 AB于 F， QM交 AD于 ECBMFENDAQ24-1P（ 1）猜想： ME 與 MF的數(shù)量關(guān)系（ 2）如圖 24 2，若將原題中的“正方形”改為“菱形” ，且 M = B，其它條件

17、不變，探索線段ME與線段 MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（ 3）如圖 24 3，若將原題中的 “正方形” 改為“矩形”，且 AB:BC=1:2，其它條件不變， 探索線段 ME與線段 MF的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由CBMFDEANQC24-2BPMFNDEAQ24-3P（4）如圖24 4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且 M =B ，AB:BC = m，其它條件不變，求出 ME：MF的值。（直接寫出答案）CBMFNDEAQP四 . 倍長(zhǎng)中線解決四邊形旋轉(zhuǎn)例 1. （ 08 北京）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，點(diǎn) A， B， E 在同一條直線上， P 是線

18、段 DF 的中點(diǎn)，連結(jié) PG， PC 若 ABCBEF 60，探究 PG 與 PC 的位置關(guān)系及PG 的值PC小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP 交 DC 于點(diǎn) H ，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決DCDCPFPGGFABAEB圖1圖2E請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（ 1）寫出上面問題中線段PG 與 PC 的位置關(guān)系及PG 的值；PC（ 2）將圖 1 中的菱形 BEFG 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG 的對(duì)角線 BF 恰好與菱形ABCD 的邊AB 在同一條直線上， 原問題中的其他條件不變 （如圖 2）你在（ 1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明31中ABCBEF 2(090 )，將菱形 BEFG 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原（ ）若圖問題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出PG 的值（用含的式子表示）PC； PG解：（ 1）線段 PG 與 PC 的位置關(guān)系是PC練習(xí)1. 如圖 1，操作：把正方形 CGEF的對(duì)角線