概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案

1、過的汽車不少于3臺。 解 (1)'出現(xiàn)i點i(S (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)習題一1 .寫出下列隨機試驗的樣本空間及下 列事件中的樣本點：(1) 擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點數(shù) A '出現(xiàn)奇數(shù)點；(2) 將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點數(shù) A '兩次點數(shù)之和為10'，B '第一次的 點數(shù)，比第二次的點數(shù)大 2'(3) 個口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為123,4,5;從中同時取出3只球，觀察其結果， A '球的最小號碼 為1 ；4)將a, b兩個球，隨機地放入到甲、乙、丙三個盒子中去，

2、觀察放球情況，A '甲 盒中至少有一球；(5)記錄在一段時間內，通過某橋的汽車流量，A '通過汽車不足5臺，B '通S $ ,e2,e3,e4,e5,e6其中 e1,2,L ,6，A g鳥鳥。2試用A,B,C表示下列事件:(1)僅A發(fā)生；(2)A,B,C中至少有兩個發(fā)生；(3)A,B,C中不多于兩個發(fā)生；(4)A,B,C中恰有兩個發(fā)生；(5)A,B,C中至多有一個發(fā)生。解(1) ABC(2)ABU ACUBC或ABC U ABC U ABC U ABC ；(3)AU B UC或ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC(4) ABC

3、U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或Abc U ABC U Abc u ABc ；3. 一個工人生產了三件產品，以A (i 1,2,3)表示第i件產品是正品，試用 Ai 表示下列事件：(1)沒有一件產品是次品；(2)至少有一件產品是次品；(3)恰有一 件產品是次品；(4)至少有兩件產品不是次 品。解(1) AA2A ； (2) A UA2UA3 ； (3) A1A2A3 UAA2A3 U AA2入；( 4 )A1 A2 U A! Aj U A2A3(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)；(4,6),(5,5), (6,4)；(3,1), (4, 2),

4、(5,3), (6,4)3(2,3, 4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5),2,3),4 .在電話號碼中任取一個電話號碼， 求后面四個數(shù)字全不相同的概率。解 設A '任取一電話號碼后四個數(shù))字全不相同，則(1,2,4), (5,2,5) 一批晶體管共40只，其中3只是壞(6,1), (6,2),AB(S (1(4)S (ab, , ), ( ,ab, ), ( , ,ab), (a,b, ), (a, ,b),(b, ,a), ( ,a, b,), ( ,b, a)，其 中表示空盒；A ( ab, , ), (a,b, ), (a, ,b), (b,a, ), (

5、b, ,a)o(5)S 0,1,2,L , A 0,1,2,3, 4, B 3,4,L o2 .設A,B,C是隨機試驗E的三個事件，的，今從中任取5只，求(1) 5只全是好的的概率；(b,a, (,2) 5只中有兩只壞的的概率。解 (1)設A 5只全是好的，則P(A) 37 B0.662 ；C40(2) 設B 5只中有兩只壞的，則C 2C3P(B) -40.0354.C406 .袋中有編號為1到10的10個球, 今從袋中任取3個球，求1) 3個球的最小號碼為5的概率；(2) 解3個球的最大號碼為5的概率.(1)設A '最小號碼為5',112 ；5',則c2P(A)I-C

6、10設B '最大號碼為P(B) 2 丄.C10207. ( 1)教室里有r個學生，求他們的生日都不相同的概率；(2)房間里有四個人，求至少兩個人的 生日在同一個月的概率.解則(2)C3o(1)設A '他們的生日都不相同'(2)一個月，則P(A)凳;'至少有兩個人的生日在同P(B)c2c；2R22 23 214 124 12121244196 ；事件只有一個，故1 1P(A)- C； C； 3!1260解2七個字母中有兩個 E，兩個C， 把七個字母排成一排，稱為不盡相異元素的 全排列。一般地，設有n個元素，其中第一 種元素有n1個，第二種元素有n2個，第k種 元素

7、有m個(n1 n2 L 氐 n)，將這n個元 素排成一排稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為n!n1 ! n2 !L對于本題有1P(A)衛(wèi)2!2!10 .從0,1,2,L ,9等10個數(shù)字中，任意選 出不同的三個數(shù)字，試求下列事件的概率： A1'三個數(shù)字中不含0和5'，A2數(shù)字中不含0或5', 但不含5'.47! 1260'三個'三個數(shù)字中含04196.設一個人的生日在星期幾是等可能P(B) 1 P(B)P：124解 P(A)8的，求6個人的生日都集中在一個星期中的 某兩天，但不是都在同一天的概率 .解設A '生日集中在一星期中的某

8、 兩天，但不在同一天，則C；(26 2)Pg空G0C3G07_15P(AJCo1 P(A2)Co 15'c8 14G3015，P(A) 60.01107.9.將C,C,E,E,I,N,S等7個字母隨機地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是多少？解1設A '恰好排成SCIENCE將7個字母排成一列的一種排法看作基 本事件，所有的排法：字母C在7個位置中占兩個位置， 共有 C；種占法，字母E在余下的5個位置中占兩 個位置，共有C；種占法，字母I, N,C剩下的 3個位置上全排列的方法共 3!種，故基本 事件總數(shù)為C； C； 3! 1260，而A中的基本P(AOC82

9、7G3030'.將n雙大小各不相同的鞋子隨機地A '每堆各11分成n堆，每堆兩只，求事件 成一雙的概率.解n雙鞋子隨機地分成題，不同的分法共一(2心2!2! L 2!成一雙共有n!種情況，故12 .P(A) 0.4,P(AB) 1n堆屬分組問'每堆各 (2!)設事件A與BP(B) 0.3，求 P(AB)與 P(Au B)互不相容，P(AU B) 1 P(A) P(B) 0.3因為代B不相容，所以A B，于是所以P(AB) 0.4，故P(AB) 0.6 ;0.2 P(B) P(AB) P(B) 0.4.所以17.設 ABC ，試證明P(A)P(B) P(C) 1證因為AB

10、C ,所以故P(A) P(B)P(C) 1證畢.18.對任意三事件代 B,C，試證P(AB) P(AC)P(BC)P(A).證P(ABU AC) P A(BUC) P(A).證畢.19.設代B,C是三個事件，且1P(A) P(B) P(C) , P(AB) P(BC) 0，41P(AC)-，求A, B,C至少有一個發(fā)生的概8率。解P(AUBUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(的解1設A '三段可構成三角形，又x,三段的長分別為xa2A的面植-S的面積413 .若 P(AB) P(AB)且 P(A) P ,求 P(B).解P(AB) 1 P(AU

11、 B) 1 P(A) P(B) P(AB) 由 P(AB) P(AB)得14 .設事件A,B及AUB的概率分別為p,q,r，求 P(AB)及 P(AU B)解P(AB) P(A) P(B) P(AU B) p q r1 q p q r 1 p r .15 .設 P(A) P(B) 0.7，且 A,B 僅發(fā)生 一個的概率為0.5，求A,B都發(fā)生的概率。解1由題意有0.7 2P(AB)，所以P(AB) 0.1.解2A,B僅發(fā)生一個可表示為AUB AB，故所以P(AB) 0.1.16 .設P(A) 0.7, P(A B) 0.3, P(B A) 0.2 ，求 P(AB)與 P(AB).解0.3 P(

12、A B) P(A) P(AB) 0.7 P(AB)，P(AB) P(AC) P(BC) P(AB) P(AC) P(ABC)因為 0 P(ABC) P(AB) 0，所以 P(ABC) 0，于是20 .隨機地向半圓0 y 2ax x2 ( a為正常數(shù))內擲一點，點落在園內任何區(qū)域的 概率與區(qū)域的面積成正比，求原點與該點的連線與x軸的夾角小于/4的概率.解：半圓域如圖y設A '原點與該點連線與x軸夾角小于/4 '由幾何概率21 ".把長為"a白的棒任意折成三段，求它 們可以構成三角形的概率.y, a x y ，則y a，不等式構成A 發(fā)生x y a不等式確定解2

13、 設三段長分別為x, y , z ，則0 x a, 0 y a, 0 z a 且x y z a，不等式確定了三維空間上的有界平面域S.z不等式確定S的勺面積1P(A) S的面積4'22 .隨機地取兩個正數(shù) x和y，這兩個 數(shù)中的每一個都不超過 1 ,試求x與y之和 不超過1，積不小于0.09的概率.解 0 x 1,0 y 1，不等式確定平面確定了 S的子域A，故23.(蒲豐投針問題)在平面上畫出等距離a(a 0)的一些平行線，向平面上隨機地 投擲一根長1(1 a)的針，求針與任一平行線 相交的概率.解 設A '針與某平行線相交，針落 在平面上的情況不外乎圖中的幾種，的中點到最近

14、的一條平行線的距離設x為針與平行線的夾角，則'個生1 L2LP(A)sin da0 2a2習題二'任取一件是i等品P(AAQP(A)，)P(A2)0.6 0.30.91 .假設一批產品中一、二、三等品各 占60% 30% 10%從中任取一件，發(fā)現(xiàn)它 不是三等品，求它是一等品的概率 .解 設Ai 1, 2, 3，所求概率為P(A IA3)因為A1 A2所以 p(A3)P(A 故P(A1 |A3) 6-.9 32 .設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合 格品，求另一件也是不合格品的概率.解設A'所取兩件中有一件是不合格品Bi'所取兩

15、件中恰有i件不合格i1, 2.則P(A) P(B) P(B2)c：c6G20G20，所求概率為P(B2|A)P(B2)c21P(A)c：c6 c2 5為針3 .袋中有5只白球6只黑球，從袋中 一次取出3個球，發(fā)現(xiàn)都是同一顏色，求這 顏色是黑色的概率.解設A '發(fā)現(xiàn)是同一顏色，B '全 是白色，C '全是黑色，則ABC，所求概率為4 .從52張樸克牌中任意抽取5張，求 在至少有3張黑桃的條件下，5張都是黑桃 的概率.解設A '至少有3張黑桃，Bi 5張中恰有i張黑桃，i 3,4,5 ,則A B3 B4 B5 ,所求概率為P(BslA)P(AB5)P(A)G；324

16、1C13C39C13C39P(B5)P(B3 B4 B5)9G3 1686.5 .設 P(A) 0.5, P(B) 0.6, P(B|A) 0.8求 P(AU B)與 P(B A).解P(AUB) P(A) P(B) P(AB)1.1 P(A) P(B| A)P(B A) P(B) P(AB) 0.6 0.40.2 .6 甲袋中有3個白球2個黑球，乙袋 中有4個白球4個黑球，今從甲袋中任取 2 球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，求該球 是白球的概率。解設A '從乙袋中取出的是白球， Bi'從甲袋中取出的兩球恰有i個白球i 0,1,2.由全概公式c；4c；c21g213C；10Cf

17、2C；1025.7 .一個盒子中裝有15個乒乓球，其中9個新球，在第一次比賽時任意抽取 3只， 比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時同樣 地任取3只球，求第二次取出的3個球均為 新球的概率。解 設A '第二次取出的均為新球， Bi'第一次取出的3個球恰有i 個新球i 0, 1, 2, 3.由全概公式52859150.089.電報發(fā)射臺發(fā)出和-'的比例為5:3，由于干擾，傳送()時失真的概 率為2/5，傳送-'時失真的概率為 1/3， 求接受臺收到時發(fā)出信號恰是的概率。解設A '收到B '發(fā)出'， 由貝葉斯公式P(B|A)P(B)P(A| B

18、)P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)5 38 "55 3 3 18 5 8 39 .在第6題中，已知從乙袋中取得的 球是白球，求從甲袋中取出的球是一白一黑 的概率.解事件如第6題所設，所求概率為10 .已知一批產品中96%是合格品，檢 X查產品(忖，一個合格品被誤認為是次品的概率是0.02，一個次品被誤認為是合格品的概 率是0.05，求在檢查后認為是合格品的產品 確是合格品的概率。解 設A '任取一產品，經檢查是合 格品，B'任取一產品確是合格品貝y0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428，所求概率為P(B)P(A| B) 0.96 0.98P(

19、B | A)0.998.P(A)0.942811 假設有兩箱同種零件：第一箱內裝50件，其中10件一等品；第二箱內裝 30 件其中18件一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出 一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件然是一等的概率.解設A'第i次取出的零件是一等品，i1,2.Bi'取到第i箱'i 1,2.則(1 )P(A)P(BP(A|B) P(B2)P(a 眉)1 132(一).2 555(2 )(取出的零件均不放回)，試求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍P(AIA)P(AA)P(A)P( A A2 BiA A2 B2)P(

20、A)1 C102 C5025949512940856.12 .玻璃杯成箱出售，每箱 20只， 設各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為 0.8，0.1，0.1，一顧客欲購一箱玻璃杯， 售貨員隨意取一箱，顧客幵箱隨意地察看四 只，若無殘次品，則買下該箱，否則退回。 試求：(1)(2) 的概率解顧客買下該箱的概率；在顧客買下的一箱中，確無殘次品'顧客買下該箱，'箱中恰有i件殘次品，i 0,1,2，(P(A)(2)1 37529 .3 10 15 2590(2)因為先取出的是女生表的概率為29，所以先取出的是男生表的概率為6190按抓鬮問題的道理，61P(B) .90于是(P(A|B)

21、90，后取的是男生表的概率P(ABC1abc2ABC3)P(B)7 85 2015 1425 24206161 .90m枚正品硬幣，n枚次)2P(AB)P(B)13 73 10 914 .一袋中裝有品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽)從袋 中任取一枚，已知將它投擲 r次，每次都得 到國徽，P(B°)P(A|Bo) P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B解問這枚硬幣是正品的概率是多少?設A'任取一枚硬幣擲r次得r個國徽,c40.8 0.1 G9 0.1 g2oP(Bo I A) P(ABo)P(A)設有來自三個地區(qū)的各40.94;g2o0.80.85.0.9410 名，1

22、5所求概率為'任取一枚硬幣是正品，BABa ,13名和25名考生的報名表，其中女生報名表 分別為3份、7份和5份，隨機地取一個地 區(qū)的報名表，從中先后取出兩份(1) 求先取到的一份為女生表的概率P ；(2) 已知后取到的一份是男生表，求先 抽到的一份是女生表的概率解mm nm 1nmm n 2r設ABCiq.'先取到的是女生表，'后取到的是男生表，'取到第i個地區(qū)的表，m n 2 m n15 .甲、乙兩人獨立地對同一目標各射 擊一次，命中率分別為 0.6和0.5，現(xiàn)已知 目標被擊中，求甲擊中的概率 .解設A '目標被擊中，Bi'第i個人擊中 i

23、1,2, 所求概率為i 1,2,3.(p P(C1)P(A|C1)P(C2)P(A|C2)P(C3)P(A|C3)060.75.1 0.4 0.516 .三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別是1,1,-，求他們將此密碼5 3 4譯出的概率.解1設A'將密碼譯出，Bi '第個人譯出i1,2,3.則1113 0.6.5 3 45解2事件如上所設，則4 233P(A) 1 P(A) 1 P(B,B2B3)1 -5 34517 .甲、乙、丙三人向一架飛機進行射擊，他們的命中率分別為0.4，0.5，0.7 o設飛機中一彈而被擊落的概率為0.2，中兩彈而被擊落的概率為0.6，中三彈

24、必然被擊落，今三人各射擊一次，求飛機被擊落的概率.解設A '飛機被擊落，Bi'飛機中 i 彈i 1,2,3.則設Ci'第i個人命中，i 1,2,3，則0.40.5 0.30.6 0.50.70.6 0.50.30.360.40.5 0.30.4 0.50.70.6 0.50.70.41P(B3) P(C1 C2C3)0.4 0.5 0.70.14，所以P(A) 0.2 0.36 0.6 0.410.140.458.18 .某考生想借一本書，決定到三個圖 書館去借，對每一個圖書館而言，有無這本 書的概率相等；若有，能否借到的概率也相 等，假設這三個圖書館采購、出借圖書相互

25、 獨立，求該生能借到此書的概率.解1設A'該生能借到此書，Bi'從第i館借到i 1,2,3.11 1224，PQB)1 1 114 4 464于是P(B2B3)33P(B1B2B,)1374 1664640.6 解23337P(A) 1P(A) 1 P(BB2Bs)1464'解3事件如解1所設，則AB1B1 B2B1 B2 B3故1 313 31374 444 4464 .19 .設 P(A) 0,P(B) 0，證明A、B互不相容與A、 B相互獨立不能冋時成立.證若A、B互不相容，則AB，于是P(AB) 0 P(A)P(B) 0所以A、B不相互 獨立.若 A 、 B相互

26、獨立，則P(AB) P(A)P(B) 0,于是 AB ，即 A、B 不是互不相容的.注：從上面的證明可得到如下結論：1 )若A、B互不相容，則A、B又是相互獨立的 P(A) 0或P(B) 0.2 ) 因 A BA Ba ， 所以P(A) P(BA) P(BA)如果 P(B) 1，則P(BA) 0，從而可見概率是1的事件與任意事件獨立，自然， 必然事件與任意事件獨立.如果 P(B) 0，則 P(AB) 0 P(A)P(B)， 即概率是零的事件與任意事件獨立，自然， 不可能事件與任何事件獨立。20 .證明若三事件 A, B,C相互獨立，則AU B及A B都與C獨立。證P( AU B)C P(ACU

27、 BC) P(AC) P(BC) p(ABC)則P(B1 ) P(B2) P(B3) P(第 i 館有此書且能借到)即AUB與C 獨立.即 A B與C相互獨立.21 .一個教室里有4名一年級男生，6 名一年級女生，6名二年級男生，若干名二 年級女生，為要我們在隨機地選擇一名學生 時，性別和年級是相互獨立的，教室里的二 年級女生應為多少名？解答對每道題的概率為丄，所求概率4為解設還應有N名二年級女生，A '任 選一名學生為男生，B '任選一名學生為 一年級，貝V巳(3)巳(4) C： 144113425610 P(A) N 1610 P(AB)N 16欲性別和年級相互獨立,，P(

28、B)P(AB) P(A)P(B)，10即410N 164N 16 '1010N 16 N 16 N 1626 .設在伯努里試驗中，成功的概率為p，求第n次試驗時得到第r次成功的概率. 解設A '第n次試驗時得到第r次成 功'，則A '前n 1次試驗，成功r 1次, 第n次試驗出現(xiàn)成功， 所以P(A) P (前n 1次試驗，成功r 1次)P (第n次試驗成功)所以N 9，即教室里的二年級女生應為 9 名路 , Bii 123,4,5，貝由題意22 .圖中1, 2, 3, 4, 5表示繼電器接 點，假設每一繼電器接點閉合的概率均為 p，且設各繼電器閉合與否相互獨立， 求L至 R是通路的概率.、n rr 1 rnrP) PCn 1P (1 P)C：1pr 解設A 個接點閉合(127 .設一廠家生產的每臺儀器，以概率 0.7可以直接出廠，以概率 0.3需進一步調 試，經調試后以概率0.8可以出廠，以概率 0.2定為不合格品，不能出廠?，F(xiàn)該廠生產 了 n (n 2)臺儀器(假定各臺儀器的生產過 程相互獨立)。求(1)全部能出廠的概率；(2)其中恰有兩臺不能出廠的概率；(3)其